Luận văn sư phạm Toán tử tích phân và ứng dụng

Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p L IC M N hoàn thành khóa lu n tr c h t em xin bày t lòng bi t n sâu s c đ n th y cô giáo t Gi i tích - khoa Tốn - tr ng HSP Hà N i đ ng viên giúp đ em su t q trình làm khóa lu n c bi t, em xin chân thành c m n th y giáo h ng d n Ts.Nguy n V n Hùng t o u ki n t t nh t ch b o t n tình đ em có th hồn thành khóa lu n t t nghi p Do th i gian ki n th c có h n nên nh ng v n đ trình bày khóa lu n khơng tránh kh i nh ng thi u sót Vì v y, em r t mong nh n đ c nh ng ý ki n đóng góp quý báu c a th y cô b n sinh viên M t l n n a em xin chân thành c m n! HƠ N i, tháng 05 n m 2010 Sinh viên Nguy n Th H ng Nhung GVHD: Ts Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T H ng Nhung K32E Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p L I CAM OAN Khóa lu n t t nghi p c a em đ c hoàn thành d is h ng d n t n tình c a th y giáo Ts.Nguy n V n Hùng v i s c g ng c a b n thân Trong trình nghiên c u, em k th a nh ng thành qu nghiên c u c a nhà khoa h c, nhà nghiên c u v i s trân tr ng bi t n Em xin cam đoan nh ng k t qu khóa lu n k t qu nghiên c u c a b n thân, không trùng v i k t qu c a tác gi khác N u sai em xin hoàn toàn ch u trách nhi m HƠ N i, tháng 05 n m 2010 Sinh viên Nguy n Th H ng Nhung GVHD: Ts Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T H ng Nhung K32E Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p M CL C L ic m n L i cam đoan L im đ u Ch ng 1: M t s ki n th c c s Ch 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian đ nh chu n 1.3 Không gian Hilbert 16 1.4 Không gian Ca ;b  22 1.5 Không gian Lp a ; b  25 ng 2: 30 Tốn t tích phân 30 2.1 Tốn t tích phân v i h ch liên t c 2.2 Tốn T tích phân v i h ch bình ph Ch 30 ng kh tích 32 2.3 Tốn t tích phân khơng gian Ca ;b  33 2.4 Tốn t tích phân khơng gian Lp a ; b  35 2.5 Tốn t tích phân Fredholm 43 ng 3: 45 ng d ng gi i ph ng trình tích phân 3.1 Khái ni m v ph 3.2 Gi i ph ng trình tích phân n tình ng trình tích phân n tính 45 45 47 3.2.1 Ph ng pháp x p x d n H ch l p 47 3.2.2 Ph ng pháp nhân suy bi n 57 GVHD: Ts Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T H ng Nhung K32E Tr ng HSP Hà N i 3.2.3 Ph Khóa lu n t t nghi p ng trình tích phân v i nhân không suy bi n 65 K t lu n 76 TƠi li u tham kh o 77 GVHD: Ts Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T H ng Nhung K32E Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p L IM U Lý ch n đ tƠi Lý thuy t hàm Gi i tích hàm m t b môn lý thuy t đ phát tri n t nh ng n m đ u c a th k XX tích l y đ h t s c phong phú, nh ng ph c đ i c nh ng n i dung ng pháp k t qu h t s c m u m c, Gi i tích hàm xâm nh p vào t t c ngành toán h c có liên quan s d ng đ n nh ng cơng c gi i tích Vì l Gi i tích hàm tr thành n i g p g c a nhi u ngành khoa h c lý thuy t ng d ng nh : lý thuy t ph ng trình vi phân_tích phân, u n t i u, lý thuy t toán c c tr Ph ng pháp c a Gi i tích hàm ti n đ hóa nh ng tính ch t đ c tr ng c a t p h p s th c thành không gian t ng ng m r ng v n đ c b n c a gi i tích c n vào nh ng khơng gian Vì v y, vi c h c n m v ng môn h c r t c n thi t đ i v i m i sinh viên khoa toán Tuy nhiên ki n th c l p v i th i l ng eo h p, v i s m i m khó c a môn h c làm cho vi c ti p thu nh ng ki n th c c a Gi i tích hàm tr nên khơng d dàng v i m i sinh viên khoa tốn Do đ n m v ng ki n th c c b n c a Gi i tích hàm, đ ng th i quy t tâm vào nghiên c u khoa h c, đ cs h ng d n t n tình c a th y giáo Ts.Nguy n V n Hùng, em ch n đ tài: “ Toán t tích phơn vƠ ng d ng gi i ph ng trình tích phơn ” đ làm khóa lu n t t nghi p M c đích nghiên c u B c đ u làm quen v i công vi c nghiên c u khoa h c tìm hi u sâu h n v Gi i tích hàm, đ c bi t lý thuy t toán t Nhi m v nghiên c u Nghiên c u m t s c s lý thuy t liên quan đ n tốn t tích phân, tính ch t c a tốn t tích phân, ng d ng c a tốn t tích phân vào gi i ph ng trình tích phân GVHD: Ts Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T H ng Nhung K32E Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p Ph ng pháp nghiên c u Ph ng pháp đ c sách Ph ng pháp t ng k t kinh nghi m Ph ng pháp phân tích s n ph m C u trúc khóa lu n Ngồi ph n m đ u, k t lu n, danh m c tài li u tham kh o, khóa lu n g m ch ng: Ch ng 1: M t s ki n th c c s Ch ng 2: Tốn t tích phân Ch ng 3: ng d ng gi i ph ng trình tích phân GVHD: Ts Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T H ng Nhung K32E Tr Ch ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p ng M TS 1.1 KI N TH C C S Không gian metric nh ngh a 1.1.1 Không gian metric m t t p h p  khác r ng v i m t ánh x dt tích Descartes    vào t p h p s th c ฀ , th a mãn tiên đ sau: 1)  x, y    d  x, y  0, d  x, y   x  y (tiên đ đ ng nh t) 2)  x, y   d  x, y   d  y, x  x  y (tiên đ đ i x ng) 3)  x, y, z    d  x, y  d  x, z  d  z, y (tiên đ tam giác) Ánh x hai ph n t d g i metric  , s d  x, y g i kho ng cách gi a x y Các ph n t c a  g i m, tiên đ 1), 2), 3) g i tiên đ metric Khơng gian metric đ c kí hi u    , d   S h i t không gian metric nh ngh a 1.1.2 Cho không gian metric   , d  , dãy m x0   Dãy m  xn   xn    , m g i h i t t i m x0 không gian  n   , n u:      n0  *   n  n0  d  xn , x0    Kí hi u: lim xn  x0 hay xn  x0  n    n i m x0 g i gi i h n c a dãy  xn  không gian  GVHD: Ts Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T H ng Nhung K32E Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p Nh n xét: N u hai dãy m  xn  ,  yn  h it t ng ng t i x y n   : lim d  xn , yn   d  x, y n   Không gian metric đ y nh ngh a 1.1.3 Cho không gian metric   , d  Dãy m  xn    g i dãy c b n  , n u:      n0  ฀ *   n, m  n0  d  xn , xm    hay lim d  xn , xm   m,n D th y m i dãy m xn    h i t  đ u dãy c b n i u kh ng đ nh ng c lai không nh ngh a 1.1.4 Không gian metric   , d  g i không gian đ y n u m i dãy c b n không gian đ u h i t  Nguyên lý Banach v ánh x co nh ngh a 1.1.5 Cho hai không gian metric 1   , d1  , 2   , d2  Ánh x At không gian 1 vào không gian  g i ánh x co, n u:   0,1 x, x '    d  Ax, Ax'   d  x, x ' nh lý 1.1.1(nguyên lý Banach v ánh x co) GVHD: Ts Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T H ng Nhung K32E Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p M i ánh x co A ánh x t không gian metric đ y   , d  vào _ _ đ u có m b t đ ng x nh t, ngh a x   th a mãn h th c: _ _ Ax  x nh lý Axcoli  Gi s  không gian metric compact G i C t p h p t t c hàm liên t c  (v i giá tr th c hay ph c) N u h A C    th a mãn u ki n: a) A b ch n t i t ng m  b) A đ ng liên t c  A m t t p h p compact t 1.2 ng đ i C   Không gian đ nh chu n nh ngh a 1.2.1 Không gian đ nh chu n (hay không gian n tính đ nh chu n) m t khơng gian n tính  tr ng ánh x t t p  vào ฀ , kí hi u  (   ฀ ho c   ฀ ) v i m t  đ c chu n, th a mãn tiên đ sau: 1)  x    x  0, x   x   (kí hi u ph n t không  ); 2)  x        3)  x, y    S x    x ; x y  x  y ; x g i chu n c a vect x Ta c ng kí hi u khơng gian đ nh chu n  Các tiên đ 1), 2), 3) g i l h tiên đ chu n GVHD: Ts Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T H ng Nhung K32E Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p  Liên h gi a không gian đ nh chu n vƠ không gian metric nh lý 1.2.1 Cho không gian đ nh chu n  i v i hai vect b t k x, y  , ta đ t: d x, y  x  y (1.2.1) Khi d m t metric  Vì v y, m i không gian đ nh chu n đ u không gian metric  Không gian Cho không gian đ nh chu n  t p h p 0   ,    N u  m t không gian n tính c a  chu n xác đ nh  chu n xác đ nh  ,  đ c g i không gian đ nh chu n c a không gian đ nh chu n   Không gian Banach nh ngh a 1.2.2 Dãy m  xn  không gian đ nh chu n  g i dãy c b n, n u: lim xn  xm  n , m nh ngh a 1.2.3 Không gian đ nh chu n  g i không gian Banach, n u m i dãy c b n  đ u h i t  S h i t không gian đ nh chu n nh ngh a 1.2.4 Cho không gian đinh chu n  , x   GVHD: Ts Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T H ng Nhung K32E 10 Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p Ta có h :  c c      c  2 c   3    4  Suy   c   4  c    12     V y nghi m c a ph ng trình cho là:  ( x)  x2  2 4 x   42  122 Ví d 3: Gi i ph 3  4  3    4  ng trình   ( x)    sin  x  s  ( s ) ds  cos x L i gi i: Ph ng trình cho vi t d i d ng:   ( x)     sin x.cos s  cos x.sin s   ( s) ds  cos x     hay  ( x)   sin x.cos s. ( s)ds  cos x.sin s. ( s)ds  cos x ( 3.1)   t c1  cos s. ( s)ds ,  c2   sin s. ( s)ds (3.2) Thay (3.2) vào (3.1) ta có:  ( x)  c1 sin x  c2 cos x  cos x  c1 sin x  1  c2  cos x (3.3) GVHD: Ts Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T H ng Nhung K32E 64 Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p Thay (3.3) vào (3.2) l n l t ta đ c:  c1   cos s c1 sin s  1  c2   cos s .ds  c2 c  cos 2s  ds    sin 2sds  1  c2   2 0    c2   sin s c1 sin s  1  c2   cos s  ds    c2 c1  cos 2s   c1  sin  ds  sds  2 0 2   c2   c   c     2 1 Ta có h :  hay   c   c  c       2  V y nghi m c a ph (3.4) ng trình cho là:  2  2  sin x  1  cos x  ( x)  2     2     3.2.2.3 BƠi t p v n d ng: Gi i ph ng trình sau:  1)  ( x)   xs ( s )ds  f ( x) 2)  ( x)   1  xs  (s)ds  3)  ( x)  1 x 1      xs s ( s ) ds x    10 10 GVHD: Ts Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T H ng Nhung K32E 65 Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p  ( x)    x  s  ( s)ds  sin x 4) 1 3.2.4 Ph Ph ng trình tích phơn v i nhơn khơng suy bi n ng trình tích phân v i nhân không suy bi n đ xác b ng cách đ a v m t h đ i s n tính c gi i thích i v i ph ng trình tích phân có nhân khơng suy bi n ta có th x p x nhân c a b ng m t nhân suy bi n l y nghi m g n c a ph c a ph ng trình nhân suy bi n làm nghi m g n ng trình xu t phát, ngh a ta hồn tồn có th tìm đ nghi m c a ph Xét ph c ng trình tích phân v i nhân khơng suy bi n C th : ng trình tích phân n tính Fredholm lo i II b  ( x)    K ( x, s) ( s)ds  f ( x) (3.2.13) a Gi s K( x, s)  Kn ( x, s)   n ( x, s) lim max  n ( x, s)  (3.2.14) n a  x, s b Khi ph ng trình (3.2.13) có d ng: b b  ( x)    Kn ( x, s) ( s)ds     n ( x, s) ( s)ds  f ( x) a Vì ph (3.2.15) a  n ( x, s) nh tùy ý n đ l n nên ta coi nghi m n ( x) c a ng trình tích phân n tính v i nhân suy bi n Kn ( x, s) là: b  n ( x)    Kn ( x, s ) n ( s)ds  f ( x) (3.2.16) a nghi m g n c a ph ng trình tích phân n tính (3.2.13) Bây gi ta đánh giá sai s c a ph Kí hi u: ng trình tích phân khơng suy bi n  n ( x)   ( x)  n ( x) GVHD: Ts Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T H ng Nhung K32E 66 Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p T (3.2.15) (3.2.16) ta có: b b a a  n ( x)    Kn ( x, s) n ( s)ds     n ( x, s) ( s)ds ây ph ng trình tích phân n tính v i nhân suy bi n Do d a vào cơng th c (3.2.12) ta có: b  ( x)    Rn ( x, s,  ) f ( s)ds  f ( x)  a n (v i R( x, s,  )   Dij pi ( x)q j ( s ) gi i th c c a nhân Kn ( x, s) ) D i , j 1 nghi m c a ph ng trình xác đ nh b i công th c:  b  n ( x)     n ( x, s) ( s)ds    Rn ( x, s,  )   n ( x, s) ( x)d x ds a a  a b b Do đó: x  a ; b  n ( x)    n N0 b  a   2 Rn n N0 b  a 2 Hay  n ( x)    b  a  N0 n 1   Rn  b  a   x   a ; b  (3.2.17)  v i  n  max  n ( x, s) , N0  max  ( x) , Rn  max Rn ( x, s,  ) a ;b  a  x, s b a  x , a b Bây gi ta đánh giá N0 , ta có: b b a a  ( x)    Kn ( x, s) ( s)ds  f ( x)     Kn ( x, s)  K ( x, s) (s)ds b    Kn ( x, s) ( s)ds  F ( x) a F ( x)  f ( x)   b   K ( x, s)  K( x, s). (s)ds n x  a ; b  a GVHD: Ts Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T H ng Nhung K32E 67 Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p D a vào công th c (3.2.12) ta có: b  ( x)  F ( x)    Rn ( x, s,  ) F ( s)ds a M t khác, ta l i có: F ( x)  P0    n  b  a  N0 , x  a ;b  , P0  max f ( x) a ;b Do  ( x)  P0    n  b  a  N0   Rn  b  a   P0    n b  a  N0  , x a ;b  Mà N0  max  ( x) suy ra: a ;b N0  P0 1   Rn  b  a     n  b  a  1   Rn  b  a  N0 Gi s :   n  b  a  1   Rn  b  a    Khi đó: N0  P0 1   Rn  b  a  (3.2.18)    n  b  a  1   Rn  b  a  Nh v y ta có đ nh lí sau: nh lí Gi s u ki n (3.2.14) đ c th a mãn, D( )    n  b  a  1   Rn  b  a    Khi dãy hàm s  n (x) đ h i t t i nghi m c a ph c xác đ nh theo cơng th c (3.2.12) ng trình (3.2.13) t c đ h i t đ c tính theo cơng th c (3.2.18)  M t s ví d Ví d 1: Gi i ph ng trình GVHD: Ts Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T H ng Nhung K32E 68 Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p   ( x)   sin  xs  ( s)ds  cos x (1.1) L i gi i: Ta có th x p x nhân sin( xs ) b ng t ng hai s h ng đ u tiên khai tri n Taylor  xs  sin( xs)  xs  r ( x, s)   r ( x, s)3  vô bé  r ( x, s), c a (r s ) Suy sin( xs )  Khi ph  xs  xs  ng trình (1.1) tr thành:   xs     ( x)    xs   ( s)ds  cos x      2 x3 Hay  ( x)  x s ( s )ds   s  ( s )ds  cos x 0   2   t c1  s ( s )ds, c2  s  ( s )ds (1.2) (1.3) Thay (1.3) vào (1.2) ta có: x3  ( x)  xc1  c2  cos x Thay (1.4) vào (1.3) l n l t ta đ (1.4) c: GVHD: Ts Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T H ng Nhung K32E 69 Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p  c   c1   s sc1  s  cos s ds     2  c2  c1  s ds   s ds   s cos sds 0 3 5   c1  c2   24 960  c   c2   s  sc1  s  cos s ds     2 c  c1  s ds    s ds   s cos sds 5 7 3  c1  c2   3  160 5376  3 5  c1  24 c1  960 c2   V y ta có h :  c   c   c    3   160 5376 Suy c1  4.8631  c2  6.2442 V y nghi m g n c a (1.1) là:  ( x)  4.8631x  6.2442 x3  cos x Ví d 2: Gi i ph ng trình  ( x)   e xs ( s)ds  (2.1) GVHD: Ts Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T H ng Nhung K32E 70 Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p L i gi i: Ta có e Suy x2 s   xs   r ( x, s ) xs e Khi ph xs x2 s   xs  ng trình (2.1) tr thành:  x2 s   ( x)   1  xs   ( s)ds   0 1 1 x2 Hay  ( x)   ( s)ds  x s ( s)ds   s  ( s)ds  0   t c1   ( s)ds, c2  s ( s)ds, Thay (2.3) vào (2.2) ta đ c3   s 2 ( s)ds (2.3) c: x2  ( x)  c1  xc2  c3  Thay (2.4) vào (2.3) l n l (2.2) (2.4) t ta có: 1 1   c3 s2 c1    c1  sc2  c3  1ds  c1  ds  c2  sds   s ds   ds 2  0 0  c1  c2 c3  1 c2 c3  1  Hay 1   c3 s2 c2   s c1  sc2  c3  1ds  c1  1 sds  c2  s ds   s ds 2  0  GVHD: Ts Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T H ng Nhung K32E 71 Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p  c1 c2 c3    c1 2c2 c3    0 Hay 1   c3 s2 c3   s  c1  sc2  c3  1ds  c1  1 s ds  c2  s ds   s ds 2   0  Hay c1 c2 c3    10 c1 c2 9c3    0 10 c2 c3    1   1  c 2c c V y ta có h :      2  c1 c2 9c3      10  Suy 3769    c  1312  531  c2   328  375  c    328  V y nghi m c a ph  ( x)   ng trình cho là: 3769 531 375  x x 1312 328 328 GVHD: Ts Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T H ng Nhung K32E 72 Tr ng HSP Hà N i Ví d 3: Gi i ph Khóa lu n t t nghi p ng trình:  ( x)   sin( xs) ( s)ds   x2 (3.1) L i gi i: Ta có th x p x nhân sin( xs ) b ng t ng hai s h ng đ u tiên khai tri n Taylor:  xs  sin( xs)  xs   r ( x, s),   r ( x, s)   r ( x, s)3 vô bé b c cao h n vô bé  xs  Suy ra: sin( xs )  Khi ph  xs  xs  ng trình (3.1) tr thành:   xs    ( x)    xs   ( s)ds   x   1 Hay t x3  ( x)  x s ( s)ds   s  ( s)ds   x2 0 c1   s ( s)ds, c2   s 3 ( s)ds (3.2) (3.3) Thay (3.3) vào (3.2) ta có: x3  ( x)  xc1  c2   x2 Thay (3.4) vào (3.3) l n l t ta đ (3.4) c: c   c1   s sc1  s   s ds   GVHD: Ts Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T H ng Nhung K32E 73 Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p 1 1 c  c1  s ds   s ds   sds   s 3ds 0 0  Hay c1 c2 1 c1 c2       30 30 c1  c2   30 c   c2   s  sc1  s   s ds   1 1 c  c1  s ds   s ds   s 3ds   s ds 0 0  Hay c1 c2 1 c1 c2       42 42 12 43 c2  c1   42 12    c c   30 Do ta có h :   c  43 c   42 12  Suy ra: 2375   c   2171  c  2695   4342 V y nghi m g n c a ph  ( x)   ng trình là: 2375 2695 x  x2  x 2171 26052 GVHD: Ts Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T H ng Nhung K32E 74 Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p  BƠi t p v n d ng:Gi i ph ng trình sau:  1)  ( x)  sh( xs) ( s)ds   x 2)  ( x)  sin( xs) 0 s  (s)ds  x 3)  ( x)   1  s e xs    ( s)ds   x GVHD: Ts Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T H ng Nhung K32E 75 Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p K T LU N Trong trình tìm hi u, nghiên c u khóa lu n, em b c d u làm quen v i cách th c làm vi c khoa h c, hi u qu Qua đó, em c ng c them ki n th c Gi i tích hàm đ ng th i th y đ c s phong phú, lý thú c a tốn h c Trong khóa lu n này, ki n th c b tr v không gian Metric, không gian đ nh chu n, không gian Hilbert…Em nêu đ ch t c a toán t tích phân, m t s ph ng pháp gi i ph n tính Trên c s áp d ng vào gi i ph c m t s tính ng trình tích phân ng trình tích phân Volterra- Fredholm ó thành cơng c a đ tài Hi v ng tài li u s góp m t chút cho b n sinh viên quan tâm đ n Gi i tích hàm nói riêng tốn h c nói chung Qua em xin bày t lòng c m n sâu s c t i th y giáo Ts Nguy n V n Hùng ng i tr c ti p giúp đ em hoàn thành khóa lu n t t nghi p ng th i em xin trân tr ng c m n th y giáo t gi i tích, th y giáo khoa tốn tr ng HSP Hà N i t o u ki n giúp đ em hồn thành khóa lu n t t nghi p Do b c đ u làm quen v i nghiên c u khoa h c, ch c ch n khóa lu n khơng tránh kh i nh ng thi u sót Em kính mong th y b n đóng góp ý ki n, trao đ i đ khóa ln đ c hồn thi n t t h n GVHD: Ts Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T H ng Nhung K32E 76 Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p TÀI LI U THAM KH O Phan c Chính (1978), Gi i tích hàm, T p 1: C s lý thuy t, Nxb i h c Trung h c chuyên nghi p Nguy n Ph Hy (2006), Gi i tích hàm, Nxb Khoa h c k thu t Hà N i Nguy n Xuân Liêm (1995), Gi i tích hàm, Nxb Giáo d c Hoàng T y (2003), Hàm th c Gi i tích hàm, Nxb i h c qu c gia Hà N i Jean Dieudonne (1973), C s gi i tích hi n đ i, T p (b n d ch ti ng Vi t), Nxb i h c Trung h c chuyên nghi p GVHD: Ts Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T H ng Nhung K32E 77 Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p GVHD: Ts Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T H ng Nhung K32E 78 ... 2: 30 Tốn t tích phân 30 2.1 Tốn t tích phân v i h ch liên t c 2.2 Toán T tích phân v i h ch bình ph Ch 30 ng kh tích 32 2.3 Tốn t tích phân khơng gian Ca ;b  33 2.4 Tốn t tích phân không gian... lý thuy t toán t Nhi m v nghiên c u Nghiên c u m t s c s lý thuy t liên quan đ n tốn t tích phân, tính ch t c a tốn t tích phân, ng d ng c a tốn t tích phân vào gi i ph ng trình tích phân GVHD:... A B , hay A toán t tích phân khơng gian L2 a ;b  ta xem xét tốn t tích phân không gian đinh chu n, bây gi ta s xét tốn t tích phân khơng gian Hilbert, c th ta s xét tốn t tích phân Fredholm