Luận văn sư phạm Toán tử Fredholm và Parametrix của toán tử

Tr ng i h c s ph m hà n i Khoa tốn **************** Nguy n đình tú tốn t Fredholm parametrix c a toán t Khoá lu n t t nghi p đ i h c Chuyên ngành: Gi i tích Ng i h ng d n khoa h c Ti n s Bùi kiên c ng Hà n i - 2007 Khoá lu n t t nghi p Nguy n ình Tú L ic m n + hồn thành khố lu n này, tr c h t em xin bày t lòng bi t n sâu s c đ n th y cô giáo t Gi i tích, khoa Tốn Tr ng iH cs ph m Hà N i đ ng viên giúp đ em su t q trình làm khố lu n c bi t em xin chân thành c m n th y giáo h Kiên C ng d n - Ti n s Bùi ng t o u ki n t t nh t ch b o t n tình đ em có th hồn thành khoá lu n t t nghi p Do th i gian ki n th c có h n nên nh ng v n đ trình bày khố lu n khơng tránh kh i nh ng thi u sót Vì v y, em r t mong nh n đ ý ki n đóng góp c a th y cô b n sinh viên M t l n n a em xin chân thành c m n! Sinh viên Nguy n ình Tú c nh ng Khoá lu n t t nghi p Nguy n ình Tú Các kí hi u vi t t t ฀ K t thúc m i ch ng minh K Tr ng s th c ho c tr ng s ph c L( X , Y) T p t t c n tính b ch n t không gian đ nh chu n X vào không gian đ nh chu n Y L( X, K )  X T p phi m hàm n tính liên t c t X vào K X g i không gian liên h p c a không gian đ nh chu n X R( A)  A( X)   Ax : x  X nh c a toán t A W( A)  x  X : Ax  0 h t nhân c a toán t A dist( x0 , L)  inf x  x0 kho ng cách t m x0 đ n t p L xL dimX : s chi u c a không gian X codimX : s đ i chi u c a không gian X indA hay index A: ch s c a tốn t n tính A X : Bao đóng c a t p h p X S 0, C  - Hình c u đóng tâm O, bán kính C (C > 0)  ph n t không đ i v i c u trúc nhóm Khố lu n t t nghi p Nguy n ình Tú ph n m đ u Lý ch n đ tài Lý thuy t hàm Gi i tích hàm có t m quan tr ng đ c bi t đ i v i Tốn h c c b n có ng d ng vào chuyên ngành khác nh gi i tích ph c, lý thuy t x p x , ph ng trình đ o hàm riêng… Có th nói Gi i tích hàm c s c a h u h t mơn h c Vì v y vi c h c n m v ng môn h c u r t c n thi t đ i v i m i sinh viên khoa Tốn N i dung c a Gi i tích hàm r t phong phú, đa d ng Ki n th c l p v il ng th i gian eo h p khó có th sâu nghiên c u m t cách hoàn ch nh m t v n đ c a b mơn Vì nh ng lý em ch n đ tài: ‘Toán t Fredholm Parametrix c a toán t ’ đ làm khoá lu n t t nghi p M c đích nghiên c u B c đ u làm quen v i công vi c nghiên c u khoa h c tìm hi u sâu h n v Gi i tích hàm đ c bi t không gian Banach Nhi m v nghiên c u Nghiên c u tính ch t, u ki n t ng đ ng c a tốn t Fredholm khơng gian Banach khơng gian Hilbert, v i toán t Fredholm thay phiên nh c p đ i ng u Ph ng pháp nghiên c u Nghiên c u lý lu n, phân tích, t ng h p đánh giá C u trúc c a khố lu n Ngồi ph n m đ u, k t lu n, danh m c tài li u tham kh o, khoá lu n g m ch ng Ch ng C s lý thuy t Ch ng Toán t Fredholm Ch ng Parametrix c a toán t Khoá lu n t t nghi p Nguy n ình Tú Ch ng C s lý thuy t 1.1 Không gian đ nh chu n 1.1.1 Không gian đ nh chu n Gi s X m t không gian n tính tr ng K Hàm  : X  ฀ g i m t chu n X n u x x (i) x  0, x  X (ii) x   x   (ph n t không) (iii)  x   x , x  X,   K (iv) x  y  x  y , x, y  X S x đ c g i chu n c a x không gian ( X,  ) đ c g i m t không gian đ nh chu n Trong đó, X m t khơng gian n tính,  m t chu n X 1.1.2 Không gian N u X0 m t khơng gian n tính c a X chu n xác đ nh X0 chu n xác đ nh X X0 đ c g i không gian đ nh chu n c a không gian đ nh chu n X 1.1.3 Liên h gi a không gian đ nh chu n không gian metric Gi s X không gian đ nh chu n, x, y  X t d ( x, y)  x  y , Ta có đ (*) c d m t Metric X g i Metric c m sinh b i  Do đó, m i không gian đ nh chu n đ u khơng gian Metric 1.1.4 Khơng gian Banach Khố lu n t t nghi p Nguy n ình Tú Khơng gian đ nh chu n  X,  g i đ y đ n u (X, d) không gian Metric đ y đ , d Metric (*) M t không gian đ nh chu n  X,   đ y đ g i không gian Banach Không gian đ nh chu n X g i không gian ph n x n u X  X ** 1.1.5 S h i t không gian đ nh chu n a) Lân c n y u Cho t p X không gian đ nh chu n, x  X T p U   y  X : f ( y)  f ( x)   ,   cho tr c f  X  g i lân c n y u c a m x b) H i t y u Cho X không gian đ nh chu n Dãy ( xn )  X g i h i t y u t i ph n t d x  X n u v i m i lân c n y u U c a x, tìm đ c s nguyên yÕu  xn   ng n0 cho n  n0 xn U Kí hi u xn  c) H i t m nh Dãy ( xn )  X g i h i t hay h i t m nh t i x0 không gian đ nh chu n X, n u   0, n0  ฀  :n  n0 : xn  x0   1.2 Toán t n tính liên t c 1.2.1 Các đ nh ngh a ánh x A gi a hai không gian đ nh chu n X Y m t tr ng K g i n tính, n u ánh x A tho mãn: (i) A( x  y)  Ax  Ay, x, y  X (ii) A( x)   Ax, x  X ,   K Ta th ng g i ánh x n tính gi a hai khơng gian đ nh chu n X Y m t toán t n tính hay m t tốn t Khi Y  K tốn t A th ng g i phi m hàm n tính Tốn t A gi a hai không gian đ nh chu n X Y g i gi i n i (b ch n) n u t n t i h ng s d ng C, cho Ax  C x , x  X Khoá lu n t t nghi p Nguy n ình Tú Gi s tốn t n tính gi i n i A t không gian đ nh chu n X vào không gian đ nh chu n Y S A  inf C : x  X, Ax  C x g i chu n c a toán t A Toán t n tính liên t c A ánh x không gian đ nh chu n X lên không gian đ nh chu n Y có tốn t t ng c A-1 liên t c Khi đó, tốn t A g i phép đ ng phơi n tính t không gian X lên không gian Y Hai không gian đ nh chu n g i đ ng phơi n tính n u t n t i phép đ ng phơi n tính t khơng gian lên khơng gian 1.2.2 Tính ch t nh lý 1.2.1 Cho tốn t n tính A t không gian đ nh chu n X vào không gian đ nh chu n Y Ba m nh đ sau t ng đ ng (+) A liên t c (+) A liên t c t i m t m x0 thu c X (+ ) A b ch n 1.3 Toán t liên h p 1.3.1 nh ngh a Cho X Y hai không gian đ nh chu n, X*, Y* hai không gian liên h p c a X Y t ng ng Gi s A m t toán t n tính gi i n i t X vào Y Khi đó, tốn t A : X  Y tho mãn: A y  y A, v i y  Y T c ( A y )( x)  y ( Ax), x  X Toán t A đ c g i toán t liên h p c a toán t A Toán t liên h p c a toán t A g i toán t liên h p th hai c a A đ kí hi u A , A  ( A ) A : X  Y , xác đ nh b i: A x  x A , x  X 1.3.2 Tính ch t c Khố lu n t t nghi p Nguy n ình Tú nh lý 1.3.1 Toán t liên h p A c a toán t A m t tốn t n tính gi i n i H n n a A*  A nh lí 1.3.2 Gi s X, Y, Z nh ng không gian đ nh chu n A, B L( X, Y), C  L( X, Z )   K Khi đó: ( A)   A , ( A B)  A  B , (CA)  AC  nh lý 1.3.3 Thu h p c a A  lên X, t c A x  Ax , v i x  X A   A nh lí 1.3.4 Gi s X Y hai khơng gian đ nh chu n m t tr ng K A L( X , Y) N u A có tốn t ng tốn t ng c b ch n A-1 A c ng có c b ch n ( A* )1  ( A1 ) 1.4 Toán t Compact Toán t compact Gi s X, Y hai không gian đ nh chu n Tốn t n tính A: X  Y g i toán t compact n u A ánh x m t t p b ch n X thành t p compact t ng đ i Y Nh v y, tính compact c a m t tốn t n tính m nh h n tính liên t c Do đó, ng i ta cịn g i m t toán t compact m t toán t hồn tồn liên t c 1.4.2 Ví d a) Tốn t n tính liên t c h u h n chi u toán t compact Th t v y, gi s A: X  Y toán t n tính liên t c h u h n chi u S t p b ch n X Do A liên t c nên A(S) t p b ch n A(X) Vì A(X) h u h n chi u nên A(S) t p compact t t compact ng đ i V y toán t A toán Khoá lu n t t nghi p Nguy n ình Tú b) Tốn t đ ng nh t I không gian đ nh chu n X toán t compact ch X có s chi u h u h n i u suy t tính ch t, hình c u đ n v không gian đ nh chu n X compact t ng đ i ch X có s chi u h u h n c) Gi s A:Ca ,b  Ca ,b ánh x đ c xác đ nh b i b  Ax s    K  s,t  x  t  dt, a x  Ca ,b , K  s,t  , m t hàm s th c liên t c hình vng a ,b  a ,b Khi A m Th t v y, tr t toán t compact c h t ta ch ng minh r ng x  Ca ,b , Ax m t hàm s liên t c a ,b Hàm s K  s,t  liên t c t p h p compact a ,b  a ,b nên b ch n liên t c đ u t p Do đó, M  cho K  s,t   M,   s,t  a ,b  a ,b , v i  cho tr c b t k ,   cho   s ,t  , s ,t  a,b  a,b , 1 2 s1  s2  , t1  t2   K  s1 ,t1   K  s2 ,t2   T suy b b a a  Ax s1    Ax s2    K  s1 ,t  x  t  dt   K  s2 ,t  x t  dt b   K  s1 ,t   K  s2 ,t  x  t  dt a b   K  s1 ,t   K  s2 ,t  x  t  dt a  b  a  x ,  Khoá lu n t t nghi p Nguy n ình Tú v i t1  t2  V y Ax m t hàm s liên t c (đ u) a ,b D dàng th y r ng A m t toán t n tính G i B hình c u đóng đ n v không gian Ca ,b Ta s áp d ng đ nh lý Arzela - Ascoli (đ nh lý 1.4.8) đ ch ng minh A(B) m t t p h p compact t ng đ i khơng gian Ca ,b • A(B) m t t p h p b ch n Ca ,b Th t v y, v i m i x  B , ta có b b a a  Ax s    K  s,t  x  t  dt   K  s,t  x  t  dt  M  b  a  x  M  b  a  , s  a ,b  Do Ax  sup A x s   M  b  a  , x  B sa ,b • Các hàm s thu c A(B) đ ng liên t c đ u a ,b Th t v y, t b t đ ng th c  , suy  x  B,s1 ,s2  a,b  s1  s2  ,   Ax s1    Ax s2   b  a  V y A m t tốn t compact 1.4.3 Tính ch t nh lý 1.4.1 N u A: X  Y m t toán t compact c a không gian đ nh chu n X vào khơng gian đ nh chu n Y A ánh x m i dãy h i t y u X thành m t dãy h i t m nh Y nh lý 1.4.2 Gi s X, Y không gian đ nh chu n, A, B nh ng toán t compact t X vào Y Khi v i m i s  ,  toán t ( A   B) compact nh lí 1.4.3 Gi s X, Y, Z, V không gian đ nh chu n, B: Z  X , A: X  Y C: Y  V , nh ng tốn t n tính liên t c Ngồi ra, A m t tốn t compact, th tốn t m t tốn t compact CAB : Z  V , Khoá lu n t t nghi p Nguy n ình Tú v  c l i, ngh a t n t i m t dãy b ch n  n  T A  n  Vì n u ng   v  compact, ta có gi thi t dãy  A n   h i t , u mâu thu n v i (16)   n   K t lu n (iii) Ta s d ng tiêu chu n ch ng minh t lý thuy t hàm ph c c n Gi s r ng   A t p r ng Khi tốn t  A  I  1 : X  X n tính liên t c v i m i  ฀ Gi s  :  Khi R :  A  I      A I  , 1 1 (17) c    A  I      I   A   A2   1 Theo s khai tri n chu i ta đ h i t L X, X  v i m i  ฀ cho   r n u r đ nh Do đó, chu i  A  I    1 I   2 A , 1 (18) h i t L X, X  v i m i  ฀ tho mãn   r V i m i 0 ฀ c đ nh, ta có : R   A 0 I     0  I   R  I     0  R 1   R I     0  R     0  R2   0   1 (19) Chu i h i t không gian L X, X  v i m i  ฀ tho mãn   0   ,  đ nh V i s chu n b đó, ta đ nh ngh a hàm  : ฀  ฀ b i     : f  R u  v i m i  ฀ , f  X * u  X c đ nh cho f  u   Theo (19), hàm  đ c khai tri n theo chu i h i t        0   a1    0   35 Khoá lu n t t nghi p Nguy n ình Tú v i   0 đ nh Chú ý r ng m 0 có th ch n tu ý Nh v y,  hàm gi i tích ฀ Do ฀     d   (20) C V im iđ ng tròn C quanh g c N u C đ l n, t (18) ta có: 1 2 ฀      d   ฀   f  u    f  Au    C C 1 ฀   f  u  d   2 if u  C T f  u   , u mâu thu n v i (20) Ch ฀ ng parametrix c a toán t 3.1 Parametrix M nh đ 3.1.1 Gi s A : X  Y m t tốn t n tính liên t c, v i X Y nh ng không gian Banach tr t ng đ ng K Khi đó, hai m nh đ sau ng: (i) Toán t A Fredholm (ii) T n t i nh ng toán t n tính liên t c P l , Pr : X  Y nh ng toán t compact n tính Cl : X  X Cr : Y  Y cho : Pl A  I  Cl (21a) APr  I  Cr (21b) Ch ng minh (i)  (ii) Ch n không gian n tính V W c a X, Y X  N  A  V Y  R A  W cho Cho P : X  N  A Q : Y  W 36 Khoá lu n t t nghi p Nguy n ình Tú nh ng tốn t n tính liên t c N(A) W t ng ng Xác đ nh tốn t n tính liên t c B : R A  W  X b i B u  w : A01u v i m i u  R( A) , wW A0 : V  R A kí hi u h n ch c a A : X  Y V Khi đó, A0 phép đ ng phơi n tính Cu i cùng, ý r ng BA = I - P AB = I – Q Trong đó, P(X), Q(Y) nh ng khơng gian n tính h u h n chi u nên toán t P, Q compact (ii)  (i) Theo đ nh lí 2.5.1 ch t P r = P l := B ta có (21a) (21b) ng 2, toán t I + Cl I + Cr Ferdholm v i ch s không Theo (21a), N  A  N  I  Cl  Do đó, dim N  A  dim N  I  Cr    H n n a, t (21b), ta có R I  Cr   R A T codimR  I  Cr    R I  Cr  đóng, ta đ A toán t c codimR  A   Fredholm ฀ nh ngh a Toán t P l P r (trong m nh đ 3.1.1) l n l t g i parametrix trái parametrix ph i c a A 3.2 áp d ng v i nhi u c a toán t FREDHOLM Gi s F(X, Y) t p h p t t c toán t Fredholm n tính A : X  Y , X Y nh ng không gian Banach tr ng K G i L(X, Y) không gian Banach c a t t c toán t n tính liên t c B : X  Y v i chu n toán t B 37 Khoá lu n t t nghi p M nh đ 3.2.1 Gi Nguy n ình Tú s S  F ( X, Y) Khi t n t i  >0 cho T  L( X, Y) , tho mãn T  S   Ch ng minh S ch d ng b c c a phép ch ng minh đ nh lý 2.2.1 ng v i s thay đ i: (a) Thay t ng tr c giao b ng t ng tr c ti p (b) Thay ph n bù tr c giao, ví d N  , R ,…, b i ph n bù Topo Ta suy k t lu n c a m nh đ ฀ Vì ch s m t s nguyên, m nh đ 3.2.1 đ c phát bi u d i d ng khác nh sau: T p F(X, Y) m L(X, Y) , hàm S  indS liên t c L( X, Y) đ nh lý 3.2.1 (Nhi u Compact c a toán t Fredholm) Toán t S  F ( X, Y) A F ( X, Y) m t tốn t compact Khi đó, tốn t n tính (S + A) Fredholm ind  S  A  indS Ch ng minh Ta s s d ng ph ng pháp parametrix Vì S  F ( X, Y) nên theo m nh đ 3.1.1, t n t i toán t Pl , Pr  L( X, Y) nh ng toán t compact Cl  L( X, X) , Cr  L(Y, Y) tho mãn P lS = I + Cl SP r = I + Cr cho P l(S+ A) = I + Cl + P lA (S + A)P r = I + Cr + AP r Vì tốn t A compact, nên P lA AP r c ng là compact Vì v y, P l P r nh ng parametrix trái parametrix ph i c a (S + A) Do đó, (S + A) Fredholm Bây gi , xét hàm liên t c t  S  tA 38 Khoá lu n t t nghi p t 0,1 đ Nguy n ình Tú n L( X, X) Vì tA compact, tốn t m i t 0,1 Theo m nh đ t 0,1 S  tA Fredholm v i 3.2.1 ta có ind  S  tA  h ng s v i m i c bi t ta có ind  S  A  indS ฀ 3.3 áp d ng v i đ nh lý ch s tích nh lý 3.3.1 A B Cho X  Y   A m t dãy toán t Fredholm n tính A B, X, Y Z khơng gian Banach tr Khi đó, tốn t n tính BA X  Z ng K c ng Fredholm ind  BA  indB  indA Ch ng minh Ta s d ng ph (22) ng pháp parametrix V i ý r ng tích c a parametrix A B t o parametrix BA Th t v y, đ c suy t ph n 3.1 Parametrix v i j = 1, 2, t n t i nh ng tốn t n tính liên t c Pl  j  , P r j  nh ng toán t compact liên t c Cl j  , C r j  tho mãn Pl 1 A  I  Cl1 , APr1  I  Cr1 , Pl  2 A  I  Cl 2 , APr 2  I  Cr 2 Theo m nh đ 2.1.5 ch ng v tích tốn t compact, ta có đ c Pl 1 Pl  2 BA  I  toán t compact n tính; BA Pr1 Pr 2  I  tốn t compact n tính Vì v y, tích BA có parametrix trái parametrix ph i, theo đ nh ngh a parametrix ta có đ c BA Fredholm Bây gi ta tính tích ch s c a BA Dãy khơng gian n tính h u h n chi u sau kh p: A O  N  A  N  BA   R A  N  B  O O  R B R BA  Z R BA  R B  O 39 Khoá lu n t t nghi p Nguy n ình Tú  B  R B R BA  O (22*) O   R A  N  B  R A  Y R A   O  N  B  R A  N  B   N  B  R A  R BA  O đây, m i tên khơng có A ,  B  t t m th ng ng v i nh ng ánh bao hàm ng,  kí hi u ánh x t c  : Y  Y R  A Nh c l i r ng:  U :  U  R  A H n n a,  Bu  R A: Bu  BR A  Bu  R BA Nh n xét r ng, không gian th wV, ng W V t p t t c t p có d ng wW (Dãy ánh x i gi a không gian Xi    Xi 1   Xi   Xi 1  i 1 i g i dãy kh p n u Imi1  Keri , i  1,2, Dãy ánh x gi a không gian Xi ,  i  1,2,3 f g  X1   X2   X3  g i dãy kh p ng n n u Im f  Ker g ) Tính kh p c a t t c dãy đ c suy t N  A  N  BA R BA  R B Ví d , N  A  N  BA ng ý r ng ánh x bao hàm N  A  N  BA đ n ánh,  N  A  N  BA kh p H n n a, ánh x A: N  BA  R A  N  B tồn ánh, A N  BA   R A  N  B  kh p A  N  A  N  BA   R A  N  B  kh p Do  A B  C  m t dãy kh p, A, B , C h u h n chi u, nên ta có:   dim A  dim B  dim C   40 Khoá lu n t t nghi p Nguy n ình Tú áp d ng u v i nh ng dãy kh p (22*) c ng h th c t ng ng v s chi u (v i d u +, - , + , - ), ta thu đ c: dim N  A  dim N  BA  dim  Z R  B  dim Y R  A  dim N  B  V i ý r ng codim R  BA  dim  Z R  BA , ta suy ind A ind BA  ind B  ฀ 3.4 toán t fredholm thay phiên nh c p đ i ng u Ta trình bày l i d ng khác c a Fredholm thay phiên nh c p đ i ng u, thu n l i xem xét v i ph ng trình vi phân ph ng trình tích phân C p đ i ng u Cho X Y nh ng không gian đ nh chu n tr ng K Ta g i {Y, X} m t c p đ i ng u ch t n t i m t ánh x song n gi i n i ฀ , ฀ D : Y  X  K tho mãn (i) v, u (ii) v, u D D  v i m i u  X kéo theo v =  ;  v i m i v Y kéo theo u =  Ví d 3.4.1 Cho X m t khơng gian đ nh chu n tr  X , X m * t d ng c p đ i ng u v i v, u D ng K Khi đó, : v, u v i m i v  X* , u  X ( v, u  v  u  giá tr c a phi m hàm v t i u) Th t v y, v i m i u  X v  X* , u, v  v u N u v, u  v i m i u  X v c đ nh, v  X* , v   Ng c l i, n u v, u  v i m i v  X* u c đ nh, u  X u   , theo đ nh lý Halm - Banach Ví d 3.4.2 Cho X : Ca ,b , v i   a  b   Khi đó,  X, X m t d ng c p đ i ng u v i ánh x b u, v D :  v x u  x dx , v i m i u, v  X a 41 Khoá lu n t t nghi p Nguy n ình Tú Th t v y, đ t u  max u  x a  xb Do đó, N u u, v u, v D D   a  b  u v , v i m i u, v  X  v i m i u  X v c đ nh thu c , v  x   a , b Chú ý r ng, không gian đ i ng u C*a ,b t ฀ ng ng hàm có bi n phân b ch n B i v y, c p đ i ng u  X, X t ví d 3.4.1 có c u trúc đ n gi n h n c p đ i ng u thông th Ta xét ph ng  X* , X ng trình tốn t Au  b , u  X , v i ph (23) ng trình đ i ng u AD v  , v  X , V i Au, v D  AD v, u D (23*) v i m i u, v  X (24) nh lý 3.4.1 (D ng Fredholm thay phiên) Gi s r ng (i) Y, X m t c p đ i ng u, tr X,Y nh ng không gian Banach ng K (ii) Tốn t n tính liên t c A , AD : X  Y nh ng Fredholm v i ind A  ind AD (iii) Toán t AD đ i ng u v i A, theo ngh a h th c (24) đ c tho mãn Khi đó, v i m i b Y , ph b, v D  v i m i nghi m v c a ph Ch ng minh Ta mu n quy tr thơng th B ng trình g c (23) có m t nghi m u ch ng trình đ i ng u (23*) ng h p m i đ i v i Fredholm thay phiên ng c 1: Tr c tiên, ta ch r ng dim N  AD   dim N  AT  42 (25) Khoá lu n t t nghi p đ làm vi c này, l y Nguy n ình Tú v , , v  n m t c c a N  AD  Ta xác đ nh s f j  u  : u, v j v i m i u Y Khi f j  Y* , f j  u   const u v j v i m i u Y Vì v y, theo (24), f j  Au   Au, vj  ADvj , u D D 0 Do AT f j , u  f j , Au  v i m i u Y , t c là, f1 , , fn  Y* đ c l p n tính Th t v y, t 1 f1    n fn  v i 1 ,n  K suy u,1v1    nvn D 0 v i m i u Y T c là, 1v1    nvn  d n đ n 1   n  B c 2: B ng phép ch ng minh t  dim N  A  dim N  AD  B c 3: Vì tốn t T ng t b c ta có đ  c (26) A AD Fredholm, ta có đ  c  codim R  A  dim N  AT  codim R  AD   dim N  AD  Do đó, t T ind A  dim N  A  codim R  A  codim R  AD   dim N  AD   ind AD , v i ind A  ind AD , suy ta có th thay d u  b i d u = ph ng trình (25) (26) Do đó,  f1 , , fn  m t c s c a N  AT  B c 4: Vì tốn t A Fredholm, ph ng trình ban đ u Au  b, u  X có m t nghi m ch f j , b  v i m i j = 1,…,n Theo đ nh ngh a c a fj , u t ng đ ng v i b, vj  v i m i j  1, , n 43 ฀ Khoá lu n t t nghi p 3.5 áp d ng v i ph Ta xét ph Nguy n ình Tú ng trình tích phân tốn giá tr biên ng trình tích phân b u  x   A x, y  u  y  dy  h  x  , a  x  b , (27) a v i ph ng trình tích phân đ i ng u b v x   A y, x v  y  dy  , a  x  b (27*) a M nh đ 3.5.1 Gi hàm A:  a , b   a , b  ฀ liên t c, s   a  b   Khi đó, v i m i h  Ca ,b , tốn g c (27) có m t nghi m b u  Ca ,b ch  h  x v x dx  v i m i nghi m v  Ca ,b c a ph ng a trình đ i ng u (27*) Ch ng minh t X : Ca ,b ta s s d ng c p đ i ng u  X, X v i b u, v D :  u  x v x dx v i m i u, v  X a ( ã nêu ví d 3.4.2 m c 3.4 ch ng 3) b  Au  x : u  x   A x, y u  y dy nh ngh a a b  AD v  x : v x   A y, x v y dy , v i m i xa , b a Tốn t n tính A nhi u compact c a đ n v Do đó, đ nh lý 3.2.1 ch r ng A: X  X Fredholm v i ch s không V i cách ch ng minh t ng t , ta có AD : X  X Fredholm v i ch s không Cu i cùng, u, v  X b b b    A x y u y dy v x dx  ,           A x, y  v  x dx  u  y  dy , a  a    aa b ta đ c h th c đ i ng u 44 Khoá lu n t t nghi p Nguy n ình Tú Au, v D  AD v, u Do k t lu n c a m nh đ đ D , v i m i u, v  X c suy t đ nh lý 3.4.1 ฀ Ti p theo ta nghiên c u toán giá tr biên:  u    u    u  [a,b], u(a) = u(b) = 0, (28) v i toán đ i ng u  v    v   v  [a,b], v(a) = v(b) = M nh đ 3.5.2 Cho   C2a ,b ,   C1a ,b ,   Ca ,b , (28*)   a  b   , gi s r ng   x   a , b Khi v i m i h  Ca ,b cho tr c, tốn g c (28) có m t nghi m u  C2a ,b ch b  h  x v x dx  a v i m i nghi m v  C2a ,b c a toán đ i ng u (28*)  chu n  t X : u  C2a ,b :u  a   u  b   Ch ng minh Y : Ca ,b , v i u X : max u  x  max u  x  max u  x , u Y : max u  x a  xb a  xb a  xb a  xb Khi đó, X Y nh ng không gian Banach th c Ta mu n s d ng c p đ i ng u Y, X v i b v, u D   v  x  u  x  dx  v i m i v  Y , u  X a Ta đ nh ngh a toán t n tính A, AD : X  Y b i: Au :  u    u    u v i m i u  X , AD v v    v   v  v i m i v  X V i m i u, v  X , phép l y tích phân cho k t qu h th c đ i ng u 45 Khoá lu n t t nghi p Nguy n ình Tú b Au, v D    u   u   u  vdx = a =     v u     v u   uv  dx  a b     v    v   v  udx  AD v, v D  a b A, AD : X  Y nh ng Cu i ta ch ng minh r ng tốn t Fredholm v i ch s khơng Khi đó, k t lu n c a m nh đ đ lý 3.4.1 ch ng c suy t đ nh làm u này, ta đ nh ngh a tốn t n tính B, C: X  Y b i Bu :   u Cu :  u    u v i m i u  X Ta s ch ng minh tính ch t sau: (a) B: X  Y n tính, liên t c song ánh (b) C : X  Y n tính compact i u ch r ng toán t A: = B + C nhi u compact c a toán t Fredholm B v i ch s khơng Theo đ nh lý 3.2.1 tốn t A Fredholm v i ch s không K t lu n a) Hi n nhiên, ta có Bu Y  max   x max u  x  const u a  xb a  xb X , u  X (29) Do B liên t c V i m i h Y  ฀ , toán giá tr ban đ u  u   h  a , b , u  a   , u  a    có nh t nghi m Th t v y theo ví d 2.4.2 ch h ng theo gi thi t   x  h t  dt  C1 , a  t  x  a , b , ta có u  x x  h t   u  x     dt dt  C1 x  C2 a  a  t     u  x    46 Khố lu n t t nghi p Nguy n ình Tú Theo u ki n biên C1a  C2  u  a      C1   u  a    C    C2    a  x h t   dt dt    x  a  , Khi u  x      a  a  t   x x  a , b ch n  theo m t cách thích h p ta th y r ng v i m i h Y toán tr biên  u   h  a , b , u  a   u b   , có nh t nghi m u  X Nh v y, B: X  Y song ánh K t lu n (b) Gi ng nh (29), ta thu đ Cu Y  const u c X , u  X Nh v y, C liên t c Gi s M m t t p b ch n c a X Khi đó, v i m i u  X m i x, y a , b , ta có   u  x  u  y   max u  z  x  y  a  zb  x y u  x  u  y   sup u  x  y  sup u uM uM X X Theo đ nh lý Arzela – Ascoli, t p C(M) compact t ng đ i Y, tốn t C : X  Y compact B ng phép ch ng minh t t AD : X  Y c ng Fredholm v i ch s không 47 ng t , ta đ c toán ฀ Khoá lu n t t nghi p Nguy n ình Tú K t lu n Trong trình tìm hi u, nghiên c u khố lu n, em b c đ u làm quen v i cách th c làm vi c khoa h c, hi u qu Qua em c ng c thêm ki n th c gi i tích h c, đ ng th i th y đ c s phong phú, lý thú c a toán h c c bi t khoá lu n em đ th ng k h n v v n đ c c nghiên c u m t cách có h b n c a tốn t Frecdholm Parametric c a tốn t khơng gian Banach không gian Hilbert Khi xem xét Parametric c a tốn t , có đ c u ki n đ xét m t toán t toán t Frecdholm m i liên h gi a ch s c a Frecdholm tích M c dù có nhi u c g ng, song cịn h n ch nhi u v th i gian ki n th c nên khố lu n khơng tránh kh i nh ng thi u xót Em r t mong nh n đ c s góp ý c a th y cô giáo b n đ c Em xin chân thành c m n! 48 Khoá lu n t t nghi p Nguy n ình Tú tài li u tham kh o Nguy n Ph Hy (2006), Gi i tích hàm, Nxb Khoa h c k thu t, Hà N i Nguy n Xuân Liêm (1997), Gi i tích hàm, Nxb Giáo d c Phan c Chính (1976), Gi i tích hàm, t p 1, Nxb GDCN Nguy n Xuân Liêm (2004), Bài t p gi i tích hàm, Nxb Giáo d c Eberbard Zeidler (1995), Applied FunctionalAnalysis, (B n ti ng Anh), NewYork, USA 49 ...   Fredholm ฀ nh ngh a Toán t P l P r (trong m nh đ 3.1.1) l n l t g i parametrix trái parametrix ph i c a A 3.2 áp d ng v i nhi u c a toán t FREDHOLM Gi s F(X, Y) t p h p t t c toán t Fredholm. .. đ 2.4.2, ta có t n t i toán t đ i ng u AT AT c ng toán t Fredholm, R A t p h p đóng Do A toán t Fredholm nên theo đ nh ngh a c a tốn t Fredholm ta có:  A: X  Y toá n tử tuyến tính, liên tục,... X vào Y Khi đó, tốn t A : X  Y tho mãn: A y  y A, v i y  Y T c ( A y )( x)  y ( Ax), x  X Toán t A đ c g i toán t liên h p c a toán t A Toán t liên h p c a toán t A g i toán