3.1 Parametrix
Mệnh đề 3.1.1.Giả sử A: X Y là một toán tử tuyến tính liên tục, với X và Y là những không gian Banach trên trường K. Khi đó, hai mệnh đề sau tương đương:
(i) Toán tử A là Fredholm.
(ii) Tồn tại những toán tử tuyến tính liên tục P Pl, r: X Y và những toán tử compact tuyến tính Cl : X X và Cr : Y Y sao cho :
l l
PA I C (21a)
r r
AP I C (21b)
Chứng minh. (i) (ii). Chọn không gian con tuyến tính V và W của X, Y sao cho X N A V và Y R A W.
là những toán tử tuyến tính liên tục trên N(A) và W tương ứng. Xác định toán tử tuyến tính liên tục B R A: W X bởi 1 0 : B uw A u với mọi uR A( ) ,w W .
ở đó A0: V R A kí hiệu là hạn chế của A: X Y trên V. Khi đó,
A0 là phép đồng phôi tuyến tính.
Cuối cùng, chú ý rằng BA = I - P và AB = I – Q.
Trong đó, do P(X), Q(Y) là những không gian tuyến tính hữu hạn chiều nên các toán tử P, Q là compact. Đặt Pr = Pl :=B ta có (21a) và (21b).
(ii) (i). Theo định lí 2.5.1 chương 2, các toán tử I + Cl và I + Cr là Ferdholm với chỉ số không.
Theo (21a), N A N I Cl. Do đó,
dimN A dimN I Cr . Hơn nữa, từ (21b), ta có R I CrR A .
Từ đó codimR I Cr và R I Cr là đóng, ta được codimR A
và A là toán tử Fredholm.
Định nghĩa. Toán tử Pl và Pr (trong mệnh đề 3.1.1) lần lượt gọi là parametrix trái và parametrix phải của A.
3.2. áp dụng với nhiễu của toán tử FREDHOLM
Giả sử F(X, Y) là tập hợp tất cả các toán tử Fredholm tuyến tính A: X Y, ở đó X và Y là những không gian Banach trên trường K . Gọi L(X, Y) là không gian Banach của tất cả các toán tử tuyến tính liên tục B: X Y cùng với chuẩn toán tử B .
Mệnh đề 3.2.1. Giả sử SF X Y( , ) . Khi đó tồn tại >0 sao cho
( , )
TL X Y , thoả mãn T S .
Chứng minh. Sử dụng bước 5 của phép chứng minh định lý 2.2.1 trong chương 2 cùng với sự thay đổi:
(a) Thay tổng trực giao bằng tổng trực tiếp.
(b) Thay phần bù trực giao, ví dụ N, R,…, bởi phần bù Topo.
Ta suy ra kết luận của mệnh đề.
Vì chỉ số là một số nguyên, mệnh đề 3.2.1 được phát biểu dưới dạng khác như sau:
Tập F(X, Y) là mở trong L(X, Y) , và hàm SindS là liên tục trên
( , ).
L X Y
định lý 3.2.1 (Nhiễu Compact của toán tử Fredholm). Toán tử
( , )
SF X Y và A F X Y ( , ) là một toán tử compact. Khi đó, toán tử tuyến tính (S + A) là Fredholm và
ind SA indS.
Chứng minh. Ta sẽ sử dụng phương pháp parametrix. Vì SF X Y( , ) nên theo mệnh đề 3.1.1, tồn tại toán tử P Pl, rL X Y( , ) và những toán tử compact ClL X X( , ) , CrL Y Y( , ) thoả mãn
PlS = I + Cl và SPr = I + Cr sao cho Pl(S+A) = I + Cl + PlA và (S + A)Pr = I + Cr + APr .
Vì toán tử A là compact, nên PlA và APr cũng là là compact. Vì vậy, Pl
và Pr là những parametrix trái và parametrix phải của (S + A). Do đó, (S + A)
là Fredholm.
đi từ 0,1 đến ( ,L X X) . Vì tA là compact, toán tử StA là Fredholm với mọi t 0,1 . Theo mệnh đề 3.2.1 ta có indStAhằng số với mọi
0,1
t . Đặc biệt ta có indSAindS.
3.3. áp dụng với định lý chỉ số tích Định lý 3.3.1. Định lý 3.3.1.
Cho A B
X Y A là một dãy các toán tử Fredholm tuyến tính A và B, ở đó X, Y và Z là các không gian Banach trên trường K.
Khi đó, toán tử tuyến tính BA
X Z cũng là Fredholm và
ind BA indBind .A (22)
Chứng minh. Ta sử dụng phương pháp parametrix. Với chú ý rằng tích của các parametrix A và B tạo ra parametrix BA. Thật vậy, nó được suy ra từ phần 3.1 Parametrix với j = 1, 2, tồn tại những toán tử tuyến tính liên tục Pl j ,P rj
và những toán tử compact liên tục Cl j ,C rj thoả mãn
1 1 1 1 2 2 2 2 , , , . l l r r l l r r P A I C AP I C P A I C AP I C
Theo mệnh đề 2.1.5 chương 2 về tích các toán tử compact, ta có được
1 2
l l
P P BA I toán tử compact tuyến tính;
1 2
r r
BA P P I toán tử compact tuyến tính.
Vì vậy, tích BA có parametrix trái và parametrix phải, do đó theo định nghĩa parametrix ta có được BA là Fredholm.
Bây giờ ta đi tính tích chỉ số của BA. Dãy các không gian tuyến tính hữu hạn chiều sau đây là khớp:
A
ON A N BA R A N B O
B
O R A N B R A Y R A R B R BA O (22*)