Một số hệ thức liên quan đến giả thuyết Erdös-szekeres

1 MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Lời cam doan Lời mở đầu 3-4 Chương Tổng quan giả thuyết Erdưs-Szekeres tốn liên quan .5 §1.1 Giả thuyết Erdưs-Szekeres §1.2 Đánh giá cận cận N (n) .11 §1.3 Bài tốn đa giác lồi rỗng 13 §1.4 Đánh giá số đa giác lồi tạo thành từ n điểm mặt phẳng vị trí tổng quát .15 Chương Một số công thức đánh giá số đa giác lồi rỗng tập điểm mặt phẳng 22 §2.1 Mômen đan dấu đa giác lồi rỗng 22 §2.2 Đánh giá cận cận cho T2 cận liên quan 31 §2.3 Các đánh giá khơng gian có số chiều cao 38 §2.4 Các bất đẳng thức liên quan đến X k .42 Kết luận .68 Tài liệu tham khảo 69 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội II, hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng, Viện Tốn học Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy hướng dẫn Tôi xin cảm ơn Khoa sau đại học, Các Thày Cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội II Viện Tốn học, trường Phổ thơng Trung học nhiệt tình truyền thụ kiến thức tạo điều kiện giúp đỡ tơi hồn thành khóa Cao học Và cuối cùng, xin cảm ơn Gia đình động viên khích lệ tơi nhiều thời gian nghiên cứu học tập Hà Nội, ngày 01 tháng 12 năm 2011 Nguyễn Văn Tồn LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng Sô liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Hà Nội, ngày 01 tháng 12 năm 2011 Nguyễn Văn Toàn LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Năm 1935, Erdős-Szekeres đưa giả thuyết sau đây: Giả thuyết Erdős-Szekeres Mọi tập khơng  n2 điểm mặt phẳng vị trí tổng qt (khơng có ba điểm thẳng hàng) chứa n điểm đỉnh đa giác lồi Giả thuyết Erdős-Szekeres có ý nghĩa triết học sâu sắc: Từ tập hợp (các điểm mặt phẳng) hỗn độn, khơng có trật tự, (có số lượng phần tử) đủ lớn, ta tìm tập có cấu trúc đẹp (đa giác lồi) Bất chấp cố gắng hàng trăm nhà toán học, giả thuyết Erdős-Szekeres chứng minh cho trường hợp n  3, 4,5,6 Trường hợp n  chứng minh gần (2006) Szekeres Peters nhờ máy tính Trên đường chứng minh giả thuyết Erdős-Szekeres, nhiều phương pháp toán xuất Năm 1978, Erdős phát biểu toán mới, Bài tốn Erdős (về đa giác lồi rỗng) Cho n số tự nhiên Tồn hay không số nguyên dương nhỏ H (n), cho từ tập chứa tối thiểu H (n) điểm vị trí tổng quát mặt phẳng, chọn n điểm đỉnh đa giác lồi rỗng Liên quan đến hai tốn trên, tốn tính số đa giác lồi rỗng k đỉnh tạo từ tập n điểm mặt phẳng (ở vị trí tổng quát) thú vị quan trọng Luận văn Một số hệ thức liên quan đến giả thuyết Erdős-Szekeres có mục đích trình bày tổng quan giả thuyết Erdős-Szekeres số tốn liên quan, đặc biệt ý đến hệ thức (đẳng thức bất đẳng thức) liên quan đến số đa giác rỗng tạo từ tập n điểm mặt phẳng Mục đích nghiên cứu Mục đích Luận văn trình bày chứng minh đẳng thức bất đẳng thức liên quan đến đối tượng hình học nêu [4] số tài liệu liên quan Dựa vào hệ thức này, số cơng thức giải tích cơng thức đánh giá giả thuyết Erdős-Szekeres trình bày Trong chừng mực có thể, chúng tơi cố gắng sâu tìm hiểu để thực tính tốn trường hợp cụ thể tìm kết Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn có nhiệm vụ nghiên cứu hướng tiếp cận (qua cơng thức giải tích) giả thuyết Erdős-Szekeres số mở rộng giả thuyết Đối tượng nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu luận văn giới hạn giả thuyết Erdős-Szekeres mặt phẳng Phương pháp nghiên cứu Để chứng minh công thức, cần sử dụng phương pháp: Qui nạp, phản chứng, đánh giá,…và công cụ Giải tích, giải tích hàm, đại số tuyến tính, hình học tổ hợp… Giả thuyết khoa học Trình bày tổng quan hướng tiếp cận giả thuyết Erdős-Szekeres qua công thức biểu diễn công thức đánh giá Cố gắng đưa số nhận xét, quan sát đóng góp nhằm làm sáng tỏ giả thuyết Erdős-Szekeres cho số trường hợp cụ thể CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ GIẢ THUYẾT ERDưS-SZEKERES VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN §1.1 Giả thuyết Erdös-Szekeres Năm 1933, Esther Klein phát biểu chứng minh toán sau Bài toán 1.1 Với năm điểm cho trước vị trí tổng qt (khơng có ba điểm thẳng hàng) ta tìm bốn điểm tạo thành tứ giác lồi Hình 1.1: ACDE tứ giác lồi, ABCE khơng phải tứ giác lồi Dưới chứng minh Klein Xét bao lồi năm điểm (tập lồi nhỏ chứa năm điểm cho) vị trí tổng quát Chỉ có ba khả khác sau Khả (Hình 1.2): Bao lồi năm điểm ngũ giác ABCDE Khi bốn điểm từ năm điểm tạo thành tứ giác lồi (và điểm lại nằm ngồi tứ giác lồi đó) Trong trường hợp có tất C54  tứ giác lồi Đó tứ giác ABCD, ABCE, ABDE, ACDE, BCDE Tất tứ giác khơng chứa điểm lại bên (điểm lại bên ngồi tứ giác) Ta gọi tứ giác tứ giác rỗng Ngoài ra, ta có tất C35  10 tam giác tạo thành từ năm điểm A, B, C, D, E (ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE) Và tất tam giác tam giác rỗng Hình 1.2 Hình 1.3 Hình 1.4 Khả (Hình 1.3): Bao lồi tứ giác chứa điểm lại bên (điểm trong) Trong trường hợp ta có tứ giác lồi (kí hiệu ABCD) chứa điểm E bên Tứ giác lồi ABCD (chỉ chứa điểm E bên trong) gọi tứ giác gần rỗng Vì khơng có ba điểm thẳng hàng nên E phải nằm phía với B (hoặc với D) đường thẳng AC Và ta có tứ giác AECD (hoặc ABCE) tứ giác lồi rỗng, tứ giác ABCE (hoặc tương ứng AECD) tứ giác lõm Tương tự, điểm E phải phía với A (hoặc với C) đường chéo BD Khi tứ giác BEDC (hoặc tứ giác ABED) tứ giác lồi rỗng tứ giác ABED (hoặc tứ giác BCDE) tứ giác lõm Như vậy, Trường hợp ta có hai tứ giác lồi rỗng, tứ giác lồi gần rỗng hai tứ giác lõm Ngoài ra, trường hợp này, ta có tất 10 tam giác tạo thành từ năm điểm A, B, C, D, E Đó tam giác: ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE Trong tất tam giác có đỉnh E tam giác rỗng (khơng chứa hai điểm lại bên trong) Vì kẻ đường chéo AC (hoặc BD) tứ giác lồi ABCD điểm khơng thẳng hàng nên E phải nằm trong hai tam giác ABC ACD (ABD BCD) Như ta có hai tam giác gần rỗng (chứa điểm E) hai tam giác rỗng Khả (Hình 1.4): Bao lồi chứa ba điểm tạo thành tam giác, thí dụ, ABC Hai điểm lại E D nằm bên tam giác Do khơng có ba điểm thẳng hàng (các điểm vị trí tổng quát) nên hai điểm E D xác định đường thẳng chia mặt phẳng tam giác thành hai phần cho có hai đỉnh tam giác ABC, thí dụ, A B, nằm nửa mặt phẳng mở Hai điểm E D với A B tạo thành tứ giác lồi rỗng ABDE Tứ giác tứ giác lồi Bốn tứ giác ABDC, ABEC, BDCE, ADCE lại tứ giác lõm Ngồi ra, ta có tất 10 tam giác tạo thành từ năm điểm A, B, C, D, E Đó tam giác: ABC (chứa hai điểm D, E bên trong), ACD BEC chứa điểm bên (tam giác gần rỗng) Bảy tam giác lại ABD, ABE, ACE, ADE, BCD, BDE, CDE tam giác rỗng Từ quan sát trên, E Klein đề nghị toán tổng quát sau Bài toán 1.2 Với số tự nhiên n  3, xác định số nguyên dương nhỏ N (n) cho tập tạo thành từ tối thiểu N (n) điểm mặt phẳng vị trí tổng quát phải chứa n điểm đỉnh đa giác lồi n cạnh Bài toán 1.2 phát biểu [8] sau gọi Bài tốn ErdưsSzekeres Erdưs gọi tốn tốn có kết hạnh phúc (happy end problem hay happy ending problem), không lâu sau báo [8] đời (1935), György Szekeres Esther Klein tổ chức đám cưới (1937) sống hạnh phúc bên 60 năm Trong [8], Bài toán 1.2 tách thành hai tốn: Bài tốn 1.2a Tồn hay khơng tồn số N (n) ? Bài toán 1.2b Nếu số N (n) tồn làm xác định Trong [8] chứng minh tồn số N (n) N (n) hàm n hai cách Cách thứ Szekeres chứng minh không lâu sau E Klein phát biểu tốn, dựa định lí Ramsey (mà Ơng tự tìm lại khơng biết định lí này) Từ ta có bất đẳng thức N (n)  R4 (n,5) , R4 (n,5) số Ramsey Tuy nhiên, đánh giá lớn so với thực tế Thí dụ, với n  10000 R 5,5  , xa so với thực tế N (5)  Cách thứ hai Erdös chứng minh dựa số quan sát hình học đánh giá tốt N (n)  C n  n4 Như vậy, Bài toán 1.2a trả lời khẳng định Rõ ràng ba điểm không thẳng hàng đủ để tạo tam giác nên N (3)  E Klein chứng minh (như trình bày trên) N (4)  Bài toán 1.3 Với chín điểm cho trước vị trí tổng qt (khơng có ba điểm thẳng hàng) ta tìm năm điểm tạo thành ngũ giác lồi Theo Erdős Szekeres [11], E Makai ví dụ (Hình 1.5) tồn tám điểm mà khơng có năm điểm số tạo thành ngũ giác lồi, tức N (5)  Bài toán Hoàng Chúng giới thiệu với bạn đọc Việt Nam Toán học Tuổi trẻ số 4, tháng năm 1967 Ngay sau đó, cơng thức E(5)  Đoàn Hữu Dũng chứng minh Toán học Tuổi trẻ số 10 tháng 6, 1967 Hoàn toàn độc lập (nhưng phương pháp) với Đồn Hữu Dũng, cơng thức chứng minh Bonnice [4] năm 1974 Hình 1.5: Tập tám điểm khơng có năm điểm tạo thành ngũ giác lồi Như vậy, với n  ta có N (5)  công thức chứng minh Đoàn Hữu Dũng vào năm 1967 Bonnice vào năm 1974 Với n  ta có Bài tốn 1.4 Chứng minh từ tập 17 điểm vị trí tổng qt mặt phẳng tìm sáu điểm đỉnh lục giác lồi Nói cách khác, ta phải chứng minh công thức 62 N (6)    17 Tất nhiên, Bài toán 1.4 trường hợp riêng Bài toán 1.2 n  Mặc dù vậy, trường hợp cụ Bài tốn Erdưs-Szekeres thách thức nhà tốn học 70 năm Nó vừa G Szekeres L Peters chứng minh năm 2006 (xem [16]) máy tính Dựa đẳng thức N (3)  N (4)  , N (5)  9, đưa giả thuyết sau Giả thuyết Erdős-Szekeres (1935, [8]) N (n)   n2 với n  Erdős Szekeres 61 r S t ³ Ta có điều phải chứng minh Sử dụng lý luận trên, ta S £ t ³ 2r + , lẻ, ta t ý với t = 2r tổng ln (P ) = Chứng minh dấu xảy X t + hoàn toàn chứng minh trước ta hoàn thành chứng minh Bổ đề Chứng minh Định lý 2.9 cho r Như trên, ta cần chứng minh bất đẳng thức đầu Như chứng minh Định lý 2.3, ta có k t (- )k å r å (P ) X = C r1 k- r- k k=2r t å (X- 1)k k (e , ,e ) r e1 , ,er k = r Trường hợp 1: t ³ 2r + lẻ Theo Bổ đề 2.3, å (- k t k=2r 1) X k (e1, ,er ) £ t (e1, ,er ) chứa điểm P phần Nếu điều khơng xảy ra, (e1, ,er ) T r - cấu hình, tổng Vì vậy, t (- 1) k C å r- r k- r- Ta có điều phải chứng minh k=2r Trường hợp 2: t ³ 2r + Theo Bổ đề 2.3, (P ) £ T X k å t k=2r k r chẵn k (- 1) X (e , ,e )³ k r , (e1, ,er ) khơng T r - cấu hình trường hợp lại Vì vậy, t (- 1) k å C Trường hợp 3: t = 2r T r- r k- r- Ta có điều phải chứng minh k=2r (P ) ³ X k k r Trong trường hợp cần 2X nhiên T - cấu hình (e , ,e r ³ T Điều hiển 2r r r ) căng (2r )- giác lồi rỗng đa giác nhận từ nhiều hai T r - cấu hình Do đó, Định lý chứng minh cho r ³ 2.4.3 Các bất đẳng thức chứa X , X , X Các bất đẳng thức cho X Một ứng dụng quan trọng Định lý 5.2 trường hợp t = , từ ta có bất đẳng thức sau: (P )- X X 3X (P ) (P )- (P ) n + 1, n 4X (P ) n (n £ Hay tương đương: X ³ £ C - ìï max X (- P ) 1)- H , n + n - 1, X (- P ) (11) n (n - )üï í ï ïïỵ 4 Hï ý ïï ùỵ Nh ó núi n chng Bỏrỏny v Furedi [3] X (P ) ³ n - O (n log n ) Từ (11) bất đẳng thức ta suy X (P ) ³ n O (n log n ) Điều thiết lập [3], bất đẳng thức thể mối quan hệ hiển X X nêu mối liên hệ hai cận cách trực tiếp Ta ý số hạng (11) trội số hạng thứ hai X (P ) ³ (n 1)(n - - 4) + H So sánh với cận [3], số hạng thứ hai (11) trội giá trị X miền nhỏ, n - O (n log n ) (n - 1)(n - 4) + H Các bất đẳng thức cho X Trong phát biểu định lý sau, đưa vào kí hiệu H ¢= H ¢(P ) định nghĩa sau: Với p Ỵ P , đặt P + kí hiệu tập hợp tất p điểm P nằm P (theo đường căng ngang), đặt C + p kí hiệu tập + hợp bao lồi P p + P với hai tiếp tuyến từ p tới C p cắt Khi H ¢ số điểm p Î hai đỉnh liên tiếp (Hình 2.15) C p+ q r p Hình 2.15: Một điểm p chứa H ¢ Định lý 2.10 (P ) X ³ ìï max ï X í ï Chứng minh ïïỵ (- P ) (- n )(n ) H ', X - - (- P ) n (n 1) H üï - 5 Ta bắt đầu chứng minh bất đẳng thức Với ngũ giác lồi rỗng Q căng P ta tạo tam giác rỗng mà đỉnh nh thp T ù ý ù ùùỵ nht p Q hai đỉnh Q không kề với p (xem Hình 2.16) q r Hình 2.16: Thapy đổi ngũ giác lồi rồng thành tam giác rỗng Rõ ràng ngũ giác lồi rỗng sinh tam giác lồi rỗng Tuy nhiên, tất tam giác rỗng sinh theo cách này: giả sử D = pq tam giác rống căng P , cho p r đỉnh thấp nhất, r nằm bên phải pq Tương ứng với D , góc nhọn w (D ), chứa điểm nằm P bên phải đường thẳng định hướng qr Tam giác D chứa w (D ), chia thành ba miền con: D , phần chia D nằm bên trái pq , phần chia D nằm bên phải qr (xem hình 17) L R q r DL D DR w (D ) p Hình 2.17: Một tam giác rỗng phân chia góc tương ứng Suy D khơng sinh từ ngũ giác D L D R rỗng Chúng ta đánh giá số điểm tập E L tam giác D , với D rỗng; phân L tích tập hợp tam giác cho D R rỗng cách đầy đủ sau E (p ) cạnh qr căng Lấy điểm cố đinh p Ỵ P , xét tập P cho xem pqr Ỵ Chú ý q r nằm phía p Ta EL P E (p ) tập cạnh đồ thị tập điểm nằm + p phía p E (p ) khơng chứa chu trình Thực vậy, giả sử ngược lại E (p ) có chứa chu trình đặt q đỉnh chu trình cho pq tạo góc nhỏ với hướng x - dương Vì q điểm bên phải chu trình này, E p chứa hai cạnh pu, () pv xuất phát từ q , cho qu,qv nằm theo ngược chiều kim đồng hồ từ pq , với qu nằm theo chiều kim đồng hồ với qv (xem Hình 2.18) Nhưng đó, tam giác D = miền bên trái tương ứng pq u D phải chứa v , điều mâu thuẫn với định nghĩa L E (p ) Vì E (p ) chứa nhiều Pp - cạnh nên tất số tam giác D + với D = f nhiều L å n k= (k 2)= C - Một cách đối xứng, số tam n- giác D với D = f nhiều C Vì vậy, số tam giác rỗng n1 R không sinh ngũ giác rỗng theo cách nhiều (n 1)(n - - ) Chúng ta cải tiến để đánh giá tôt ý rằng, ta hai lần đếm tam giác D mà hai D L D R rỗng Chúng ta nhận cận cho số tam giác sau DL u v p D p Hình 2.18: E (p ) khơng chứa chu trình Đặt D = pqr , với p đỉnh thấp nhất, với ký hiệu định lý trước, qr + + p p cạnh C , với tính chất đường thẳng qua qr tách p khỏi C + Ngược lại, dễ thấy: cạnh qr C p với tính chất cho tam giác pqr đếm hai lần Các cạnh qr nằm dọc theo biên C + p hai điểm nối + tiếp tuyến từ p với C p Từ định nghĩa, số cạnh , trừ p đếm H ¢ , trường hợp số Vì vậy, số tất tam giác đếm lần (n - 2)- H ¢ Khi đó, số tất tam giác không sinh từ ngữ giác rỗng nhiều (n - 1)(n - ) (n - Từ suy X (P ) (n ³ - 2) H ¢= + (n - )(n ) H ¢ + )(n ) H ¢ + Ta có điều phải chứng minh Tiếp theo chứng minh bất đẳng thức thứ Định lý Với ngũ giác lồi rỗng Q căng P có tam giác rỗng, đỉnh nhận cách bỏ cặp đỉnh kề Q (như Hình 16) Một tam giác D sinh theo cách nhiều ba cách, trường hợp ngũ giác sinh có cặp cạnh khác D đường chéo Ta kết hợp khả với đỉnh v D , chung cho hai cạnh ý cặp (D, v ) tam giác nhọn Rõ ràng, tồn tam giác nhọn (D, v ) mà mở rộng cho chúng Đặt p,q hai đỉnh D , cho v nằm bên trái đường thẳng định hướng pq Đặt P + tập tập điểm P cho chúng nằm p q nửa mặt phẳng bên trái đường thẳng pq Khi (D, v ) khơng thể mở + rộng thành ngũ giác lồi rỗng v điểm biên Pp cho tam giác pqv rỗng Đặt t = t số điểm v Đầu tiên p q ý P + khơng rỗng t ³ P + rỗng t p q = Hơn p q nữa, t > điểm tạo thành chu trình điểm liên tiếp bao lồi P với (t 1) cặp (u, v ) đỉnh liên tiếp bao -p + q quanh chúng, (p,q, u, v ) T - cấu hình (xem Hình 2.19) u v p q Hình 19: Các tam giác nhọn với cạnh pq mở rộng thành ngũ giác lồi rỗng Có n (n - 1) cặp thứ tự p,q H chúng thoả mãn t = p (chúng có q cạnh định hướng bao lồi P chứa P phần bên phải chúng) Mỗi cặp lại xác định tam giác nhọn không mở rộng được, tam giác thê vào tạo thành T - cấu hình, hình thay đổi hai lần Điều suy số tam giác nhọn “xấu” nhiều Định lý Hệ 2.3 n (n - 1)- H + 2T , điều suy phần hai , ta có 2X (P X5 (P ) T (P ), so sánh bất £ )- Định lý 2.9 suy ra, r = đẳng thức với (7) ta có: (P )- 2X X (P ) * C + 2X + X £ n +T Thay cận [3] X , ta n £ 7X * + X + T - O (n log n ) Vậy cận T * ổ vi dng ỗỗ1 ỗố2 7X + X ³ cn - ö mà đánh giá: c÷n ÷ ÷÷ ø O (n log n ) Vì vậy, tập hợp có số điểm n đủ lớn chứa khoảng n rỗng, khoảng n lục giác lồi rỗng ngũ giác lồi KẾT LUẬN Trong luận văn này, cố gắng vẽ lên tranh, sơ sài phiến diện, nghiên cứu xung quanh giả thuyết Erdős-Szekeres Do khuôn khổ thời gian hạn chế, luận văn không đề cập tới tất vấn đề nảy sinh từ giả thuyết (bài toán) Erdős-Szekeres mối quan hệ sâu sắc toán với toán khác, mở rộng biến thể giả thuyết Erdős-Szekeres Thí dụ, luận văn không đề cập nhiều đến mở rộng giả thuyết Erdős-Szekeres không gian nhiều chiều, cải biên giả thuyết đánh giá số đa giác chứa không k điểm tập cho trước, đánh giá số đa giác đơn sắc (các cạnh có màu) đoạn thẳng nối điểm tô số màu định Như vậy, giả thuyết Erdős-Szekeres có liên quan chặt chẽ đến lý thuyết đồ thị (tô màu) lý thuyết Ramsey (chia tập hợp), Luận văn tập trung trình bày hệ thức liên quan đến số đa giác rỗng tập điểm cho mặt phẳng theo báo [15] Theo cảm nhận tác giả, kết [15] tự thân chúng thú vị mở cách tiếp cận cho việc giải giả thuyết Erdős-Szekeres toán liên quan Đồng thời kết có nhiều khả mở rộng (sang khơng gian nhiều chiều, cho tốn đa giác gần rỗng, ) để kết Hy vọng vấn đề tiếp tục thu hút nhiều quan tâm 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đoàn Hữu Dũng, Tạ Duy Phượng, Nguyễn Tiến Thịnh, Giả thuyết ErdősSzekeres toán liên quan (Bản thảo), 2011, 130 trang [2] Avis D., Rappaport D., Computing the largest empty convex subsets of a set of points, Proc First ACM Symp Comput Geom Baltimore, 1985, pp 161–167 [3] I Bárány and Z Füredi, Empty simplices in Euclidean space, Canadian Math Bull 30, 1987, pp 436 – 445 [4] Bonnice W E., On convex polygons determined by a finite planar set, Amer Math Monthly 81,1974, pp 749–752 [5] Chung, F.R.K., Graham, R.L., Forced convex n-gons in the plane, Discrete and Computational Geometry 19, 1998, pp 367–371 [6] Edelman P H., Reiner R and Welker V , Convex, acyclic, and free sets of an oriented matroid, Discrete Comput, Geom, 27, 2002, pp 99 –116 [7] Erdős P., Some more problems on elementary geometry, Austral Math Soc Gaz ,1978, pp 52–54 [8] Erdős, P.; Szekeres, G., A combinatorial problem in geometry, Compositio Mathematica, Tom 2, 1935, pp 463–470, [9] Gerken, T., Empty convex hexagons in planar point sets, Discrete and Computational Geometry 39 (1–3), 2008, pp 239–272 [10] Harborth H., "Konvexe Fỹnfecke in ebenen Punktmengen", Elem Math 33, 1979, pp 116–118 [11] J D Horton, Sets with no empty convex – gons, Canadian Math, Bull, 26,1983, pp 482–484 [12] Koselev, V A , On the Erdős-Szekeres Problem, Doclady Mathematics, 2009, Vol 79, No3, pp 360-361 [13] Overmars, M., Finding sets of points withoutempty convex – gons, Discrete Comput, Geom, 29, 2003, pp 381 – 392 [14] Overmars, M., Scholten B and Vincent, I., Sets without empty convex – gons, Bull, European Assoc Theor Comp Sci., 37,1989, pp 160 – 168 [15] Pinchasi R., Radoicic R., Sharir M (1989), On empty convex polygons in planar point set Journal of Combinatorial Theory, Series A, Vol 113, No3, 2006, pp 385-419 [16] Szekeres, G and Peters, L (2006), Computer solution to the 17-point Erdős-Szekeres problem, ANZIAM Journal, Vol 48, pp 151–164 ... trình bày chứng minh đẳng thức bất đẳng thức liên quan đến đối tượng hình học nêu [4] số tài liệu liên quan Dựa vào hệ thức này, số cơng thức giải tích công thức đánh giá giả thuyết Erdős-Szekeres... Erdős-Szekeres có mục đích trình bày tổng quan giả thuyết Erdős-Szekeres số tốn liên quan, đặc biệt ý đến hệ thức (đẳng thức bất đẳng thức) liên quan đến số đa giác rỗng tạo từ tập n điểm mặt phẳng... lồi rỗng Liên quan đến hai tốn trên, tốn tính số đa giác lồi rỗng k đỉnh tạo từ tập n điểm mặt phẳng (ở vị trí tổng quát) thú vị quan trọng Luận văn Một số hệ thức liên quan đến giả thuyết Erdős-Szekeres