Một số hệ thức liên quan đến giả thuyết Erdös-szekeres

1 MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn 1 Lời cam doan 2 Lời mở đầu 3-4 Chương 1 Tổng quan về giả thuyết Erdös-Szekeres và các bài toán liên quan 5 §1.1 Giả thuyết Erdös-Szekeres 5 §1.2 Đánh giá cận trên và cận dưới của ( )N n 11 §1.3 Bài toán về đa giác lồi rỗng 13 §1.4 Đánh giá số đa giác lồi tạo thành từ n điểm trên mặt phẳng ở vị trí tổng quát 15 Chương 2 Một số công thức đánh giá số đa giác lồi rỗng trong tập điểm trên mặt phẳng 22 §2.1 Mômen đan dấu của các đa giác lồi rỗng 22 §2.2 Đánh giá cận trên và cận dưới cho 2 T và các cận liên quan 31 §2.3 Các đánh giá trong không gian có số chiều cao hơn 2 38 §2.4 Các bất đẳng thức liên quan đến k X 42 Kết luận 68 Tài liệu tham khảo 69 2 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội II, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Tạ Duy Phượng, Viện Toán học. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy hướng dẫn. Tôi xin được cảm ơn Khoa sau đại học, Các Thày Cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội II và Viện Toán học, trường Phổ thông Trung học đã nhiệt tình truyền thụ kiến thức và tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành khóa Cao học. Và cuối cùng, xin cảm ơn Gia đình đã động viên và khích lệ tôi rất nhiều trong thời gian nghiên cứu và học tập. Hà Nội, ngày 01 tháng 12 năm 2011 Nguyễn Văn Toàn 3 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan bản luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Tạ Duy Phượng. Sô liệu và các kết nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Hà Nội, ngày 01 tháng 12 năm 2011 Nguyễn Văn Toàn 4 LỜI MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Năm 1935, Erdős-Szekeres đã đưa ra giả thuyết sau đây: Giả thuyết Erdős-Szekeres Mọi tập không ít hơn 2 1 2 n  điểm trên mặt phẳng ở vị trí tổng quát (không có ba điểm nào thẳng hàng) đều chứa n điểm là đỉnh của một đa giác lồi. Giả thuyết Erdős-Szekeres có ý nghĩa triết học sâu sắc: Từ một tập hợp (các điểm bất kì trên mặt phẳng) hỗn độn, không có trật tự, nhưng (có số lượng phần tử) đủ lớn, ta có thể tìm được một tập con có cấu trúc đẹp (đa giác lồi). Bất chấp sự cố gắng của hàng trăm nhà toán học, giả thuyết Erdős-Szekeres mới chỉ được chứng minh cho các trường hợp 3,4,5,6.n  Trường hợp 6n  mới được chứng minh gần đây (2006) bởi Szekeres và Peters nhờ máy tính. Trên con đường chứng minh giả thuyết Erdős-Szekeres, rất nhiều phương pháp và bài toán mới đã xuất hiện. Năm 1978, Erdős đã phát biểu một bài toán mới, đó là Bài toán Erdős (về đa giác lồi rỗng) Cho n là một số tự nhiên bất kì. Tồn tại hay không số nguyên dương nhỏ nhất ( ),H n sao cho từ mọi tập chứa tối thiểu ( )H n điểm ở vị trí tổng quát trên mặt phẳng, đều có thể chọn ra được n điểm là đỉnh của một đa giác lồi rỗng. Liên quan đến hai bài toán trên, bài toán tính số đa giác lồi rỗng k đỉnh tạo được từ tập n điểm trên mặt phẳng (ở vị trí tổng quát) là thú vị và quan trọng. Luận văn Một số hệ thức liên quan đến giả thuyết Erdős-Szekeres có mục đích trình bày tổng quan về giả thuyết Erdős-Szekeres và một số bài toán liên 5 quan, trong đó đặc biệt chú ý đến các hệ thức (đẳng thức và bất đẳng thức) liên quan đến số các đa giác rỗng tạo được từ tập n điểm trên mặt phẳng. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của Luận văn là trình bày chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức liên quan đến các đối tượng hình học nêu trong [4] và một số tài liệu liên quan. Dựa vào các hệ thức này, một số công thức giải tích và công thức đánh giá trong giả thuyết Erdős-Szekeres cũng sẽ được trình bày. Trong chừng mực có thể, chúng tôi cũng cố gắng đi sâu tìm hiểu để thực hiện những tính toán trong các trường hợp cụ thể và tìm ra các kết quả mới. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn có nhiệm vụ nghiên cứu một hướng tiếp cận (qua các công thức giải tích) giả thuyết Erdős-Szekeres và một số mở rộng của giả thuyết này. 4. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận văn được giới hạn trong giả thuyết Erdős-Szekeres trên mặt phẳng. 5. Phương pháp nghiên cứu Để chứng minh các công thức, cần sử dụng các phương pháp: Qui nạp, phản chứng, đánh giá,…và các công cụ của Giải tích, giải tích hàm, đại số tuyến tính, hình học tổ hợp… 6. Giả thuyết khoa học 1. Trình bày tổng quan về một hướng tiếp cận giả thuyết Erdős-Szekeres qua các công thức biểu diễn và công thức đánh giá. 2. Cố gắng đưa ra một số nhận xét, quan sát và đóng góp mới nhằm làm sáng tỏ giả thuyết Erdős-Szekeres cho trong một số trường hợp cụ thể. 6 CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ GIẢ THUYẾT ERD ö S-SZEKERES VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN §1.1 Giả thuyết Erdös-Szekeres Năm 1933, Esther Klein đã phát biểu và chứng minh bài toán sau đây. Bài toán 1.1 Với năm điểm cho trước ở vị trí tổng quát (không có ba điểm nào thẳng hàng) bao giờ ta cũng tìm được bốn điểm tạo thành một tứ giác lồi. Hình 1.1: ACDE là tứ giác lồi, nhưng ABCE không phải là tứ giác lồi. Dưới đây là chứng minh của Klein. Xét bao lồi của năm điểm (tập lồi nhỏ nhất chứa năm điểm đã cho) ở vị trí tổng quát. Chỉ có ba khả năng khác nhau sau đây. Khả năng 1 (Hình 1.2): Bao lồi của năm điểm là một ngũ giác ABCDE. Khi ấy mọi bộ bốn điểm từ năm điểm ấy đều tạo thành tứ giác lồi (và điểm còn lại nằm ngoài tứ giác lồi đó). Trong trường hợp này có tất cả 4 5 5 C  tứ giác lồi. 7 Đó chính là các tứ giác ABCD, ABCE, ABDE, ACDE, BCDE. Tất cả các tứ giác này đều không chứa điểm còn lại bên trong (điểm còn lại ở bên ngoài tứ giác). Ta gọi các tứ giác này là tứ giác rỗng. Ngoài ra, ta có tất cả 3 5 10 C  tam giác được tạo thành từ năm điểm A, B, C, D, E (ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE). Và tất cả các tam giác này đều là các tam giác rỗng. Hình 1.2 Hình 1.3 Hình 1.4 Khả năng 2 (Hình 1.3): Bao lồi là một tứ giác chứa một điểm còn lại ở bên trong (điểm trong). Trong trường hợp này ta có một tứ giác lồi (kí hiệu là ABCD) chứa một điểm E ở bên trong. Tứ giác lồi ABCD (chỉ chứa đúng một điểm E ở bên trong) được gọi là tứ giác gần rỗng. Vì không có ba điểm nào thẳng hàng nên E phải nằm về cùng phía với B (hoặc với D) của đường thẳng AC. Và ta có tứ giác AECD (hoặc ABCE) là tứ giác lồi rỗng, còn tứ giác ABCE (hoặc tương ứng AECD) là tứ giác lõm. Tương tự, điểm E phải ở cùng phía với A (hoặc với C) của đường chéo BD. Khi ấy tứ giác BEDC (hoặc tứ giác ABED) là tứ giác lồi rỗng và tứ giác ABED (hoặc tứ giác BCDE) là tứ giác lõm. Như vậy, trong Trường hợp 2 ta có hai tứ giác lồi rỗng, một tứ giác lồi gần rỗng và hai tứ giác lõm. . Ngoài ra, trong trường hợp này, ta có tất cả 10 tam giác được tạo thành từ năm điểm A, B, C, D, E. Đó là các tam giác: ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE. Trong đó tất cả 6 tam giác có đỉnh E đều là 8 tam giác rỗng (không chứa hai điểm còn lại bên trong). Vì khi kẻ đường chéo AC (hoặc BD) của tứ giác lồi ABCD thì do các điểm không thẳng hàng nên E phải nằm trong một trong hai tam giác ABC hoặc ACD (ABD hoặc BCD). Như vậy ta có hai tam giác gần rỗng (chứa điểm E) và hai tam giác rỗng. Khả năng 3 (Hình 1.4): Bao lồi chứa ba điểm tạo thành tam giác, thí dụ, ABC. Hai điểm còn lại E và D nằm bên trong tam giác. Do không có ba điểm nào thẳng hàng (các điểm ở vị trí tổng quát) nên hai điểm E và D xác định một đường thẳng chia mặt phẳng tam giác thành hai phần sao cho có hai đỉnh của tam giác ABC, thí dụ, A và B, nằm trên cùng một nửa mặt phẳng mở. Hai điểm E và D cùng với A và B tạo thành một tứ giác lồi rỗng ABDE. Tứ giác này là tứ giác lồi duy nhất. Bốn tứ giác ABDC, ABEC, BDCE, ADCE còn lại là các tứ giác lõm. Ngoài ra, ta có tất cả 10 tam giác được tạo thành từ năm điểm A, B, C, D, E. Đó là các tam giác: ABC (chứa hai điểm D, E bên trong), ACD và BEC chứa một điểm bên trong (tam giác gần rỗng). Bảy tam giác còn lại ABD, ABE, ACE, ADE, BCD, BDE, CDE là các tam giác rỗng. Từ quan sát trên, E. Klein đã đề nghị một bài toán tổng quát sau đây. Bài toán 1.2 Với mỗi số tự nhiên 3n  , hãy xác định số nguyên dương nhỏ nhất ( )N n sao cho mọi tập tạo thành từ tối thiểu ( )N n điểm trên mặt phẳng ở vị trí tổng quát phải chứa n điểm là đỉnh của một đa giác lồi n cạnh. Bài toán 1.2 được phát biểu trong [8] và sau này được gọi là Bài toán Erdös- Szekeres. Erdös đã gọi bài toán này là bài toán có kết hạnh phúc (happy end problem hay happy ending problem), vì không lâu sau khi bài báo [8] ra đời (1935), György Szekeres và Esther Klein đã tổ chức đám cưới (1937) và sống hạnh phúc bên nhau 60 năm. 9 Trong [8], Bài toán 1.2 đã được tách ra thành hai bài toán: Bài toán 1.2a Tồn tại hay không tồn tại số ( )N n ? Bài toán 1.2b Nếu số ( )N n tồn tại thì làm thế nào xác định được ( )N n như một hàm của n . Trong [8] đã chứng minh sự tồn tại số ( )N n bằng hai cách. Cách thứ nhất do Szekeres chứng minh không lâu sau khi E. Klein phát biểu bài toán, dựa trên định lí Ramsey (mà Ông đã tự tìm lại do không biết định lí này). Từ đó ta có bất đẳng thức 4 ( ) ( ,5)N n R n , trong đó 4 ( ,5)R n là số Ramsey. Tuy nhiên, đánh giá này là quá lớn so với thực tế. Thí dụ, với 5n  thì   ,25,5 10000 4 R quá xa so với thực tế (5) 9N  . Cách thứ hai do Erdös chứng minh dựa trên một số quan sát hình học và được một đánh giá tốt hơn .1)( 2 42    n n CnN Như vậy, Bài toán 1.2a đã được trả lời khẳng định. Rõ ràng ba điểm không thẳng hàng là đủ để tạo ra một tam giác nên (3) 3N  . E. Klein đã chứng minh (như đã trình bày ở trên) rằng (4) 5N  . Bài toán 1.3 Với chín điểm cho trước ở vị trí tổng quát (không có ba điểm nào thẳng hàng) bao giờ ta cũng tìm được năm điểm tạo thành một ngũ giác lồi. Theo Erdős và Szekeres [11], E. Makai đã chỉ ra ví dụ (Hình 1.5) tồn tại tám điểm mà không có năm điểm nào trong số đó tạo thành ngũ giác lồi, tức là (5) 9.N  Bài toán 2 đã được Hoàng Chúng giới thiệu với bạn đọc Việt Nam trong Toán học và Tuổi trẻ số 4, tháng 2 năm 1967. Ngay sau đó, công thức (5) 9E  đã được Đoàn Hữu Dũng chứng minh trong Toán học và Tuổi trẻ số 10 6 tháng 6, 1967. Hoàn toàn độc lập (nhưng cùng phương pháp) với Đoàn Hữu Dũng, công thức này cũng được chứng minh bởi Bonnice [4] năm 1974. Hình 1.5: Tập tám điểm không có năm điểm tạo thành ngũ giác lồi Như vậy, với 5n  ta có (5) 9N  và công thức này đã được chứng minh bởi Đoàn Hữu Dũng vào năm 1967 và Bonnice vào năm 1974. Với 6n  ta có Bài toán 1.4 Chứng minh rằng từ mọi tập 17 điểm ở vị trí tổng quát trên mặt phẳng có thể tìm được sáu điểm là đỉnh của lục giác lồi. Nói cách khác, ta phải chứng minh công thức 6 2 (6) 2 1 17. N     Tất nhiên, Bài toán 1.4 là trường hợp riêng của Bài toán 1.2 khi 6.n  Mặc dù vậy, trường hợp cụ thế này của Bài toán Erdös-Szekeres đã thách thức các nhà toán học trong 70 năm. Nó chỉ vừa mới được G. Szekeres và L. Peters chứng minh năm 2006 (xem [16]) bằng máy tính. Dựa trên các đẳng thức (3) 3N  , (4) 5N  và (5) 9,N  Erdős và Szekeres đưa ra giả thuyết sau đây. Giả thuyết Erdős-Szekeres (1935, [8]) 2 ( ) 1 2 n N n    với mọi 3n  . [...]... việc giải quyết các bài toán này và chứng minh giả thuyết Erdős-Szekeres Các kết quả đầu tiên trong bài báo này là các đẳng thức tuyến tính liên quan đến số lượng X k  p  Tất cả những đẳng thức này liên quan đến các tổng 19 M 0  P     1 k 1 X k  P  và 1 k r 1 Ck r 1 X k  P , với k  1, r 2 k 3 Mr  P     1 k 3 k 1 và những công thức được biểu diễn dưới dạng hiển, chúng liên. .. giá cận dưới của X k  P  với k  3,4,5,6 , các đánh giá này liên quan đến các bài toán (P3) – (P5) Trong [15] cũng đưa ra trường hợp cận dưới xấu nhất của T2 P  là 3 2 n  O n 4 và của T2*  P  là 1 2 n  O n 4 Tiếp theo, trong [15] đưa ra một số bất đẳng thức liên quan đến số lượng X k P  Nhóm các bất bẳng thức chính có liên hệ với các mômen M r P  cho phép khẳng định rằng tất cả các... với mọi t  2r Tổ hợp các bất đẳng thức này cùng các công thức biểu diễn dạng hiển, chúng ta có được các bất đẳng thức tương đương liên quan đến chỉ số của các chuỗi Ví dụ, ta có: X 3  P   X 4  P    X t  P   Cn2  n  1 với t chẵn, t  4 , và X 3  P   X 4  P    X t  P   Cn2  n  1 với t lẻ, t  3 Một loạt các bất đẳng thức liên quan nhiều đến số X 3  P  , X 4  P  , X 5  P... các bất đẳng thức nói đến ở trên Quan trọng nhất trong số đó là: 22 X 4  P  X3  P  n2  O  n , 2 X 5  P   X 3  P   n2  O  n  Các bất đẳng thức này cho ta một liên kết chặt chẽ giữa các bài toán (P3) – (P5) Đặc biệt, các hằng số c trong (P4) và (P5) ít nhất cũng lớn như hằng số trong bài toán (P3) Thêm vào đó, trong [15] cũng rút ra được các bất đẳng thức tương tự liên quan đến T2 P ... bài toán mở liên quan với nhau (xem [15]) trong vấn đề này là: (P3) Số tam giác rỗng có ít nhất là 1  c  n 2 , với hằng số c  0 , 1  (P4) Số tứ giác lồi rỗng có ít nhất là   c  n 2 , với hằng số c  0 , 2  và (P5) Số ngũ giác lồi rỗng có ít nhất là cn 2 , với hằng số c  0 Trong Chương 2, chúng tôi trình bày nội dung bài báo [15], trong đó đã xây dựng một kĩ thuật (chuyển động liên tục) có... đại số, hình học tổ hợp và lí thuyết matroid, Arhens, Gordon và McMahon (1999) đã chứng minh một đẳng thức tổng quát thú vị dưới đây (cho các số X k ( P) ): 18   1 k X k ( P)  0 ; k 0   1 k kX k ( P)   P  int P , k 1 trong đó P  int P là số điểm trong của P Pinchasi, Radoičić và Sharir (2005, [15]) đã chứng minh hai đẳng thức này bằng một kĩ thuật đơn giản (kĩ thuật chuyển động liên. .. thiện đánh giá cận trên cho cả ba bài toán mở (P3) – (P5) ở trên Một vấn đề thậm chí còn thú vị hơn là đánh giá số T2*  P  những tứ giác lồi rỗng mà không thể mở rộng thành một ngũ giác lồi rỗng bằng cách thêm một đỉnh từ tập P Trong [15] đã chỉ ra T2*  P   Cn2  H  P  Trong [15] cũng thiết lập một số bất đẳng thức liên quan đến T2* P  và X k P  và sử dụng chúng 1  để chỉ ra rằng mọi... các tổng thay đổi của biểu thức   1 k 1 k 3 Cr  k  X k , ở đây r là số nguyên, Cr  k  là một đa thức bậc r theo k, bằng cách biểu diễn các dãy này như là một tổ hợp tuyến tính của M 0 , M 1 , , M r Các tổng đan dấu mà tổ hợp tuyến tính tương ứng chỉ có các hệ số không âm là đáng được quan tâm riêng, bởi các bất đẳng thức trong Mục 2.4 cũng sẽ cho các bất đẳng thức tương tự với các tổng mới... đơn giản cho sự tồn tại của một lục giác lồi rỗng trong một tập P cho trước Đó là, nếu đẳng thức không đúng thì P chứa một lục giác lồi rỗng Hệ  5  có thể được kiểm tra đúng tới n 4 và có lẽ có thể hơn nữa Điều này có thể được sử dụng trong việc xây dựng chương trình tìm kiếm các tập hợp điểm chứa một lục giác lồi rỗng 31 §2.2 Đánh giá cận trên và cận dưới cho T2 và các cận liên quan 2.2.1 Một cận... thuật chuyển động liên tục) và đưa ra thêm một số đẳng thức và bất đẳng thức mới Thí dụ, 1 X 4 ( P )  X 3 ( P )  n 2  O ( n ) , X 5 ( P )  X 3 ( P )  n 2  O ( n) 2 Nếu có n điểm bất kì trên mặt phẳng ở vị trí tổng quát Khi ấy với mỗi bộ n điểm ta có một tập (một cấu hình) P và các số X k ( P ) tương ứng Với mỗi k  0, giả sử Yk ( n)  min X k ( P) là số tối thiểu các tập k -giác lồi rỗng có thể . quan đến giả thuyết Erdős-Szekeres có mục đích trình bày tổng quan về giả thuyết Erdős-Szekeres và một số bài toán liên 5 quan, trong đó đặc biệt chú ý đến các hệ thức (đẳng thức và bất đẳng thức) . các đối tượng hình học nêu trong [4] và một số tài liệu liên quan. Dựa vào các hệ thức này, một số công thức giải tích và công thức đánh giá trong giả thuyết Erdős-Szekeres cũng sẽ được trình. Liên quan đến hai bài toán trên, bài toán tính số đa giác lồi rỗng k đỉnh tạo được từ tập n điểm trên mặt phẳng (ở vị trí tổng quát) là thú vị và quan trọng. Luận văn Một số hệ thức liên quan