Toán tử fredholm và parametrix của toán tử

Trường Đại học sư phạm hà nội Khoa toán **************** Nguyễn đình tú toán tử Fredholm parametrix toán tử Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học Tiến sĩ Bùi kiên cường Hà nội - 2007 Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Đình Tú Lời cảm ơn +Để hoàn thành khoá luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô giáo tổ Giải tích, khoa Toán Trường Đại Học sư phạm Hà Nội động viên giúp đỡ em suốt trình làm khoá luận Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn - Tiến sĩ Bùi Kiên Cường tạo điều kiện tốt bảo tận tình để em hoàn thành khoá luận tốt nghiệp Do thời gian kiến thức có hạn nên vấn đề trình bày khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn sinh viên Một lần em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên Nguyễn Đình Tú Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Đình Tú Các kí hiệu viết tắt  Kết thúc chứng minh K Trường số thực trường số phức L( X , Y ) Tập tất tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y L( X , K )  X  Tập phiếm hàm tuyến tính liên tục từ X vào K X  gọi không gian liên hợp không gian định chuẩn X R( A)  A( X )   Ax : x  X  ảnh toán tử A W ( A)  x  X : Ax  0 hạt nhân toán tử A dist( x0 , L)  inf x  x0 khoảng cách từ điểm x0 đến tập L xL dimX : số chiều không gian X codimX : số đối chiều không gian X indA hay index A : số toán tử tuyến tính A X : Bao đóng tập hợp X S 0, C  - Hình cầu đóng tâm O, bán kính C (C > 0)  phần tử không cấu trúc nhóm Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Đình Tú phần mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết hàm Giải tích hàm có tầm quan trọng đặc biệt Toán học có ứng dụng vào chuyên ngành khác giải tích phức, lý thuyết xấp xỉ, phương trình đạo hàm riêng… Có thể nói Giải tích hàm sở hầu hết môn học Vì việc học nắm vững môn học điều cần thiết sinh viên khoa Toán Nội dung Giải tích hàm phong phú, đa dạng Kiến thức lớp với lượng thời gian eo hẹp khó sâu nghiên cứu cách hoàn chỉnh vấn đề môn Vì lý em chọn đề tài: ‘Toán tử Fredholm Parametrix toán tử’ để làm khoá luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu Giải tích hàm đặc biệt không gian Banach Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tính chất, điều kiện tương đương toán tử Fredholm không gian Banach không gian Hilbert, với toán tử Fredholm thay phiên nhờ cặp đối ngẫu Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp đánh giá Cấu trúc khoá luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khoá luận gồm chương Chương Cơ sở lý thuyết Chương Toán tử Fredholm Chương Parametrix toán tử Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Đình Tú Chương Cơ sở lý thuyết 1.1 Không gian định chuẩn 1.1.1 Không gian định chuẩn Giả sử X không gian tuyến tính trường K Hàm  : X   gọi chuẩn X x x (i) x  0, x  X (ii) x   x   (phần tử không) (iii)  x   x , x  X ,   K (iv) x  y  x  y , x, y  X Số x gọi chuẩn x không gian ( X ,  ) gọi không gian định chuẩn Trong đó, X không gian tuyến tính,  chuẩn X 1.1.2 Không gian Nếu X0 không gian tuyến tính X chuẩn xác định X0 chuẩn xác định X X0 gọi không gian định chuẩn không gian định chuẩn X 1.1.3 Liên hệ không gian định chuẩn không gian metric Giả sử X không gian định chuẩn, x, y  X Đặt d ( x, y )  x  y , (*) Ta có d Metric X gọi Metric cảm sinh  Do đó, không gian định chuẩn không gian Metric 1.1.4 Không gian Banach Khoá luận tốt nghiệp Không gian định chuẩn  X ,  Nguyễn Đình Tú  gọi đầy đủ (X, d) không gian Metric đầy đủ, d Metric (*) Một không gian định chuẩn X,   đầy đủ gọi không gian Banach Không gian định chuẩn X gọi không gian phản xạ X  X ** 1.1.5 Sự hội tụ không gian định chuẩn a) Lân cận yếu Cho tập X không gian định chuẩn, x  X Tập U   y  X : f ( y)  f ( x)   ,   cho trước f  X  gọi lân cận yếu điểm x b) Hội tụ yếu Cho X không gian định chuẩn Dãy ( xn )  X gọi hội tụ yếu tới phần tử x  X với lân cận yếu U x, tìm số nguyên yÕu  x n   dương n0 cho n  n0 xn U Kí hiệu xn  c) Hội tụ mạnh Dãy ( xn )  X gọi hội tụ hay hội tụ mạnh tới x0 không gian định chuẩn X,   0, n0    :n  n0 : xn  x0   1.2 Toán tử tuyến tính liên tục 1.2.1 Các định nghĩa ánh xạ A hai không gian định chuẩn X Y trường K gọi tuyến tính, ánh xạ A thoả mãn: (i) A( x  y )  Ax  Ay, x, y  X (ii) A( x)   Ax, x  X ,   K Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính hai không gian định chuẩn X Y toán tử tuyến tính hay toán tử Khi Y  K toán tử A thường gọi phiếm hàm tuyến tính Toán tử A hai không gian định chuẩn X Y gọi giới nội (bị chặn) tồn số dương C, cho Ax  C x , x  X Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Đình Tú Giả sử toán tử tuyến tính giới nội A từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Số A  inf C : x  X , Ax  C x gọi chuẩn toán tử A Toán tử tuyến tính liên tục A ánh xạ không gian định chuẩn X lên không gian định chuẩn Y có toán tử tử ngựơc A-1 liên tục Khi đó, toán tử A gọi phép đồng phôi tuyến tính từ không gian X lên không gian Y Hai không gian định chuẩn gọi đồng phôi tuyến tính tồn phép đồng phôi tuyến tính từ không gian lên không gian 1.2.2 Tính chất Định lý 1.2.1 Cho toán tử tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Ba mệnh đề sau tương đương (+) A liên tục (+) A liên tục điểm x0 thuộc X (+) A bị chặn 1.3 Toán tử liên hợp 1.3.1 Định nghĩa Cho X Y hai không gian định chuẩn, X*, Y* hai không gian liên hợp X Y tương ứng Giả sử A toán tử tuyến tính giới nội từ X vào Y Khi đó, toán tử A : X   Y  thoả mãn: A y  y A, với y  Y  Tức ( A y )( x)  y ( Ax), x  X Toán tử A gọi toán tử liên hợp toán tử A Toán tử liên hợp toán tử A gọi toán tử liên hợp thứ hai A kí hiệu A , A  ( A ) A : X   Y  , xác định bởi: A x  x A , x  X  1.3.2 Tính chất Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Đình Tú Định lý 1.3.1 Toán tử liên hợp A toán tử A toán tử tuyến tính giới nội Hơn A*  A Định lí 1.3.2 Giả sử X, Y, Z không gian định chuẩn A, B L( X , Y ), C  L( X , Z )   K Khi đó: ( A)   A , ( A  B )  A  B , (CA)  AC  Định lý 1.3.3 Thu hẹp A  lên X, tức A x  Ax , với x  X A   A Định lí 1.3.4 Giả sử X Y hai không gian định chuẩn trường K A L( X , Y ) Nếu A có toán tử ngược bị chặn A-1 A có toán tử ngược bị chặn ( A* )1  ( A1 ) 1.4 Toán tử Compact Toán tử compact Giả sử X, Y hai không gian định chuẩn Toán tử tuyến tính A : X  Y gọi toán tử compact A ánh xạ tập bị chặn X thành tập compact tương đối Y Như vậy, tính compact toán tử tuyến tính mạnh tính liên tục Do đó, người ta gọi toán tử compact toán tử hoàn toàn liên tục 1.4.2 Ví dụ a) Toán tử tuyến tính liên tục hữu hạn chiều toán tử compact Thật vậy, giả sử A : X  Y toán tử tuyến tính liên tục hữu hạn chiều S tập bị chặn X Do A liên tục nên A(S) tập bị chặn A(X) Vì A(X) hữu hạn chiều nên A(S) tập compact tương đối Vậy toán tử A toán tử compact Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Đình Tú b) Toán tử đồng I không gian định chuẩn X toán tử compact X có số chiều hữu hạn Điều suy từ tính chất, hình cầu đơn vị không gian định chuẩn X compact tương đối X có số chiều hữu hạn c) Giả sử A :Ca ,b  Ca ,b ánh xạ xác định b  Ax  s    K  s,t  x  t  dt, a x  Ca,b , K  s,t  , hàm số thực liên tục hình vuông a,b  a,b Khi A toán tử compact Thật vậy, trước hết ta chứng minh x  Ca ,b , Ax hàm số liên tục a,b Hàm số K  s,t  liên tục tập hợp compact a,b  a,b nên bị chặn liên tục tập Do đó, M  cho K  s,t   M ,   s,t  a,b  a,b , với ε  cho trước bất kỳ, δ  cho   s ,t  , s ,t  a,b  a,b , 1 2 s1  s2  δ, t1  t2  δ  K  s1 ,t1   K  s2 ,t2   ε Từ suy b b a a  Ax  s1    Ax  s2    K  s1 ,t  x  t  dt   K  s2 ,t  x t  dt b   K  s1 ,t   K  s2 ,t  x  t  dt a b   K  s1 ,t   K  s2 ,t  x  t  dt a  ε b  a  x ,  Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Đình Tú với t1  t2  δ Vậy Ax hàm số liên tục (đều) a,b Dễ dàng thấy A toán tử tuyến tính Gọi B hình cầu đóng đơn vị không gian Ca ,b Ta áp dụng định lý Arzela - Ascoli (định lý 1.4.8) để chứng minh A(B) tập hợp compact tương đối không gian Ca ,b • A(B) tập hợp bị chặn Ca ,b Thật vậy, với x  B , ta có b b a a  Ax  s    K  s,t  x  t  dt   K  s,t  x  t  dt  M  b  a  x  M  b  a  , s  a,b  Do Ax  sup A  x  s   M  b  a  , x  B sa ,b • Các hàm số thuộc A(B) đồng liên tục a,b Thật vậy, từ bất đẳng thức  , suy  x  B,s1 ,s2   a,b  s1  s2  δ ,   Ax  s1    Ax  s2   ε  b  a  Vậy A toán tử compact 1.4.3 Tính chất Định lý 1.4.1 Nếu A : X  Y toán tử compact không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y A ánh xạ dãy hội tụ yếu X thành dãy hội tụ mạnh Y Định lý 1.4.2 Giả sử X, Y không gian định chuẩn, A, B toán tử compact từ X vào Y Khi với số  ,  toán tử ( A   B) compact Định lí 1.4.3 Giả sử X, Y, Z, V không gian định chuẩn, B: Z  X , A: X  Y C: Y  V , toán tử tuyến tính liên tục Ngoài ra, A toán tử compact, toán tử CAB : Z  V , toán tử compact Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Đình Tú v  Vì ngược lại, nghĩa tồn dãy bị chặn  n  Từ A  n    v  compact, ta có giả thiết dãy  A  n   hội tụ, điều mâu thuẫn với (16)   n   Kết luận (iii) Ta sử dụng tiêu chuẩn chứng minh từ lý thuyết hàm phức cổ điển Giả sử   A tập rỗng Khi toán tử  A  I  1 : X  X tuyến tính liên tục với   Giả sử  :  Khi R :  A   I      A  I  , 1 1 (17) Theo khai triển chuỗi ta    A  I      I   A   A2   1 hội tụ L  X , X  với   cho   r r đủ nhỏ Do đó, chuỗi  A   I    1 I   2 A  , 1 (18) hội tụ L  X , X  với   thoả mãn   r Với 0  cố định, ta có : R   A  0 I     0  I   R  I     0  R 1   R I     0  R     0  R   0   1 (19) Chuỗi hội tụ không gian L  X , X  với   thoả mãn   0   ,  đủ nhỏ Với chuẩn bị đó, ta định nghĩa hàm  :        : f  R u  với   , f  X * u  X cố định cho f  u   Theo (19), hàm  khai triển theo chuỗi hội tụ        0   a1    0   35 Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Đình Tú với   0 đủ nhỏ Chú ý điểm 0 chọn tuỳ ý Như vậy,  hàm giải tích  Do      d   (20) C Với đường tròn C quanh gốc Nếu C đủ lớn, từ (18) ta có: 1 2       d      f  u    f  Au    C C 1    f  u  d   2 if u  C Từ f  u   , điều mâu thuẫn với (20)  Chương parametrix toán tử 3.1 Parametrix Mệnh đề 3.1.1 Giả sử A : X  Y toán tử tuyến tính liên tục, với X Y không gian Banach trường K Khi đó, hai mệnh đề sau tương đương: (i) Toán tử A Fredholm (ii) Tồn toán tử tuyến tính liên tục P l , Pr : X  Y toán tử compact tuyến tính Cl : X  X Cr : Y  Y cho : PA  I  Cl l (21a) APr  I  Cr (21b) Chứng minh (i)  (ii) Chọn không gian tuyến tính V W X, Y X  N  A  V Y  R  A  W cho Cho P : X  N  A Q : Y  W 36 Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Đình Tú toán tử tuyến tính liên tục N(A) W tương ứng Xác định toán tử tuyến tính liên tục B : R  A  W  X B  u  w : A01u với u  R( A) , w W A0 : V  R  A kí hiệu hạn chế A : X  Y V Khi đó, A0 phép đồng phôi tuyến tính Cuối cùng, ý BA = I - P AB = I – Q Trong đó, P(X), Q(Y) không gian tuyến tính hữu hạn chiều nên toán tử P, Q compact Đặt Pr = Pl :=B ta có (21a) (21b) (ii)  (i) Theo định lí 2.5.1 chương 2, toán tử I + Cl I + Cr Ferdholm với số không Theo (21a), N  A  N  I  Cl  Do đó, dim N  A  dim N  I  Cr    Hơn nữa, từ (21b), ta có R  I  Cr   R  A Từ codimR  I  Cr    R  I  Cr  đóng, ta codimR  A   A toán tử Fredholm  Định nghĩa Toán tử Pl Pr (trong mệnh đề 3.1.1) gọi parametrix trái parametrix phải A 3.2 áp dụng với nhiễu toán tử FREDHOLM Giả sử F(X, Y) tập hợp tất toán tử Fredholm tuyến tính A : X  Y , X Y không gian Banach trường K Gọi L(X, Y) không gian Banach tất toán tử tuyến tính liên tục B : X  Y với chuẩn toán tử B 37 Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Đình Tú Mệnh đề 3.2.1 Giả sử S  F ( X , Y ) Khi tồn  >0 cho T  L( X , Y ) , thoả mãn T  S   Chứng minh Sử dụng bước phép chứng minh định lý 2.2.1 chương với thay đổi: (a) Thay tổng trực giao tổng trực tiếp (b) Thay phần bù trực giao, ví dụ N  , R  ,…, phần bù Topo Ta suy kết luận mệnh đề  Vì số số nguyên, mệnh đề 3.2.1 phát biểu dạng khác sau: Tập F(X, Y) mở L(X, Y) , hàm S  indS liên tục L( X , Y ) định lý 3.2.1 (Nhiễu Compact toán tử Fredholm) Toán tử S  F ( X , Y ) A F ( X , Y ) toán tử compact Khi đó, toán tử tuyến tính (S + A) Fredholm ind  S  A  indS Chứng minh Ta sử dụng phương pháp parametrix Vì S  F ( X , Y ) nên theo mệnh đề 3.1.1, tồn toán tử Pl , Pr  L( X , Y ) toán tử compact Cl  L( X , X ) , Cr  L(Y , Y ) thoả mãn PlS = I + Cl SPr = I + Cr cho Pl(S+A) = I + Cl + PlA (S + A)Pr = I + Cr + APr Vì toán tử A compact, nên PlA APr là compact Vì vậy, Pl Pr parametrix trái parametrix phải (S + A) Do đó, (S + A) Fredholm Bây giờ, xét hàm liên tục t  S  tA 38 Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Đình Tú từ 0,1 đến L( X , X ) Vì tA compact, toán tử S  tA Fredholm với t 0,1 Theo mệnh đề 3.2.1 ta có ind  S  tA  số với t 0,1 Đặc biệt ta có ind  S  A  indS  3.3 áp dụng với định lý số tích Định lý 3.3.1 A B Cho X  Y   A dãy toán tử Fredholm tuyến tính A B, X, Y Z không gian Banach trường K Khi đó, toán BA X  Z tử tuyến tính Fredholm ind  BA  indB  indA (22) Chứng minh Ta sử dụng phương pháp parametrix Với ý tích parametrix A B tạo parametrix BA Thật vậy, suy từ phần 3.1 Parametrix với j = 1, 2, tồn toán tử tuyến tính liên tục Pl  j  , P r j  toán tử compact liên tục Cl j  , C r j  thoả mãn Pl 1 A  I  Cl1 , APr1  I  Cr1 , Pl  2 A  I  Cl 2 , APr 2  I  Cr 2 Theo mệnh đề 2.1.5 chương tích toán tử compact, ta có Pl 1 Pl  2 BA  I  toán tử compact tuyến tính; BA Pr1 Pr 2  I  toán tử compact tuyến tính Vì vậy, tích BA có parametrix trái parametrix phải, theo định nghĩa parametrix ta có BA Fredholm Bây ta tính tích số BA Dãy không gian tuyến tính hữu hạn chiều sau khớp: A O  N  A  N  BA   R  A  N  B   O O  R  B  R  BA  Z R  BA  R  B   O 39 Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Đình Tú  B O   R  A  N  B   R  A  Y R  A   R  B  R  BA  O (22*)  O  N  B   R  A  N  B    N  B   R  A  R  BA  O đây, mũi tên A ,  B  tương ứng với ánh bao hàm tầm thường,  kí hiệu ánh xạ tắc  : Y  Y R  A Nhắc lại rằng:  U :  U  R  A Hơn nữa,  Bu  R  A: Bu  BR  A  Bu  R  BA Nhận xét rằng, không gian thương W V tập tất tập có dạng w  V , w W (Dãy ánh xạ i không gian Xi    X i 1   X i   X i 1  i 1 i gọi dãy khớp Imi1  Keri , i  1,2, Dãy ánh xạ không gian X i ,  i  1,2,3 f g  X   X   X3  gọi dãy khớp ngắn Im f  Ker g ) Tính khớp tất dãy suy từ N  A  N  BA R  BA  R  B  Ví dụ, N  A  N  BA ngụ ý ánh xạ bao hàm N  A  N  BA đơn ánh,  N  A  N  BA khớp Hơn nữa, ánh xạ A : N  BA  R  A  N  B  toàn ánh, A N  BA   R  A  N  B   khớp A  N  A  N  BA   R  A  N  B   khớp Do  A  B  C  dãy khớp, A , B , C hữu hạn chiều, nên ta có:   dim A  dim B  dim C   40 Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Đình Tú áp dụng điều với dãy khớp (22*) cộng hệ thức tương ứng số chiều (với dấu +, - , + , - ), ta thu được: dim N  A  dim N  BA  dim  Z R  B   dim Y R  A  dim N  B   Với ý codim R  BA  dim  Z R  BA , ta suy ind A  ind BA  ind B   3.4 toán tử fredholm thay phiên nhờ cặp đối ngẫu Ta trình bày lại dạng khác Fredholm thay phiên nhờ cặp đối ngẫu, thuận lợi xem xét với phương trình vi phân phương trình tích phân Cặp đối ngẫu Cho X Y không gian định chuẩn trường K Ta gọi {Y, X} cặp đối ngẫu tồn ánh xạ song tuyến giới nội  ,  D : Y  X  K thoả mãn (i) v, u (ii) v, u D D  với u  X kéo theo v =  ;  với v Y kéo theo u =  Ví dụ 3.4.1 Cho X không gian định chuẩn trường K Khi đó, X * , X  dạng cặp đối ngẫu với v, u D : v, u với v  X * , u  X (ở v, u  v  u  giá trị phiếm hàm v u) Thật vậy, với u  X v  X * , u, v  v u Nếu v, u  với u  X v cố định, v  X * , v   Ngược lại, v, u  với v  X * u cố định, u  X u   , theo định lý Halm - Banach Ví dụ 3.4.2 Cho X : Ca ,b , với   a  b   Khi đó,  X , X  dạng b cặp đối ngẫu với ánh xạ u, v :  v  x  u  x  dx , với u, v  X D a 41 Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Đình Tú Thật vậy, đặt u  max u  x  a  x b Do đó, Nếu u, v u, v D D   a  b  u v , với u, v  X  với u  X v cố định thuộc , v  x    a, b  Chú ý rằng, không gian đối ngẫu C*a ,b tương ứng hàm có biến phân bị chặn Bởi vậy, cặp đối ngẫu  X , X  từ ví dụ 3.4.1 có cấu trúc đơn giản cặp đối ngẫu thông thường  X * , X  Ta xét phương trình toán tử Au  b , u  X , (23) với phương trình đối ngẫu AD v  , v  X , Với Au, v D  AD v, u D (23*) với u, v  X (24) Định lý 3.4.1 (Dạng Fredholm thay phiên) Giả sử (i) Y , X  cặp đối ngẫu, X ,Y không gian Banach trường K (ii) Toán tử tuyến tính liên tục A , AD : X  Y Fredholm với ind A  ind AD (iii) Toán tử AD đối ngẫu với A, theo nghĩa hệ thức (24) thoả mãn Khi đó, với b Y , phương trình gốc (23) có nghiệm u b, v D  với nghiệm v phương trình đối ngẫu (23*) Chứng minh Ta muốn quy trường hợp Fredholm thay phiên thông thường Bước 1: Trước tiên, ta dim N  AD   dim N  AT  42 (25) Khoá luận tốt nghiệp để làm việc này, lấy Nguyễn Đình Tú v , , v  n sở N  AD  Ta xác định f j  u  : u, v j với u Y Khi f j  Y * , f j  u   const u v j với u Y Vì vậy, theo (24), f j  Au   Au, v j D  AD v j , u D 0 Do AT f j , u  f j , Au  với u Y , tức là, f1 , , f n  Y * độc lập tuyến tính Thật vậy, từ 1 f1    n f n  với 1 ,n  K suy u,1v1    nvn D 0 với u Y Tức là, 1v1    nvn  dẫn đến 1   n  Bước 2: Bằng phép chứng minh tương tự bước ta có dim N  A  dim N  A   D T (26) Bước 3: Vì toán tử A AD Fredholm, ta có codim R  A  dim N  AT  codim R  AD   dim N Do đó, từ  A   D T ind A  dim N  A  codim R  A  codim R  AD   dim N  AD   ind AD , với ind A  ind AD , suy ta thay dấu  dấu = phương trình (25) (26) Do đó,  f1 , , f n  sở N  AT  Bước 4: Vì toán tử A Fredholm, phương trình ban đầu Au  b, u  X có nghiệm f j , b  với j = 1,…,n Theo định nghĩa fj , điều tương đương với b, v j  với j  1, , n 43  Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Đình Tú 3.5 áp dụng với phương trình tích phân toán giá trị biên Ta xét phương trình tích phân b u  x    A  x, y  u  y  dy  h  x  , a  x  b , (27) a với phương trình tích phân đối ngẫu b v  x    A  y, x  v  y  dy  , a  x  b (27*) a Mệnh đề 3.5.1 Giả sử hàm A :  a, b   a, b   liên tục,   a  b   Khi đó, với h  Ca ,b , toán gốc (27) có nghiệm b u  Ca ,b  h  x  v  x  dx  với nghiệm v  Ca ,b phương a trình đối ngẫu (27*) Chứng minh Đặt X : Ca ,b ta sử dụng cặp đối ngẫu X , X  với b u, v D :  u  x  v  x  dx với u, v  X a (Đã nêu ví dụ 3.4.2 mục 3.4 chương 3) b  Au  x  : u  x    A  x, y  u  y  dy Định nghĩa a b  AD v   x  : v  x    A y, x  v  y  dy , với x a, b a Toán tử tuyến tính A nhiễu compact đơn vị Do đó, định lý 3.2.1 A : X  X Fredholm với số không Với cách chứng minh tương tự, ta có AD : X  X Fredholm với số không Cuối cùng, u, v  X b b b    A x , y u y dy v x dx            A  x, y  v  x  dx   u  y  dy , a  a   aa  b ta hệ thức đối ngẫu 44 Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Đình Tú Au, v D  AD v, u D , với u, v  X Do kết luận mệnh đề suy từ định lý 3.4.1  Tiếp theo ta nghiên cứu toán giá trị biên:  u    u    u  [a,b], u(a) = u(b) = 0, (28) với toán đối ngẫu  v     v    v   [a,b], v(a) = v(b) = (28*) Mệnh đề 3.5.2 Cho   C2a ,b ,   C1a ,b ,   Ca ,b ,   a  b   , giả sử   x    a, b Khi với h  Ca ,b cho trước, toán gốc (28) có nghiệm u  C2a ,b b  h  x  v  x  dx  a với nghiệm v  C2a ,b toán đối ngẫu (28*)   Chứng minh Đặt X : u  C2a ,b :u  a   u  b   chuẩn Y : Ca ,b , với u X : max u  x   max u  x   max u  x  , u Y : max u  x  a  x b a  x b a  x b a  x b Khi đó, X Y không gian Banach thực Ta muốn sử dụng cặp đối ngẫu Y , X  với b v, u D   v  x  u  x  dx  với v  Y , u  X a Ta định nghĩa toán tử tuyến tính A, AD : X  Y bởi: Au :  u    u    u với u  X , AD v  v     v    v   với v  X Với u, v  X , phép lấy tích phân cho kết hệ thức đối ngẫu 45 Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Đình Tú b Au, v D    u   u   u  vdx = a =     v  u     v  u   uv  dx  a b     v     v    v   udx  AD v, v D  a b A, AD : X  Y Cuối ta chứng minh toán tử Fredholm với số không Khi đó, kết luận mệnh đề suy từ định lý 3.4.1 chương Để làm điều này, ta định nghĩa toán tử tuyến tính B, C: X  Y Bu :   u Cu :  u    u với u  X Ta chứng minh tính chất sau: (a) B : X  Y tuyến tính, liên tục song ánh (b) C : X  Y tuyến tính compact Điều toán tử A: = B + C nhiễu compact toán tử Fredholm B với số không Theo định lý 3.2.1 toán tử A Fredholm với số không Kết luận a) Hiển nhiên, ta có Bu Y  max   x  max u  x   const u a  x b a  x b X , u  X (29) Do B liên tục Với h Y   , toán giá trị ban đầu  u   h  a, b , u  a   , u  a    có nghiệm Thật theo ví dụ 2.4.2 chương theo giả thiết   x   h h t  dt  C1 , a  t  x  a, b , ta có u  x x  h t   u  x     dt dt  C1 x  C2 a  a  t     u  x    46 Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Đình Tú Theo điều kiện biên u  a   C1a  C2     C1   u  a    C    C2    a  x h t   dt dt    x  a  , Khi u  x      a  a  t   x x  a, b chọn  theo cách thích hợp ta thấy với h Y toán trị biên  u   h  a, b , u  a   u b   , có nghiệm u  X Như vậy, B : X  Y song ánh Kết luận (b) Giống (29), ta thu Cu Y  const u X , u  X Như vậy, C liên tục Giả sử M tập bị chặn X Khi đó, với u  X x, y a, b , ta có   u  x   u  y   max u  z  x  y  a  z b  x y u  x   u  y    sup u  x  y  sup u uM uM X X Theo định lý Arzela – Ascoli, tập C(M) compact tương đối Y, toán tử C : X  Y compact Bằng phép chứng minh tương tự, ta toán tử AD : X  Y Fredholm với số không 47  Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Đình Tú Kết luận Trong trình tìm hiểu, nghiên cứu khoá luận, em bước đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu Qua em củng cố thêm kiến thức giải tích học, đồng thời thấy phong phú, lý thú toán học Đặc biệt khoá luận em nghiên cứu cách có hệ thống kỹ vấn đề toán tử Frecdholm Parametric toán tử không gian Banach không gian Hilbert Khi xem xét Parametric toán tử, có điều kiện để xét toán tử toán tử Frecdholm mối liên hệ số Frecdholm tích Mặc dù có nhiều cố gắng, song hạn chế nhiều thời gian kiến thức nên khoá luận không tránh khỏi thiếu xót Em mong nhận góp ý thầy cô giáo bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! 48 Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Đình Tú tài liệu tham khảo Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nxb Khoa học kỹ thuật, Hà Nội Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích hàm, Nxb Giáo dục Phan Đức Chính (1976), Giải tích hàm, tập 1, Nxb GDCN Nguyễn Xuân Liêm (2004), Bài tập giải tích hàm, Nxb Giáo dục Eberbard Zeidler (1995), Applied FunctionalAnalysis, (Bản tiếng Anh), NewYork, USA 49 [...]... trường K và A là một toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X (tức là A  L( X ) ) I là toán tử đồng nhất trên X Tập hợp giải  ( A) của toán tử A gồm tất cả các số phức  sao cho   I  A 1 là toán tử bị chặn (với miền X) và tập hợp  ( A) còn được gọi là tập hợp các giá trị chính quy của toán tử A Tập hợp số không phải là các giá trị chính quy của toán tử A được gọi là phổ của toán tử A, và được... Cho toán tử A là toán tử A là toán tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Y vào không gian X gọi là toán tử liên hợp với toán tử A nếu  Ax | y    x | By  , x  X , y Y Toán tử liên hợp B thường kí hiệu là 12 A Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Đình Tú Định lí 1.5.1 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Khi đó, tồn tại toán tử A liên hợp với toán tử. .. Định lí 1.6.2 Nếu toán tử tuyến tính liên tục A tác dụng trong không gian Banach X có toán tử ngược A-1 liên tục và B là toán tử tuyến tính liên tục tuỳ ý tác dụng trong X sao cho B  A1 1 thì toán tử (A+B) cũng có toán tử ngược liên tục Định lí 1 6.3 Nếu không gian Banach X có số chiều vô hạn và toán tử A là toán tử compact trong X thì 0    A Định lí 1.6.4 Phổ   A của toán tử compact A gồm... chuẩn X vào không gian Banach Y hội tụ tới toán tử A trong không gian L( X , Y ) , thì A là toán tử compact Định lí 1.4.6 Nếu A là một toán tử compact ánh xạ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y thì bao đóng R( A) của miền giá trị R(A) của toán tử A là một không gian con đóng khả ly của Y Định lí 1.4.7 a) Giả sử X, Y là hai không gian định chuẩn và toán tử A: X Y là một toán tử compact... hơn của toán tử vi phân và tích phân tuyến tính biểu diễn toán tử Fredholm trong không gian hàm Trường hợp đặc biệt, nếu toán tử A là Fredholm với chỉ số không, khi đó theo nguyên lý cơ bản chỉ ra rằng phương trình (***) có nghiệm duy nhất 2.1 Đối ngẫu của toán tử compact tuyến tính 2.1.1 Toán tử đối ngẫu Định nghĩa 2.1.1 Giả sử A : X  Y là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn X vào... Toán tử A L( X ) là một toán tử compact, với mọi B  L( X ) Khi đó các toán tử BA và AB là những toán tử compact Định lí 1.4.4 Giả sử X là một không gian Banach phản xạ ( tức X  X * * ) và Y là một không gian định chuẩn tuỳ ý Nếu toán tử tuyến tính A: X Y ánh xạ mọi dãy hội tụ yếu trong X thành một dãy hội tụ (mạnh) trong Y, thì A là một toán tử compact Định lí 1.4.5 Nếu (An) là dãy các toán tử. .. đối hay AT là toán  tử compact Hệ quả 2.1.2 Cho X là không gian Hilbert trên K Nếu toán tử tuyến tính A : X  X là compact, khi ấy toán tử liên hợp A* : X  X cũng là toán tử compact Chứng minh ánh xạ đối ngẫu J : X  X * là một phép đồng cấu với Ju  u , u  X Theo mệnh đề 2.1.2 ta có A*  J 1 AT J Do A là toán tử compact nên AT cũng là toán tử compact Do đó, toán tử A* cũng là toán tử compact... duy nhất nghiệm u* phụ thuộc liên tục vào b* Chứng minh Từ giả thiết (H) và mệnh đề 2.4.2, ta có tồn tại toán tử đối ngẫu AT và AT cũng là toán tử Fredholm, R  A là tập hợp đóng Do A là toán tử Fredholm nên theo định nghĩa của toán tử Fredholm ta có:  A : X  Y lµ to¸ n tö tuyÕn tÝnh, liªn tôc,  dim N  A  ,  codimR  A   Sử dụng phép chứng minh của định lý 2.2.1 cùng với sự thay đổi... tồn tại toán tử A liên hợp với toán tử A ánh xạ không gian Y vào không gian X Ngoài ra, toán tử liên hợp A cũng là toán tử tuyến tính bị chặn và A  A Toán tử tự liên hợp Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert vào chính nó gọi là tự liên hợp, nếu  Ax | y    x | Ay  , x, y  H Toán tử tự liên hợp còn được gọi là toán tử đối xứng Sự hội tụ yếu Cho không gian Hilbert H Dãy điểm... 5: Tính ổn định cơ bản của chỉ số đối với nhiễu nhỏ Ta chứng tỏ rằng nếu toán tử T : X  X là tuyến tính và liên tục và nếu T  S là đủ nhỏ indS  indT thì Đặt T  u, v  : Tu  v với mọi u  N  và v  R  Khi đó toán tử T : N   R   X là tuyến tính và liên tục Mặt khác, nếu T  S , thì toán tử S là song ánh Đây chính là chìa khoá của vấn đề nghiên cứu Thực ra, toán tử S là toàn ánh vì S ...   A toán tử Fredholm  Định nghĩa Toán tử Pl Pr (trong mệnh đề 3.1.1) gọi parametrix trái parametrix phải A 3.2 áp dụng với nhiễu toán tử FREDHOLM Giả sử F(X, Y) tập hợp tất toán tử Fredholm. .. có toán tử ngược bị chặn A-1 A có toán tử ngược bị chặn ( A* )1  ( A1 ) 1.4 Toán tử Compact Toán tử compact Giả sử X, Y hai không gian định chuẩn Toán tử tuyến tính A : X  Y gọi toán tử. .. A toán tử compact, toán tử CAB : Z  V , toán tử compact Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Đình Tú Hệ Giả sử X không gian định chuẩn Toán tử A L( X ) toán tử compact, với B  L( X ) Khi toán tử