Toán tử tích phân kỳ dị nhiều chiều

i LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc thnc hi¾n hồn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà Nđi dúi sn húng dan nhiắt tỡnh cna PGS.TS Hà Tien Ngoan Trong suot q trình thnc hi¾n lu¾n văn Thay truyen đat cho bán thân nhung kien thúc q báu ln đ®ng viên, hưóng dan t¾n tình đe tơi hồn thành cơng vi¾c Tác giá xin bày tó lòng biet ơn, lòng kính sâu sac nhat đoi vói thay Tác giá xin chân thành cám ơn Ban Giám hi¾u trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, khoa Tốn q thay tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc tot đep chương trình Cao hoc hồn thành lu¾n văn tot nghi¾p Tác giá xin trân cám ơn Trưòng Đai hoc Sao Đó, Khoa Khoa hoc Cơ bán đong nghi¾p đ¾c bi¾t gia đình, ngưòi thân nhung ngưòi tao moi đieu ki¾n tot nhat đe tác giá an tâm hoc t¾p báo v¾ thành cơng lu¾n văn này! Hà N®i, tháng năm 2011 Tác giá ii LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan Lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan trnc tiep cna PGS.TS Hà Tien Ngoan Trong trình nghiên cúu, ke thùa thành khoa hoc cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng năm 2011 Tác giá Mnc lnc Má đau M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Tích phân khơng gian nhieu chieu 1.1.1 Tích phân suy r®ng 1.1.2 Tích phân m¾t loai hai 1.1.3 Tích phân giá tr% 11 1.2 Tích ch¾p .12 1.3 Bien đoi Fourier 14 1.3.1 Phép bien đoi Fourier không gian L1(En) 14 1.3.2 Phép bien đoi Fourier không gian L2(En) 23 Tốn tN tích phân kỳ d% tính chat 2.1 26 Đ%nh nghĩa tốn tú tích phân kỳ d% 26 2.1.1 Bien đoi Hilbert ket 26 2.1.2 Toán tú tích phân kỳ d% 30 2.2 Tốn tú tích phân kỳ d% vói nhân lé .33 2.3 Toán tú tích phân kỳ d% vói nhân chan 40 M®t so Nng dnng cúa tốn tN tích phân kỳ d% 46 3.1 Sn ton tai vet cna hàm vecto m¾t phang 47 3.2 Bat thúc biên cna hàm đieu hòa 50 iii Ket lu¾n 53 Tài li¾u tham kháo 54 Má đau Lí chon đe tài Lý thuyet tốn tú tích phân kỳ d% m®t bđ phắn cna Giỏi tớch ieu hũa, l khúi au cna lý thuyet tốn tú giá vi phân m®t so phương pháp hi¾n đai Giái tích Phương trình đao hàm riêng Lý thuyet tốn tú tích phân k d% ó xuat hiắn hn mđt the ký qua Ban đau lý thuyet mói chí đe c¾p cỏc bi toỏn mđt chieu n giỏn en nhung thắp niên 50 60 cna the ký XX sn phát trien cna lý thuyet tốn tú tích phân kỳ d% mó r®ng khơng gian nhieu chieu Trong lý thuyet Phương trình đao hàm riêng Lý thuyet hàm, tốn tú tích phân kỳ d% đóng m®t vai trò quan Nó cho phép mơ tá ngh%ch đáo cna toán tú vi phân đao hàm riêng tuyen tính loai elliptic vói h¾ so hang giúp mơ tá nhieu tính chat đ%nh tính cna không gian hàm so khác Hơn nua toán cna hoc đàn hoi cna lý thuyet the v%, m®t so đai lưong can tính tốn đưoc bieu dien dưói dang tốn tú tích phân kỳ d%, có the đưoc xác đ%nh m®t cách huu hi¾u Vì v¾y đòi hói phái nghiên cúu tính chat cna chúng đe làm rõ vai trò cna lý thuyet Trên nhung lý đe tien hành nghiên cúu đe tài: "Tốn tÚ tích phân kỳ d% nhieu chieu " Mnc đích nghiên cNu H¾ thong lai khái ni¾m, tính chat cna tốn tú tích phân kỳ d% nhieu chieu Chí moi liên h¾ giua tốn tú tích phân kỳ d% nhieu chieu vói lý thuyet giá vi phân Đưa úng dung cna tốn tú tích phân kỳ d% vào tốn hàm đieu hòa Nhi¾m nghiên cNu Vói muc đích nêu ó trên, nhi¾m vu nghiên cúu cna lu¾n văn là: Mơ tá khái ni¾m tính chat cna tích phân kỳ d% phương trình tích phân kỳ d% úng dung cna chúng Đoi tưang pham vi nghiên cNu Đoi tưong: M®t so lý thuyet ve tốn tú tích phân kỳ d%, không gian hàm liên quan úng dung vào phương trình tích phân Pham vi: Nghiên cúu lý thuyet xây dnng úng dung só tài li¾u chun kháo Phương pháp nghiên cNu Lu¾n văn chn yeu dùng phương pháp nghiên cúu truyen thong cna Giái tích hàm: Phân tích, tong hop kien thúc Xuat phát tù toán tú Hilbert trũng hop mđt chieu, luắn se a vo toỏn tú tích phân kỳ d% nhieu chieu nghiên cúu tính chat cna chúng Vi¾c úng dung se đưoc mó r®ng tù lóp hàm liên hop đieu hòa phương trình tích phân kỳ d% Ngồi lu¾n văn nghiên cúu tài li¾u liên quan: Giáo trình, tap chí, Giá thuyet khoa hoc Luắn oc trỡnh by mđt cỏch cú hắ thong khoa hoc van đe ve toán tú tích phân kỳ d% úng dung cna tích phân kỳ d% ve sn ton tai vet cna hàm vecto m¾t phang bat thúc giua thành phan tiep tuyen pháp tuyen biên cna gradient hàm đieu hòa Đây se m®t đóng góp quan ve lý thuyet đe giái quyet tri¾t đe van đe ve tốn tú tích phân kỳ d% phương trình tích phân kỳ d% khơng gian nhieu chieu khác Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Tích phân khơng gian nhieu chieu 1.1.1 Tích phân suy r®ng Đ%nh nghĩa 1.1.1 Giá sú f hàm xác đ%nh Rn f tích moi t¾p b% ch¾n Neu ton tai ¸ ¸ f (x)dx = lim Rn f (x)dx |x|≤R R→∞ ta goi giói han tích phân suy r®ng loai cna hàm n bien Tích phân I = ¸ R n f (x)dx đưoc goi h®i tu neu giói han ton tai I huu han Ngưoc lai ta nói tích phân phân kì Ví dn 1.1.1 Trong R1 xét tích phân ¸ +∞ dx vói α ∈ R xα Trưòng hop 1) α = vói moi b ∈ R ta có: ¸ b dx = lnb x lnb → +∞ b → +∞ Do = +∞ ¸ +∞ dx x hay tích phân cho phân kì Trưòng hop 2) α ƒ= Khi vói moi b > 1, ta có: ¸ b 1 Khi đó: dx x 1−α 1−α − |b = b =x 1−α 1− α 1−α +Vói α < lim ¸ b dx ¸ b→+∞ xα = +∞ tích phân cho phân kì +∞ dx = +∞ xα +Vói α > lim Như v¾y ta cú ket luắn: Tớch phõn b+ b dx = α−1 xα ¸ +∞ 1 dx xα vói α ∈ R se h®i tu neu α > phân kì neu α ≤ Ví dn 1.1.2 Trong trưòng hop tong qt tích phân ¸ dx Rn (1 + |x|)m se h®i tu neu m > n phân kì neu m ≤ n k=1 |γk| Y ton tai giá tr% biên lim uj (x, y) = uj (x, 0) sn ton tai y→0 phu thu®c vào (3.1) Neu hàm đieu hòa thóa mãn (3.1) thóa mãn h¾ phương trình đao hàm riêng sn h®i tu theo chuan chac chan Ngưoc lai, neu hàm đieu hòa thóa mãn (3.1) khơng thóa mãn h¾ phương trình đao hàm riêng sn h®i tu theo chuan có the khơng có Khi p = ta ln có đưoc đieu mong muon 3.1 SN ton tai vet cúa hàm vecto m¾t phang Cơ só đe ta nghiên cúu muc h¾ cna hàm đieu hòa vói chí so p < cho bói: p 2 (|u1| + |u2| + + |un+1| ) đieu hòa dưói Mó r®ng thnc chat rang ta log |F | đieu hòa dưói F m®t hàm giái tích cna bien so phúc Ket kéo theo chí rang tính chat đưoc sú dung vi¾c thu đưoc giá tr% biên mong muon Đ%nh lí 3.1.1 Giá sú u1, u2, , uk hàm đieu hòa giá tr% thnc đưoc + đ%nh nghĩa En+ cho ó ton tai so dương p0 < đe: S = (u2 + u2 + + pu ) 2 k đieu hòa dưói Cho F = (u1, u2, , uk) nua giá sú bat thúc (3.1) thóa mãn vói moi y > 0, p > p0 thì: uj (x, 0) = lim (w,y)→(x,0) uj (w, y) (3.2) ó (w, y) tien dan đen (x, 0) co đ%nh, ton tai vói hau het x ∈ En Hơn the nua: ¸ lim y→0 ¸ p |F (x, y) − F (x, 0)| dx = lim y→ En En p k dx, (uj (x, y) − uj (x, 0))2 j=1 v¾y: lim ¸ y→0 p |F (x, y) − F (x, 0)| dx = (3.3) En Chúng minh Đe chúng minh đưoc đ%nh lí này, ta se cơng nh¾n ket sau: Bo đe 3.1.1 Neu f ∈ Lp(En), ≤ p ≤ ∞ tích phân Poisson ¸ f (x − t)P (t, y)dt = u(x, y) En có giói han f (x0) co đ%nh tai moi x0 thu®c vào t¾p Lebesgue cúa f Ngồi ra, có giói han tai hau hêt điem cúa En Bo đe 3.1.2 Giá sú s m®t đieu hòa dưói khơng âm đưoc đ%nh nghĩa E+ thóa mãn n+ ¸ q [s(x, y)] dx ≤ cq < ∞ En vói moi y > ó ≤ q < v c l đc lắp vúi y > Khi s m®t + đieu hòa tr®i bé nhat En+ Hơn the nua, trưòng hop q > 1 sn tr®i tích phân Poisson cúa hàm f ∈ Lq(En), vói "f"q ≤ c Neu q = se tích phân Poisson - Stieltjes cúa đ® đo Borel huu han En có đ® đo tồn phan khơng vưot q c + Bo đe 3.1.3 Giá sú u đieu hòa En+ b% ch¾n co đ%nh tai tat cỏ cỏc iem cỳa mđt S En cúa đ® đo dương, u có giói han co đ%nh tai hau het điem cúa S Tró lai vói vi¾c chúng minh đ%nh lí, chon q = p p0 > Khi (3.1) đưoc thóa mãn: ¸ q |s(x, y)| dx En = ¸ p |F (x, y)| dx ≤ A < ∞ En vói moi y > Hơn nua, s đieu hòa dưói mà ta biet tù Bo đe 3.1.2, hay s hàm đieu hòa tr®i bé nhat m, ó tích phân Poisson cna hàm f ∈ Lq(En) Theo Bo đe 3.1.1 suy m có giói han co đ%nh tai hau het điem cna En Vì v¾y, s ≤ m hàm s phái b% ch¾n tai hau het điem cna En phái vói |uj| ≤ s1/p0 , j = 1, 2, , k Áp dung Bo đe 3.1.3 ta có ket giói han (3.2) ton tai co đ%nh Sn hđi tu (3.3) l hắ quỏ cna viắc ton tai giói han đ%nh lí ve sn h®i tu tr®i cna Lebesgue cá m f tr®i bói hàm Hardy - Littlewood lón nhat cna f ∈ Lq(En) đieu ta can Nh¾n xét 3.1.2 Khi p = p0 ta có q = van có m®t hàm tr®i, đieu hòa bé nhat m cna s Tuy nhiên, chí có the ket lu¾n m tích phân Poisson - Stieltjes cna đ® đo Borel huu han En Ket quá, không the áp dung đ%nh lí sn h®i tu tr®i ta làm ó đe đat đưoc sn h®i tu (3.3) tù sn ton tai giói han (3.2) 3.2 Bat thNc biên cúa hàm đieu hòa Trong muc ta se nghiên cúu bat thúc giua thành phan tiep tuyen pháp tuyen biên cna gradient hàm đieu hòa Giá sú Ω mien b% ch¾n Rn, biên Γ trơn Cho u(x) hàm đieu hòa Ω vi liên tuc đen t¾n biên Γ Goi gradu(x) vecto gradient cna u Tai moi điem x ∈ Γ ta kí hi¾u gradΓu(x) thành phan tiep tuyen thành phan pháp tuyen vói ∂ ∂u ν ν vecto pháp tuyen ngồi đơn v% Ta có: ∂u gradu = gradΓu + ∂ν Đ%nh lí 3.2.1 Cho u(x) hàm đieu hòa Ω vi liên tnc đen t¾n biên Γ Vói moi p > ton tai hang so cp khụng phn thuđc vo u cho: áp |gradΓu| dΓ ≤ cp p dΓ ∂u Γ Γ ∂ν Chúng minh Do u(x) hàm đieu hòa nên ta có the viet: u(x) = ú r = "x y" dy à(y) Γ rn−2 Hàm µ(y) đưoc xác đ%nh tù phương trình tích phân sau: ωn ± µ(x) + (n 2) cos(r, ) à(y)dy rn1 = u ∂ν (3.4) Xét vói λ hưóng m¾t phang tiep tuyen, cho: ∂u = |gradΓu| ∂λ Khi đó: ¸ |gradΓu| = ∂r2− n µ(y)dΓy (3.5) ∂λ Ve phái cna (3.5) m®t tốn tú tích phân kỳ d% yeu tốn tú b% Γ ch¾n Lp(Γ) Do ú: |gradu| p cp |à(x)| dΓ, cr = const r p M¾t khác, ta có: p Γ ¸ ∂u dΓ = Γ ∂ν Do đó, phương trình (3.4) giái đưoc nghi¾m khơng nhat có dang: µ(x) = µ0(x) + cà1(x), c = const vúi: à0 l nghiắm riờng cna phng trỡnh khụng thuan nhat à1 l mđt nghiắm khỏc cna phương trình thuan nhat Ta xác đ%nh µ0 cho có chuan nhó nhat, túc ton tai c˜ cho: "µ0 "Lp (Γ) ≤ c˜∂u ∂ν Lp(Γ) Ta ắt: u0(x) = dy à0(y rn ) Ta có u(x) − u0(x) = const Vì v¾y, tù (3.5) ta có: gradΓu = gradΓu0 Mà ¸ |gradΓu0| = ∂r2−n µ (y)dΓ y Γ ∂λ Suy ra: ¸ p p ¸ ¸ |gradΓu| dx ≤ c˜r Γ | dΓ ≤ cp µ0(x)| Γ Γ p ∂u dΓ ∂ν ó cp = c˜r c˜p v¾y đ%nh lí đưoc chúng minh Khi p = 2, nhà toán hoc M.I.Vishik chúng minh bat thúc ngưoc lai vào năm 1951 Ket lu¾n Nđi dung chớnh cna luắn m chỳng tụi ó trình bày: • Tốn tú tích phân kỳ d% nhieu chieu mà mó r®ng tốn tú Hilbert trưòng hop mđt chieu a cỏc tớnh chat v chúng minh chúng đoi vói tốn tú tích phân kỳ d% vói nhân hàm lé hàm chan • Đưa m®t so úng dung cna tốn tú tích phân kỳ d% đoi vói lóp hàm đieu hòa liên hop nghiên cúu Bat thúc giua thành phan tiep tuyen pháp tuyen biên cna gradient hàm đieu hòa M¾c dù có nhieu co gang nghiên cúu, song thòi gian có han lnc cna bán thân han che nên q trình thnc hi¾n lu¾n văn tơi van m®t so ton tai nhat đ%nh Rat mong đưoc sn đóng góp cna q Thay, ban đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tơi xin chân thành cám ơn! 53 Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Nguyen Minh Chương (chn biên), Hà Tien Ngoan, Nguyen Minh Trí, Lê Quang Trung (2002), Phương trình đao hàm riêng, NXB Giáo duc, Hà N®i [2] Nguyen Manh Hùng (2006), Phương trình đao hàm riêng, Phan 2, NXB Đai hoc Sư pham, Hà N®i [B] Tài li¾u tieng Anh [3] E M Stein and G Weiss,Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton, New Jersey, Princeton University Press, 1971 [4] S, G Mikhlin, Multidimensional Singular Integral Operator, Moscow, Nauka, 1967 54 ... 23 Tốn tN tích phân kỳ d% tính chat 2.1 26 Đ%nh nghĩa tốn tú tích phân kỳ d% 26 2.1.1 Bien đoi Hilbert ket 26 2.1.2 Tốn tú tích phân kỳ d% 30 2.2 Tốn tú tích phân kỳ d% vói nhân... đe van đe ve tốn tú tích phân kỳ d% phương trình tích phân kỳ d% khơng gian nhieu chieu khác Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Tích phân khơng gian nhieu chieu 1.1.1 Tích phân suy r®ng Đ%nh... goi tích phân suy r®ng loai cna hàm f Ω Cũng giong tích phân suy r®ng loai đưoc đ%nh nghĩa ó trên, neu tích phân I = ¸Ω f (x)dx có giá tr% huu han ta nói tích phân h®i tu ngưoc lai ta nói tích phân