Toán tử chiếu và toán tử Unita

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường LỜI CẢM ƠN Trước hết tơi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo trường Sư Phạm Hà Nội 2, đặc biệt thầy cô giáo khoa Tốn dạy dỗ tơi qua năm Đại học Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn, tiến sĩ Bùi Kiên Cường tạo điều kiện tốt bảo tận tình để tơi hồn thành khóa luận tốt nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Phan Thị Thủy Phan Thị Thủy K35G- SP Tốn LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết thân trình học tập nghiên cứu bậc đại học, bên cạnh tơi nhận quan tâm, giúp đỡ tạo điều kiện thầy giáo khoa Tốn đặc biệt thầy giáo hướng dẫn, tiến sĩ Bùi Kiên Cường Vì tơi xin khẳng định kết đề tài:“Tốn tử chiếu tốn tử unita” khơng có trùng lặp với đề tài khác, sai xin hoàn thành chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm2013 Sinh viên Phan Thị Thủy MỤC LỤC Lời nói đầu .1 CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1.Không gian định chuẩn .2 1.1.2.Tích vơ hướng 1.1.3.Không gian Hilbert 1.2 Tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Hilbert 1.2.1.Các định nghĩa 1.2.2.Ví dụ .10 CHƯƠNG TOÁN TỬ CHIẾU 12 2.1 Định nghĩa toán tử chiếu 12 2.2 Tính chất phép tốn tốn tử chiếu 14 2.2.1 Định lí 2.2.1 14 2.2.2 Định lí 2.2.2 15 2.2.3 Định lí 2.2.3 15 2.2.4 Phép toán toán tử chiếu 17 2.2.5 Dãy đơn điệu toán tử chiếu .20 2.2.6 Khẩu độ hai đa tạp tuyến tính 22 CHƯƠNG TOÁN TỬ UNITA 26 3.1 Định nghĩa toán tử unita 26 3.2 Tính chất unita 27 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lí thuyết hàm Giải tích hàm đời phát triển vào năm đầu kỉ 20, có nhiều tầm quan trọng ứng dụng nghành tốn học, giải tích hàm mơn quan trọng, việc học nắm vững môn cần thiết sinh viên khoa Tốn Nội dung giải tích hàm phong phú, đa giạng kiến thức lớp với lượng thời gian eo hẹp với mẻ khó mơn làm cho việc tiếp thu kiến thức giải tích hàm trở nên khơng dễ dàng với sinh viên khoa Tốn Do để nắm vững kiến thức Giải tích hàm đồng thới với tâm bước đầu vào nghiên cứu khoa học, để tự tin việc dạy học sau trường, chọn đề tài: “Toán tử chiếu toán tử unita khơng gian Hilbert” để làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu Giải tích hàm đặc biệt lí thuyết toán tử Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tốn tử chiếu, tính chất tốn tử chiếu, tốn tử unita tính chất chúng Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp đánh giá Cấu trúc khóa luận Ngồi phần Mở đầu, Kết luận, Nội dung gồm ba chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Toán tử chiếu Chương 3: Toán tử unita CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi không gian định chuẩn không gian tuyến tính X trường P  P □ P  □  với ánh xạ từ X vào tập số thưc □ , kí hiệu đọc chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau: 1)  x  X  , x  0, x   x   2) x  X  ,    P  ,  x   x 3)x, y  X  , xy  x  y Số x gọi chuẩn vectơ x Ta kí hiệu khơng gian định chuẩn X Các tiên đề 1),2),3) gọi hệ tiên đề chuẩn Ví dụ 1.1.1 Đối với số thực x □ ta đặt: x  x Nhờ tính chất giá trị tuyệt đối số thực, công thức cho ta chuẩn □ Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu □ Ví dụ 1.1.2 k Cho khơng gian vectơ thực □ , đó:   □ k  x   x1, x2 , , xn  xi □ ,i  1, 2, k Đối với vectơ x   x1, x2 , , xn   □k ta đặt: k x x j1 j k □ (1.1.2) Từ công thức x  d (x, ) hệ tiên đề metric suy công thức (1.1.2) cho chuẩn □ k Khơng gian định chuẩn tương ứng kí k hiệu □ 1.1.2 Tích vơ hướng Định nghĩa tích vơ hướng Định nghĩa 1.1.2 Cho khơng gian tuyến tinh X trường P  P □ P □  Ta gọi tích vơ hướng khơng gian X ánh xạ từ tích Descates X  X vào trường P , kí hiệu .,. thỏa mãn tiên đề: 1)  x, y  X  , y, x   x, y 2) x, y, z  X  , x  y, z    x, z    y, z  3) x, y  X  ,   P ,  x, y     x, y  4)  x  X  , x, x  0,x   với phần tử không,  x, x  x   Các phần tử x, y, z, gọi nhân tử tích vơ hướng, số  x, y  gọi tích vơ hướng hai nhân tử x y Các tiên đề 1),2),3),4) gọi hệ tiên đề tích vơ hướng Các tính chất đơn giản 1) x  X  ,  , x   0x, x  0. x, x  2)  x, y  X  ,   P , x, y     x, y  Thật vậy,  x, y    y, x    y, x    x, y  3) x, y, z  X  , x, y  z    x, y    x, z  Thật vậy,  x, y  z    y  z, x   y, x   z, x   x, y    x, z  Ví dụ 1.1.2: Khơng gian □ k không gian vectơ k chiều Với x  k k x j □ j1   , yj y  k k j1  □ , ta đặt: k  x, y    (1.1.2) x jy j j1 k Thì □ với hệ thức (1.1.2) thỏa mãn hệ tiên đề tích vơ hướng Thật vậy: 1)  x  k x j k j1 □ ,   yj y  k k j1  □ , ta có : k  x, y    xj y j j1 k   x, y    x j y j j 1 k   x, y    x j y j j 1 k   x, y    y j x j   y, x j 1 (Tiên đề thỏa mãn) 2) k k ,  □ y  x  xj   k j1 k  x  y, z     j1 yj  k k j1  □ , z  x j  y j z j k    x j z j  y j z j  j1 k k j1 j 1   x j z j    y j z j    x  y, z    x, z    y, z  (Tiên đề chứng minh) 3) k  , k   k k z j j1 k  □ ta có: x  x j j1 □ y  yj j1  □ ,   □ , ta có: k k j 1 j 1  x, y    x j y j    x j y j    x, y (tiên đề thỏa mãn) 4) x   x  x, x   k k j j1  □ , ta có: k   x 2  j j1   x, x  x    x, x  k   x 2  j j1  x j  0,  j  1, 2, , k  x (tiên đề thỏa mãn) k Vậy □ với hệ thức (1.1.2) thỏa mãn hệ tiên đề tích vơ hướng 1.1.3 Khơng gian Hilbert 1.1.3.1 Định nghĩa không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.3.1 Ta gọi tập H   gồm phần tử x, y, z, không gian Hilbert, tập H thỏa mãn điều kiện: 1) H không gian tuyến tính trường P 2) H trang bị tích vơ hướng 3) H khơng gian Banach với chuẩn x   x, x , x  H Ta gọi mội không gian tuyến tính đóng khơng gian Hilbert H khơng gian Hilbert khơng gian H Ví dụ 1.1.3.1 Kí hiệu y   yn k □ không gian vectơ thực k chiều Với x   xn  □ k ,  □ k Chuẩn sinh tích vơ hướng (1.1.2) x   x, x k x , x x  □ k (1.1.3.1) n1 Khi khơng gian vectơ thực □ với tích vơ hướng (1.1.2) k khơng gian Hilbert Ví dụ 1.1.3.2 Kí hiệu  l2 không gian vectơ dãy sô phức x   xn  cho chuỗi số  xn hội tụ x   xn   l2 ,y   yn   l2 , ta đặt: n1   x, y    xn y n n1 Dễ dàng thấy hệ thức thỏa mãn hệ tiên đề tích vơ hướng Chuẩn sinh tích vô hướng là: x   x n1 n , x   xn   l Khi khơng gian vectơ l với tích vơ hướng khơng gian Hilbert 1.1.3.2 Tính trực giao Định nghĩa 1.1.3.2 Cho không gian Hilbert H Hai phần tử x, y  H gọi trực giao, kí hiệu x  y  x, y   n Từ phép cộng thấy độ mà có  đa tạp chứa vectơ khác mà trực giao với đa tạpkia Định lí 2.2.8 Nếu độ hai đa tạp tuyến tính M1 M2 Khi dim M1  dim M Tức hai đa tạp tuyến tính có số chiều Chứng minh Nó đủ để chứng minh bất đẳng thức: dim M1  dim M  Suy tồn vectơ khác M mà trực giao với mục đích trên, ta chiếu M lên M G  P2 M1 M1.Với có chiều mà khơng lớn chiều không gian M1 kết chiều nhỏ  chiều M Do M2 □ G chứa vectơkhác M chứa vectơ khác  đó, , mà trực giao với G Vectơ trực giao với toàn khơng gian M1 khơng gian M1 □ G trực giao với M Khi ta có điều phải chứng minh Định lí 2.2.9 Khẩu độ hai đa tạp tuyến tính tính công thức sau:   M1, M2   max   su p  E  P1  f ,  E  P g    sup Chứng minh  f M , f 1 gM1 , g 1 Theo định nghĩa độ cơng thức (2.2.6) ta có:  P2  P1  x  M , M   sup xH x  P E  P  x   sup P E P x (2.2.9) x xH Phương trình thu từ (2.2.9) cách hạn chế vectơ x khơng gian M1 Khi vế phải khơng đổi hay:   P2  E  P1  x  M1, M  sup  P1  E  P2  x x xM1 = sup  E  P2   2 xx xM1 Cũng cách ta có:  E  P1  x    M , M  sup  1 xM x Do đó,   M , M   max1,  2 Ta chứng minh:   M , M   max1,  2 Chúng ta thấy từ định nghĩa  có:  E  P  Px   Px  1 2 P2 E  P1 h (2.2.10)    P2 E  P1  x, P2   E  P1 x   P2  E  P1 x, E  P1 x    P E  P x,E  P2 x 1    E  P1 P2  E  P1 x, E  P1 x    E  P1  P2  E  P1    E  P  x x Theo định nghĩa 1 ta có: x  E  P1   1 x  PE P x 2 P E P  x E P x 1 Suy P2  E  P1     E  P1  x x (2.2.11) Từ bất đẳng thức  2.2.10 &  2.2.11.  E  P2  P1 x  P2  E  P1  x  2 ta có: P1 x  1  2  max 1 , 2 x   E  P1  x  P x 2  E  P  x  2  max 1 , 2 Do cơng thức (2.2.9) ta được:   M , M   max1,  2 Khi định lí chứng minh   CHƯƠNG 3: TỐN TỬ UNITA Khơng gian chiều Eclude với phép toán đơn giản với phép quay khơng gian Nó làm khơng thay đổi chiều dài vectơ góc chúng.Bây xét tốn tử tương tự khơng gian Hilbert H tốn tử unita 3.1 Định nghĩa toán tử unita Định nghĩa 3.1.1 Toán tử U miền H  DU nếu:  H  H  U  H  toán tử unita Uf ,Ug    f , g  với f , g H Chúng ta nhấn mạnh đinh nghĩa khơng u cầu tốn tử tuyến tính Nhận xét: Từ định nghĩa U toán tử unita ta có: Uf ,Ug    f , g    f ,U *Ug    f , g  *  U Ug  g * * Suy U *  U 1 Hay U U  UU  I Ví dụ 3.1.1 Cho H không gian Hilbert H dãy số phức x   , x1, x0 , x1,  mà  x   xn   Tích vơ hướng xác định bởi:   x, y    xn yn    Toán tử U xác định U  xn    xn1  toán tử unita Thật vậy: U khả nghịch    Ux, y     xn1 yn  xn yn1   x,U y 1  Dẫn đến U *  U 1 Khi U tốn tử unita Ví dụ 3.1.2 Với H  L2 0,1 Toán tử U H xác định  Ux t   x  t  unita T ánh xạ 1-1 từ H vào H Ux  x ,x  H Một toán tử unita toán tử trực giao, điều ngược lại chưa trường hợp toán tử tự liên hợp A A  3.2 Tính chất tốn tử unita Tính chất 3.2.1.Tốn tử unita có nghịch đảo toán tử unita Chứng minh Nhớ lại toán tử U có nghịch đảo Uf  Ug kéo theo f g Giả thiết, Uf  Ug đó:  Uf Ug,Uf  Ug   Uf ,Uf   Uf ,Ug   Ug,Uf   Ug,Ug    f , f    f , g    g, f    g, g    f  g,  g  f Suy f Tử U 1  g.Nên U U 1 1 DU D 1 tồn  1  nên tốn tử U 1 xác định tồn khơng gian ảnh lên tồn khơng gian Chọn f ', g ' H cho f = U1 f ', g = U1g ' Suy Uf  f ',Ug  g ' Suy  U f ', U g '  Uf ,Ug    f , g    f ', g ' 1 Suy U 1 1 tốn tử unita Tính chất 3.2.2.Tốn tử unita tuyến tính Chứng minh Chọn g '  U 1g  g  Ug 'và cho  Uf , g   Uf ,Ug f f f 1 ' 2    f , g    f ,U g  1 '  1  f ,U 1    g f 2,U g  1  1 Uf1, g   2 Uf2 , g   1Uf1   2Uf2 , g  Từ g tùy ý nên: Uf  1Uf1   2Uf Khi ta có điều phải chứng minh Định lí 3.2.1 Nếu tốn tử tuyến tính U thỏa mãn điều kiện: (3.2.1) Uf ,Uf    f , f  DT  T  H tốn tử U unita Chứng minh Từ điều kiện (3.2.1) ta có: U  f   g ,U  f   g    f   g, f   g  Từ T tuyến tính nên: U  f  g,U  f  g  Uf ,Uf   Ug,Uf    Uf ,Ug    Ug,Ug   f   g, f   g    f , f     g, f     f , g     g, g   Uf ,Uf    Ug,Uf    Uf ,Ug    Ug,Ug    f , f     g, f     f , g     g, g  Lại từ (3.2.1) ta có:   Ug,Uf    Uf ,Ug     g, f     f , g  Từ  tùy ý nên: Uf ,Ug    f , g  Do U toán tử unita H1  Định nghĩa 3.1.2.Toán tử V với miền DV  V  H1  với miền H  H  đẳng cự nếu: Vf ,Vg  Trong   f , g với f , g  H1 H1, H không gian không gian Hilbert Toán tử unita H trường hợp đặc biệt toán tử đẳng cự mà H1  H  H Ví dụ 3.1.3.Cho  en  dãy trực giao đủ không gian Hilbert H  !A : Aen  en1,n  N   Nếu x  n1nen1 Ax   e n1 Ax n n1    n tuyến tính x n1 Do A toán tử đẳng cự Từ định nghĩa suy tính chất đơn giản sau: Mỗi tốn tử đẳng cự có nghịch đảo đẳng cự Nếu toán tử V ánh xạ tuyến tính từ H1vào H nếu: Vf ,Vf    f , f  với f  H1 Do V tốn tử đẳng cự Mỗi tốn tử đẳng cự tuyến tính Thật vậy, cho f ', f '' H f   f '  '' f '' Do g  H1   ' f ', g    '' f '', g  và: f,g Vf ,Vg  1   'Vf ',Vg    '' Vf '',Vg    'Vf '  ''Vf '',Vg  Do V  H ta có: Vf   'Vf '  ''Vf '' Do tốn tử V tuyến tính Tốn tử đẳng cự bảo tồn tích vơ hướng Nghĩa là: Vf ,Vg    f , g  ,f , g  H f  g  Vf  Vg Định lí 3.2.2.Một tốn tử bị chặn V khơng gian Hilbert H đẳng cự V  I H * V Chứng minh Nếu V đối xứng, x  H ta có Vx V Vx, x  Vx,Vx  Vx * Suy V * V 2 x  x 2 ,x  H đó:   x, x I Tương tự V * V Vx   I thì: Vx,Vx  V Vx, x * Khi ta có điều phải chứng minh  x, x x Định nghĩa 3.1.3.Cho không gian T1 T2 tốn tử tuyến tính tương ứng H1 H Do DT  H ,  T  H , DT  H ,  T  H 1 2 Toán tử T1 T2 gọi đẳng cấu unita tương đương tồn tốn tử đẳng cự V mà ảnh H1 H DT vào DT Do đó, VT1  T2Vf với f  DT f Nói cách khác T1 T2 unita tương đương nếu: 1 DT2  VDT2vàT 1 V T2V KẾT LUẬN Trong trình tìm hiểu nâng cao, chúng tơi làm quen với cách thức việc hiệu khoa học.Qua chúng tơi củng cố, thêm kiến thức Giải tích hàm, đồng thời thấy phong phú, lí thú tốn học Đặc biệt khóa luận nghiên cứu cách khái qt số vấn đề lí thuyết tốn tử không gian định chuẩn, sâu vào nâng cao tính chất phép tốn tốn tử chiếu tốn tử unita khơng gian Hilbert để từ làm sở cho ứng dụng tốn tử Chúng tơi hi vọng tài liệu tài liệu tham khảo bạn sinh viên quan tâm đến Giải tích hàm nói riêng tốn học nói chung Mặc dù có nhiều cố gắng song hạn chế thời gian kiến thức nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót nên tơi mong nhận góp ý thầy cô giáo bạn sinh viên TÀI LIỆU THAM KHẢO Phan Đức Chính (1978), Giải tích hàm - tập NXB Đại học Nguyễn Xuân Liêm (2000), Giải tích hàm NXB giáo dục Nguyễn Xuân Liêm (1997), Bài tập Giải tích hàm NXB, Giáo dục Phan Hồng Trường (2001), Đại số tuyến tính, trường ĐHSPHN2 Hồng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB ĐH Quốc gia HN Nguyễn Phụ Hy (2007), Giải tích hàm, NXB Khoa Học Kĩ Thuật HN N.I.Akhiezer and IM.Glazman, Theory of operator on Hilbert space ... tốn tử chiếu PG  P (2.2.6) toán tử chiếu P P G G2  G1 Trong trường hợp toán tử chiếu G1 ◻ G2 Chứng minh Điều kiện cần: Ta có Q  E  PG1  PG2 tốn tử chiếu Khi Q biểu diễn hai tốn tử chiếu. .. tục Vậy A tốn tử tuyến tính liên tục Ví dụ Cho toán tử Ax   0, x , 0, x , 0,  ,x   x   l n ta tìm tốn tử liên hợp toán tử A Toán tử A toán tử tuyến tính liên tục nên tồn tốn tử liên hợp... phép toán toán tử chiếu 14 2.2.1 Định lí 2.2.1 14 2.2.2 Định lí 2.2.2 15 2.2.3 Định lí 2.2.3 15 2.2.4 Phép toán toán tử chiếu 17 2.2.5 Dãy đơn điệu toán tử chiếu