Toán Tử Chiếu Và Áp Dụng Giải Bài Toán Cân Bằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM - PHẠM HÙNG KHÁNH TOÁN TỬ CHIẾU VÀ ÁP DỤNG GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun – 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ––––––––––––––––––––– PHẠM HÙNG KHÁNH TOÁN TỬ CHIẾU VÀ ÁP DỤNG GIẢI BÀI TỐN CÂN BẰNG Chun nghành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH LÊ DŨNG MƢU LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, kết trình bày luận văn hoàn toàn trung thực, tác giả cho phép sử dụng luận văn hồn tồn khơng trùng lặp với tài liệu khác Tác giả Phạm Hùng Khánh Mục Lục Mục lục i Lời cảm ơn ii Mở đầu Chƣơng Tập lồi hàm lồi không gian Hilbert 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Không gian tiền Hilbert 1.1.2 Không gian Hilbert 1.1.3 Các ví dụ 1.1.4 Một số tính chất 1.2 Tập lồi hàm lồi không gian Hilbert .10 1.2.1 Tập lồi 10 1.2.2 Hàm lồi 14 Chƣơng Phép chiếu không gian Hibert .19 2.1 Định nghĩa ví dụ 19 2.2 Các tính chất 26 2.3 Một số trƣờng hợp cụ thể .28 Chƣơng Áp dụng giải toán cân .32 3.1 Bài toán cân 32 3.1.1 Phát biểu toán cân 32 3.1.2 Những trường hợp đặc biệt toán cân 35 3.2 Phƣơng pháp chiếu giải toán cân 48 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo .57 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS.TSKH Lê Dũng Mưu người thầy ln tận tình hướng dẫn, bảo giúp đỡ tác giả trình làm khóa luận để tác giả hồn thành khóa luận Tác giả xin gửi lời cảm ơn trân thành sâu sắc tới thầy, cô khoa Toán – Trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học Thái Nguyên giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt trình học tập trường Qua tác giả xin trân thành cảm ơn tới người thân gia đình ln động viên tạo điều kiện giúp đỡ mặt suốt q trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Mặc dù có nhiều cố gắng, nhiên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong đóng góp ý kiến q thầy, để luận văn hồn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 03 năm 2013 Tác giả Phạm Hùng Khánh MỞ ĐẦU Giải tích lồi mơn học giải tích đại, nghiên cứu tập lồi, hàm lồi vấn đề liên quan Bộ mơn có vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực khác tốn học ứng dụng, đặc biệt tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, toán cân bằng, v.v nói giải tích lồi mơn quan trọng làm sở tốn học tối ưu hóa Sau kết H.Minkowski (1910) tập lồi hàm lồi, lý thuyết giải tích lồi thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học, lý thuyết giải tích lồi quan tâm nghiên cứu nhiều khoảng bốn mươi năm trở lại cơng trình tiếng H.Minkowski, C.Caratheodory, W.Fenchel, J.J.Moreau, R.T.Rockafellar, L.klee, A.Brondsted, W.V.Jensen, G.Choquet nhiều tác giả khác Trong khơng gian Hilbert, phép chiếu xuống tập lồi đóng có nhiều tính chất quan trọng Việc tồn tính hình chiếu xuống tập lồi đóng sở để chứng minh tồn nhiều toán khác giải tích ứng dụng lý thuyết xấp xỉ, tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân vấn đề khác Trong tốn học tính tốn nhiều phương pháp giải dựa việc tìm hình chiếu điểm xuống tập lồi Trong trường hợp tổng qt, tốn khó giải Tuy nhiên tập lồi có cấu trúc riêng tốn giải cách hiệu chương trình phần mềm có sẵn Thậm chí trường hợp đặc biệt, tập lồi hình cầu, siêu hộp, đơn hình, nửa khơng gian v.v hình chiếu xuống tập tính theo cơng thức tường minh Mục đích luận văn để nghiên cứu toán tử chiếu khơng gian Hilbert việc giải tốn cân dựa vào phương pháp chiếu Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày khái niệm tính chất không gian Hilbert, tập lồi hàm lồi không gian Hilbert, định lí tách, tính liên tục, vi phân Các kiến thức sử dụng chương sau Chương 2: Xét phép chiếu không gian Hilbert định nghĩa, ví dụ, tính chất số trường hợp cụ thể Chương 3: Giới thiệu toán cân số vấn đề liên quan đến toán như: Các trường hợp riêng quan trọng; tồn nghiệm; dạng tương đương; v v Cuối trình bày thuật toán chiếu gradient xấp xỉ để giải lớp toán cân Chƣơng TẬP LỒI VÀ HÀM LỒI TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Trong chương này, ta trình bày lại số kết dùng cho chương sau Đó kiến thức không gian Hilbert giải tích lồi Nội dung chương trích dẫn chủ yếu từ tài liệu tham khảo 1;2 ; 3 4 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Không gian tiền Hilbert Định nghĩa 1.1 Cho H không gian trường  Tích vơ hướng xác định H ánh xạ xác định sau: .,.: H H , thỏa mãn điều kiện sau đây: K ( x, y ) a, x, y   x, y y, x với x, y H b, x y, zx, zy, x, y, z H z với c, x, yx, y x, y H ; K với d, x, x0 với x x, x0 H x 0 Số x, y gọi tích vơ hướng hai vectơ x y Cặp  H ,.,.  gọi khơng gian tiền Hilbert ( Hay gọi không gian Unita ) Từ định nghĩa ta thấy tích vơ hướng .,. dạng song tuyến tính xác định dương H Khi H gọi không gian tiền Hilbert thực Định lí 1.1 Cho H khơng gian tiền Hilbert với x, y H , ta ln có bất đẳng x, y x, xy, y thức sau Chú ý 1.1 Bất đẳng thức định lí 1.1 gọi bất đẳng thức Schwarz, bất đẳng thức Schwarz dấu xảy x, y phụ thuộc tuyến tính Định lí 1.2 Cho H khơng gian tiền Hilbert Khi x x, x1/2 , x H định chuẩn H xác 1.1.2 Không gian Hilbert Một không gian tiền Hilbert, xem không gian định chuẩn, đầy đủ khơng đầy đủ Định nghĩa 1.2 Nếu H không gian tiền Hilbert đầy đủ chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng gọi khơng gian Hilbert Cũng tương tự trường hợp không gian tiền Hibert, với trường  ta có khơng gian Hilbert thực 1.1.3 Các ví dụ  n 1)  n khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng x, y  đó: x x1, x2 , y y1, y2 , , x , , y n 2) Xét không gian:  n i n   K x l  x  (x )   i  i xy,  n n n n1 Ta biết l2 không gian Banach với chuẩn x  (1.1)   xn Với x  ) , y (x ( y ) n n n1 l , nhờ bất đẳng thức Buniakowski ta có: n n   xn yn x y   n1 Dễ kiểm tra rằng:  x, y xn yn xác định tích vơ hướng l n1 cảm sinh (1.1) Vậy l không gian Hilbert 3) Cho ( X , A, ) không gian độ đo E A Xét không gian L (E, )    f:E d  E f  ta biết L2 (E, )  không gian Banach với chuẩn:  f   f d  E Hơn nữa, với f , g L2 (E, ) , từ bất đẳng thức Holder tích phân, ta có:  fg d    E  1 g d  f d E      E Ta dễ dàng kiểm tra f , g  fgd ,  xác định tích vơ hướng L (E, ) E L (E, ) không gian Hilbert thực 2 (L1 ) 1 Vậy  đạt giá trị nhỏ  2L2 Dựa vào mệnh đề hệ trên, ta có thuật tốn sau giải tốn (EP)  đơn điệu mạnh thỏa mãn điều kiện Lipschitz (M) Như thấy, xk x k 1 , k x nghiệm, ta gọi điểm x C nghiệm xấp xỉ (EP) x   x* nghiệm * , x xác (EP) 3.2 Phƣơng pháp chiếu giải toán cân Trong mục này, ta xét đến fg phép chiếu đạo hàm xấp xỉ để giải lớp toán cân đơn điệu Nội dung mục lấy từ báo [5] Định nghĩa 3.4 Giả sử củ x vào C a 0 x  p x - n chiếu gọi  C Điểm px -nghiệm toán 1  2 yC nghĩa 2 x y ,  x p  x PC x 2 (x) , PC(x) hình chiếu khoảng cách x lên C Nhận xét 3.5 Từ định nghĩa ta thấy, đuơng với x px , px   y px  C - chiếu x vào C tương y C , Định nghĩa 3.5 phân - chéo vi 2gf (x, x) :  n  f (x, song hàm f x C x)2 :f (x, f (x, x)  g, yx , y    y)    n  g  y)  n : f (x, g, y x , y  n  Bổ đề 3.1 Giả sử vk  k là dãy số thực không âm thỏa mãn vk 1  vk  k vớ i    Khi dãyv hội tụ  k k k 1 Cho , ò tham số dương dãy số thực { },{ }, k k {òk },{k } thỏa mãn điều kiện sau k , k 0, òk 0, k ;  k 0,  k k  k    ; (3.5)    ,  (3.4) Chẳng hạn lấy k òk k     k   ,   ,  k k (3.6) 1   k(k 1) , k  1,òk k k Thuật toán chiếu dƣới gradient xấp xỉ Chọn x C Tại bước lặp k = 0, 1, có x k Bước 1: Giả sử k x C g  k Lấy   k òk k k  k  max k k f (x , x ) Ta định nghĩa:  g k k  , Nếu g k  k x òk -nghiệm tốn (EP) dừng thuật tốn òk ò Trái lại chuyển sang Bước Bước 2: Tính xk 1 k C   xk 1 k  x ,x x k  x  k ,  D  k x k 1 k g -chiếu  (3.7) x k   g k vào C  k Đặc biệt k Nếu 0 k 1 k x  k g k P C ò dừng ta nghiệm xấp xỉ xk 1 x k Ngược lại quay Bước Bổ đề 3.2 Với k, ta có bất đẳng thức sau:  g k  (i k k; ) (ii) k xk   k x  2 k k 1 Chứng minh (i) Theo định nghĩa k ta có:  g  k k k gk max  k , g k   k (ii) Thay x  vào (3.7) ta có: x k k k k xk 1  x  k k x g ,x k   gk k  1 xk xk (Theo Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz)  k  x k x  k 1 (Theo chứng minh (i)) k Hay x k x  k  xk  k 1 x k k 0  1 k (3.8) 0 Xét phương trình bậc hai f () 2  với kéo theo   2 4  f ( ) 0 Khi (3.9) Nhân hai vế bất đẳng thức (3.9) với và sử dụng bất đẳng thức Cauchy 2 a b cho hai số dương a b, ab  ta có: 21 4   2   2 1 2  2   k k 1 , Thay vào (3.8) với x    x k x  k 4   2      ta được:  k k 1 , k x  k  k Mệnh đề 3.8 Giả sử toán (EP) có tập nghiệm S(f,C) khác rỗng Khi với mọ x* S ( f , C) với k, ta có khẳng định sau: i k 1 * k x x *   k , * , x x   k f  x x k (3.10)  2ò 22 4 Ta có: Chứng minh 2 k k k k k k x x2 *  x Nên x k 1 k 2x x k 1 x  x k 1 k 2* k * x x x x  k x k 1 k 1 , x * xk 1 x* k 2x x 1  k 1 * , x x k  k x * x k 2x x Thay x x* vào (3.7) ta có: k k 1 k  k g x Suy k 1 * , * , x x k 1 k , x x x x  k k 1 k 1 k* ,   k g x  k x Thay (3.12) vào (3.11) ta được: k 1 * x x k * 2 k x x * k , * x  x x      k g x k 1 k * 2  k ,  k g x x k g x k (3.11) k 1  x x x * k 1 k , k x k 1  k (3.12) Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Bổ đề 3.2 (i) ta có bất đẳng thức sau: k 1 * x * x x Mặt khác, k k k , * g x k * k k k x 2k x  x x  2   k k 1 (3.13) f k , x k nên ta có: (x ) k , * k k * ( , g x x f x  x ) , òk nhân hai vế bất đẳng thức với 2k 2kg , x x  2 k ta được: * k k k * f (x , x )  2ò (3.14) k k Thay (3.14) vào (3.13) ta điều phải chứng minh Định lí 3.6 Giả sử tốn (EP) có tập nghiệm S(f,C) khác rỗng S ( f , C) Sd ( f , C) Khi ta có: (i) Dã k {x  y * x k  k , g x 0   g  ò k Do k * x x x k k } hội tụ với x* S ( f , C) ; k (ii) Dãy {x } bị chặn Chứng minh d (i) Do k * * (f, x S ( nên x f , C)  C) * suy f (x , x ) 0 thay vào (3.10) S ta được: x k 1 * x k x  * x (3.15)  k ,   2ò 22 4 k k k k k Theo (3.5), (3.6), (3.7)  k 0  k   k 0 k Từ (3.15) (3.16) ta dãy x  * x   o dãy k Dx   x * hội tụ tụ suy dãy {x hội } Định lí 3.7 Giả sử tập S f , C chặn Khi (3.16)   khác rỗng, bị chặn k k S ( f , C) Sd dãy {g } bị ( f , C) lim sup f x , x  x* S( f ,C) 0, k * k  Chứng minh Giả sử x S ( f , C) Vì * S ( f , ( f , C) C)  Sd nên theo Mệnh đề 3.8 ta có:   k đó: k (,    f x x ) k * x x k k k *  x x  2  0 2ò 4 k k 1 ,  k theo (3.5),      k k  k 0 (3.6),(3.7) Lấy tổng bất đẳng thức với k=0,1 m ta có: m f (x 2  0 k k 2* , x ) x x xm1  x * m x  * x   * k  k 0 m   k k 0 k 0 Cho m ta được:  2 f (xk , x* k )   k 0 k k 0  Vì  k    nên  k 0  k  f (x k 0 , )  * x  (3.17)  k 0 k Theo giả thiết {g } bị chặn, từ (3.4) (3.7) ta có tồn L  cho  k g  với k  Do đó: L k k k max 1 k 1, Khi đó, theo (3.4) thì: g L  ,      k k k , L k k Từ (3.14) (3.15) ta có: k  k   (3.18) f (x , x ) k   *  k   k 0  Do      k nên từ suy ra: k k 0 k * k * lim sup f (x , x )  0, x S ( f , C)  k  k Nhận xét 3.6 Ta thay điều kiện dãy {g } bị chặn Định lí 3.7 điều kiện tập - chéo vi phân bị chặn tập bị chặn C Định lí 3.12 Giả sử tập S f , C khác rỗng, S ( f , C) S d dãy {g k } ( f , C) bị chặn Song hàm f thỏa mãn điều kiện sau: (i) Giả sử  x   f x, x  S ( f , C) x C Nếu    x 0  f x, x S( f ,C) ; (ii f (., y) nửa liên tục ) với Khi dãy {x } k y C hội tụ đến nghiệm toán EP (f,C) Chứng minh Giả sử x* S ( f , C) Theo định nghĩa limsup tồn dãy k {x } j {xk } cho: lim sup f xk , x*  lim j    k   kj  f x , x* Theo Định lí 3.6, dãy {xk j } bị chặn Vì vậy, khơng tính tổng quát ta giả sử lim j k x  x (3.19) j Theo giả thiết (ii) song hàm f nửa liên tục trên tập C từ Định lý 3.7 ta có: f (x , x ) * k * lim sup f (x , x ) lim f (x k , x*) j   j j   j k * lim sup f (x , x ) 0 k  * Do x S d (f, C) * nên f (x, x ) ta có: 0 f (x, x*) 0 Theo giả thiết (i) x S( f ,C) Khi theo Định lý 3.6 (ii) dãy x k hội tụ, kết hợp với (3.19) ta được: x k lim x  k  x, x S( f ,C)  KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu phép chiếu khoảng cách xuống tập lồi đóng khơng gian Hilbert ứng dụng việc giải toán cân Cụ thể luận văn đề cập đến vấn đề sau: Chứng minh tồn tính phép chiếu xuống tập lồi đóng khơng gian Hilbert thực Khảo sát tính chất tốn tử chiếu xét toán tử chiếu trường hợp đặc biệt Áp dụng phép chiếu khoảng cách để chứng minh tồn nghiệm phương pháp giải toán cân không gian hữu hạn chiều Giới thiệu toán cân bằng, trường hợp đặc biệt toán cân bằng, tồn nghiệm toán cân bằng, dạng tương đương phương pháp giải tốn cân bằng, v v Trình bày sử dụng thuật toán chiếu gradient xấp xỉ để giải lớp toán cân Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt 1 Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải, Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học kỹ  thuật Hà nội, 2000 2 Lê Dũng Mưu Nguyễn Văn Hiền, Nhập mơn giải tích ứng dụng, Nhà  xuất Khoa học tự nhiên cơng nghệ (sẽ ra) 3 Hồng Tụy, Lý thuyết tối ưu, Viện toán học, 2006  Tài liệu tiếng Anh 4 Heinz H Bauschke and Patrick L Combettes, Convex Analysis and  Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, Springer, 2011 5 Paulo Santos and Susana Scheimberge, An innexact subgradient algorithm  for Equilibrium Problems, volume 30, N 1, pp 91-107, 2011 ... PHẠM ––––––––––––––––––––– PHẠM HÙNG KHÁNH TOÁN TỬ CHIẾU VÀ ÁP DỤNG GIẢI BÀI TỐN CÂN BẰNG Chun nghành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH... Phép chiếu không gian Hibert .19 2.1 Định nghĩa ví dụ 19 2.2 Các tính chất 26 2.3 Một số trƣờng hợp cụ thể .28 Chƣơng Áp dụng giải toán cân .32 3.1 Bài toán cân. .. .32 3.1 Bài toán cân 32 3.1.1 Phát biểu toán cân 32 3.1.2 Những trường hợp đặc biệt toán cân 35 3.2 Phƣơng pháp chiếu giải toán cân 48 Kết luận 56 Tài liệu tham