Toán tử tích phân và ứng dụng

Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khóa luận trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo tổ Giải tích - khoa Toán - trường ĐHSP Hà Nội động viên giúp đỡ em suốt q trình làm khóa luận Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn Ts.Nguyễn Văn Hùng tạo điều kiện tốt bảo tận tình để em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Do thời gian kiến thức có hạn nên vấn đề trình bày khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến đóng góp q báu thầy bạn sinh viên Một lần em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Nguyễn Thị Hồng Nhung GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T Hồng Nhung K32E LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp em hồn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo Ts.Nguyễn Văn Hùng với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu, em kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Nguyễn Thị Hồng Nhung MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời cam đoan Lời mở đầu Chƣơng 1: Một số kiến thức sở 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian định chuẩn 1.3 Không gian Hilbert 1.4 Không gian 1.5 Không gian 16 C[a;b ] 22 Lp [a ;b ] 25 Chƣơng 2: 30 Tốn tử tích phân 30 2.1 Tốn tử tích phân với hạch liên tục 30 2.2 Tốn Tử tích phân với hạch bình phương khả tích 32 2.3 Tốn tử tích phân khơng gian 2.4 Tốn tử tích phân khơng gian C[a;b ] 33 Lp [a ;b ] 35 2.5 Tốn tử tích phân Fredholm 43 Chƣơng 3: 45 Ứng dụng giải phương trình tích phân 45 3.1 Khái niệm phương trình tích phân tuyến tình 45 3.2 Giải phương trình tích phân tuyến tính 47 3.2.1 Phương pháp xấp xỉ dần Hạch lặp 47 3.2.2 Phương pháp nhân suy biến 57 3.2.3 Phương trình tích phân với nhân khơng suy biến 65 Kết luận 76 Tài liệu tham khảo 77 LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết hàm Giải tích hàm mơn lý thuyết đời phát triển từ năm đầu kỷ XX tích lũy nội dung phong phú, phương pháp kết mẫu mực, Giải tích hàm xâm nhập vào tất ngành tốn học có liên quan sử dụng đến công cụ giải tích Vì lẽ Giải tích hàm trở thành nơi gặp gỡ nhiều ngành khoa học lý thuyết ứng dụng như: lý thuyết phương trình vi phân_tích phân, điều khiển tối ưu, lý thuyết toán cực trị Phương pháp Giải tích hàm tiền đề hóa tính chất đặc trưng tập hợp số thực thành không gian tương ứng mở rộng vấn đề giải tích cổ điển vào khơng gian Vì vậy, việc học nắm vững môn học cần thiết sinh viên khoa toán Tuy nhiên kiến thức lớp với thời lượng eo hẹp, với mẻ khó mơn học làm cho việc tiếp thu kiến thức Giải tích hàm trở nên khơng dễ dàng với sinh viên khoa tốn Do để nắm vững kiến thức Giải tích hàm, đồng thời tâm vào nghiên cứu khoa học, hướng dẫn tận tình thầy giáo Ts.Nguyễn Văn Hùng, em chọn đề tài: “ Tốn tử tích phân ứng dụng giải phƣơng trình tích phân ” để làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu Giải tích hàm, đặc biệt lý thuyết toán tử Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số sở lý thuyết liên quan đến tốn tử tích phân, tính chất tốn tử tích phân, ứng dụng tốn tử tích phân vào giải phương trình tích phân Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp đọc sách Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Phương pháp phân tích sản phẩm Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức sở Chương 2: Tốn tử tích phân Chương 3: Ứng dụng giải phương trình tích phân Chƣơng 1.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 Không gian metric tập hợp Χ khác rỗng với ánh xạ d từ tích Descartes Χ vào tập hợp số thực  , thỏa mãn tiên đề sau: × Χ 1) (∀x, y ∈ Χ ) d ( x, y) ≥ 0, (tiên đề đồng nhất) d ( x, y ) = ⇔ x = y (∀x, y ∈Χ) 2) d ( x, y ) = d ( y, x ) ⇔ x= y (∀x, y, z ∈Χ ) 3) ( x, y ) ≤ d ( z ) + d ( z, y ) d Ánh xạ d gọi metric Χ , số (tiên đề đối xứng) x, (tiên đề tam giác) d ( x, gọi khoảng cách y) hai phần tử x y Các phần tử Χ gọi điểm, tiên đề 1), 2), 3) gọi tiên đề metric Khơng gian metric kí hiệu Μ = ( Χ, d ) • Sự hội tụ không gian metric Định nghĩa 1.1.2 = (Χ, d ) , dãy điểm ⊂ Χ , điểm Cho không gian metric Μ ( xn ) x0 ∈ Χ Dãy điểm ( xn ) gọi hội tụ tới điểm x0 không gian Μ n → nếu: ( ( ∀ε > ∞, ) * )( ) ( ) ∃n0 ∈ Ν d xn , x0 < ε ∀n ≥ n0 Kí hiệu: lim x = hay xn → n x0 x0 ( n → ∞ ) n→∞ Điểm x0 gọi giới hạn dãy ) ( xn không gian Μ Nhận xét: Nếu hai dãy điểm ( xn ) , hội tụ tương ứng tới x ( yn ) y n →∞ : lim n →∞ d (xn , yn ) = d (x, y ) • Không gian metric đầy Định nghĩa 1.1.3 = (Χ, d ) Dãy điểm ⊂ Χ gọi dãy Cho không gian metric Μ ( Μ , nếu: ( )(  * xn ) )( ∀ε > ∃n0 ∈∀n, m ≥ n0 hay ) ( ) d xn , xm < ε lim d ( x , xm ) = n m,n→∞ Dễ thấy dãy điểm (xn ) ⊂ Χ hội tụ Μ dãy Điều khẳng định ngược lai không Định nghĩa 1.1.4 Không gian metric Μ = (Χ, d ) gọi không gian đầy dãy không gian hội tụ • Nguyên lý Banach ánh xạ co Định nghĩa 1.1.5 Cho hai không gian metric Μ1 = ( Χ, d1 ) , c = ∫ (1.3) s ϕ (s)d s Thay (1.3) vào (1.2) ta có: x3 c + ϕ (x) = cos x xc1 − Thay (1.4) vào (1.3) ta được: (1.4) π c2   s + cos s ds c1 = ∫ s  sc1 −   = c1 π π π 2 c2 ∫ s ds − = π π c 24 3 c2 = ∫ s  sc −  c2 s.cos sds 0 960 π π + c − ∫ s ds + ∫ −1  s + cos s ds π s ds − c2 = c1 ∫  π π ∫ cos sds 2 + ∫ s ds s π c π π = − 3π + 160 − c + 5376  π π π c = c1 − c2 + −1 Vậy ta có hệ:   24 960  π π π Suy  c2 = 5376 160 + c2 c1 − − 3π +  c1 ≈ 4.8631  ≈ 6.2442 Vậy nghiệm gần (1.1) là: ϕ(x) ≈ 4.8631x − 6.2442x3 + cos x Ví dụ 2: Giải phương trình ϕ(x) = ∫ xs e ϕ (s)ds + (2.1) Lời giải: + r(x, s) x = + x e s xs + s2 e xs ≈ + x s Suy xs + Ta có Khi phương trình (2.1) trở thành: 2 x s   ϕ (x) = ϕ (s)ds +1 + xs +  ∫  0 1 0 ϕ (x) = ∫ϕ (s)ds + x ∫ sϕ (s)ds + Hay Đặt c1 = x 2 ϕ (s) ∫dss+1 c2 = (s)ds, (2.2) ∫ϕ c3 = ∫ sϕ (s)ds, ∫ s ϕ (2.3) (s)ds Thay (2.3) vào (2.2) ta được: ϕ (x) = c1 + xc2 + x2 c +1 (2.4) Thay (2.4) vào (2.3) ta có:  c1 = + sc2 ∫ 0c1 + Hay c2 s 2c 1 1  c + 1ds = c1 ∫ sds s ds + ∫ + ∫ ds + c2 ∫ ds + c3 c2 = s c1   ∫  + =  c2 = c1 + 0 c + +1  s + sc2 c3 + 1ds + 1)∫ sd + = (c s + c2 ∫ c s ds3 + s ds ∫ c1 = +c + = − Hay 2c2 c3 =   c   c1 + − 9c Hay c2 10  c2 + + s ∫ s + sc2 +   c1 c3 + 1 2 c3 + 1ds + 1)∫ s = (c ds + c = + = c2 c3 + + c1 c2 + 10 + ∫ 3 s ds s ds ∫ + c3 c = −1   Vậy ta có hệ:  c1 +c −1 2c2 = −  − 2 c2  c1 = − + − 9c3   10 Suy  c1    c2    3769 = − 1312 531 375 = − = − 328 c3 328  Vậy nghiệm phương trình cho là: ϕ (x) = 1− 1312 3769 328 531 375 − x− x 328 Ví dụ 3: Giải phương trình: (3.1) ϕ (x) = ∫ sin(xs)ϕ (s)d s +1+ x Lời giải: Ta xấp xỉ nhân sin( xs tổng hai số hạng ) khai triển Taylor: (xs) sin( xs ) = xs − + r(x, s), r(x, s) = θ [r(x, s) ] vô bé bậc cao vô bé (xs)3 (xs)3 Suy ra: sin( xs) ≈ xs − Khi phương ( trình ) (3.1) trở thành: xs ϕ −(x) = Hay  xs ϕ(s)ds +1+ x   ϕ (x) = x∫ sϕx ∫ s 3ϕ (s)ds (s)ds − +1+ x Đặt  ∫ (3.2) c1 = ∫ sϕ (s)d s, (3.3) c = ∫ s 3ϕ (s)ds 0 Thay (3.3) vào (3.2) ta có: ϕ(x) = xc1 − x3 (3.4) c2 +1 + x Thay (3.4) vào (3.3) ta được:  c c1 = ∫ s  sc1 −   s + + s ds  1 c2 s4ds + = 2c ∫ s1 ds − ∫ 0 ∫ sds + ∫ s ds c1 1 c1 c2 + + = − + c2 −3 30 30 Hay c + − = c 30 = 3 c2 = ∫ s  sc −  c2  s + + s ds  1 0 c = c1 ∫ s d − 2∫ s d + ∫ d + ∫ ds 0s s s s s = − Hay 43 c1 + c1 c2 − + c2 = + 42 42 12 c2 − c1 − =0 42 12  c1 + c2 =  30 Do ta có hệ:  43   c = Suy ra:  c =  − c + 1c =2  42 12 2171 2695 4342 2375 Vậy nghiệm gần phương trình là: ϕ(x) = 1+ x+ x − 2171 2375 2695 26052 x • Bài tập vận dụng:Giải phương trình sau: 1) ϕ(x) = 2) ϕ(x) = ∫ ϕ (x) = sh(xs)ϕ (s)ds + − x sin( xs) 3) ∫ s ϕ(s)ds + x ∫ (1 + s )(e xs ) −1 ϕ (s)ds + − x KẾT LUẬN Trong trình tìm hiểu, nghiên cứu khóa luận, em bước dầu làm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu Qua đó, em củng cố them kiến thức Giải tích hàm đồng thời thấy phong phú, lý thú toán học Trong khóa luận này, ngồi kiến thức bổ trợ không gian Metric, không gian định chuẩn, không gian Hilbert…Em nêu số tính chất tốn tử tích phân, số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính Trên sở áp dụng vào giải phương trình tích phân VolterraFredholm Đó thành công đề tài Hi vọng tài liệu góp chút cho bạn sinh viên quan tâm đến Giải tích hàm nói riêng tốn học nói chung Qua em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo Ts Nguyễn Văn Hùng người trực tiếp giúp đỡ em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Đồng thời em xin trân trọng cảm ơn thầy giáo tổ giải tích, thầy giáo khoa tốn trường ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Do bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, chắn khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em kính mong thầy bạn đóng góp ý kiến, trao đổi để khóa ln hồn thiện tốt TÀI LIỆU THAM KHẢO Phan Đức Chính (1978), Giải tích hàm, Tập 1: Cơ sở lý thuyết, Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nxb Khoa học kĩ thuật Hà Nội Nguyễn Xuân Liêm (1995), Giải tích hàm, Nxb Giáo dục Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội Jean Dieudonne (1973), Cơ sở giải tích đại, Tập (bản dịch tiếng Việt), Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp ... Chƣơng 2: 30 Toán tử tích phân 30 2.1 Tốn tử tích phân với hạch liên tục 30 2.2 Tốn Tử tích phân với hạch bình phương khả tích 32 2.3 Tốn tử tích phân khơng gian 2.4 Tốn tử tích phân khơng gian... hiểu sâu Giải tích hàm, đặc biệt lý thuyết tốn tử Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số sở lý thuyết liên quan đến tốn tử tích phân, tính chất tốn tử tích phân, ứng dụng tốn tử tích phân vào giải phương... [a ;b ] 35 2.5 Tốn tử tích phân Fredholm 43 Chƣơng 3: 45 Ứng dụng giải phương trình tích phân 45 3.1 Khái niệm phương trình tích phân tuyến tình 45 3.2 Giải phương trình tích phân tuyến tính 47