Một số hệ thức liên quan đến giả thuyết Erdös-szekeres

MỤCLỤC Trang Lờicảmơn...1 Lờicamdoan...2 Lờimởđầu...3-4 Chương1Tổngquan vềgiảthuyếtErdös-Szekeres vàcácbàitoánliên quan.. ...5 §1.1GiảthuyếtErdös-Szekeres...5 §1.2Đánhgiácậntrênvàcậndưới

MỤCLỤC

Trang

Lờicảmơn 1

Lờicamdoan 2

Lờimởđầu 3-4 Chương1Tổngquan vềgiảthuyếtErdös-Szekeres vàcácbàitoánliên quan .5

§1.1GiảthuyếtErdös-Szekeres 5

§1.2Đánhgiácậntrênvàcậndướicủa N(n) 11

§1.3Bàitoánvềđagiáclồirỗng 13

§1.4Đánhgiásốđagiáclồitạothànhtừnđiểmtrênmặtphẳngởvịtrítổngquát 15

Chương2Mộtsốcôngthứcđánhgiásốđagiáclồirỗngtrongtập điểmtrênmặt phẳng 22

§2.1Mômenđandấucủacácđagiáclồirỗng 22

§2.2Đánhgiácậntrênvàcậndướicho T2vàcáccậnliênquan 31

§2.3Cácđánhgiátrongkhônggiancósốchiềucaohơn2 38

§2.4CácbấtđẳngthứcliênquanđếnX k 42

Kếtluận 68

Tàiliệuthamkhảo 69

Luậnv ă n đ ư ợ c hoànt h à n h tạitrườngĐ ạ i họcSưp h ạ m HàN ộ i II,dướisựh ư ớn gdẫncủaPGS.TS.TạDuyPhượng,ViệnToánhọc.Tôixinbàytỏlòngbiết ơnsâusắctớiThầyhướngdẫn

Tôixinđ ư ợ c c ả m ơnK h o a s a u đ ạ i học,C á c T h à y C ô trườngĐ ạ i h ọ c SưphạmHàNộiIIvàViệnToánhọc,trườngPhổthôngTrunghọcđãnhiệttìnhtruyềnthụkiếnthứcvàtạođiềukiệngiúpđỡtôihoànthànhkhóaCaohọc

Vàcuốicùng,xinc ả m ơnG i a đìnhđ ã độngviênv à khíchlệt ô i r ấ t nhiềutrongthờigiannghiêncứuvàhọctập

HàNội,ngày01tháng12năm 2011

NguyễnVănToàn

Tôixincamđoanbảnluậnvănnàylàcôngtrìnhnghiêncứucủariêngt ô i dướisựhướngdẫncủaPGS.TSTạDuyPhượng.Sôliệuvàcáckếtn g h i ê n cứutrongluậnvănnàylàtrungthựcvàkhôngtrùnglặpvớicácđềtàikhác

HàNội,ngày01tháng12năm 2011

NguyễnVănToàn

GiảthuyếtErdős-Szekerescóýnghĩatriếthọcsâusắc:Từmộttậphợp(cácđ i ể m bấtk ì trênmặtphẳng)hỗnđộn,khôngcót r ậ t tự,nhưng( c ó sốlượngphầntử)đủlớn,tacóthểtìmđượcmộtt

quan,trongđóđặ c biệtchúý đếncáchệthức(đẳngthức vàbấtđẳngthức)l i ê n quan

đếnsốcácđagiácrỗngtạođượctừtậpn đ i ể m trênmặtphẳng.

2 Mụcđíchnghiêncứu

MụcđíchcủaLuậnvănlàtrìnhbàychứngminhcácđẳngthứcvàbấtđẳngt h ứ c liênquanđếncácđốitượnghìnhhọcnêutrong[4]vàmộtsốtàiliệuliênquan.Dựavàocáchệthứcnày,mộtsốcôngthứcgiảitíchvàcôngthứcđánhg i á tronggiảthuyếtErdős-

Szekerescũngsẽđượctrìnhbày.Trongchừngmựccóthể,chúngtôicũngcốgắngđisâutìmhiểuđểthựchiệnnhữngtínht o á n trongcáctrườnghợpcụthểvàtìmracáckếtquảmới

3 Nhiệmvụnghiêncứu

Luậnvăncónhiệm

vụnghiêncứumộthướngtiếpcận(quacáccôngthứcgiảit í c h ) Szekeresvàmộtsốmởrộngcủagiảthuyếtnày

giảthuyếtErdős-4 Đốitượngnghiêncứu

Szekerestrênmặtphẳng

ĐốitượngvàphạmvinghiêncứucủaluậnvănđượcgiớihạntronggiảthuyếtErdős-5 Phươngphápnghiêncứu

Đểchứngminhcáccôngthức,cầnsửdụngcácphươngpháp:Quinạp,phảnchứng,đánhgiá,…vàcáccôngcụcủaGiảitích,giảitíchhàm,đạisốtuyếntính,hìnhhọctổhợp…

6 Giảthuyếtkhoahọc

1

TrìnhbàytổngquanvềmộthướngtiếpcậngiảthuyếtErdős-Szekeresquac á c côngthứcbiểudiễnvàcôngthứcđánhgiá

2 Cốgắngđưaramộtsốnhậnxét,quansátvàđónggópmớinhằmlàmsángt ỏ giảthuyếtErdős-Szekereschotrongmộtsốtrườnghợpcụthể

Vớinămđiểmchotrướcởvịtrítổngquát(khôngcóbađiểmnàothẳnghàng)baogiờta cũngtìmđượcbốnđiểmtạothànhmộttứgiáclồi.

ĐóchínhlàcáctứgiácABCD,ABCE,ABDE,ACDE,BCDE.Tấtcảcáctứgiácnàyđềukhôngchứađiểmcònlạibêntrong(điểmcònlạiởbênngoàitứgiác).Tagọicáctứ

giácnàylàtứgiácrỗng.

Ngoàira,tacótấtcả

C3

10 tamgiácđượctạothànhtừnămđiểmA,B,C,D,E(ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE).Và tất

cảcáctam giácnàyđềulàcáctam giácrỗng

ồ i gầnrỗngvàhai tứgiáclõm

Ngoàira,trongtrườnghợpnày,t a c ó tấtc ả 1 0 t a m giác đượct ạ o thànht ừ nămđiểmA,B,C,D,E.Đólàcáctamgiác:ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE.T r o n g đótấtcả6tamgiáccóđỉnhEđềulà

cònlạibêntrong).VìkhikẻđườngchéoAC(hoặcBD)củatứgiáclồiABCDthìdocácđiểmkhôngthẳnghàngnênEphảin ằ m t ro ng mộttronghait a m g iác ABChoặcACD(ABDh o ặ c BCD).N h ư vậytacóhaitamgiácgầnrỗng(chứađiểmE)vàhaitamgiácrỗng

Khảnăng3 (Hình1.4):Baolồichứab a đ i ể m t ạ o thànht a m g i á c , thídụ,A B C

HaiđiểmcònlạiEvàDnằmbêntrongtamgiác.Dokhôngcóbađiểmnàothẳnghà n g(cácđ i ể m ởvịt r í tổngq uá t ) n ê n haiđ i ể m Evà D xác địnhmộtđườngthẳngchiamặtphẳngtamgiácthànhhaiphầnsaochocóhaiđỉnhc ủ a tamgiácABC,thídụ,AvàB,nằmtrêncùngmộtnửamặtphẳngmở.Haiđ i ể m EvàDcùngvớiAvàBtạothànhmộttứgiáclồirỗngABDE.Tứgiácnàylàtứgiáclồiduynhất.BốntứgiácABDC,ABEC,BDCE,ADCEcònlạil à cáctứgiáclõm

Ngoàira,tacótấtcả10tamgiácđượctạothànhtừnămđiểmA,B,C,D,E.Đ ó làcáctamgiác:ABC(chứahaiđiểmD,Ebêntrong),ACDvàBECchứamộtđ i ể m bê ntrong( t

a m giácgầnrỗng).Bảytamg iác cònlạiABD,ABE,ACE,ADE,BCD,BDE,CDElàcáctamgiácrỗng

Từquansáttrên,E.Kleinđãđềnghịmộtbàitoántổngquátsauđây.B à i toán1.2

Vớimỗisốtựnhiên n3,hãyxácđịnhsốnguyêndươngnhỏnhất N(n) sao chomọitậptạot h à n h t ừ tốithiểu N(n) điểmtrênmặtphẳngở vịtrí tổng quátphảichứan điểmlàđỉnhcủamộtđagiáclồin cạnh.

Bàitoán1.2đượcphátbiểutrong[8]vàsaunàyđượcgọilàBàitoánErdös-Szekeres.Erdösđãgọibàitoánnàylàbàitoáncókếthạnhphúc(happyendp r o b l e

m hayhappyendingproblem),vìkhônglâusaukhibàibáo[8]rađời(1935),Györg

ySzekeresvàEstherKleinđãtổchứcđámcưới(1937)vàsốngh ạ n h phúcbênnhau60năm

TheoErdősvàSzekeres[11],E.Makaiđãchỉravídụ(Hình1.5)tồntạitámđ i ể m mà

k h ô n g cónămđiểmnàotrongsốđ ó t ạ o thànhngũgiáclồi,tứcl à N (5)9.Bàitoán2đ

ãđượcHoàngChúnggiớithiệuvớibạnđọcViệtNamtrongToánhọcvàTuổitrẻsố4,tháng2năm1967.N g a y sauđó,côngthức

E(5)

9

đãđượcĐoànHữuDũngchứngminhtrongToánhọcvàTuổitrẻsố

Nóicáchkhác,taphảichứngminhcôngthức

N(6)262117 Tấtnhiên,Bàitoán1 4 l à trườnghợpriêngcủaBàit o á n 1.2k h i n6. Mặcdùvậy,trườngh ợ p c ụ thến à y c ủ a Bàit o á n Erdös-

Szekeresđãtháchthứccácn h à t o á n họctrong70năm.NóchỉvừamớiđượcG.SzekeresvàL.Peterschứngminhnăm2006(xem[16])bằngmáytính

Dựatrêncácđ ẳ n g th ức N(3)3, N(4)5và N(5)9, ErdősvàSzekeres

đưaragiảthuyếtsauđây

GiảthuyếtErdős-Szekeres(1935,[8])

N(n)12 n2 vớimọin3.

Szekeresnhậnđượcs ự quant â m r ộ n g rãicủacácn h à toánhọc.Đãcó hàngt r ă m bàibáoviếtv ề giảthuyếtnàyvànhữngbàitoánl i ê n quan(xemTàiliệuthamkhảocủa[1]).

Chon làmộtsốtựnhiênbấtkì, n3 Hãyxácđịnhsốnguyêndươngnhỏ

nhất

H(n),n ế u nótồntại,saochotừmọitậpXchứatốithiểu H(n) điểmở

Tồntạimộtsốnguyên

H(6) saochomọitậpvớitốithiểu H(6) điểmởvịtrí tổngquáttrênmặtphẳngcólụcgiáclồirỗng.

Cốgắngtìm đánhgiádướicủa H(6), AvisvàRappaport[2]đãxâydựngmộtphươngphápđểxác định,kh in à o mộtt ậ p c á c đ iể mđãchot r ê n mặtphẳngc h ứ a lụcgiáclồirỗng.Vàđãtìmratập20điểmởvịtrítổngquátkhôngchứalụcgiáclồirỗng.Overmars,ScholenvàVincent(1989,[14]),đãxây dựngmộtthuậttoáncóđộ

phứctạp

O(n2) vềthờigianđểgiảibàitoánsauđây:C ho trướctậpV trên

mặtphẳngkhôngchứalụcgiáclồirỗngvàchođiểm zV, hãyxácđịnhkhinàotậpz V chứalụcgiáclồirỗng.Sửdụngthuậttoánnày,họđãtìmra

X(P)C 2, vìđoạnthẳngnốih a iđiểm(đagiác2đỉnh)khôngchứađiểmtrongnàothuộctậpP doP khôngcóbađiểmthẳ

dướiđây(chocácsố X k (P)):

k (n)minX Pn k (P) làsốtốithiểucáctậpk -giáclồirỗngcóthể

xâyd ự n g đượctừcáct ậ p khácnhau(dođóc ó c á c cấuhìnhkhácnhau)n h ư n g cùn

Cáckếtquảđầutiêntrongbàibáonàylàcácđẳngthứctuyếntínhliênquan

đếnsốlượng

X kp.Tấtcảnhữngđẳngthứcnàyliênquanđếncáctổng

ab,cdđược giớihạ n bởib ố n đi ểm phânb i ệ t củaP ở v ị t r í lồi, vàsaochochúng

chínhl à biênbịg i ớ i h ạ n b ở i nhữngđườngt h ẳ n g tựav à c ả h a i cùng

Đẳngthứcthứhai(cho MP),đượcchotrongĐịnhlí2.2trongChương2,

đãnhậnđ ư ợ c gầnđâyb ở i A h r e n s vànhữngngườikhácbằngc á c h sửdụngc á c côngcụcủalýthuyếtmatroidhoặclýthuyếtgreedoid,đặcbiệthóachohìnhhọcl ồ i xácđịnhbởicáct ậ p đ i ể m trênmặtphẳng.Tuynhiên,chứngminhcácĐịnhlínàytrong[15]làsơcấpvàđơngiản,cóthểmởrộngđểsuy

Mộtvấnđềthậmchícònthúvịhơnlàđánhgiásố

T *

Pnhữngtứgiáclồi

rPlàkhôngâmvớimọi

2 2

2

X 4PX 3P On,

2

X 5PX 3 Pn2OnCácbấtđẳngthứcnàychotamộtliênkếtchặtchẽgiữacácbàitoán(P3)–

Psẽcóứngdụngtươngtự

Mặcd ù đãcórấtnhiềuđẳngt h ứ c vàbấtđẳngthứctrong[15],cácbàitoán( P 3 ) –(P5)vẫncònlàbàitoánmở.Tuynhiên,hivọngrằngnhữngkỹthuậtđãpháttriểntrong[15]sẽtạothuậnlợivàmởrahướngtiếpcậnđểgiảicácbàitoánnàyvàđểchứngminhgiảthuyếtErdős-Szekeres

[6].T u y nhiênnhưđ ã trìnhb à y trong cuốiChương1,cácchứngminhtrong[6]vàtrongcáctàiliệukhác,phảisửdụngđ ế n cáccôngcụphứctạpcủatôpôhìnhhọc,lýthuyếtmatroid, Ngượclại,c á c chứngminhtrìnhbàydướiđâytheo[15]làcơbảnvàđơngiảnhơnnhiều.

Cáccôngthứcb iể udiễnch oM r với r2 (Địnhlý2.3t r o n g [ 1 5 ] ) làhoàntoànmới,vớikĩthuậtchứngminhđơngiản

điểmthẳnghàngxảyrathìgiátrịcủaM 0 khôngthayđổi.

Giảsửrằngbađiểm p,q,rP trởnênthẳnghàng,vớir nằmgiữapv à q

ChỉcócácđagiáclồicăngbởiP ở trạngtháirỗng(hoặclồi)mớicóthểthayđổitrạngth áikhichúngchứacả pvàq (vàcóthểcảr )làcácđỉnh,hoặcngaytrướckhihoặcngay

saukhitrườnghợpthẳnghàngxảyra

LấyQl à mộtk -giáclồimàkhôngnhậnr l à đỉnh(xemHình2.1).

NếuQ làrỗngtrướckhithẳnghàngvàr sauđóthuộcphầntrongcủaQ t h ì

Qkhôngcònlàrỗng,vàk1 -giácQx á c địnhbằngcáchthaythếcạnh

pqcủaQbởiđườnggấpk h ú c prqthìQ trởthànhđagiác(lồivàrỗngt r ư ớ c khithẳn

Q

nàokhácngoàisựkiệnnàycóthểlàmthayđổigiátrịcủaM tạicấuhìnhsuybiến

TacóthểnhậnđượcgiátrịcủaM bằngcáchtínhtoántrongtrườnghợpPởvịtrílồi.Trongtrườnghợpnày,tacó

khiđ i ể m đầu,đ i ể m cuốic ủ a e cũngnhưc ác đ i ể m trêne vẫncòncốđịnh.Nếucó

m điểmởbêntráicủa e ,vớie làmộtcạnhđượcđịnhhướngtheoc h i ề u kimđồnghồ củabaolồicủaP ,vànhữngđiểmnàycùngvớipvàq ở v à o vịtrílồi,thìchúngthoảmãn

ke1,e2, ,e r làsốcác kgiáclồirỗngcóc h ứ a e1

,e2, ,e r

nhưlàcáccạnh

ba

Hình 2.2b Hình2.2.a

e1,e2, ,e r 0 1 2 r r

liệukhôngsắpthứtựcủacáccạnhriêngbiệtvớiđiểmđầu,điểmcuốiphânb i ệ t ởvịtrílồi

Điềunàyđượcsuyratừtínhchất,mỗik giáclồirỗngQ đượcđếmđúng

 e1,e2, e r dichuyểnmàkhôngvượtquađườngthẳnggiớihạncủa

-1 m=0hợpnàytacóc

e1

Hình2.3:T3 -cấuhình

2.Phươngtrình5 cungcấpmộtphươngp h á p k i ể m t r a mộtp h í a nhanhchóngvàđơngiảnchosựtồntạicủamộtlụcgiáclồirỗngtrongmộttậpP

chotrước.Đólà,nếuđẳngthứckhôngđúngthìP chứamộtlụcgiáclồirỗng

Hệ5cóthểđượckiểmtrađúngtớin4 vàcólẽcóthểhơnnữa.Điềunàycóthểđ ư ợ c sửdụngt r o n g v i ệ c x â y d ự n g chươngtrìnht ì m kiếmc á c t ậ p hợpđi

ểm ch ứa mộtlụcgiáclồirỗng

Giảsử,đư ờn g chéolàabvàa làđiểmngoàicùngbênphảinhư minhhoạtrongHìn

Thậtvậy,đầutiêntakhẳngđịnhđườngthẳngl vớigiávv¢táchrờiavàb, suyracảv vàv¢nằmbêntráicủaa vàởmặtkháccủaab. Chỉcótrườnghợpmàl khôngtáchrờiavàbl à khitứgiácav¢bv làkhônglồitạibn h ư Hình2.7.Nhưngkhiđóauvàbv

-v¢ (Hình2.6d)thìaubu¢v làmộtngũgiáclồi

l

v'v'

34

au

vv

b

u'a

ab

35Mặcd ù l ụ c g i ác lồiở trườnghợpHình2.6ahoặchaingũg i á c lồiở trườnghợpHình2.6bhoặcngũgiáclồiđơnởtrườnghợpHình2.6dkhôngnhấtthiếtl à rỗng,takhẳngđịnhchúngcóthểđượcthaythếbởiđagiácrỗng.

XétvídụchotrườnghợpởHình2.6ađượcxâydựnglạiởHình2.8

MọiđiểmcủaP n ằ m trongphầntrongcủaavubuv phảinằmt r o n g một

trongcáctamgiác uxv vàvyu (trongđóx l à giaođiểmcủabvvà

au,

yl à giaođiểmcủabvvàau).Giảsửrằng uxv chứamộtđiểmcủa

Pở miềntrongcủanó,vàxétbaolồicủatấtcảcácđiểm củaP ở miềntrong

của uxv baogồmcảuv à v .Lấyuvl à mộtcạnhcủabaolồikhácvu.

Sửdụngtínhchấtđốixứngchứngminhvới

vyu cóđượcmộtcạnhuv củabaolồitươngứng(giảsửnókhácrỗng).Dễthấyrằngavubuvlàmộtlụcgiáclồirỗngc

óa b làmộtđườngchéochínhvàđỉnha ở ngoàicùngbên

vàngượcchiềukimđồnghồcho

ab, cholụcgiácrỗng,chomộthoặchaingũ giácrỗnghoặcchomộtT * -

cấuhình.Rõràngmỗilụcgiácrỗngđượcthayđổitrongphươngphápnàyítnhấtmộtlần

,

(bởivìnóchỉcómộtđườngchéochínhbắtnguồntừđỉnhngoàicùngbênphải),mỗingũgiácrỗngđượcthay

màkhônggiảsử X

70.

ChoP l à mộttậpn điểmtrong¡ d ởvịtrítổngquát.Vớimỗi kd1, đặt

X k  X kp làsốcácđadiệnk đỉnhlồirỗngtạob ở i P.Đâylàcácđadiện vớikđỉnhthuộcvàoPsaoc h o phầntrongc ủ a n ó khôngc h ứ a điểm nào

thếbằngdđ ơ n hình nối

p d1 vớicácmặtcủa.Khiấy,nếu p d1 quabên

trongtươngđốicủa P v à o (tươngứng,ra khỏi)trongK thìK khôngcòn(tươngứng,

bắtđầu)rỗng.Hơnthếnữa,nếuK b ắ t đầutrởnênrỗngthìK c ũ n g nhưvậy(mànóvừam

ớilàtậplồi),vànếuK trở nênrỗngthìK cũngt r ở nênkhôngcònlồiđồngthời.Trongtrườ

nghợpngược lại,t a nhậnđược

haiđadiệnl ồ i k h á c nhauở mộtđỉnh,đượcđồngt h ờ i b ổ sungv à o tậpc ủ a nhữngđadiệnlồirỗnghoặcđồngthờiloạibỏkhỏitậpnày.Trongcảhai

n

p p

trongđóI l à sốđiểmcủaP thuộcphầntrongcủabaolồicủaP Chứngminh

d+1 làmđỉnh.Khiđóf làmộtmặtc ủ a K , nếuk h ô n g K sẽchứa

d+1 trongp h ầ n trongcủan ó c ả

trướcvàsaukhigiaonhaucủaf bởip

NếuK l à rỗngtrướckhigiaonhauthìKphảinằmtrongmộtnửamặtphẳngđốidiệnxác địnhbởif , vànókhôngcònrỗngkhigiaonhau.Tuynhiên,t rongtrườnghợpnàytheoc hứngminhĐịnhlý2.1,K ¢làmột(k+1)-

thìchúnglànhữngđiểm củaP\{p d+1}trêncảhaihướngcủaf , vìvậycả

M(f - )vàM 0(f )là1.ĐiềuđóchứngtỏM 1 khôngthay đổikhigiaonhauvàrõràngIcũngvậy.HiểnnhiênM - Icũngkhôngđổi.

Nếu

d+1 làmộtcựcđiểmcủaconv(P)cảtrướcvàsaukhigiaonhauthì

chúnglànhữngđiểmcủaP\{p d+1}chỉtrênhướngdươngcủaf h o ặ c trên

hướng ngượclạicủaf Hiểnnhiên,tacóM(f -)=0 vàM (f +)= 1,do đóM tăngthêm1.Tuynhiên,Icũngtăng thêm1ở thờiđiểmkhimà

hợptổngquátM vớir³ 2.

i j

X(e)³ X(e)- 1.Đặcbiệt,đ i ề u n à y k h ẳ n g địnhđẳngt h ứ c trongBổđềlàđúngchot= 4.Nếu

y y vàqy (Hình2.10).ChoK làmộtk - giáclồirỗngbấtkỳnằmbên

làđỉnhliêntiếp(theochiềungượcchiềukimđồnghồ),và(k- 2)- giáclồirỗngđượchìnhthànhbởicáccácđiểmcủa +

pq ij

vànhậny ,y làmđỉnh

(liêntiếp).Nhưvậy,trongtrườngh ợ p nàycácđiểmcủa

P +nằmtrongW chínhl à y

tổngđượctínhtheotấtcảcáccặpchỉsối< jsaochotứgiácpyyql à rỗng.

ij+1 làrỗngvớii < m.Chúýrằng,tứgiác pyyq,i <j- 1l à rỗngnếuvàchỉnếuP +ÇW làkhôngrỗng.Dođó,vếtráicủa(10)làsốtối

đacáctứgiácrỗngpyyqvớii<j- 1,cónghĩalànónhiềunhấtlà

Tac ũ n g nhậnt h ấ y rằng X(e)=0 thì =0 vớimọii <j màtứgiác

pyyqlàt ứ giácrỗng.Dođ ó chỉcócáctứgiácnhưv ậ y l à l ồ i rỗngv ớ i

i= j- 1.Theocáchlậpluậntrên,điềunàycónghĩalà

X(e)= X(e)-1, làphầncònthiếutrongcácchứngminhchot= 4.Dođó,chú

pa b

pa b

đỉnhcủaK kềvớip Tamgiácpabr õ rànglàrỗng,và(k- 1)- giácnhận

đượctừKb ằ n g cáchloạibỏcácđỉnhp chứatronghìnhnêmW cóđỉnhlà

1)X (V).Khiđó,theotươngứng1-

thểk ế t luậnrằng F(V)£1 chomọitamg i á c V nhưthế.T a cóchínhx á c

1+2 +3+ +(

n-2)=C 2 - n+1 tamgiácrỗngV màW khôngchứabấtkỳmộtđ i ể m nàokhác của P Thậtvậy,sắp xếpcácđiểmcủaP trong

thứtựgiảmtheotrụcy,vàđánhsốchúnglà p,p, ,p theothứtựnày.Cốđịnhđ i ể m pv à sắpxếpcácđiểmcaohơn p,p, ,p theothứtựgócso

với p.TamgiácrỗngV với plàđỉnhthấpnhấtvàvớiW ÇP =F chính

Trườnghợp2:t l à sốchẵn

TheoBổđề2.1,X(e)- X(e)+ + X(e)£ 1,nếu e khôngphảilàmột

cạnhcủabaolồicủaP(vớiPnằmởphíabênphảicủanó).Ngượclại,tổngb ằ n g 0.Bâygiờchứngminhtươngtựnhưtrongtrườnghợptlẻ,ngoạitrừdấucủabấtđẳngthứcquayngượclại

2.4.2BấtđẳngthứcđầuvàcuốichotrườnghợpM r tổngquát

CácĐịnhlý2.7vàĐịnhlý2.8cóthểđượcmởrộngchocáctổngvớicácmômencóbậccaohơn.Đặcbiệt,chúngtacó:

đầuc u ố i là a,b,c,dP,saocho e1và e2ởvịt r í lồi,vớic á c đ i ể m mút

a,b,c,dnằmtheothứtựn gư ợc chiềuk i m đồngh ồ , v à saochochúngcăng

X 4e1,e2X 5e1,e2 X te1,e20,vớimọit6,chẵnX 4e1,e2X 5e1,e2 X te1,e20,vớim

ọit5 ,lẻ

k' 2

tj2

Bâygiờtagiảsửrằngt³ 6làchẵn.Khiđótínhchẵnlẻcủat- j¢vµj'¢là nhưnhau.Dễthấyrằngtấtcảcácsốhạngtrongtổngchính(theoj ¢)làkhông

âm,vàvìvậyS³ 0đ ư ợ c khẳngđịnh.

Sửdụngcácphântíchhoàntoànđốixứng,tachỉrarằngS £ 0k h i t³ 5l àlẻ(chúýrằngkhit= 4thìtổngtrênluônbằng1).

X (e,e)= 0cũngđúngchocáccặplàT- cấuhình.Tươngtự

lồirỗng

Hơnnữa,tagiảsửrằngmiền

t(e1,e2, ,e r) đượcđịnhnghĩanhưtrong

k 1 2 1 2

Chương1 , cóítnhất1đ i ể m c ủ a P trongphầntrongcủanó.Vớimỗi

k³ 2r,đặtX(e,e, ,e)làsốk-giáclồi,rỗngcó e,e, ,e làcác

Tổng“vôhạn”X (e,e, ,e)- X (e,e, ,e)+ =0

(khi t=t(e 1 ,e 2, ,e r)kh¸crçng),nhưđãchỉratrongchứngminhcủa

Địnhlý2.3.Vìvậy,nếu

haitrườnghợp)

X (e,e, ,e)=0 thìdấubằngxảyra(trongcả

Khôngmấttínhtổngquát,tag i ả s ử e,e, ,e xuấth i ệ n theot h ứ tựchiều

kimđồnghồdọctheobiêncủaQ(haytheobiêncủat ).Vớimỗiiđ ặ tWlà