Toán tử Fredholm và Parametrix của toán tử

Trường Đại học sư phạm hà nội Khoa tốn **************** Nguyễn đình tú tốn tử Fredholm parametrix toán tử Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học Tiến sĩ Bùi kiên cường Hà nội - 2007 Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Đình Tú Lời cảm ơn +Để hồn thành khố luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô giáo tổ Giải tích, khoa Tốn Trường Đại Học sư phạm Hà Nội động viên giúp đỡ em suốt q trình làm khố luận Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn - Tiến sĩ Bùi Kiên Cường tạo điều kiện tốt bảo tận tình để em hồn thành khoá luận tốt nghiệp Do thời gian kiến thức có hạn nên vấn đề trình bày khố luận khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn sinh viên Một lần em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên Nguyễn Đình Tú Các kí hiệu viết tắt  Kết thúc chứng minh K Trường số thực trường số phức L( X ,Y Tập tất tuyến tính bị chặn từ khơng gian định chuẩn X vào ) không gian định chuẩn Y L(X , K)  Tập phiếm hàm tuyến tính liên tục từ X vào K X gọi  X không gian liên hợp không gian định chuẩn X R(A) A(X )   Ax :x X  ảnh toán tử A W (A)  x X : Ax 0 hạt nhân toán tử A dist(x0 , L) x  khoảng cách từ điểm x0 đến tập L inf x0 xL dimX : số chiều không gian X codimX : số đối chiều không gian X indA hay index A : số toán tử tuyến tính A X : Bao đóng tập hợp X S 0,C  - Hình cầu đóng tâm O, bán kính C (C > 0) phần tử khơng cấu trúc nhóm phần mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết hàm Giải tích hàm có tầm quan trọng đặc biệt Tốn học có ứng dụng vào chuyên ngành khác giải tích phức, lý thuyết xấp xỉ, phương trình đạo hàm riêng… Có thể nói Giải tích hàm sở hầu hết mơn học Vì việc học nắm vững môn học điều cần thiết sinh viên khoa Toán Nội dung Giải tích hàm phong phú, đa dạng Kiến thức lớp với lượng thời gian eo hẹp khó sâu nghiên cứu cách hoàn chỉnh vấn đề mơn Vì lý em chọn đề tài: ‘Toán tử Fredholm Parametrix toán tử’ để làm khoá luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với cơng việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu Giải tích hàm đặc biệt khơng gian Banach Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tính chất, điều kiện tương đương tốn tử Fredholm không gian Banach không gian Hilbert, với toán tử Fredholm thay phiên nhờ cặp đối ngẫu Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp đánh giá Cấu trúc khoá luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khoá luận gồm chương Chương Cơ sở lý thuyết Chương Toán tử Fredholm Chương Parametrix toán tử Chương Cơ sở lý thuyết 1.1 Không gian định chuẩn 1.1.1 Không gian định chuẩn Giả sử X không gian tuyến tính trường K Hàm  : X  gọi chuẩn X x x (i) x 0, x X (ii) x 0 x (phần tử không) (iii) x x , x X , K  (iv) x y  y ,x, y X x  Số x gọi chuẩn x không gian ( X  ) gọi , khơng gian định chuẩn Trong đó, X khơng gian tuyến tính,  chuẩn X 1.1.2 Không gian Nếu X0 khơng gian tuyến tính X chuẩn xác định X0 chuẩn xác định X X0 gọi không gian định chuẩn không gian định chuẩn X 1.1.3 Liên hệ không gian định chuẩn không gian metric Giả sử X không gian định chuẩn, x, y X Đặt d (x, y) x   y , (*) Ta có d Metric X gọi Metric cảm sinh  Do đó, không gian định chuẩn không gian Metric 1.1.4 Không gian Banach Không gian định chuẩn , X   gọi đầy đủ (X, d) khơng gian Metric đầy đủ, d Metric (*)  Một không gian định chuẩn  đầy đủ gọi khơng gian X , Banach Khơng gian định chuẩn X gọi không gian phản xạ X X ** 1.1.5 Sự hội tụ không gian định chuẩn a) Lân cận yếu Cho tập X không gian định chuẩn, x X Tập U  y X : f ( y) f (x)  , 0 cho trước f X   gọi lân cận yếu điểm x b) Hội tụ yếu Cho X không gian định chuẩn Dãy (xn ) X gọi hội tụ yếu tới phần tử x X với lân cận yếu U x, tìm số nguyên yÕ u dương n0 cho n xn U Kí n0 hiệu c) Hội tụ mạnh Dãy (xn ) X xn  x  n   gọi hội tụ hay hội tụ mạnh tới x0 không gian định chuẩn X,  0, n0   :n n0 : xn   x0 1.2 Tốn tử tuyến tính liên tục 1.2.1 Các định nghĩa ánh xạ A hai không gian định chuẩn X Y trường K gọi tuyến tính, ánh xạ A thoả mãn: (i) (ii) A(x A(x)  Ax, x X , K y) Ax Ay, x, y X Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính hai khơng gian định chuẩn X Y toán tử tuyến tính hay tốn tử Khi Y K tốn tử A thường gọi phiếm hàm tuyến tính Tốn tử A hai không gian định chuẩn X Y gọi giới nội (bị chặn) tồn số dương C, cho Ax , x X C x Giả sử tốn tử tuyến tính giới nội A từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Số A inf C :x C x gọi chuẩn toán tử A X , Ax Tốn tử tuyến tính liên tục A ánh xạ không gian định chuẩn X lên không -1 gian định chuẩn Y có tốn tử tử ngựơc A liên tục Khi đó, tốn tử A gọi phép đồng phơi tuyến tính từ khơng gian X lên khơng gian Y Hai không gian định chuẩn gọi đồng phôi tuyến tính tồn phép đồng phơi tuyến tính từ khơng gian lên khơng gian 1.2.2 Tính chất Định lý 1.2.1 Cho tốn tử tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Ba mệnh đề sau tương đương (+) A liên tục (+) A liên tục x0 thuộc X điểm (+) A bị chặn 1.3 Toán tử liên hợp * * 1.3.1 Định nghĩa Cho X Y hai không gian định chuẩn, X , Y hai không gian liên hợp X Y tương ứng Giả sử A toán tử tuyến tính giới nội từ X vào Y Khi đó, tốn tử A: X     A y y A, với y Y    Y  thoả mãn:   Tức ( A y )(x)   y (Ax), x X Toán tử A gọi toán tử liên hợp toán tử A  Toán tử liên hợp toán tử A gọi toán tử liên hợp thứ hai A kí hiệu  A , A  A :X    ( A )  Y  , xác định bởi: v,u với X 0 u v cố định, v X , v  * Ngược lại, v,u  với v u cố định, u  X * X u  , theo định lý Halm - Banach Ví dụ 3.4.2 Cho X :Ca ,b, a b  Khi đó, X , X là dạng với cặp đối ngẫu với ánh xạ b u, D : vx  u v  x  dx a  , với u,v X Thật vậy, đặt u max u x  axb Do đó, Nếu u, v u,v D  a , với u,v X b  u v  với u X v cố định thuộc , D v x 0 a,b  Chú ý rằng, không gian đối ngẫu C * tương ứng hàm có biến a , b phân bị chặn Bởi vậy, cặp đối ngẫu X , từ ví dụ 3.4.1 có cấu trúc đơn X giản cặp đối ngẫu thông thường X , * X  Ta xét phương trình tốn tử Au b , u X , (23) với phương trình đối ngẫu A v 0 , D Với Au, v D D A v,u * v ,  X D (23 ) với u,v X (24) Định lý 3.4.1 (Dạng Fredholm thay phiên) Giả sử (i) Y , X là cặp đối ngẫu, X ,Y không gian Banach trường K (ii) Tốn tử tuyến tính liên tục A , AD : X Fredholm với  D ind A ind A Y D (iii) Toán tử A đối ngẫu với A, theo nghĩa hệ thức (24) thoả mãn Khi đó, với bY , phương trình gốc (23) có nghiệm u kh i b, v  với nghiệm v phương trình đối ngẫu (23*) D Chứng minh Ta muốn quy trường hợp Fredholm thay phiên thông thường Bước 1: Trước tiên, ta dim N A NA T  D dim (25) để làm việc này, lấy A n f j  u  : u, vj Khi f Y * , j j j A v ,u 0 D j j D với u Y Vì vậy, theo (24), f Au Au, v  f, Au Ta xác định với u Y f j  u const u vj Do AT f ,u   sở N  v , ,v  j D D 0 với u Y , tức là, f , , f n  độc * Y lập tuyến tính Thật vậy, từ f 1  n nf 0 với n suy u,v  v 1 n D n với u Y Tức 1 là,   0 v   ,K 0 v1 0 dẫn đến n n n Bước 2: Bằng phép chứng minh tương tự bước ta có (26) dim N Adim N A   D T D Bước 3: Vì tốn tử A A codim R Adim N A T Fredholm, ta có và codim R A dim N A D D T  Do đó, từ ind A dim N A codim R A codim R A D dim N A ind A D D , với ind A  D ind A , suy ta thay dấu bởi dấu = phương trình (25) (26) Do đó, f1, , fn là sở N AT  Bước 4: Vì tốn tử A Fredholm, phương trình ban đầu Au  b, u  X có nghiệm f j ,b 0 với j = 1,…,n Theo định nghĩa fj , điều tương đương với b,vj 0 với j 1, ,n  3.5 áp dụng với phương trình tích phân tốn giá trị biên Ta xét phương trình tích phân b x Ax, y  u y dy  h x  u , a x b , (27) a với phương trình tích phân đối ngẫu b v x Ay, x  v y dy 0 , a x b (27*) a Mệnh đề 3.5.1 Giả sử hàm A :  a,b   a,b   liên tục, a b  h Ca ,b, tốn gốc (27) có Khi đó, với nghiệm u Ca ,b b trình đối ngẫu (27*) hx  v xdx 0 với v a a,b nghiệm C  ta sử dụng cặp đối ngẫu X : X , X Chứng minh Đặt Ca ,b u,v phương b : u x  v  D với với u,v X  x  dx a (Đã nêu ví dụ 3.4.2 mục 3.4 chương 3) b Định nghĩa Au x:u xAx, y u y dy a b x: A D v v x Ay, x  v y  dy , với x  a,b a Toán tử tuyến tính A nhiễu compact đơn vị Do đó, định lý 3.2.1 A:X  X Fredholm với số không Với cách chứng minh tương tự, ta có AD : X  X Fredholm với số không Cuối cùng, u, v X b b    Ax, y  u a a x  dx  y dy   ta hệ thức đối ngẫu  v      Ax, y v x  dx  u  ,  a  a b b y dy Au,v D D A v,u , với u,v X D  Do kết luận mệnh đề suy từ định lý 3.4.1 Tiếp theo ta nghiên cứu toán giá trị biên: u uu 0 [a,b], u(a) = u(b) = 0, (28) với toán đối ngẫu  v   v  v 0 [a,b], v(a) = v(b) = Mệnh đề 3.5.2 Cho Ca,b, Ca,b, giả sử  a,b Khi với  Ca,b, x 0 gốc (28) có nghiệm (28*) a b , h  cho trước, toán Ca ,b u 2a,b  b hx  v xdx 0 a với nghiệm v 2a,b toán đối ngẫu (28*)   C X : u :u a,b   Chứng minh Đặt  a u b0 chuẩn u :max u xmax uxmax u  x , X axb axb  axb Y : , với Ca,b u :max u x  Y axb Khi đó, X Y không gian Banach thực Ta muốn sử dụng cặp đối ngẫu Y , X với v,u b D  v x  u x với v Y , u X  dx 0 a Ta định nghĩa tốn tử tuyến tính A, AD X bởi:  : Y Au :u   u u với u X , A D v  v    v v 0 với v X Với u,v X , phép lấy tích phân cho kết hệ thức đối ngẫu Au, v b D   u uu vdx =  a    v  u vu uv dx    a    v   v ADv,v b  v  udx  D     a D A, A X Cuối ta chứng minh toán tử :  Y = b Fredholm với số khơng Khi đó, kết luận mệnh đề suy từ định lý 3.4.1 chương Để làm điều này, ta định nghĩa tốn tử tuyến tính B, C: X Y Bu :  u Cu :u  với u X u Ta chứng minh tính chất sau: (a) B: X tuyến tính, liên tục song ánh  Y (b) C: X Y tuyến tính compact Điều tốn tử A: = B + C nhiễu compact toán tử Fredholm B với số khơng Theo định lý 3.2.1 tốn tử A Fredholm với số không Kết luận a) Hiển nhiên, ta có Bu max  x max u Y x  const u axb axb X , u  X (29) Do B liên tục Với h Y  u  h  a,b ,  , toán giá trị ban đầu u  a  uacó nghiệm 0, Thật theo ví dụ 2.4.2 chương theo giả thiết x  0 a,b, ta có x u   x  ux  ht  dt C ,  h u x  x  a ht  a   dt dt C x C    t  a  t  Theo điều kiện biên u a  0    C  C a 0  C      1  C  a  u a  x x   h t  Khi   C1 u x   a a    dt dt     x a , x a,b chọn theo t   cách thích hợp ta thấy với h toán trị biên Y  u  h  a,b , u  a u b0 , có nghiệm u X Như vậy, B: X Y song ánh Kết luận (b) Giống (29), ta thu Cu const u , u X Y X Như vậy, C liên tục Giả sử M tập bị chặn X Khi đó, với u X x, y a,b, ta có ux uy max uz   azb  sup u uM u x u y  sup u X  uM x y x y X x y Theo định lý Arzela – Ascoli, tập C(M) compact tương đối Y, tốn tử C: D X compact Bằng phép chứng minh tương tự, ta toán  Y tử A : X Fredholm với số khơng  Y  Kết luận Trong q trình tìm hiểu, nghiên cứu khố luận, em bước đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu Qua em củng cố thêm kiến thức giải tích học, đồng thời thấy phong phú, lý thú toán học Đặc biệt khoá luận em nghiên cứu cách có hệ thống kỹ vấn đề toán tử Frecdholm Parametric tốn tử khơng gian Banach khơng gian Hilbert Khi xem xét Parametric tốn tử, có điều kiện để xét toán tử toán tử Frecdholm mối liên hệ số Frecdholm tích Mặc dù có nhiều cố gắng, song hạn chế nhiều thời gian kiến thức nên khố luận khơng tránh khỏi thiếu xót Em mong nhận góp ý thầy cô giáo bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! tài liệu tham khảo Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nxb Khoa học kỹ thuật, Hà Nội Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích hàm, Nxb Giáo dục Phan Đức Chính (1976), Giải tích hàm, tập 1, Nxb GDCN Nguyễn Xuân Liêm (2004), Bài tập giải tích hàm, Nxb Giáo dục Eberbard Zeidler (1995), Applied FunctionalAnalysis, (Bản tiếng Anh), NewYork, USA ... tục Ngồi ra, A tốn tử compact, tốn tử CAB : Z V toán tử compact , Hệ Giả sử X không gian định chuẩn Toán tử toán tử compact, với AL( X ) B L( X ) Khi toán tử BA AB toán tử compact Định lí... phần tử a f 1.5.3 Tốn tử liên hợp (trong khơng gian Hilbert) Định nghĩa Cho toán tử A toán tử A tốn tuyến tính bị chặn ánh xạ khơng gian Y vào khơng gian X gọi tốn tử liên hợp với toán tử A... tử tuyến tính giới nội từ X vào Y Khi đó, tốn tử A: X     A y y A, với y Y    Y  thoả mãn:   Tức ( A y )(x)   y (Ax), x X Toán tử A gọi toán tử liên hợp toán tử