§2.2 Đánh giá cận trên và cận dưới cho T và các cận liên quan 2

thứ hai là cùng chiều kim đồng hồ.

u b

v

Ta nhận thấy rằng đoạn ab có thể nhận nhiều nhất bởi một cấu hình cùng

chiều kim đồng hồ và một cấu hình ngược chiều kim đồng hồ bởi một T2

cấu hình, trong đó nó là đường chéo với điểm mút ngoài cùng bên phải. Hơn nữa các đoạn thẳng ab là các cạnh của bao lồi đóng của P không thể nhận

được. Khẳng định này suy ra

 2   

2 2 n 1 2 .

T  C H n n  H

Để chứng minh khẳng định này, ta giả sử ngược lại rằng ab nhận được, thí

dụ, hai cấu hình ngược chiều kim đồng hồ, và kí hiệu hai cấu hình là au bv , ,  au bv, . Dễ thấy uu v, v (thực ra chỉ cần kiểm tra hoặc uu hoặc

 

v v )

.

Hình 2.5: v là một đường thẳng trong H 1

Nửa mặt phẳng H1 bên phải au

phải chứa v vì u và v nằm bên trái của a

và H chứa .1 b (Xem Hình 2.5). Do đó, nửa mặt phẳng H ở bên phải của bv2 

không thể chứa v (hoặc là v phải nằm trên hình nêm xác định bởi au và



b v ). Bởi vì H2 chứa a , v phải nằm trong các hình nêm tạo bởi ba

và bv

,

và bởi vì v phải nằm bên trái của ,a suy ra nó phải nằm trong hình nêm xác định bởi au và bv mâu thuẫn. ,

u’ b v a v’ H2 H1

2.2.2. Cải tiến các đánh giá cận trên

Ta cố gắng mở rộng Định lý 2.4 theo hướng sau.

Giả sử ab là một cạnh nhận được bởi hai thay đổi cùng chiều kim đồng hồ và

ngược chiều kim đồng hồ như là một đường chéo với điểm mút phải trong hai cấu hình T2 tương ứng (au,bv và ) (au ,bv¢ ¢ . Dễ thấy rằng, bởi vì các ) T - cấu 2 hình, au và bv¢ phải đi qua mỗi cạnh kia (bao gồm cả trường hợp u = v ¢), và

tương tự cho au ¢ và bv .

Ta nhận được kết quả được chỉ ra ở Hình 2.6a, với ,a v u b u v¢, , ¢ tạo thành một , lục giác lồi hoặc trường hợp ở Hình 2.6b, với ,a v u b v¢, , và , , , ,a v b u v¢ ¢ tạo thành một ngũ giác lồi hoặc các trường hợp ở các Hình 2.6c, 2.6d được thảo luận dưới đây.

Thật vậy, đầu tiên ta khẳng định đường thẳng lvv¢ với giá vv¢ tách rời a và b ,

suy ra cả v và v¢ nằm bên trái của a và ở mặt khác của ab. Chỉ có trường hợp mà lvv¢ không tách rời a và b là khi tứ giác av bv¢ là không lồi tại b như Hình 2.7. Nhưng khi đó au và bv¢ cắt nhau, aubv có thể không lồi, điều này

mâu thuẫn với giả thiết.

Bây giờ tình hình phụ thuộc vào việc luu¢ với giá uu ¢ có tách rời a và b hay

không. Nếu điều đó xảy ra (Hình 2.6a) thì ta có một lục giác lồi. Nếu luu¢

không tách rời a và b (Hình 2.6b) thì ta có 2 ngũ giác lồi. Cũng có thể suy ra

u = v ¢ hoặc v = u ¢ hoặc cả hai (xem Hình 2.6c, 2.6d).

Nếu u = v ¢ và v = u ¢ xảy ra (Hình 2.6c) thì aubv là một tứ giác lồi rỗng mà

không thể mở rộng thành một ngũ giác lồi rỗng, vì thế nó xác định một T - 2* cấu hình. Nếu chỉ một trong hai đẳng thức (u = v ¢ hoặc v = u ¢) xảy ra, giả

34

Hình 2.6: Các trường hợp khác nhau trong việc phân tích T2

Hình 2.7 chỉ ra rằng lvv¢ phải tách rời a và b b a v' u vv ' l v u v b u' a a u b v u' v a b u u a v b u'

Mặc dù lục giác lồi ở trường hợp Hình 2.6a hoặc hai ngũ giác lồi ở trường hợp Hình 2.6b hoặc ngũ giác lồi đơn ở trường hợp Hình 2.6d không nhất thiết là rỗng, ta khẳng định chúng có thể được thay thế bởi đa giác rỗng.

Xét ví dụ cho trường hợp ở Hình 2.6a được xây dựng lại ở Hình 2.8.

Mọi điểm của P nằm trong phần trong của av ubu v  phải nằm trong một trong các tam giác uxv và vyu (trong đó x là giao điểm của bv và

,

au y là giao điểm của bv và au). Giả sử rằng uxv chứa một điểm của

P ở miền trong của nó, và xét bao lồi của tất cả các điểm của P ở miền trong

của uxv bao gồm cả u và v. Lấy u v  là một cạnh của bao lồi khác v u . Sử dụng tính chất đối xứng chứng minh với vyu có được một cạnh u v 

của bao lồi tương ứng (giả sử nó khác rỗng). Dễ thấy rằng av u bu v    là một

lục giác lồi rỗng có ab là một đường chéo chính và đỉnh a ở ngoài cùng bên

phải và ta thay thế T2  cấu hình của ta thành lục giác này. (Các trường hợp

mà một trong hai hình bao uxv và vyu là rỗng hoặc cả hai là rỗng được chứng minh tương tự).

Hình 2.8: Cấu hình trong trường hợp Hình 2.6a cho một lục giác rỗng

v’ u b v u' a y x

Bằng phương pháp hoàn toàn tương tự, mọi ngũ giác trong trường hợp (2.6b)

và (2.6d) nếu khác rỗng, có thể thay thế bởi một ngũ giác lồi rỗng có ab là một đường chéo và a là điểm ngoài cùng bên phải.

Phân tích này giúp ta có thể chuyển hướng cấu hình cùng chiều kim đồng hồ và ngược chiều kim đồng hồ cho ab, cho lục giác rỗng, cho một hoặc hai ngũ giác rỗng hoặc cho một T - cấu hình. Rõ ràng mỗi lục giác rỗng được thay 2*

đổi trong phương pháp này ít nhất một lần, (bởi vì nó chỉ có một đường chéo chính bắt nguồn từ đỉnh ngoài cùng bên phải), mỗi ngũ giác rỗng được thay đổi ít nhất hai lần và mỗi T -2* cấu hình một lần. Do đó ta kết luận

2 *

2 n 2 5 6 2.

T C H  X  X T (7)

Từ kết quả của (7) suy ra theo kết quả sau, nhận được bằng cách thay (7) vào biểu diễn của X5 trong (3)

Hệ quả 2.2      2 1 * 5 6 2 6 3 4 1 13 12 3 1 3 2 2 k k k k k n n X H X T  X                   Đặc biệt, nếu X7 0 thì 2 * 5 6 2 1 13 12 3 2 . 3 2 n n X      H  X T   

Do đó, mọi cận trên của * 2

T nhỏ hơn 2

n

C (so sánh với (8) dưới đây). Do đó

cận dưới của X5 là bậc hai cho tập hợp các điểm không có thất giác lồi rỗng, ví dụ như tập Horton. Trong mục 2.4 ta sẽ nhận được một kết quả tương tự mà không giả sử X7 0.

Một cận trên (theo chứng minh của Định lý 3.2) đơn giản cho * 2 T là ` *    2 2 2 1 2 n T P  T P C H. (8)

Như đã đề cập, ta sẽ chứng minh việc cải tiến hệ số của dạng bậc hai trong cận này sẽ dẫn tới cải tiến cận dưới cho X X X và nhiều ứng dụng khác. 3, 4, 5 Nhận xét rằng có thể cách phân tích của *

2

T với trường hợp riêng * 

2 0

T P 

khi P là một tập của n5 điểm ở vị trí lồi. Nói cách khác, khi đó các tham số Xk( )P đạt giá trị cực đại của chúng thì * 

2

T P đạt giá trị cực tiểu bằng 0. 2.2.3. Các cận dưới

Hình 2.9 mô tả một tập P của một số chẵn n điểm với *   2 2 1 2 4 T P  n và    2    2 2 1 1 3 9 2 4 6 8 2 4 4 2 X P  n  n n  n  n . Có 1 2 2

4 n tứ giác căng bởi các cặp cạnh, một ở trên bao dưới, một cặp ở trên bao trên của đường cong dưới của các điểm. Trên đường cong trên mỗi tứ giác cho ta một *

2

T  cấu hình và hai T2 cấu hình. Hơn nữa, mỗi dãy có

1 2

n

 cạnh và mỗi cặp điểm phân biệt của chúng cho một T2 cấu hình nên ta

có tất cả 2    1 2 1 2 4 6 4 n C n n     T2cấu hình bổ sung. Hình 2.9: cận dưới cho T2 và * 2 T

§2.3 Các đánh giá trong không gian có số chiều cao hơn 2

Trong Mục này ta sẽ chỉ ra rằng Định lý 2.1 và Định lý 2.2 có thể mở rộng cho các tập điểm trong không gian ¡ với d d 3.

Cho P là một tập n điểm trong ¡ ở vị trí tổng quát. Với mỗi d kd 1, đặt  

k k

X X p là số các đa diện kđỉnh lồi rỗng tạo bởi .P Đây là các đa diện với k đỉnh thuộc vào P sao cho phần trong của nó không chứa điểm nào

của .P

Tương tự như trường hợp trong mặt phẳng, ta định nghĩa mômen đan dấu thứ

r của P với r0,1 là ( ) ( ) 1 0 0 1 1k d k k d M M P + + X ³ + = = å - ,     1 1 1 1 1 k d k. k d M M P   kX       .

Ta chưa biết cách bằng con đường tự nhiên nào có thể định nghĩa cho mômen bậc cao hơn trong không gian ¡ d. Hơn nữa, các phân tích của chúng ta cũng không mở rộng được cho các mômen bậc cao.

Định lý 2.5   1   1 0 d d ... 1 d 1 d n n M C C   n        Chứng minh

Như trong trường hợp mặt phẳng, chúng ta giả sử rằng bất kỳ chuyển động

liên tục nào của các điểm trong P mà đủ tổng quát đều không làm thay đổi

giá trị của M0. Từ "đủ tổng quát " hàm ý là các điểm của P vẫn còn phân

biệt và ở vị trí tổng quát trong quá trình chuyển động, ngoại trừ một số hữu

hạn lần đặc biệt mà d + 1 điểm nằm trong một siêu phẳng chung (nhưng

có điểm khác nằm trên siêu phẳng này. Rõ ràng, cho đến khi trường hợp suy biến như vậy xảy ra, M0 không thay đổi.

Giả sử rằng p , p ,..., p1 2 d 1+ Î P nằm trong một siêu phẳng h0. Theo Định lý Radon, tồn tại một cách chia tập P0 = {p ,..., p1 d 1+ } thành hai tập con không

rỗng A ÈB , để convA ÇconvB ¹ Æ. Giả sử đầu tiên là cả A và B đều

không phải là tập một điểm. Chúng ta khẳng định rằng trong trường hợp này

tập các hình đa diện lồi rỗng xác định bởi P là không thay đổi ngoại trừ các

mặt của một số các đa diện này có thể thay đổi. Điều này suy ra từ quan sát thấy rằng, trừ khi A hoặc B là một điểm, P là ở vị trí lồi trong 0 h , do không 0 có điểm nào nằm trong bao lồi của d điểm khác.

Do vậy, không mất tính tổng quát, ta giả sử pd 1+ là điểm trong của (d - 1)-

đơn hình s căng dài xác định bởi p , p ,..., p1 2 d. Giả sử K là một hình đa diện lồi xác định bởi P , một số đỉnh của K thuộc P0. Có thể kiểm tra rằng chỉ có trường hợp lồi hoặc rỗng của K có thể bị tác động khi tất cả các điểm

d p p

p1, 2,..., là đỉnh của K, và có thể ngoại trừ pd1, nó không chứa điểm nào khác của P. Giả sử rằng pd1 không phải là đỉnh của K. Giả sử K là một đa diện nhận được bằng cách thêm pd1 vào K như là một đỉnh, và thay thế  bằng d đơn hình nối pd1 với các mặt của . Khi ấy, nếu pd1 qua bên

trong tương đối của P vào (tương ứng, ra khỏi) trong K thì K không còn

(tương ứng, bắt đầu) rỗng. Hơn thế nữa, nếu K bắt đầu trở nên rỗng thì K

cũng như vậy (mà nó vừa mới là tập lồi), và nếu K trở nên rỗng thì K cũng trở nên không còn lồi đồng thời. Trong trường hợp ngược lại, ta nhận được hai đa diện lồi khác nhau ở một đỉnh, được đồng thời bổ sung vào tập của những đa diện lồi rỗng hoặc đồng thời loại bỏ khỏi tập này. Trong cả hai

trường hợp M0 không thay đổi.

Vì M0 không thay đổi trong quá trình chuyển động liên tục như vậy, nên có thể tính tính toán giá trị của nó khi P ở vị trí lồi. Do đó

  1   1 2 3 1 0 d d d ... d d ... 1 d 1 .d n n n n n M C  C  C  C C   n           

Nói cách khác, tương tự như trong mặt phẳng, M không phụ thuộc vào hình 0 dạng của P mà chỉ phụ thuộc vào số điểm của nó.

Dưới đây ta mở rộng Định lý 2.2 cho trường hợp số chiều cao hơn. Định lý 2.6   1   1 1 d 1 d ... 1 d , n n M dC d C   n I       

trong đó I là số điểm của P thuộc phần trong của bao lồi của P .

Chứng minh

Đặt K như là một đa diện k - đỉnh mà không nhận pd 1+ làm đỉnh. Khi đó f là một mặt của K , nếu không K sẽ chứa pd 1+ trong phần trong của nó cả

trước và sau khi giao nhau của f bởi pd 1+ .

Nếu K là rỗng trước khi giao nhau thì K phải nằm trong một nửa mặt phẳng đối diện xác định bởi f , và nó không còn rỗng khi giao nhau. Tuy nhiên, trong trường hợp này theo chứng minh Định lý 2.1, K ¢ là một (k + 1)- đa diện lồi rỗng trước khi đi qua, và nó trở thành không còn lồi nữa sau khi giao nhau. Vì vậy, nó không chứa trong M1 sau khi giao nhau. Do đó, K gây ra

thay đổi cho mỗi Xk và Xk 1+ tăng thêm là 1- , và đó là nguyên nhân M1

thay đổi - æçç( )- 1 k+ +d 1k + -( )1 k+ +d 2(k + 1)ö÷÷÷= -( )1 k+ +d 1

Nếu K trở thành rỗng sau khi đi qua thì K nằm trong một nửa mặt phẳng bị chia cắt bởi f . Ta thấy K chứa pd 1+ trong miền trong của nó trước khi giao nhau và do đó nó không rỗng. Ngoài ra, K là ' (k + 1)- đa diện lồi rỗng mới

được được tạo thành sau khi giao nhau. Do đó, K gây ra thay đổi cho mỗi

k

X và Xk+1 tăng thêm là 1+ , và đó là nguyên nhân M1 thay đổi

( )1 k+ +d 1k ( )1 k+ +d 2(k 1) ( )1 k+d

æ ö÷

ç - + - + ÷= -

ç ÷

è ø

Nó chỉ ra rằng, khi đi qua giá trị của M thay đổi bởi 1 M0( )f+ - M0( )f- , ở

đây f+ = f và f- là ngược hướng với f , và ở đây cả M0( )f- và M0( )f+

liên qua đến P \ {pd 1+ }.

Nếu pd 1+ là một điểm trong bao lồi conv P( ) cả trước và sau khi giao nhau, thì chúng là những điểm của P \ {pd 1+ } trên cả hai hướng của f , vì vậy cả

( )

0

M f- và M0( )f+ là 1 . Điều đó chứng tỏ M1 không thay đổi khi giao

nhau và rõ ràng I cũng vậy. Hiển nhiên M1- I cũng không đổi.

Nếu pd 1+ là một cực điểm của conv P cả trước và sau khi giao nhau thì ( )

chúng là những điểm của P \ {pd+1} chỉ trên hướng dương của f hoặc trên hướng ngược lại của f . Hiển nhiên, ta có M0( )f- = 0 và M0( )f+ = 1, do đó M1 tăng thêm 1 . Tuy nhiên, I cũng tăng thêm 1 ở thời điểm khi mà pd 1+

trở thành một điểm trong sau khi giao nhau (ở đây chúng ta bỏ qua trường

hợp đơn giản P là một đơn hình trong R ). Do đó, d M1- I cũng không thay đổi trong trường hợp này. Một cách xử lý hoàn toàn tương tự cho trường hợp khi pd 1+ là một cực điểm của P sau khi giao nhau

Dễ dàng kiểm tra thấy rằng, nếu các điểm của P nằm ở vị trí lồi thì I = 0 và ( ) ... ( )d 1 n n M d d 1 1 n d d 1 æ ö æ ö ÷ ÷ ç ÷ ç ÷ ç ç = ç ÷- - ç ÷+ + - ÷ - ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø . Định lý được chứng minh. Nhận xét 1. Một vấn đề mở khá hay là mở rộng Định lý 2.1 và Định lý 2.2 cho các mômen bậc cao. Kĩ thuật chứng minh các công thức trên có vẻ như không mở rộng được cho các trường hợp cho các mômen bậc cao.

2. Xét bài toán với Xk( )P là số đa diện lồi rỗng căng bởi P và có k mặt (nhiều hơn k đỉnh). Liệu có thể nhận được những đẳng thức tương tự như