Một số kỹ thuật tính tích phân đặc sắc v1

Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 1 MỘT SỐ KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN ĐẶC SẮC: Bài tập 1: Tính tích phân 4 0 cos 2 sin 2 dx I x x π = + ∫ Hướng dẫn: Biến đổi ( ) ( ) 2 4 4 4 2 2 0 0 0 2 1 tan cos 2 sin 2 2 2 1 tan 2tan cos 2tan cos d d d x x x x I x x x x x x x π π π + = = = + + + + ∫ ∫ ∫ Đặt tan t x = . Bài tập 2: Tính tích phân ( ) 2 1 2 1 0 2 1 d x x I x x e x + + = + + ∫ Hướng dẫn: Ta có ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 / 0 0 0 2 2d d d x x x x x x I x x e x e x x x e x I + + + + + + = + + = + + ∫ ∫ ∫ Tính 2 1 / 1 0 d x x I e x + + = ∫ . Đặt ( ) 2 2 1 1 2 1 d d d d chän x x x x u e x x e x x v v x + + + +  = ⇒ = +   = ⇒ =   Lúc đó ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 / 1 1 2 1 3 2 1 0 0 0 1 0 d d d x x x x x x x x I e x xe x x e x e x x e x + + + + + + + + = = − + = − + ∫ ∫ ∫ Vậy ( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 3 2 1 3 0 0 2 x x x x I x x e x e x x e x e + + + +   = + + − + =     ∫ ∫ d d . Bài tập 3: Tính tích phân 2 2 0 sin 1 sin 2 d x x I x x π + = + ∫ Hướng dẫn: Biến đổi 2 2 2 2 2 1 2 0 0 0 sin sin 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 d d d x x x x I x x x I I x x x π π π + = = + = + + + + ∫ ∫ ∫ Tính 2 2 2 0 sin 1 sin 2 d x I x x π = + ∫ . Xét thêm 2 2 / 2 0 cos 1 sin 2 d x I x x π = + ∫ Suy ra: 2 / 2 2 0 2 2 / 2 2 0 1 1 sin 2 2cos2 1 sin 2 dI I x x I x I I dx x π π   + = =  +  ⇒   −  − = =  +  ∫ ∫ Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 2 Tính 2 2 2 1 2 0 0 0 1 cot 1 sin 2 2 4 2sin 4 d d d x x I x x x x x x π π π π π     = = = − +     +       +     ∫ ∫ ∫ (từng phần) Bài tập 4: Tính tích phân 1 2 1 1 1 1 d I x x x − = + + + ∫ Hướng dẫn: Đặt ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 t t t x x t x x t t tx x x t − = + + + ⇒ − + = + ⇔ − = − ⇔ = + Bài tập 5: Tính tích phân 3 6 cot sin sin 4 d x I x x x π π π =   +     ∫ Hướng dẫn: Biến đổi ( ) ( ) 3 3 3 2 6 6 6 cot cot cot 2 2 sin sin cos sin 1 cot sin sin 4 d d d x x x I x x x x x x x x x x π π π π π π π = = = + +  +     ∫ ∫ ∫ Đặt cot t x = . Tương tự: Tính tích phân 4 0 cos sin 4 d x I x x π π =   +     ∫ ; 3 6 sin sin 6 d x I x x π π π =   +     ∫ Bài tập 6: Tính tích phân ( ) 4 0 tan cos 4cos sin d x I x x x x π = − ∫ Hướng dẫn:Tương tự Bài tập 5. Bài tập 7: Tính tích phân ( ) 2 5 2 2 2 1 5 dx x I x x = + + ∫ Hướng dẫn: Đặt 2 2 2 5 5 d d t x t x t t x x = + ⇒ = + ⇒ = Bài tập 8: Tính tích phân ( ) 6 1 2 3 3 ln d x x x I x + + = + ∫ Hướng dẫn: Đặt 2 3 3 2 d d t x t x t t x = + ⇒ = + ⇒ = Suy ra ( ) 3 3 2 2 3 2 ln d I t t x = − + ∫ ( tích phân từng phần ) Bài tập 9: Tính tích phân 1 2 0 2 2 d I x x x x = − + ∫ Hướng dẫn: Biến đổi ( ) 1 1 2 2 0 0 2 2 1 1 d d I x x x x x x x = − + = − + ∫ ∫ . Đặt 1 tan x x − = . Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 3 Bài tập 10: Tính tích phân 2 2 6 1 sin sin 2 d I x x x π π = + ∫ Hướng dẫn: Biến đổi 2 2 6 3 sin cos 2 d I x x x π π = − ∫ . Đặt 3 cos cos 2 x t = Bài tập 11: Tính tích phân 2 4 sin 3 0 sin .cos d x I e x x x π = ∫ Hướng dẫn: Đặt 2 sin t x = Bài tập 12: Tính tích phân 3 2 4 4 sin cos dx I x x π π = ∫ Hướng dẫn: Biến đổi ( ) ( ) 2 3 3 3 2 2 2 6 2 2 2 2 4 4 4 1 1 1 1 . . 1 tan tan tan cos tan cos cos tan d . d d x I x x x x x x x x x π π π π π π   = = = +     ∫ ∫ ∫ Đặt tan t x = . Bài tập 13: Tính tích phân 2 3 sin 2 4sin 2dx I x x π π = + ∫ Hướng dẫn: Biến đổi ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 sin sin sin 2 4sin sin cos 2 sin cos 2 1 cos cos 2 2d d d dx x x x x x I x x x x x x x x π π π π π π π π = = = = + + + − + ∫ ∫ ∫ ∫ Đặt cos t x = . Bài tập 14: Tính tích phân ( ) 3 0 sin cos2 sin cos dx x I x x x π = + ∫ Hướng dẫn: Biến đổi ( ) ( ) 3 2 0 sin sin cos cos sin dx x I x x x x π = + − ∫ Xác định A, B: ( ) ( ) 1 1 2 sin sin cos cos sin 0 1 2 A A B x A x x B x x A B B  =  − =   = + + − ⇒ ⇔   + =   = −   Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 4 Suy ra ( )( ) ( ) 3 3 3 3 2 2 0 0 0 0 1 1 1 1 2 sin cos cos sin 2 2 cos 2 4 sin cos sin 4 d d d d x x x x I x x x x x x x x π π π π π = − = − + −   + +     ∫ ∫ ∫ ∫ Bài tập 15: Tính các tích phân sau: a) 3 2 2 0 3sin 8sin cos 5cos d x I x x x x π = − + ∫ b) 3 2 0 sin 2cos 5sin cos d x x I x x x π = + ∫ Hướng dẫn: a) Dạng đẳng cấp bậc 2 theo tan t x = Biến đổi ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 2 2 0 0 0 tan 3sin 8sin cos 5cos 3tan 8tan 5 cos 3tan 8tan 5 d d d x x x I x x x x x x x x x π π π = = = − + − + − + ∫ ∫ ∫ . Đặt tan t x = . b) Dạng đẳng cấp bậc 3 theo cot t x = Biến đổi ( ) ( ) 3 2 2 2 0 sin 2cot 1 cot 5cot dx I x x x x π = + + ∫ . Đặt cot t x = . Bài tập 16: Tính các tích phân sau: a) 2 0 3cos 4sin 5 dx I x x π = + + ∫ b) 2 0 cos 2sin 1 dx I x x π = + + ∫ c) 2 3 3 sin d x I x π π = ∫ d) 2 0 cos sin 1 dx I x x π = + + ∫ e) 2 3 0 tan d I x x π = ∫ f) 4 0 1 tan d x I x π = + ∫ Hướng dẫn: Đặt tan 2 x t = . Lưu ý: 2 2 2 2 2 2 1 tan ; sin ; cos 1 1 1 t t t x x x t t t − = = = − + + Bài tập 17: Tính các tích phân sau: a) 2 0 sin cos d I x x x x π = ∫ b) 2 0 sin 3 cos d x x x I x π = + ∫ c) 3 4 0 sin cos d I x x x x π = ∫ d) 3 0 .sin d I x x x π = ∫ Hướng dẫn: Cách 1: Phương pháp tích phân từng phần Cách 2: Đổi biến dạng 1 Đặt d d t x t x π = − ⇒ = − Lúc đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 2 0 0 0 sin cos sin cos sin cos sin cos d td td td I t t t t t t t t t t t t π π π π π π π π π = − − − − = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ Để ý: 2 2 0 0 sin cos sin cos td d t t t x x x x π π = ∫ ∫ Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 5 Suy ra: ( ) 3 2 2 2 0 0 0 cos 2 sin cos sin cos cos cos 0 2 2 2 3 3 d d d t I t t t I t t t t t π π π π π π π π π = ⇔ = = − = − = ∫ ∫ ∫ Bài tập 18: Tính tích phân 6 2 6 6 0 sin sin cos d x I x x x π = + ∫ Hướng dẫn: Đặt 2 d d t x t x π = − ⇒ = − Lúc đó: 6 0 6 6 2 2 6 6 6 6 6 6 0 0 2 sin cos cos 2 sin cos sin cos sin cos 2 2 d d d t t x I t t x J t t x x t t π π π π π π   −     = − = = = + +    − + −         ∫ ∫ ∫ (1) Mặt khác: 6 6 2 2 6 6 0 0 sin cos sin cos 2 d d x x I J x x x x π π π + + = = = + ∫ ∫ (2) Từ (1) và (2) suy ra: 4 I J π = = . Tương tự: Tính các tích phân sau 2 0 sin sin cos d x I x x x π = + ∫ ; ( ) 2 2 0 sin sin cos d x I x x x π = + ∫ Bài tập 19: Tính tích phân ( ) 2 2 1 ln ln 1 e x x I x x = + ∫ d Hướng dẫn: Cách 1: ( ) 2 2 2 1 ln ln 1 e x x I x x x = + ∫ d . Đặt ( ) ( ) ( ) 2 2 ln 2 ln ln 1 1 1 ln 1 ln 1 u x x u x x x x x v v x x x  = ⇒ = +   = ⇒ = −  + +  d d d d chän Lúc đó: ( ) 2 1 ln 2 ln 1 ln 1 e e x x I x x x x = − + + ∫ d Cách 2: Biến đổi ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 1 1 ln 1 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 e e e x x x x x I x x x I I x x x + − − = = + = + + + + ∫ ∫ ∫ d d d Xét ( ) 1 1 ln 1 ln 1 e x x I x x − = + ∫ d . Đặt ( ) 2 2 ln 1 2 ln 1 ln 1 2 x u u x x x x x x x v v −  = ⇒ =  + +    = ⇒ =   d d d d chän Lúc đó ( ) 2 1 2 2 1 ln 1 1 . 1 2 ln 1 2 ln 1 e e x x x I x I x x − = − = − + + ∫ d . Suy ra 1 2 2 2 1 1 . 2 2 I I I I I   = + = − + =     Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 6 Bài tập 20: Tính tích phân ( ) 2 1 1 ln 1 1 3ln 1 e I x x x x x     = −   + +   ∫ d Hướng dẫn: Biến đổi 1 1 1 ln . ln 1 3ln 1 e e x I x x x x x x = − + + ∫ ∫ d d Bài tập 21: Tính tích phân ( ) 2 2 2 0 2 x x e I x x = + ∫ d Hướng dẫn: Đặt ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 x x u x e u xe x x x v v x x  = ⇒ = +   = ⇒ = −  + +  d d d d chän Lúc đó: 2 2 0 2 0 2 x x x e I xe x x = − + + ∫ d Bài tập 22: Tính tích phân ( ) 3 4 2 1 1 x I x x = + ∫ d Hướng dẫn: Cách 1: Đặt tan x t = Cách 2: Biến đổi ( ) 3 3 3 3 2 2 4 2 2 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x I x x x x x x x x x + − = = − + + + ∫ ∫ ∫ ∫ d d d d Bài tập 23: Tính tích phân 2 0 2 2 x I x x x = − + + ∫ d Hướng dẫn: Cách 1: Đặt ( ) 2 2 2 2 2 4 2 4 4 2 t x x t x t t t x x = − + + ⇒ − = − ⇔ − = − d d Cách 2: Biểu diễn ( )( ) 1 2 2 2 2 2 x x x x x = + + − + − − Bài tập 24: Tính tích phân 1 0 1 1 x I x x = + + + ∫ d Hướng dẫn: Đặt 2 2 4 3 1 1 1 2 2 t t t x x x x t t t   − − = + + ⇒ = ⇒ =     d d Bài tập 25: Tính tích phân 2 3 3 4 1 x x x I x − = ∫ d Hướng dẫn: Biểu biễn: 2 2 3 3 3 4 3 2 1 1 1 1 1 x x x I x x x x − = = − ∫ ∫ d d . Đặt 3 2 3 2 2 3 1 1 2 1 1 3 t t t t x x x x = − ⇒ = − ⇔ = − d d Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 7 Bài tập 26: (THTT 2012) Tính các tích phân sau: a) 2 1 2 1 1 ln ln d e e I x x x   = −     ∫ b) 2 2 1 2 ln ln d e e I x x x   = +     ∫ Hướng dẫn: a) 2 2 2 / // 1 2 2 1 1 1 1 ln ln ln ln d d d e e e e e e I x x x I I x x x x   = − = − = +     ∫ ∫ ∫ Tính 2 // 1 ln d e e I x x = ∫ . Đặt 2 1 1 1 . ln ln d d d d chän u u x x x x x v v x  = ⇒ = −    = ⇒ =  Suy ra: 2 2 2 2 // / 2 1 1 2 ln ln ln 2 d d e e e e e e x e e I x x I x x x − = = + = + ∫ ∫ Lúc đó: 2 2 / / 1 2 2 2 2 e e e e I I I   − − = − + =     . b) 2 2 2 / // 2 1 1 2 ln 2 ln ln ln d d d e e e e e e I x x x x x I I x x   = + = + = +     ∫ ∫ ∫ Tính 2 / 2 ln d e e I x x = ∫ . Đặt 1 1 2 ln . ln d d d d chän u x u x x x x v v x  = ⇒ =    = ⇒ =  Suy ra: 2 2 2 / 2 // 1 1 2 ln 2 2 2 ln ln d d e e e e e e I x x x x e e I x x = = − = − − ∫ ∫ Lúc đó: ( ) ( ) 2 // // 2 1 2 2 2 2 2 1 I e e I I e = − − + = − . Bài tập 27: (THTT 2013) Tính tích phân ( ) 1 2 1 1 ln ln ln d e x I x x x = + + ∫ Hướng dẫn: Ta có: ( ) ( ) 1 2 2 1 1 1 1 ln ln 1 ln ln ln d ln d e e x I x x x x x x x = + + = + + ∫ ∫ Đặt 1 ln d d t x t x x = ⇒ = ( ) 1 2 0 1 ln d I t t t ⇒ = + + ∫ Đặt ( ) 2 2 1 1 1 ln d d d d chän u t t u t t t v v t  = + + ⇒ =  +   = ⇒ =  ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 0 0 0 1 ln 2 1 1 ln 2 1 2 1. 1 ln d t I t t t t t t ⇒ = + + − = + − + = + − + + ∫ Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 8 Bài tập 28: Tính tích phân ( )( ) 1 2 1 1 1 1 d x I x e x − = + + ∫ Hướng dẫn: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 0 1 2 2 2 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 d d d x x x I x x x e x e x e x − − = = + + + + + + + ∫ ∫ ∫ Xét ( )( ) 0 2 1 1 1 1 d x J x e x − = + + ∫ . Đặt d d t x t x = − ⇒ = − Ta có: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 1 1 2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 d d d t x t t x e e J t t x e t e t e x − = − = = + + + + + + ∫ ∫ ∫ Lúc đó: ( )( ) ( )( ) 1 1 1 2 2 2 0 0 0 1 1 . 1 4 1 1 1 1 d d d x x x e I x x x x e x e x π = + = = = + + + + + ∫ ∫ ∫ Bài tập 29: Xác định nguyên hàm của hàm số ( ) tan .tan .tan 3 3 π π f x x x x     = + −         Hướng dẫn: Biến đổi ( ) 2 2 2 3 sin .sin .sin sin cos cos2 sin 2sin 3 3 3 2 2 3 cos .cos .cos cos . cos cos2 cos . 2cos 3 3 3 2 π π π x x x x x x x f x π π π x x x x x x x         + − − −                 = = =         + − + −                 3 3 4sin 3sin sin3 tan3 4cos 3cos cos3 x x x x x x x − = = − = − − Bài tập 30: Tính tích phân 3 2 2 1 ln 1 d x I x x + = ∫ Hướng dẫn: Đặt 2 2 2 ln 1 1 1 1 d d d d chän x u x u x x x v v x x  = + ⇒ =   +   = ⇒ = −   Lúc đó: 3 3 2 2 1 1 ln 1 1 3 2 ln 2 2 2 3 1 d x I x x x π + − = − + = = + + ∫ . Bài tập 31: Tính tích phân 33 6 3 0 cos cos cos d x x I x x π − = ∫ Hướng dẫn: Biến đổi 3 33 6 6 6 3 3 3 2 3 2 2 0 0 0 cos cos 1 cos cos 1 1 1 cos cos cos cos cos d d d x x x x I x x x x x x x x π π π − − = = = − ∫ ∫ ∫ Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 9 ( ) 6 6 6 / 3 3 0 0 3 tan tan tan tan . 5 d dx x x x x π π = = = = ∫ ∫ Bài tập 32: Tính tích phân 4 2 4 4 4 sin sin cos d x I x x x π π = + ∫ Hướng dẫn: Dùng kỹ thuật tích phân liên kết. Xét 4 2 4 4 4 sin sin cos d x I x x x π π = + ∫ và 4 2 4 4 4 cos sin cos d x J x x x π π = + ∫ . Ta có: 2 4 4 d π π π I J x + = = ∫ . (1) Mặt khác, ta xét: 4 4 2 2 2 4 4 2 2 4 4 4 sin cos cos2 2cos2 1 sin cos 2 sin 2 1 sin 2 2 d d d x x x x I J x x x x x x x π π π π π π − − − − = = = + − − ∫ ∫ ∫ ( ) 2 2 4 sin 2 1 ln 3 2 2 2 sin 2 2 2 d x x π π = − = = − − − ∫ (2) Từ (1), (2) suy ra: ( ) 1 ln 3 2 2 8 4 2 I π = − − . Bài tập 33: Tính tích phân 3 2 2 1 1 d x I x x + = ∫ Hướng dẫn: Cách 1: Đặt tan x t = Cách 2: Tích phân từng phần Đặt 2 2 2 1 1 1 1 d d d d chän x u x u x x x v v x x  = + ⇒ =   +   = ⇒ = −   Lúc đó: 3 3 3 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 1 d d d x x I x x x x x x x + + = = − + = − + + + ∫ ∫ ∫ . Để ý rằng: ( ) / 2 2 1 ln 1 1 x x x   + + =     + ( ) ( )( ) 3 2 1 2 2 2 ln 1 2 ln 2 3 2 1 . 3 3 I x x ⇒ = − + + + = − + + − Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 10 Bài tập 34: Tính tích phân 2 3 4 cos sin d x x I x x π π = ∫ Hướng dẫn: Đặt 3 2 cos 1 sin 2sin d d d d chän u x u x x x v v x x = ⇒ =    = ⇒ = −   Lúc đó: 3 2 2 2 2 1 4 4 1 1 1 cot 2sin 2sin 4 4 2 2 d x I x x x x π π π π π π     = − + = − − + − =         ∫ . Bài tập 35: Tính tích phân ln16 4 0 1 1 d x x e I x e + = + ∫ Hướng dẫn: Đặt 4 3 4 4 4 4 d d d d d x x x t e t e t t e x t x x t t = ⇔ = ⇔ = = ⇔ = Suy ra: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 4 4 1 4 ln 2ln 2 4 1 3ln 2 2ln3 . 1 1 d d t I t t t t t t t t t +   = = + − = + − + = + −   + +   ∫ ∫ Bài tập 36: Tính tích phân ( ) 1 0 ln 1 1 d e x x I x x − + = + ∫ Hướng dẫn: Biến đổi ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 0 0 1 1 ln 1 ln 1 ln 1 1 1 d d d e e e x x x I x x x x x x − − −  + −  + +   = = + − + + ∫ ∫ ∫ Bài tập 37: Tính tích phân ( ) 4 2 0 1 1 1 2 d x I x x + = + + ∫ Hướng dẫn: Đặt ( ) 1 1 2 1 1 2 d d d d x t x t x t t x = + + ⇒ = ⇒ = − + và 2 2 2 tt x − = I = ( ) ( ) 2 4 4 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 4 2 1 4 2 3 2 2 2 d d d t t t t t t I t t t t t t t t − + − − + −   = = = − + −     ∫ ∫ ∫ = 4 2 2 1 2 1 3 4ln 2ln 2 2 2 4 t t t t   − + + = −     Bài tập 38: Xác định nguyên hàm của hàm số ( ) 3 5 1 sin .cos f x x x = Hướng dẫn: Ta có: 3 3 2 3 2 8 sin .cos .cos sin 2 .cos d dx x I x x x x x = = ∫ ∫ Đặt tan t x = 2 2 2 ; sin 2 cos 1 d d x t t x x t ⇒ = = + [...]... (THTT 2013) Tính tích phân I =∫ x 2e 1 π  ,0 < ϕ <  2  ln x x 3 +1 dx Hướng dẫn: e Phân tích: I = ∫ 1 x 2e ln x x3 e +1 e dx = ∫ Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 1 ln x x e dx + ∫ 1 e 1 dx = ∫ e x3 1 16 e ln x d ln x + ∫ x −3dx 1 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014 e Bài tập 53: (THTT 2013) Tính tích phân I =∫ 1 ln x − 1 dx x 2 − ln 2 x Hướng dẫn: e Phân tích: I =... (THTT 2013) Tính tích phân 2 I = ∫ 1 − 3 sin 2 x + 2cos 2 xdx 0 Hướng dẫn: π π 2 Phân tích: I = ∫ 0 ( sin x − ) 2 2 3 cos x dx = ∫ sin x − 3 cos x dx 0 π  π Trong 0;  : sin x − 3 cos x = 0 ⇔ x = 3  2 π Do đó: I = π 3 2 ∫ ( sin x − ) 3 cos x dx + 0 ∫ ( sin x − ) 3 cos x dx = 3 − 3 π 3 Bài tập 55: (THTT 2013) Tính tích phân 1  x  I = ∫  xe − x + dx x +1 0 Hướng dẫn: 1 1 0 0 Phân tích: I =... ) Đặt t = sin x − cos x ⇒ dt = ( cos x + sin x ) dx Tính được kết quả: I = π 6 −3 I= Bài tập 50: Tính tích phân 1 ∫ ( x + 1)( x + 2 ) dx −4 Hướng dẫn: Phân tích: 1 ( x + 1)( x + 2 ) = 2 1 − ( x + 1) − ( x + 2 ) = − ( x + 1) − − ( x + 2 ) 2 − ( x + 1) − ( x + 2 ) Hoặc: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 15 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014 Đặt t = − ( x + 1) + − (... = 2 − − 1 e +1 ( x + 2 ) ( 2 + ln x ) + x ln 2 x dx Tương tự: (Thi thử ĐH 2013) Tính tích phân: I = ∫ 2 x ( x + 2 ) ln x 2 e cos 2 x + x cos 2 x ln x + ln ( ex ) dx Bài tập 61: (Thi thử ĐH 2013) Tính tích phân I = 2 3 ∫ 1 1 + x ln x Hướng dẫn: e e cos 2 x (1 + x ln x ) + 1 + ln x 1 + ln x dx = ∫ cos 2 xdx + ∫ dx Phân tích: I = I = ∫ 1 + x ln x 1 + x ln x 1 1 1 e e 1 2 e Với ∫ cos2 xdx = sin 2 x =... − 4et 0 = 5 − e 0 e Bài tập 62: (Thi thử ĐH 2013) Tính tích phân I =∫ 1 x ln x + ln ( xe 2 ) x ln x + 1 dx Hướng dẫn: e e e x ln x + 1 + ln x + 1 ln x + 1 dx = ∫ dx + ∫ dx x ln x + 1 1 1 1 x ln x + 1 e d ( x ln x + 1) e e = x 1 +∫ = e − 1 + ln x ln x + 1 1 = e − 1 + ln ( e + 1) x ln x + 1 1 Phân tích: I = ∫ e2 Bài tập 63: (Thi thử ĐH 2013) Tính tích phân I= ∫ 1 ln 2 x − ln x 2 + 1 dx x2 Hướng dẫn:... +1 0 π 4 Bài tập 39: Tính tích phân ∫π I= − sin x 1 + x2 + x dx 4 Hướng dẫn: π I= π 4 4 ∫π − sin x 1 + x2 + x dx = ∫π − 4 π 4 2 1 + x sin xdx + ∫π x sin xdx = I 1 − 4 + I2 4 π 4 ∫π + Tính I1 = − 1 + x 2 sin xdx 4 Đặt x = −t ta có: − I1 = π π 4 4 ∫ π π 4 1 + t sin tdt = − ∫ 1 + t sin tdt = − ∫ 1 + x 2 sin xdx = − I1 ⇔ I1 = 0 2 − 4 2 π − 4 π 4 π + Tính I 2 = 4 ∫π x sin xdx Tích phân từng phần − 4 Giáo... 2e − sin 2 ) + ln (1 + e ) 2 Với 1 Bài tập 61: (Thi thử ĐH 2013) Tính tích phân I = ∫ ( 8 x3 − 2 x )e x dx 2 0 Hướng dẫn: 1 1 Phân tích: I = ∫ ( 8 x3 − 2 x )e x dx = ∫ ( 4 x 2 − 1)e x 2 xdx 0 2 2 2 0 Đặt t = x ⇒ dt = 2 xdx và x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = 1 19 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014 1 Ta có I = ∫ ( 4t − 1) et dt 0 Đặt u... Hướng dẫn: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 17 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN π Luyện thi Đại học 2014 π π 2 1 x x 2 x sin 2 x cos 2 x  2 Phân tích: I = ∫ 2 dx + ∫ x sin 2 xdx =  ln ( x 2 + 1) + − − 4 4 4 0 0 x +1 0 2  2 1  π2  π2 1 = ln 1 +  + + 2  4  16 4 π Bài tập 57: (THTT 2013) Tính tích phân e x dx 2 I=∫ 0 (e x − 9 ) 3e x − 2 Hướng dẫn: Đặt t = 3e x − 2 2 2 dt 1 t −5... 4 ln t +  = 2 ln 2 − t 2 2 4 e Bài tập 59: (Thi thử ĐH 2013) Tính tích phân I =∫ 1 Hướng dẫn: e Phân tích: I = ∫ 1 (x 4 (x 4 + 1) ln x + 2 x 3 + 1 dx 2 + x ln x e e + 1) ln x + 2 x 3 + 1 1 + ln x dx = ∫ x 3 dx + ∫ dx = A + B 2 + x ln x 2 + x ln x 1 1 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 18 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN e A = ∫ x 3 dx = 1 e 4 e x 4 = 1 Luyện thi Đại học 2014 e4 − 1 4... tập 41: Tính tích phân I= ∫ (10e ln 2 dx −x − 1) e x − 1 Hướng dẫn: ln 5 Biến đổi I = ∫ (10e ln 2 ln 5 dx −x − 1) e x − 1 = e x dx ∫ (10 − e ) ln 2 x ex −1 Đặt t = e x − 1 ⇔ t 2 = e x − 1 ⇔ 2t dt = e x dx 2 2 2tdx 2 dx 1 t −3 Suy ra: I = ∫ =∫ = − ln 2 2 9−t 3 t +3 1 (9 − t ) t 1 2 1 1 1 1 2 1 5 = − ln + ln = ln 3 5 3 4 3 2 π  cos  x −  4  I=∫ dx 4 − 3sin 2 x 0 π 4 Bài tập 42: Tính tích phân Hướng . Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 1 MỘT SỐ KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN ĐẶC SẮC: Bài tập 1: Tính tích phân 4 0 cos 2 sin 2 dx I x. Tính 4 2 4 sin d I x x x − = ∫ π π . Tích phân từng phần Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 12 Bài tập 40: Tính tích phân. HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 17 Bài tập 53: ( THTT 2013 ) Tính tích phân 2 2 1 ln 1 d ln e x I x x x − = − ∫ Hướng dẫn: Phân tích: