LUẬN văn sư PHẠM TOÁN một số vấn đề LIÊN QUAN đến GIÁ TRỊ RIÊNG và VEC tơ RIÊNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VEC TƠ RIÊNG Giáo viên hướng dẫn Sinh viên: Bùi Thế Phương ThS.Nguyễn Hồng Xinh MSSV: 1090056 Lớp: Sư phạmTốn K35 CẦN THƠ 2013 NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… …………………………… Ngày… tháng….năm 2013 Giáo viên hướng dẫn i NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… …………………………… Ngày… tháng….năm 2013 Giáo viên phản biện ii Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn này, cố gắng thân, em cần trang bị lượng kiến thức định, động viên, giúp đỡ suốt trình làm việc Em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến tồn thể thầy mơn Tốn tận tình giảng dạy bốn năm đại học, để em có nhiều kiến thức bổ ích phục vụ cho luận văn Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hoàng Xinh tận tình hướng dẫn em thực đề tài thời gian qua Nhân cho em gửi lời cảm ơn đến bạn động viên, giúp đỡ em hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng, luận văn khơng tránh khỏi sai sót, em mong nhận nhận xét, đóng góp để hồn thiện luận văn Một lần cho phép em gửi lời cảm ơn đến toàn thể thầy cô, bạn bè người thân giúp đỡ, động viên em hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn! Người viết Bùi Thế Phương iii BẢNG KÍ HIỆU Z , Q , R, C Tập hợp số nguyên, số hữu tỉ, số thực, số phức Zn Tập hợp số nguyên modulo n a 1 Phần tử nghịch đảo phần tử a M n (R) Nhóm ma trận vng cấp n R S Nhóm sinh tập S Kerf Nhân đồng cấu f A  A' Nhóm A đẳng cấu với nhóm A' Imf Ảnh đồng cấu f K Vô hướng  thuộc trường K KGR Không gian riêng ~ B = adj( B ) Ma trận phó B  Giá trị riêng T B Toán tử tuyến tính T có ma trận biểu diễn sở B Dim Số chiều x  ƒ(x) Ánh xạ A-1 Ma trận nghịch đảo ,  Tổng, Tích det (A) Định thức ma trận A K[X] Vành đa thức (không gian vec tơ ẩn x trường K iv MỤC LỤC BẢNG KÝ HIỆU iv PHẦN MỞ ĐẦU PHẦN NỘI DUNG 10 CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Các định nghĩa ma trận Các phép toán ma trận 10 Khái niệm Không gian vectơ 11 Không gian vectơ 12 Sự độc lập tuyến phụ thuộc tuyến tính 13 Hệ sinh, sở, số chiều hạng hệ vectơ 14 7.Tổng giao không gian 17 Tốn tử tuyến tính 18 Định thức .19 10 Hệ phương trình tuyến tính 20 CHƯƠNG LÝ THUYẾT 21 §1 GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VECTƠ RIÊNG CỦA MA TRẬN 21 §2 CHÉO HĨA MA TRẬN 31 §3 DẠNG CHUẨN TẮC JORDAN 37 §4 ĐA THỨC TỐI TIỂU 47 §5 ĐA THỨC MA TRẬN 53 CHƯƠNG BÀI TẬP 62 PHẦN KẾT LUẬN 93 TÀI LIỆU THAM THẢO 94 v PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong chương trình, chúng tơi học mơn “Đại số tuyến tính” Nhưng thời gian lớp có hạn nên học phần nghiên cứu số nội dung Đại số tuyến tính mơn học hay tạo cho nhiều hứng thú học, điều gợi cho niềm đam mê nghiên cứu Đại số tuyến tính Đại số tuyến tính chứa kiến thức rộng tơi đặc biệt quan tâm vần đề liên quan tới “Giá trị riêng, vec tơ riêng” Được gợi ý giáo viên hướng dẫn, em mạnh dạn chọn đề tài “Giá trị riêng, vec tơ riêng” với mong muốn hiểu nhiều đại số tuyến tính Mục đích nghiên cứu Thực đề tài “giá trị riêng, vec tơ riêng”, tơi hướng đến mục đích rèn luyện kỹ tiếp cận, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề Tốn học cịn với thân Đây dịp để tơi nhìn lại tổng quan kiến thức đại số mà đặc biệt Đại số tuyến tính – chủ đề lớn lĩnh vực đại số nói riêng tốn học nói chung Việc nghiên cứu giúp tơi có thêm nhiều kiến thức chuẩn bị cho kỳ thi sau rèn luyện thân việc chủ động nghiên cứu khoa học Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp sử dụng q trình nghiên cứu: tổng hợp, phân tích, khái qt hóa Tổng hợp kiến thức từ nguồn tài liệu khác Phân tích số tập khái qt hóa dựa phân tích Nội dung luận văn Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương LÝ THUYẾT §1 GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VECTƠ RIÊNG CỦA MA TRẬN §2 CHÉO HĨA MA TRẬN §3 DẠNG CHUẨN TẮC JORDAN §4 ĐA THỨC TỐI TIỂU §5 ĐA THỨC MA TRẬN Chương Bài tập PHẦN NỘI DUNG: & CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Các định nghĩa ma trận 1.1 Định nghĩa Một ma trận A loại (cấp) m  n trường K bảng chữ nhật gồm m  n phần tử K viết thành m dòng n cột sau:  a11   a 21 A   a31   a  m1 a12 a13 a 22 a 32 a 23 a 33 am a m3 a1n   a n  a3n    a mn  Trong aij  K phần tử vị trí dịng i, cột j A Đôi A viết ngắn gọn Amn Các ma trận thường ký hiệu A, B, C tập hợp tất ma trận loại m  n trường K ký hiệu Amn (K ) Nhận xét: - Ma trận A xác định trực tiếp cách liệt kê phần tử, xác định theo công thức tổng quát - Ma trận không cấp m  n (ma trận zero), ký hiệu 0mxn ma trận mà phần tử - Nếu m = n A gọi ma trận vuông cấp n K Tập hợp tất ma trận vuông cấp n K ký hiệu Mn(K) - Ma trận cấp x n gọi ma trận hàng; ma trận cấp m  gọi ma trận cột - Nếu A ma trận vuông cấp n, đường chứa phần tử a11, a22, a33,…, ann gọi đường chéo A 1.2 Định nghĩa Cho A  (a ij )  M n ( K ) Khi đó: - Nếu a ij  0, i  j (nghĩa tất phần tử bên ngồi đường chéo A 0) ta nói A ma trận đường chéo - Ta thường dùng ký hiệu diag(a1, a2,…, an) để ma trận đường chéo cấp n có phần tử đường chéo a1, a 2, …, a n ... quan tâm vần đề liên quan tới ? ?Giá trị riêng, vec tơ riêng? ?? Được gợi ý giáo viên hướng dẫn, em mạnh dạn chọn đề tài ? ?Giá trị riêng, vec tơ riêng? ?? với mong muốn hiểu nhiều đại số tuyến tính Mục đích... tính vectơ v1 , v2 , , v tổ hợp tuyến tính vectơ v1 , v2 , , , 1 ii) Vectơ tổ hợp tuyến tính họ vectơ 5.2 Hệ vectơ độc lập tuyến tính – Hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính 5.2.1 Định nghĩa Họ vectơ... kiện cần đủ để hệ vectơ u1, u2 , , un V phụ thuộc tuyến tính vectơ tổ hợp vectơ lại 5.3.2 Hệ Trong vectơ u1, u2 , , un V có vectơ hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính i Nếu phần họ vectơ u1 , u2 , ,