CÁC kỹ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN THƯỜNG DÙNG WWW DAYHOCTOAN VN

CÁC kỹ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN THƯỜNG DÙNG WWW DAYHOCTOAN VN CÁC kỹ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN THƯỜNG DÙNG WWW DAYHOCTOAN VN CÁC kỹ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN THƯỜNG DÙNG WWW DAYHOCTOAN VN CÁC kỹ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN THƯỜNG DÙNG WWW DAYHOCTOAN VN CÁC kỹ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN THƯỜNG DÙNG WWW DAYHOCTOAN VN

Các kỹ thuật tính tích phân thường dùng GV: Nguyễn Đắc Tuấn-THPT Vinh Lộc CÁC KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN THƯỜNG DÙNG WWW.DAYHOCTOAN.VN Thơng thường ta gặp loại tích phân sau: Loại 1: Tích phân hàm số đa thức phân thức hữu tỷ Loại 2: Tích phân hàm số chứa thức Loại 3: Tích phân hàm số lượng giác Loại 4: Tích phân hàm số mũ logarit I Phương pháp biến đổi trực tiếp: Dùng công thức biến đổi tích phân đơn giản áp dụng b  f  x  dx  F  x   F b  F  a  b a a e2 x2  2x x  3x  4 x  3x  dx; B   dx; C   dx; Ví dụ Tính: A   x3 x 3 x 1 Biến đổi nhờ cơng thức lượng giác Ví dụ Tính: A     2   cos3x.cos5 xdx; B      0 sin x.sin x dx; C     cos3x.sin xdx; D   sin xdx; E   sin xdx; F   tan x dx; Biến đổi biểu thức vi phân vào vi phân A    x  1 dx; B   1 F  e 1 x2  x  1 dx; C   3x  dx; D   1    4  1 dx; E   x  xdx; x 1  x 1 e ln sin  ln x  ex s inx K  dx ; L  dx; dx; x   x  e  3cos x 1 xdx; G   t anx.dx; H   cotx.dx; I   ln M 1 e  1 e x x x e dx; e  e x dx; I   x b Biến đổi nhờ việc xét dấu biểu thức f(x) giá trị tuyệt đối để tính  f  x  dx a 2 3 0 Ví dụ Tính: A   x  x  dx; B   x  x3 dx; C   x  dx; D    cos x dx;  E    sin x dx; The best is still ahead Try to win! WWW.DAYHOCTOAN.VN Trang số Các kỹ thuật tính tích phân thường dùng GV: Nguyễn Đắc Tuấn-THPT Vinh Lộc II Phương pháp đổi biến số: Phương pháp đổi biến số dạng 1: b Giả sử cần tính tích phân: I   f  x  dx ta thực bước sau: a Bước 1: Đặt x  u  t  Bước 2: Lấy vi phân dx  u '  t  dt biểu thị f  x  dx theo t dt Chẳng hạn f  x  dx  g  t  dt Bước 3: Đổi cận x  a u  t   a  t   ; x  b u  t   b  t   b Bước 4: Biến đổi I   g  t  dt (tích phân đơn giản tích phân lúc đầu phép biến đổi có ý nghĩa) a Một số dạng thường dùng đổi biến số dạng 1:      A2  x đặt x  A sin t  t    ;   đặt x  Acos t  t   0;     2  Dạng Nếu hàm số có chứa Chú ý Nếu hàm số chứa a  bx  b a  b2 x ta thường đặt x  Nếu hàm số dấu tích phân chứa Ví dụ Tính: I   2  x2 dx; x2 J  Dạng Nếu tích phân có chứa * Nếu tích phân có chứa   a 2     a, b   đặt  x    b     x2 4 x a sin t b dx; K   x  3x dx; I  2 b2 x  a ta thường đặt x   x x2 1 dx; a b sin t a x  a  bx  ta thường đặt x  sin t b      Dạng Nếu tích phân có chứa  x  x ta đặt x  tan t ,  t    ;     2  x  cot t ,  t   0;    Chú ý: * Nếu gặp tích phân chứa a  bx a  bx  a   b 2  1   x   ta đặt   a     * Nếu tích phân có chứa   b 2  a  bx ta viết: a  bx  a 1   x     a     2 b       x  tan t ,  t   ;   a   2  a  b x a  b2 x ta thường đặt x   The best is still ahead Try to win! a tan t b WWW.DAYHOCTOAN.VN Trang số Các kỹ thuật tính tích phân thường dùng GV: Nguyễn Đắc Tuấn-THPT Vinh Lộc 3 Ví dụ Tính: I   dx; J  1 x x 1 1 x dx; K   dx; x  x 1 ax ax Dạng Nếu tích phân có chứa  cos2t  2sin t;  cos2t  2cos t ax   ta đặt x  a cos 2t , t   0;  lưu ý vận dụng ax  2 Ví dụ Tính I  2 1 x dx; 1 x  Phương pháp đổi biến số dạng 2: b Giả sử cần tính tích phân I   f  x  dx ta thực bước sau: a Bước 1: Đặt t  u  x  Bước 2: Lấy vi phân dx  u '  t  dt biểu thị f  x  dx  g  t  dt Bước 3: Đổi cận Khi x  a  u  t   a  t   ; x  b  u  t   b  t   ;  Bước 4: Biến đổi I   g  t  dt (tích phân dễ tính phép đổi biến có ý nghĩa)  Dạng Nếu hàm số chứa thức Chú ý Nếu tích phân chứa n n   x  đặt t  n   x   t n    x   n.t n1.dt   '  x  dx   x  ; m   x  đặt t  m.n   x  Ví dụ Tính tích phân: 4x  dx; J   x  1 I   x3  x2 dx; K   1 x  x2  N  1 L 1 x  x3 dx; M   x5  x3 x2  dx;   2 sin x  s inx cos3x  s in2x sin x dx ; P  dx ; Q  dx ; R  dx;    9x 1  9x 1  3cos x  3s inx cos x  4sin x 0 ln x  3ln x S dx; T  x e dx; e   ln x dx; U  x  ln x 2ln  dx ; V  dx ln ; W  ex ex 1 dx ex  3 x ex  0 1 e  x  x Dạng Nếu hàm số chứa đại lượng s inx, cos x, tan   đặt t  tan   2 2 2t 1 t sin t  , cos x  1 t 1 t2    x tan cos x dx; K  Ví dụ Tính: I   dx; J   dx;  cos x  5sin x  3cos x  c os2 x  sin x  0 The best is still ahead Try to win! ln WWW.DAYHOCTOAN.VN Trang số Các kỹ thuật tính tích phân thường dùng GV: Nguyễn Đắc Tuấn-THPT Vinh Lộc   sin  x   4  K dx; sin x  1  s inx  cos x   Dạng Dựa vào đặc điểm hai cận tích phân a Nếu tích phân có dạng I   f  x  dx ta viết I  a  a a f  x  dx   f  x  dx Đặt t  x để biến đổi 0 I  f  x  dx a  Nếu tích phân có dạng I   f  x  dx ta đặt t    x; 2 Nếu tích phân có dạng I   f  x  dx ta đặt t  2  x;  Nếu tích phân có dạng I   f  x  dx ta đặt t  b   x; Nếu tích phân có dạng I   f  x  dx ta đặt t   a  b   x a  x sin x dx;  cos x Ví dụ Tính: I   x 2008 sin xdx; J  1 Dạng Nếu tích phân có chứa ax  bx  c  a   ta đặt t  a x  ax  bx  c sau tính x theo t tính dx theo t dt (Phép Ơ le) 1 dx dx Ví dụ Tính: I   ; J  2 x  x 1 9x  2x 1 0 Dạng b (i) Khi gặp tích phân dạng: I   sin n x.dx a *Nếu n chẵn ta hạ bậc *Nếu n lẻ ta đặt t  sinx b (ii) Khi gặp tích phân dạng: I   cos n xdx a *Nếu n chẵn ta hạ bậc *Nếu n lẻ ta đặt t  cos x b (iii) Đối với tích phân I   sin n x.cos m x.dx ta có trường hợp sau: a *Nếu n chẵn, m lẻ ta đặt t  sin x The best is still ahead Try to win! WWW.DAYHOCTOAN.VN Trang số Các kỹ thuật tính tích phân thường dùng GV: Nguyễn Đắc Tuấn-THPT Vinh Lộc *Nếu n lẻ, m chẵn ta đặt t  cos x  x (iv) Ngoài cách ta lưu ý gặp tích phân I   R  sin x, cos x  dx ta đặt t  tan   ta 2 a chuyển tích phân cho tích phân hàm hữu tỉ b b b a a (V) Khi gặp tích phân dạng I   f  tan x  dx (hoặc J   f  cotx  dx ) Ta đặt t  tan x (hoặc đặt t  cot x ) III Phương pháp phần: b Giả sử cần tính tích phân I   f  x  dx Khi ta thực phép tính: a b b a a Bước 1: Viết tích phân dạng: I   f  x  dx   g  x  h  x  dx  du  g '  x  dx  u  g  x  Bước 2: Đặt  dv  h  x  dx, v   h  x  dx   b b Bước 3: Áp dụng công thức: I   u.dv  u.v a   v.du b a a Đối với tích phân phần em cần lưu ý đặt u theo thứ tự ưu tiên sau: “Nhất ln, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” Dạng 10 du  P '  x  dx u  P  x    * Nếu tích phân có dạng I   P  x  sin  x.dx ta đặt  cos  x dv  sin  x dx   a v   a  b du  P '  x  dx u  P  x    *Nếu tích phân có dạng I   P  x  cos  x.dx ta đặt  cos  x dv  sin  x dx   a v     b du  P '  x  dx u  P  x    *Nếu tích phân có dạng I   P  x  e dx ta đặt  e x x dv  e dx v  a     b  x  2 0 Ví dụ Tính I    3x  1 sin xdx; J    x  1 cos xdx; K    x  x  1 e3 x dx; L   sin x dx Dạng 11 The best is still ahead Try to win! WWW.DAYHOCTOAN.VN Trang số Các kỹ thuật tính tích phân thường dùng GV: Nguyễn Đắc Tuấn-THPT Vinh Lộc du   cos x.dx u  sin  x  * Nếu tích phân có dạng I   e sin  x.dx ta đặt   e x x dv  e dx v  a   b x du    sin  x.dx u  cos x  * Nếu tích phân có dạng I   e cos x.dx ta đặt   e x x dv  e dx v   a    b x    Ví dụ Tính: I   e sin 3x.dx; J   e cos2 x.dx; K   e x cos x.dx 2x 2x 0 Dạng 12  P ' x dx u  ln  P  x   du  P  x * Nếu tích phân có dạng I   ln  P  x   Q  x  dx ta đặt   a dv  Q  x  dx v  Q x dx     b Ví dụ Tính: I   x.ln  x  1 dx; J   ln  x  1 x   ln  s inx  ln x dx; K   x.ln x.dx; L   dx; M   dx; x  c os x 1 e 2 IV Phương pháp tìm hệ số bất định cách đồng thức: b P  x Khi gặp tích phân: I   dx với P  x  , Q  x  đa thức x Q  x a Bước 1: Nếu bậc P  x   bậc Q  x  ta lấy P(x) chia cho Q(x) thương A(x) dư R(x), tức là: P  x   Q  x  A  x   R  x  , với bậc R  x   bậc Q  x  b b P  x R  x R  x Suy ra:  A x   I   A  x  dx   dx Q  x Q  x Q  x a a b R  x dx, với bậc R  x   bậc Q  x  Q  x Có thể xảy khả sau: Khả 1: Với Q  x   ax  bx  c,  a   bậc R  x    R  x   M x  N Bước 2: Ta tính J   a R  x M x  N  Q  x  ax  bx  c TH1: Q  x  có hai nghiệm x1, x2, tức là: Q  x   a  x  x1  x  x2  Chọn số A, B cho: R  x M x  N A B    Q  x  a  x  x1  x  x2  x  x1 x  x2 TH2: Q  x  có nghiệm kép x0 , tức là: Q  x   a  x  x0  Chọn số A, B cho: R  x  Mx  N A B    Q  x  a  x  x0  x  x0  x  x0 2 The best is still ahead Try to win! WWW.DAYHOCTOAN.VN Trang số Các kỹ thuật tính tích phân thường dùng GV: Nguyễn Đắc Tuấn-THPT Vinh Lộc TH3: Q  x  vô nghiệm Chọn số cho: R  x   A.Q '  x   B R  x  A.Q '  x  B   Q  x Q  x Q  x Khả 2: Với Q  x   ax3  bx  cx  d ,  a   bậc R  x   TH1: Q  x  có ba nghiệm x1, x2, x3 tức là: Q  x   a  x  x1  x  x2  x  x3  Chọn số A, B, C cho: R  x R  x A B C     Q  x  a  x  x1  x  x2  x  x3  x  x1 x  x2 x  x3 TH2: Q  x  có nghiệm đơn x1, có nghiệm kép x0 , tức là: Q  x   a  x  x1  x  x0  Chọn số A, B, C cho: R  x R  x A B C     Q  x  a  x  x1  x  x0  x  x1 x  x0  x  x0 2 TH3: Q  x  có nghiệm x0 (bội 3), tức là: Q  x   a  x  x0  Chọn số A, B, C cho: R  x R  x A B C     Q  x  a  x  x0  x  x0  x  x0   x  x0 3 TH4: Q  x  có nghiệm đơn x1,, tức là: Q  x    x  x1   ax   x    (trong     4  0) Chọn số A, B, C cho: R  x R  x A Bx  C    Q  x   x  x1   ax   x    x  x1 ax   x   Khả 3: Với bậc Q  x   thơng thường ta gặp Q(x) biểu thức đơn giản như: x  1; x  x  1; x6  1 x2  x  1 x dx ; J   dx Ví dụ Tính: I   dx; K   x  3x  x  3x x  x 1 1 0  a sin x  b cos x dx  c, d   ta viết: TS  A  MS   B  MS  ' , tức chọn A, B c sin x  d cos x  Khi gặp tích phân I   a sin x  b cos x  A  c.s inx  d cos x   B  c sin x  d cos x  ' cho: đặt 2t 1 t x t  tan    s inx  ;cos t  1 t 1 t2 2  3sin x  5cos x dx; s inx  cos x Ví dụ Tính: I   The best is still ahead Try to win!  J  3sin x  cos x  s inx  cos x  dx; WWW.DAYHOCTOAN.VN Trang số Các kỹ thuật tính tích phân thường dùng GV: Nguyễn Đắc Tuấn-THPT Vinh Lộc  Khi gặp tích phân I    a sin x  b cos x  m dx  c, d   ta viết TS  A  MS   B  MS  ' C Chọn A, c s inx  d cos x  n B, C cho: a sin x  b cos x  m  A  c sin x   d cos x  n   B  c sin x  d cos x  m  ' C 2t 1 t2 x ;cos t  Hoặc đặt t  tan    s inx  1 t2 1 t2 2  Ví dụ Tính: I   7sin x  cos x  dx; 4sin x  3cos x  The best is still ahead Try to win! WWW.DAYHOCTOAN.VN Trang số ...  b2 x ta thường đặt x   The best is still ahead Try to win! a tan t b WWW. DAYHOCTOAN. VN Trang số Các kỹ thuật tính tích phân thường dùng GV: Nguyễn Đắc Tuấn-THPT Vinh Lộc 3 Ví dụ Tính: I ...  Ví dụ Tính: I   dx; J   dx;  cos x  5sin x  3cos x  c os2 x  sin x  0 The best is still ahead Try to win! ln WWW. DAYHOCTOAN. VN Trang số Các kỹ thuật tính tích phân thường dùng GV:... với tích phân I   sin n x.cos m x.dx ta có trường hợp sau: a *Nếu n chẵn, m lẻ ta đặt t  sin x The best is still ahead Try to win! WWW. DAYHOCTOAN. VN Trang số Các kỹ thuật tính tích phân thường