Luận văn sư phạm Toán tử chiếu và toán tử Unita

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường LỜI CẢM ƠN Trước hết tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo trường Sư Phạm Hà Nội 2, đặc biệt thầy cô giáo khoa Tốn dạy dỗ tơi qua năm Đại học Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn, tiến sĩ Bùi Kiên Cường tạo điều kiện tốt bảo tận tình để tơi hồn thành khóa luận tốt nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Phan Thị Thủy Phan Thị Thủy K35G- SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết thân trình học tập nghiên cứu bậc đại học, bên cạnh tơi nhận quan tâm, giúp đỡ tạo điều kiện thầy giáo khoa Tốn đặc biệt thầy giáo hướng dẫn, tiến sĩ Bùi Kiên Cường Vì tơi xin khẳng định kết đề tài:“Tốn tử chiếu tốn tử unita” khơng có trùng lặp với đề tài khác, sai xin hoàn thành chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm2013 Sinh viên Phan Thị Thủy Phan Thị Thủy K35G- SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường MỤC LỤC Lời nói đầu CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1.Không gian định chuẩn 1.1.2 Tích vô hướng 1.1.3 Không gian Hilbert 1.2 Toán tử tuyến tính bị chặn khơng gian Hilbert 1.2.1 Các định nghĩa 1.2.2 Ví dụ 10 CHƯƠNG TOÁN TỬ CHIẾU 12 2.1 Định nghĩa toán tử chiếu 12 2.2 Tính chất phép tốn tốn tử chiếu 14 2.2.1 Định lí 2.2.1 14 2.2.2 Định lí 2.2.2 15 2.2.3 Định lí 2.2.3 15 2.2.4 Phép toán toán tử chiếu 17 2.2.5 Dãy đơn điệu toán tử chiếu 20 2.2.6 Khẩu độ hai đa tạp tuyến tính 22 CHƯƠNG TOÁN TỬ UNITA 26 3.1 Định nghĩa toán tử unita 26 3.2 Tính chất unita 27 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 Phan Thị Thủy K35G- SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lí thuyết hàm Giải tích hàm đời phát triển vào năm đầu kỉ 20, có nhiều tầm quan trọng ứng dụng nghành tốn học, giải tích hàm mơn quan trọng, việc học nắm vững môn cần thiết sinh viên khoa Tốn Nội dung giải tích hàm phong phú, đa giạng kiến thức lớp với lượng thời gian eo hẹp với mẻ khó mơn làm cho việc tiếp thu kiến thức giải tích hàm trở nên khơng dễ dàng với sinh viên khoa Tốn Do để nắm vững kiến thức Giải tích hàm đồng thới với tâm bước đầu vào nghiên cứu khoa học, để tự tin việc dạy học sau trường, chọn đề tài: “Toán tử chiếu toán tử unita khơng gian Hilbert” để làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu Giải tích hàm đặc biệt lí thuyết toán tử Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tốn tử chiếu, tính chất tốn tử chiếu, tốn tử unita tính chất chúng Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp đánh giá Cấu trúc khóa luận Ngồi phần Mở đầu, Kết luận, Nội dung gồm ba chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Toán tử chiếu Chương 3: Toán tử unita Phan Thị Thủy K35G- SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi không gian định chuẩn khơng gian tuyến tính X trường P  P  ฀ P  ฀  với ánh xạ từ X vào tập số thưc ฀ , kí hiệu đọc chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau: 1)  x  X  , x  0, x   x   2)  x  X  ,   P  ,  x   x 3)  x, y  X  , x  y  x  y Số x gọi chuẩn vectơ x Ta kí hiệu khơng gian định chuẩn X Các tiên đề 1),2),3) gọi hệ tiên đề chuẩn Ví dụ 1.1.1 Đối với số thực x  ฀ ta đặt: x  x Nhờ tính chất giá trị tuyệt đối số thực, công thức cho ta chuẩn ฀ Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu ฀ Ví dụ 1.1.2 Cho khơng gian vectơ thực ฀ k , đó:   ฀ k  x   x1 , x2 , , xn  xi  ฀ , i  1,2, k Đối với vectơ x   x1 , x2 , , xn   ฀ k ta đặt: x  k x j 1 Phan Thị Thủy j ฀ k (1.1.2) K35G- SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường Từ công thức x  d ( x, ) hệ tiên đề metric suy công thức (1.1.2) cho chuẩn ฀ k Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu ฀ k 1.1.2 Tích vơ hướng Định nghĩa tích vơ hướng Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian tuyến tinh X trường P  P  ฀ P  ฀  Ta gọi tích vơ hướng khơng gian X ánh xạ từ tích Descates X  X vào trường P , kí hiệu .,. thỏa mãn tiên đề: 1)  x, y  X  ,  y, x    x, y  2)  x, y, z  X  ,  x  y, z    x, z    y, z  3)  x, y  X  ,   P  ,  x, y     x, y  4)  x  X  ,  x, x   0, x   với  phần tử không,  x, x   x   Các phần tử x, y, z , gọi nhân tử tích vơ hướng, số  x, y  gọi tích vơ hướng hai nhân tử x y Các tiên đề 1),2),3),4) gọi hệ tiên đề tích vơ hướng Các tính chất đơn giản 1)  x  X  ,  , x    x, x   0. x, x   2)  x, y  X  ,    P  ,  x, y     x, y  Thật vậy,  x, y    y, x     y, x     x, y  3)  x, y, z  X  ,  x, y  z    x, y    x, z  Thật vậy,  x, y  z    y  z, x    y, x    z , x    x, y    x, z  Ví dụ 1.1.2: Khơng gian ฀ k không gian vectơ k chiều Phan Thị Thủy K35G- SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Với x   x j  GVHD: TS Bùi Kiên Cường k j 1  ฀ k , y   y j  k j 1  ฀ k , ta đặt: k  x, y    x j y j (1.1.2) j 1 Thì ฀ k với hệ thức (1.1.2) thỏa mãn hệ tiên đề tích vơ hướng Thật vậy: 1) x   x j  k j 1  ฀ k , y   y j  k j 1  ฀ k , ta có : k  x, y    x j y j j 1 k   x, y    x j y j j 1 k   x, y    x j y j j 1 k   x, y    y j x j   y , x  j 1 (Tiên đề thỏa mãn) 2) x   x j  k j 1 ฀ k , y   y j  k j 1  ฀ k , z   z j  k j 1  ฀ k ta có: k  x  y, z     x j  y j z j j 1 k    x j z j  y j z j  j 1 k k j 1 j 1    x j z j     y j z j    x  y , z    x, z    y , z  (Tiên đề chứng minh) 3) x   x j  Phan Thị Thủy k j 1  ฀ k , y   y j  k j 1  ฀ k ,   ฀ , ta có: K35G- SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường k k j 1 j 1   x, y     x j y j    x j y j    x, y  (tiên đề thỏa mãn) 4) x   x j  k j 1 k  ฀ k , ta có:  x, x     x j   j 1   x, x   x   k  x, x     x j   j 1  x j  0,  j  1, 2, , k   x   (tiên đề thỏa mãn) Vậy ฀ k với hệ thức (1.1.2) thỏa mãn hệ tiên đề tích vơ hướng 1.1.3 Khơng gian Hilbert 1.1.3.1 Định nghĩa không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.3.1 Ta gọi tập H   gồm phần tử x, y , z , không gian Hilbert, tập H thỏa mãn điều kiện: 1) H khơng gian tuyến tính trường P 2) H trang bị tích vơ hướng 3) H không gian Banach với chuẩn x   x, x  , x  H Ta gọi mội khơng gian tuyến tính đóng không gian Hilbert H không gian Hilbert khơng gian H Phan Thị Thủy K35G- SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường Ví dụ 1.1.3.1 Kí hiệu ฀ k khơng gian vectơ thực k chiều Với x   xn   ฀ k , y   yn   ฀ k Chuẩn sinh tích vơ hướng (1.1.2) x  k  x, x    xn2 , x   xn   ฀ k (1.1.3.1) n 1 Khi khơng gian vectơ thực ฀ k với tích vơ hướng (1.1.2) khơng gian Hilbert Ví dụ 1.1.3.2 Kí hiệu l2 khơng gian vectơ dãy sô phức x   xn  cho chuỗi số  x n 1 n hội tụ x   xn   l2 , y   yn   l2 , ta đặt:   x, y    xn yn n 1 Dễ dàng thấy hệ thức thỏa mãn hệ tiên đề tích vơ hướng Chuẩn sinh tích vơ hướng là: x   x n1 n , x   xn   l2 Khi khơng gian vectơ l2 với tích vơ hướng khơng gian Hilbert 1.1.3.2 Tính trực giao Định nghĩa 1.1.3.2 Cho không gian Hilbert H Hai phần tử x, y  H gọi trực giao, kí hiệu x  y  x, y   Phan Thị Thủy K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường Định nghĩa 1.1.3.3 Cho không gian Hilbert H tập A  H , A   Phần tử x  H gọi trực giao với tập A x  y   y  A  kí hiệu x  A Định nghĩa 1.1.3.4 Cho A không gian X Ta gọi tập  x  X x  A phần bù trực giao A kí hiệu A   x  X x  A Định nghĩa 1.1.3.5 Cho không gian Hilbert H không gian E  H Tập F  H gồm phần tử không gian H trực giao với tập E gọi phần bù trực giao tập E khơng gian H kí hiệu: F  H ฀ E Khi khơng gian H biểu diễn dạng tổng trực tiếp: H  F  E   x  x1  x2 : x1  F , x2  E Định lí 1.1.3.2 (Định lí Pathagore) 2 Nếu x, y  H x  y , x  y  x  y Chứng minh: Ta có x  y   x  y, x  y   x   x, y    y, x   y 2 2  x  y Định lí chứng minh Định lí 1.1.3.3.(Định lí hình chiếu lên khơng gian con) Cho không gian Hilbert H H không gian H Khi phần tử x  H biểu diễn cách dạng: x  y  z, y  H , z  H Phần tử y biểu diễn gọi hình chiếu phần tử x lên không gian H Phan Thị Thủy K35G- SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường || PG j f ||2  || PGk f ||2  || f ||2 Trong bất đẳng thức cho: u  PGk x Do đó: || PG j PGk h ||2  || PGk h ||2  || PGk h ||2 , suy PG j PGk h  Từ h  H nên ta có PG j PGk  Hay PG j , PGk trực giao.Khi ta có điều phải chứng minh Định lí 2.2.6 Cho hai tốn tử chiếu PG1 , PG2 phân biệt Khi PG1  PG2 (2.2.6) toán tử chiếu G2  G1 Trong trường hợp PG1  PG2 toán tử chiếu G1 ฀ G2 Chứng minh Điều kiện cần: Ta có Q  E  PG1  PG2 tốn tử chiếu Khi Q biểu diễn hai toán tử chiếu từ định lí 2.2.4 ta có: E  P P G1 G2   PG2  PG1 PG2 (2.2.7) Nếu u  G2 u  PG2 u  PG1 PG2 u  PG1u Do u  G1 Từmỗi phần tử u  G2  G1 Suy G2  G1 Từ điều kiện công thức (2.2.7) điều kiện cần đủ để có (2.2.6) tốn tử chiếu Ta có tốn tử Q chiếu [H ฀ G1 ]  G2 Do tốn tử PG1  PG2 chiếu H ฀ [H ฀ G1   G2 Nó khơng gian bao gồm tất vectơ G1 trực giao với G2 hay không gian G2 ฀ G1 2.2.5 Dãy đơn điệu toán tử chiếu Phan Thị Thủy K35G- SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường Bổ đề 2.2.5 Cho hai toán tử chiếu PG1 , PG2 phân biệt ta có: G2  G1  || PG2 f ||  || PG1 f || với  f  H Trước hết ta có nhận xét:       || PG2 f ||  || PG1 f || PG2 f , f  PG1 f , f   PG2  PG1 f , f  0, f  H  PG2  PG1 Do chúng tơi muốn chứng minh G2  G1  PG2  PG1 Điều kiện cần: Đầu tiên cho G2  G1 theo: PG2  PG2 PG1 Do đó, với f  H ta có: PG2 f  PG2 PG1 f Và: || PG2 f ||  || PG1 f || (2.2.5) Điều kiện đủ: Ngược lại (2.2.5) với f  H Xét:   f  E  PG1 h Trong h phần tử tùy ý Từ || PG2 f ||  || PG1 f ||   PG1 E  PG1 h  Ta có:   PG2 E  PG1 h  Từ bất đẳng thức cho h  H ta có: PG2  PG1 PG2 Do G2  G1 Ta có điều phải chứng minh Phan Thị Thủy K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường Định lí 2.2.7 Nếu PGk  k  1, 2,  dãy vơ hạn tốn tử chiếu PG j  PGk 1  k  1, 2,  Do với k  , PG k hội tụ mạnh tới toán tử chiếu P Chứng minh Từ m  n hiệu số PGn  PGm toán tử chiếu Do với x  H ta có: || PGn x  PGm x ||2  || PGn  PGm ||2   P Gn    PGm x, x || PGn x ||2  || PGm x ||2 (2.2.7) Vì x cố định, || PGk x ||2 tăng với k bị chặn || x ||2 Vì   có giới hạn hữu hạn Từ vế phải (2.2.5) tiến tới dãy PGn x  n 1 dãy theo nghĩa hội tụ mạnh Bằng tính đầy đủ khơng gian hàm tốn tử tuyến tính liên tục nên tồn giới hạn mạnh: x*  lim PGn x n  Chúng ta định nghĩa toán tử P sau: x*  Px Rõ ràng P tuyến tính Vì: P Gk      x, PGk x  PGk x, u  xPGk , u Qua giới hạn ta được:  Px, Pu    Px, u    x, Pu  Suy ra, P  P*  P Do P tốn tử chiếu.Định lí chứng minh 2.2.6 Khẩu độ hai đa tạp tuyến tính Phan Thị Thủy K35G- SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường Khẩu độ hai đa tạp tuyến tính khơng gian Hilbert H định nghĩa chuẩn hiệu tốn tử chiếu từ H lên bao đóng hai đa tapk tuyến tính Kí hiệu   M1 , M  Định nghĩa 2.1.3 Khẩu độ hai đa tạp tuyến tính M M kí hiệu   M 1, M  Với:   M , M   || P1  P2 || || P2  P1 || Trong P1 , P2 tốn tử chiếu lên đa tạp tuyến tính đóng M1 , M Tính chất 2.2.6 Trong khơng gian Hilbert, độ hai đa tạp tuyến tính không Chứng minh Thật vậy, từ định nghĩa độ hai đa tạp tuyến tính ta có:     M , M    M1 , M   ( H ฀ M , H ฀ M ) Tiếp tục đồng có: P2  P1  P2  E  P1    E  P2  P1 Từ x  H có:  P2  P1  x  P2  E  P1  x   E  P2  P1 x Từ P2  E  P1  x  E  P2  Px trực giao nên:  P2  P1  x 2 2  P2  E  P1  x   E  P2  P1 x   E  P1  x  P1 x  x 2 Suy P2  P1  Hay   M , M   (2.2.6) Định lí chứng minh Phan Thị Thủy K35G- SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường Từ phép cộng thấy độ mà có  đa tạp chứa vectơ khác mà trực giao với đa tạpkia Định lí 2.2.8 Nếu độ hai đa tạp tuyến tính M1 M Khi dim M  dim M Tức hai đa tạp tuyến tính có số chiều Chứng minh Nó đủ để chứng minh bất đẳng thức: dim M  dim M  Suy tồn vectơ khác M mà trực giao với M1 Với mục đích trên, ta chiếu M lên M G  P2 M có chiều mà khơng lớn chiều không gian M kết chiều nhỏ  chiều M Do đó, M ฀ G chứa vectơkhác , M chứa vectơ khác  mà trực giao với G Vectơ trực giao với tồn khơng gian M khơng gian M ฀ G trực giao với M Khi ta có điều phải chứng minh Định lí 2.2.9 Khẩu độ hai đa tạp tuyến tính tính cơng thức sau:     M1, M   max  sup  E  P1  f , sup  E  P2  g  gM1 , g 1  f M , f 1  Chứng minh Theo định nghĩa độ cơng thức (2.2.6) ta có:   M , M   sup xH Phan Thị Thủy  P2  P1  x x K35G- SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường 2 P2  E  P1  x  P1  E  P2  x  sup x xH (2.2.9) Phương trình thu từ (2.2.9) cách hạn chế vectơ x khơng gian M Khi vế phải khơng đổi hay: P2  E  P1  x  P1  E  P2  x   M , M   sup x xM1 = sup  E  P2  x x xM  2 Cũng cách ta có:   M , M   sup  E  P1  x xM  1 x Do đó,   M , M   max  1 ,   Ta chứng minh:   M , M   max  1 ,   Chúng ta thấy từ định nghĩa  có:  E  P2  P1 x 2   22 P1 x (2.2.10) P2  E  P1  h   P2  E  P1 x, P2  E  P1 x    P2  E  P1 x, E  P1 x     P2  E  P1 x, E  P1 x   E  P1 P2  E  P1 x, E  P1 x    E  P1  P2  E  P1  x   E  P1  x Theo định nghĩa 1 ta có: Phan Thị Thủy  E  P1  x  1 x K35G- SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường  P2  E  P1  x  1 P2  E  P1  x   E  P1  x Suy P2  E  P1  x  1  E  P1  x (2.2.11) Từ bất đẳng thức  2.2.10  &  2.2.11. ta có:  E  P2  Px 2  P2  E  P1  x   22 P1 x  12  E  P1  x 2  max  12 , 22   Px   E  P1  x     x max  12 , 22  Do cơng thức (2.2.9) ta được:   M1 , M   max  1 ,   Khi định lí chứng minh Phan Thị Thủy K35G- SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường CHƯƠNG 3: TOÁN TỬ UNITA Khơng gian chiều Eclude với phép tốn đơn giản với phép quay khơng gian Nó làm khơng thay đổi chiều dài vectơ góc chúng.Bây xét toán tử tương tự khơng gian Hilbert H tốn tử unita 3.1 Định nghĩa toán tử unita Định nghĩa 3.1.1 Toán tử U miền H  DU  H  H  U  H  toán tử unita nếu: Uf ,Ug    f , g  với f , g  H Chúng ta nhấn mạnh đinh nghĩa khơng u cầu tốn tử tuyến tính Nhận xét: Từ định nghĩa U tốn tử unita ta có: Uf ,Ug    f , g    f ,U *Ug    f , g   U *Ug  g Suy U *  U 1 Hay U *U  UU *  I Ví dụ 3.1.1 Cho H không gian Hilbert H dãy số phức  x   , x1 , x0 , x1 ,  mà x   xn    Tích vơ hướng xác định bởi:   x, y    xn yn    Toán tử U xác định U  xn    xn 1  toán tử unita Thật vậy: Phan Thị Thủy K35G- SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường U khả nghịch     Ux, y    xn1 yn   xn yn1   x,U 1 y  Dẫn đến U *  U 1 Khi U tốn tử unita Ví dụ 3.1.2 Với H  L2  0,1 Toán tử U H xác định Ux  t   x 1  t  unita T ánh xạ 1-1 từ H vào H Ux  x , x  H Một toán tử unita toán tử trực giao, điều ngược lại chưa trường hợp tốn tử tự liên hợp A A  3.2 Tính chất tốn tử unita Tính chất 3.2.1.Tốn tử unita có nghịch đảo tốn tử unita Chứng minh Nhớ lại tốn tử U có nghịch đảo Uf  Ug kéo theo f  g Giả thiết, Uf  Ug đó:  Uf  Ug ,Uf  Ug   Uf ,Uf   Uf ,Ug   Ug ,Uf   Ug ,Ug    f , f    f , g    g, f    g , g    f  g, f  g  Suy f  g Nên U 1 tồn Tử DU 1  U 1  DU DU 1  U U 1  DU nên toán tử U 1 xác định tồn khơng gian ảnh lên tồn khơng gian Chọn f ', g '  H cho f = U 1 f ', g = U 1 g ' Phan Thị Thủy K35G- SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường Suy Uf  f ',Ug  g ' Suy  U 1 f ', U 1 g '   Uf ,Ug    f , g    f ', g ' Suy U 1 toán tử unita Tính chất 3.2.2.Tốn tử unita tuyến tính Chứng minh Chọn g '  U 1 g  g  Ug ' cho f  1 f1   f  Uf , g   Uf ,Ug '    f , g '    f ,U 1 g   1  f1 ,U 1 g     f ,U 1 g   1 Uf1 , g    Uf , g   1Uf1   2Uf , g  Từ g tùy ý nên: Uf  1Uf1   2Uf Khi ta có điều phải chứng minh Định lí 3.2.1 Nếu tốn tử tuyến tính U thỏa mãn điều kiện: Uf ,Uf    f , f  (3.2.1) DT  T  H tốn tử U unita Chứng minh Từ điều kiện (3.2.1) ta có: U  f   g ,U  f   g    f   g , f   g  Từ T tuyến tính nên: U  f   g ,U  f   g   Uf ,Uf    Ug,Uf    Uf ,Ug    Ug,Ug  2  f   g , f   g    f , f     g , f     f , g     g , g   Uf ,Uf    Ug ,Uf    Uf ,Ug    Phan Thị Thủy Ug ,Ug  K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường   f , f     g, f     f , g     g, g  Lại từ (3.2.1) ta có:  Ug ,Uf    Uf ,Ug     g , f     f , g  Từ  tùy ý nên: Uf ,Ug    f , g  Do U toán tử unita Định nghĩa 3.1.2.Toán tử V với miền H  DV  H1  với miền H  V  H  đẳng cự nếu: Vf ,Vg 2   f , g 1 với f , g  H1 Trong H1 , H khơng gian khơng gian Hilbert Tốn tử unita H trường hợp đặc biệt toán tử đẳng cự mà H1  H  H Ví dụ 3.1.3.Cho  en  dãy trực giao đủ không gian Hilbert H  ! A : Aen  en 1 , n  N   n 1 n 1 Nếu x   nen 1 Ax    nen1 tuyến tính  Ax    n  x 2 n 1 Do A tốn tử đẳng cự Từ định nghĩa suy tính chất đơn giản sau: Mỗi tốn tử đẳng cự có nghịch đảo đẳng cự Nếu toán tử V ánh xạ tuyến tính từ H1vào H nếu: Vf ,Vf 2   f , f 1 với f  H1 Phan Thị Thủy K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường Do V tốn tử đẳng cự Mỗi tốn tử đẳng cự tuyến tính Thật vậy, cho f ', f ''  H1 f   f '  '' f '' Do g  H1 và: Vf ,Vg 2   f , g 1   '  f ', g 1   ''  f '', g 1   ' Vf ',Vg    '' Vf '',Vg 2   'Vf '  ''Vf '',Vg  Do V  H ta có: Vf   'Vf '  ''Vf '' Do tốn tử V tuyến tính Tốn tử đẳng cự bảo tồn tích vơ hướng Nghĩa là: Vf ,Vg    f , g  , f , g  H f  g  Vf  Vg Định lí 3.2.2.Một tốn tử bị chặn V không gian Hilbert H đẳng cự V *V  I H Chứng minh 2 Nếu V đối xứng, x  H ta có Vx  x , x  H đó: V Vx, x   Vx,Vx   Vx *  x   x, x  Suy V *V  I Tương tự V *V  I thì: Vx  Vx,Vx   V Vx, x    x, x   * x Khi ta có điều phải chứng minh Định nghĩa 3.1.3.Cho T1 T2 toán tử tuyến tính tương ứng khơng gian H1 H Do Phan Thị Thủy K35G- SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường DT1  H1 , T1  H1 , DT2  H , T2  H Toán tử T1 T2 gọi đẳng cấu unita tương đương tồn tốn tử đẳng cự V mà ảnh H H DT1 vào DT2 Do đó, VT1 f  T2Vf với f  DT1 Nói cách khác T1 T2 unita tương đương nếu: DT2  VDT2 T1  V 1T2V KẾT LUẬN Phan Thị Thủy K35G- SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường Trong q trình tìm hiểu nâng cao, chúng tơi làm quen với cách thức việc hiệu khoa học.Qua chúng tơi củng cố, thêm kiến thức Giải tích hàm, đồng thời thấy phong phú, lí thú tốn học Đặc biệt khóa luận chúng tơi nghiên cứu cách khái quát số vấn đề lí thuyết tốn tử khơng gian định chuẩn, sâu vào nâng cao tính chất phép tốn tốn tử chiếu tốn tử unita khơng gian Hilbert để từ làm sở cho ứng dụng tốn tử Chúng tơi hi vọng tài liệu tài liệu tham khảo bạn sinh viên quan tâm đến Giải tích hàm nói riêng tốn học nói chung Mặc dù có nhiều cố gắng song hạn chế thời gian kiến thức nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót nên tơi mong nhận góp ý thầy cô giáo bạn sinh viên TÀI LIỆU THAM KHẢO Phan Thị Thủy K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường Phan Đức Chính (1978), Giải tích hàm - tập NXB Đại học Nguyễn Xuân Liêm (2000), Giải tích hàm NXB giáo dục Nguyễn Xuân Liêm (1997), Bài tập Giải tích hàm NXB, Giáo dục Phan Hồng Trường (2001), Đại số tuyến tính, trường ĐHSPHN2 Hồng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB ĐH Quốc gia HN Nguyễn Phụ Hy (2007), Giải tích hàm, NXB Khoa Học Kĩ Thuật HN N.I.Akhiezer and IM.Glazman, Theory of operator on Hilbert space Phan Thị Thủy K35G- SP Toán ... vectơ góc chúng.Bây xét toán tử tương tự khơng gian Hilbert H tốn tử unita 3.1 Định nghĩa toán tử unita Định nghĩa 3.1.1 Toán tử U miền H  DU  H  H  U  H  toán tử unita nếu: Uf ,Ug  ...  U 1 Khi U tốn tử unita Ví dụ 3.1.2 Với H  L2  0,1 Toán tử U H xác định Ux  t   x 1  t  unita T ánh xạ 1-1 từ H vào H Ux  x , x  H Một toán tử unita toán tử trực giao, điều... hai tốn tử chiếu PG1 , PG2 phân biệt Khi PG1  PG2 (2.2.6) toán tử chiếu G2  G1 Trong trường hợp PG1  PG2 toán tử chiếu G1 ฀ G2 Chứng minh Điều kiện cần: Ta có Q  E  PG1  PG2 tốn tử chiếu