Toán tử Fredholm tuyến tính

Định nghĩa: Cho X và Y là những không gian định chuẩn trên trường K. Toán tử Fredholm tuyến tính

:

A X Y

được hiểu là một toán tử tuyến tính liên tục với dimN A  , và

 

codimR A  . Chỉ số của A được định nghĩa là số nguyên thoả mãn:

 

indAdimAcodimR A .

Các ví dụ:

Ví dụ 2.4.1 (Toán tử hữu hạn chiều)

Cho X và Y là các không gian định chuẩn hữu hạn chiều trên trường K. Khi đó, mỗi toán tử tuyến tính A X: Y là Fredholm và

indAdimX dimY .

Chứng minh. Theo kết quả đã biết của ánh xạ tuyến tính, ta có:

   

codimN A dimR A . Do đó, indAdimN A codimR A 

dimX dimY   .  Ví dụ 2.4.2 (Toán tử vi phân). Giả sử 1  , X C a b và Y C a b , ,ví i -    a b . Đặt   Au x :u x  với mọi x a b, .

Khi đó, toán tử tuyến tính :A X Y là Fredholm với indA1. Chứng minh.Với mỗi f C a b , , phương trình

u  f trên  a b, , (14) có một nghiệm 1  , uC a b xác định bởi:   x   a u x  f t dt. Do đó, R A Y, từ đó ta có được codimR A 0.

Ngoài ra, nếu trong (3) khi f 0 thì u = hằng số, và do đó

 

dimN A 1. Vì vậy A là Fredholm và indA1.



Ví dụ 2.4.3 (Toán tử tích phân). Giả sử  cùng với 0. Đặt   :    ,  

b

a

Au x A x y u y dyu x ,

với mọi x a b, , ở đó hàm A a b:   ,  a b,  là liên tục,     a b . Khi đó toán tử A X: Y là Fredholm với chỉ số không miễn là

 2 2

: ,

X L a b .

Điều này được suy ra từ mục 2.3. áp dụng với phương trình tích phân.

Mệnh đề 2.4.1 (Vai trò của chỉ số).

Giả sử A X: Y là một toán tử Fredholm tuyến tính, ở đó X và Y là các không gian định chuẩn trên trường K.

(i) A là toàn ánh khi và chỉ khi indAdimN A . (ii) A là đơn ánh khi và chỉ khi dimN A 0.

(iii) A là song ánh khi và chỉ khi ind A dimN A 0.

(iv) Nếu X và Y là những không gian Banach, khi đó phương trình

,

Au b uX , là đặt đúng khi và chỉ khi ind A dimN A 0.

Chứng minh. Ta đi chứng minh các kết luận của mệnh đề.

Kết luận (i) A là toàn ánh khi và chỉ khi codimR A 0, do đó

     

indAdimN A codimR A dimN A .

Kết luận (ii), (iii) Điều này là hiển nhiên được suy ra từ định nghĩa của

A, N A  và định nghĩa chỉ số của toán tử A.

Kết luận (iv) ind A dimN A 0 A là song ánh phương trình

Aub đặt đúng.  Qua mệnh đề 2.4.1 (iv), toán tử Fredholm với chỉ số không giữ một vị trí

quan trọng.

Ta có giả định sau:

(H) Cho A X: Y là một toán tử Fredholm tuyến tính, ở đó X và Y là những không gian Banach trên trường K.

Mệnh đề 2.4.2. Giả sử có giả thiết (H). Khi đó, ta có các tính chất sau: (i) Tập R A là đóng.  

(ii)    T

R A  N A và  T  

R A N A . (iii) codim  T dim  

R A  N A .

(iv) codim   dim  T dim   ind

R A  N A  N A  A. (v) Toán tử đối ngẫu * *

:

T

Chứng minh. Các kết luận (i) (ii) (iii) (iv) được suy ra từ các kết quả đã có về lý thuyết đồ thị đóng và lý thuyết toán tử trên không gian Banach.

(v) Nhận xét rằng:

   

indAT dimN AT codimR AT

   

codimR A dimN A ind .A

    

(•) Nhờ phương trình toán tử Au b u, X , (E) và phương trình đối ngẫu * * * *

,

T

A u b u Y . (E*)

Mệnh đề 2.4.2 chỉ ra rằng, với giả thiết (H), ta gặp các tính chất sau : (i) Bài toán gốc. Với mỗi b Y , phương trình (E) có một nghiệm u X

khi và chỉ khi b thoả mãn điều kiện giải được *

, 0

u b

  với mọi nghiệm *

u của phương trình đối ngẫu thuần nhất của (E*

).

ở đó * * 

,

u b u b

  xác định giá trị của phiếm hàm u* tại b.

(ii) Tính hữu hạn. Phương trình gốc thuần nhất (E) và phương trình đối ngẫu thuần nhất (E*) có hữu hạn nghiệm độc lập tuyến tính, và

   

ind dim dim T

A N A  N A

(iii) Phương trình đối ngẫu. Với mỗi * *

b X , phương trình (E*) có một nghiệm * * u Y khi và chỉ khi * , 0 b u  

với mọi nghiệm u của phương trình thuần nhất của (E).

(Ta gọi các phương trình (E) và (E*) là phương trình thuần nhất và phương trình đối ngẫu thuần nhất khi thay lần lượt b0 và b* 0).

(iv) Tính đặt đúng. Giả sử indA0 cùng với giả thiết Au0 dẫn tới

0

u . Khi đó, với mỗi b Y , phương trình (E) có duy nhất nghiệm u phụ thuộc liên tục vào b.

Hơn nữa, với mỗi * *

b X , phương trình đối ngẫu (E*) có duy nhất nghiệm *

u phụ thuộc liên tục vào b . *

Chứng minh. Từ giả thiết (H) và mệnh đề 2.4.2, ta có tồn tại toán tử đối ngẫu T

A và T

A cũng là toán tử Fredholm, R A  là tập hợp đóng.

Do A là toán tử Fredholm nên theo định nghĩa của toán tử Fredholm ta có:

Sử dụng phép chứng minh của định lý 2.2.1 cùng với sự thay đổi.

a) Thay không gian Hilbert H trên trường K bằng không gian Banach trên trường K.

b)Thay tổng trực giao bằng tổng trực tiếp.

c) Thay phần bù trực giao, ví dụ: N R, ,..., bởi phần bù tôpô. d)Thay toán tử C bằng toán tử không(tức C), *

B bằng T

A . Kết hợp với các kết quả suy ra từ định nghĩa toán tử Fredholm và mệnh

đề 2.4.2, ta có được kết luận của nhận xét.



2.5.Lý thuyết Riezz – Schauder trên không gian Banach.

Định lý 2.5.1. Cho X, Y là những không gian Banach trên trường K. Khi đó,

toán tử Fredholm B C X : Y chỉ số không có các tính chất sau: (i) Toán tử tuyến tính B X: Y là liên tục và song ánh. (ii) Toán tử tuyến tính C X: Y là compact.

Chứng minh.     : dim , . A X Y N A R A          

lµ to¸ n tö tuyÕn tÝnh, liªn tôc,

(a) Thay toán tử liên hợp *

B và *

C lần lượt bằng toán tử đối ngẫu T

B và

T

C tương ứng.

(b) Thay định lý đồ thị đóng đặc biệt bằng định lý đồ thị đóng tổng quát để chứng minh rằng codimB C  .

(c) Thay tổng trực giao bằng tổng trực tiếp.

(d) Thay phần bù trực giao, ví dụ N R, ,...bằng phần bù tôpô.

