Toán tử dương trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ===***=== NGUYỄN THỊ TÀI TỐN TỬ DƢƠNG TRONG KHƠNG GIAN HILBERT KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun nghành: Giải tích Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: ThS Phùng Đức Thắng HÀ NỘI - 2014 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn hƣớng dẫn, giúp đỡ thầy khoa Tốn, trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho q trình thực khóa luận Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc sĩ Phùng Đức Thắng, Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội tận tình hƣớng dẫn, quan tâm giúp đỡ tơi hồn thành khóa luận Với điều kiện thời gian nghiên cứu vốn kiến thức hạn chế, chắn đề tài không tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận đƣợc đóng góp q thầy bạn để đề tài thực có chất lƣợng hữu ích Tơi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Tài LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài: “Tốn tử dƣơng khơng gian Hilbert” kết mà tơi trực tiếp tìm tòi, nghiên cứu Trong q trình nghiên cứu tơi sử dụng số tài liệu số tác giả nhƣ số trang web có liên quan tới đề tài mà tơi thực Tuy nhiên, sở để rút đƣợc vấn đề cần tìm hiểu đề tài Đây kết cá nhân tơi, hồn tồn không trùng với kết tác giả khác Nếu sai tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm! Sinh viên Nguyễn Thị Tài MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số định nghĩa 1.2 Một số toán tử đặc biệt không gian Hilbert Chƣơng TỐN TỬ DƢƠNG TRONG KHƠNG GIAN HILBERT 11 2.1 Định nghĩa toán tử dƣơng 11 2.2 Các tính chất tốn tử dƣơng 13 CHƢƠNG DẠNG PHÂN TÍCH CỰC CỦA MỘT TỐN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC 31 3.1 Một số định nghĩa tính chất 31 3.2 Dạng phân tích cực tốn tử 45 KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Giải tích hàm ngành tốn học đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu cấu trúc tốn học Trong chƣơng trình học chúng tơi, mơn giải tích hàm đƣợc đƣa vào trở thành học phần quan trọng học kì hai năm thứ ba Việc nghiên cứu tính chất tốn tử tuyến tính liên tục vấn đề giải tích hàm Đặc biệt tốn tử tự liên hợp có số tính chất giống với số thực tốn tử dƣơng có số tính chất giống với số dƣơng Chính tính chất đặc biệt đó, khố luận tơi sâu nghiên cứu lớp toán tử dƣơng khơng gian Hilbert Khóa luận nhằm mục đích nghiên cứu, hệ thống tính chất tốn tử dƣơng khơng gian Hilbert đồng thời tìm hiểu dạng phân tích cực tốn tử tuyến tính liên tục Nội dung nghiên cứu kết đƣợc tìm thấy, nhƣng với tinh thần tìm tòi học hỏi kiến thức mới, hy vọng đề tài đem lại nhiều kiến thức bổ ích thú vị cho độc giả Nội dung khóa luận gồm ba chƣơng: Chƣơng Một số kiến thức chuẩn bị Chƣơng Tốn tử dƣơng khơng gian Hilbert Chƣơng Dạng phân tích cực tốn tử tuyến tính liên tục Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu Làm rõ khái niệm, tính chất, định lý, hệ thống tính chất tốn tử tuyến tính dƣơng, khơng gian Hilbert Đồng thời tìm hiểu dạng phân tích cực tốn tử tuyến tính liên tục Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tƣợng nghiên cứu: Không gian Hilbert 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Những định nghĩa, tính chất, định lý vấn đề liên quan không gian Hilbert Phƣơng pháp nghiên cứu Sƣu tầm tài liệu sở phân tích, tổng hợp, diễn giải, làm rõ trình bày cách có hệ thống để giải vấn đề đặt khoá luận Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 (Toán tử) Toán tử thực thể toán học mà tác dụng lên hàm số cho ta hàm số khác Định nghĩa 1.1.2 (Toán tử tuyến tính) Cho khơng gian tuyến tính X Y trường P ( P  P  ) Ánh xạ A từ không gian X vào khơng gian Y gọi tuyến tính ánh xạ A thỏa mãn điều kiện: (i) x , x  X  A x  x   Ax  Ax ; (ii)  x  X   P  A x   Ax ' '' ' " ' " Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính tốn tử tuyến tính Định nghĩa 1.1.3 (Tốn tử tuyến tính bị chặn) Cho khơng gian định chuẩn X Y Tốn tử tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y gọi bị chặn, tồn số C  cho: Ax  C x , x  X Định lý 1.1.4 (Ba mệnh đề tƣơng đƣơng tốn tử tuyến tính liên tục) Cho A tốn tử tuyến tính từ khơng gian định chuẩn X vào không gian Y Ba mệnh đề sau tương đương: (i) A liên tục; (ii) A liên tục điểm x0 thuộc X ; (iii) A bị chặn Định nghĩa 1.1.5 (Không gian Hilbert) Ta gọi tập hợp H   gồm phần tử x, y, z, không gian Hilbert, tập hợp H thỏa mãn điều kiện: (i) H khơng gian tuyến tính P (ii) H trang bị tích vơ hướng; (iii) H không gian Banach với chuẩn x  x, x , x  H Ta gọi khơng gian tuyến tính đóng khơng gian Hilbert H khơng gian Hilbert không gian H Định nghĩa 1.1.7 (Không gian định chuẩn) Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) khơng gian tuyến tính X trường P ( P trường số thực hay trường số phức ) với ánh xạ từ X vào tập hợp số thực, kí hiệu (đọc chuẩn), thỏa mãn tiên đề sau: (i)  x  X  x  0, x   x   (kí hiệu phần tử khơng X ) (ii)  x  X   P   x (iii)  x, y  X    x ; x  y  x  y (bất đẳng thức tam giác) Số x gọi chuẩn vector x Ta kí hiệu không gian định chuẩn 1.2 Các tiên đề (i), (ii), (iii) gọi hệ tiên đề chuẩn Một số tốn tử đặc biệt khơng gian Hilbert Định nghĩa 1.2.1 (Toán tử liên hợp) Cho X , Y hai không gian Hilbert, A : X  Y tốn tử tuyến tính liên tục Lúc tốn tử tuyến tính liên tục A : Y  X gọi toán tử liên hợp toán tử A x, Ay  A x, y ,x, y  X Định nghĩa 1.2.2 (Tốn tử tự liên hợp) Cho X khơng gian Hilbert, A   X  A gọi tự liên hợp x, Ay  Ax, y ,x, y  X Định lý 1.2.3 Cho X không gian Hilbert phức A  Điều kiện cần đủ để A tự liên hợp Ax, x   X  với x  X Định nghĩa 1.2.4 (Toán tử chiếu) Cho X không gian vector trường ( ) X  M  N M , N khơng gian X Khi đó, phần tử x  X biểu diễn cách dạng x  y  z với y  M z  N Ánh xạ P: X  X x y gọi toán tử chiếu (hay phép chiếu trực giao) không gian X lên khơng gian M , kí hiệu PM *Nếu X không gian Hilbert M khơng gian đóng X vector x  X biểu diễn theo cách dạng: x  y  z với y  M z  M  Lúc ánh xạ P gọi tốn tử chiếu (hay phép chiếu trực giao ) không gian X lên khơng gian đóng M Kí hiệu PM Định nghĩa 1.2.5 (Toán tử đẳng cự) Cho X , Y khơng gian Hilbert tốn tử tuyến tính T : X  Y cho Tx  x với gọi toán tử đẳng cự Lúc T Định nghĩa 1.2.6 (Tốn tử unita) Nếu T tốn tử đẳng cự tồn ánh T gọi tốn tử unita Định lý 1.2.7 Cho X , Y không gian Hilbert T : X  Y toán tử tuyến tính Lúc mệnh đề sau tương đương: (i) T toán tử đẳng cự; (ii) T liên tục T   T  I X ( I X toán tử đồng X ); (iii) T bảo tồn tích vơ hướng : Tx1, Tx2  x1, x2 với x1, x2  X Định lý 1.2.8 Cho X , Y không gian Hilbert U : X  Y toán tử tuyến tính Lúc mệnh đề sau tương đương: (i) U toán tử unita; (ii) U phép đẳng cấu X lên Y ; (iii) U liên tục U   U  I X ,U   U  IY ( I X , IY toán tử đồng X Y ); (iv) U liên tục U   U 1 Định nghĩa 1.2.9 Cho A tốn tử tuyến tính liên tục từ khơng gian Hilbert X vào khơng gian Hilbert Khi đó: (a) Tập hợp A1     x  X : Ax  0 gọi không gian khơng A kí hiệu  A ; (b) Tập hợp A X    y Y : y  Ax, x  X  gọi miền giá trị A kí hiệu  A Định lý 1.2.10 Nếu A : X  Y tốn tử tuyến tính liên tục không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y (ii) Ta có  đẳng cự đồng cấu đại số nên với p, q  X   p   p   pq     p .  q  Nếu f , g   T   tồn  f n n ,  gn n  X cho f n  f gn  g Do     fg    lim  f n g n   lim  f n g n  n n = lim  f n gn   lim   f n    g n      f   g  n n Tƣơng tự, ta chứng minh đƣợc   rf   r  f    f    g     f  g  Vậy  đồng cấu đại số Mặt khác, ta có     f    lim  f n   lim  f n  n n  lim  f n   lim   f n   lim f n  f n n n Do  đẳng cự Vậy  đẳng cự đồng cấu đại số (iii) Nếu p  z   a0  a1z   an z n đa thức Khi T *  T nên p T    a0 I  a1T   anT n  * * = a0  a1I   anT n Do p T   p T  với p  z   a0  a1z   an z n Vì f *   hàm đƣợc thành lập từ p   f    f Mặt khác, ta xét ánh * xạ tuyến tính : (X )  S (X ) S* 39 Với S , S '  ( X ) , ta có   S     S '   S *  S '*   S  S '   S  S ' * Do  liên tục Với f   T   , tồn  f  n n  X cho f n  f Khi đó,  liên tục nên  f T     f    lim f n * * n   lim  f  * * n n Mặt khác,  liên tục nên   *     lim  f n   lim  f n   lim f n   f n * n n Do f T   f T  * (iv) Giả sử     f    , với   T  , tức   f  T   Khi g     hàm liên tục  T  Vì    f   đồng cấu đại số nên từ g       f          f     g    , với   T  Suy g T    I  f T    I    I  f T   g T  Vậy    f T   Do   f T    f  T   Ngƣợc lại, giả sử   f  0  , với 0   T  Khi đó,   tồn   cho j f     f  0    , với    T  mà   0   Cho g xác định  T  0 , 0   , 0    đƣờng thẳng 0   , 0  0 , 0    40 (nói xác giao  T  với đoạn đó) Khi g liên tục g  sup g     Mặt khác, ta có  T     f    g      f     f    g      , với   T  Giả sử  I  f T  khả nghịch Khi đó, ta có  g  g  T     I  f  T     I  f  T   g  T  1 Vì   nên ta chọn       I  f T   1   I  f T       I  f T   Từ suy 1  (mâu thuẫn) Vậy  I  f T  khơng khả nghịch Do    f T   Vậy f  T      f T   (3.1.2) Từ (3.1.1) (3.1.2) suy   f T    f  T   (v) Giả sử S 𝓛  X  giao hoán với T Nếu p đa thức p T  giao hoán với S Với f   T   tồn  f n n  X cho lim f n  f n Khi f T  S  lim f n T  S  lim Sf n T   S lim f n T   Sf T  n n n Vậy f T  giao hoán với S Vậy mặc định đƣợc hàm f T  trƣờng hợp f hàm liên tục  T   T toán tử tự liên hợp Tiếp theo áp dụng định lý để nghiên cứu bậc hai dƣơng toán tử dƣơng 41 1 Định nghĩa 3.1.11 Cho X khơng gian vector Một ánh xạ tuyến tính J : X  X gọi ánh xạ đối hợp J  I Bổ đề 3.1.12 Cho J : X  X ánh xạ tuyến tính Khi J ánh xạ đối hợp J  2P  I với P toán tử chiếu X Khi X khơng gian Hilbert J tự liên hợp P tự liên hợp Chứng minh Cho J ánh xạ đối hợp Đặt P  J  2P  I P J   2J  I    J  I  Khi  I  2J  I    J  I   P     Mà X không gian vector nên P toán tử chiếu Ngƣợc lại, J  2P  I , P toán tử chiếu J  4P2  4P  I  I J ánh xạ đối hợp Khi X khơng gian Hilbert I tự liên hợp nên P tự liên hợp J tự liên hợp Bổ đề 3.1.13 Cho X không gian Hilbert A, B   X  tự liên hợp với AB  BA A2  B2 Khi A  BJ  JB với J ánh xạ đối hợp tự liên hợp Và J giao hoán với toán tử tuyến tính liên tục mà giao hốn với A B Chứng minh Cho M  Ker  A  B  đặt P  PM Khi J  2P  I ánh xạ đối hợp tự liên hợp Nếu x  X Px  M  A  B  Px  , nghĩa AP  BP Mặt khác, ta có A, B giao hốn nên  A  B  A  B   A2  B2  Vậy  A  B  X   M 42 Do P  A  B  x   A  B  x , với x  X Từ suy P  A  B    A  B  Mặt khác, ta lại có PA   AP    BP   PB Vậy * * 2PA  A  B Mà J  2P  I nên JA  2PA  A Suy JA  B Mà B  B*   JA  A* J *  AJ A  J  JA  JB, A   AJ  J  BJ * Vậy A  BJ  JB Bây giả sử S   X  tự liên hợp giáo hoán với A B Với x  X ta có  A  B  Sx  S  A  B  x  S  0  nên Sx  M Do SM  M S tự liên hợp nên S giao hoán với P Từ suy SJ  S  2P  I   2SP  S  2PS  S   2P  I  S  JS Vậy S giao hoán với J Nếu S   X  giao hoán với A B , S * A   AS    SA  AS * S *B   BS    SB   BS * Cho * * * * S  S   * nên A B giao hoán với toán tử tự liên hợp S1  S  S  nên J  * S2 2i giao hoán với S1 S Do J giao hốn với S  S1  iS2    Ví dụ 3.1.14 Trong không gian l   x   n n |  n  ,   n    n 1   Cho a   an n dãy số thực bị chặn có m  m *  phần tử đầu 0, toán tử A, B : l  l xác định nhƣ sau x  n n  l , Ax   ann n , Bx   ann n Tìm ánh xạ đối hợp tự liên hợp J thỏa mãn A  BJ  JB J giao hoán với tốn tử tuyến tính liên tục giao hốn với A B 43 Tƣơng tự ví dụ 1.1.5 ta chứng minh đƣợc A toán tử tuyến tính liên tục Với x  n n , y  n n  l Ta có   n 0 n 0 A* x, y  x, Ay  n ann   annn  z, y  Với z  an n  n   an n n Từ suy A* x  z, y  , với y  l Vậy A* x  z   ann n Do A tự liên hợp Tƣơng tự ta chứng minh đƣợc B tự liên hợp Ta có tốn tử  A  B  x   2ann n , với x   n  n  l Ta có   M  Ker  A  B   x  l , x  1 ,  , ,  m ,0,0, ,0, i  , i  1, m M    x  l , x   0,0, ,0,  m1,  m2 ,  , i  , i  m  1, m  2,  Đặt  x Jx   PM  I  x    0,0, ,  m1,  m2 ,  , xM , x= i n  M  Vậy theo Bổ đề 3.1.13 ta suy J ánh xạ đối hợp J tự liên hợp Mặt khác, ta kiểm tra đƣợc AB  BA A2  B2 A  BJ  JB Vậy theo Bổ đề 3.1.3 ta suy J giao hoán với tốn tử tuyến tính liên tục giao hốn với A B Hệ 3.1.15 Cho T tốn tử dương khơng gian Hilbert X Cho S bậc hai dương T giao hoán với toán tử tuyến tính liên tục giao hốn với T Cho S ' bậc hai khác T giao hoán với toán tử tuyến tính liên tục giao hốn với T Khi S '  SJ với J ánh xạ đối hợp giao hoán với toán tử tuyến tính liên tục giao hốn với T 44 Chứng minh Do S S ' giao hốn với T nên theo giả thiết ta có SS '  S ' S mà S  S '2  T Do áp dụng bổ đề với A  S B  S ' Ta có S '  SJ với J ánh xạ đối hợp mà giao hoán với bất X  kỳ tốn tử tuyến tính liên tục giao hoán với T Giả sử W  giao hốn với T theo giả thiết W giao hoán với S S ' Vậy theo Bổ đề 3.1.13 suy W giao hoán với J 3.2 Dạng phân tích cực tốn tử X  Định lý 3.2.1 Cho X khơng gian Hilbert phức W  tốn tử unita Khi có tốn tử tự liên hợp  cho U  ei U  U  V * Chứng minh Xét toán tử tự liên hợp U  U  W * 2i Khi U  V  iW Vì U tốn tử unita nên theo Định lý 1.1.8 suy UU *  U *U  I X nên W V giao hoán với Mà U toán tử unita nên U đẳng cự 2Vx  U  U *  x  Ux  U * x  x Từ suy V  W  I V , W  Bây ta xét ánh xạ cos:0,    1,1, song ánh Cho f: 1,1  0, , hàm ngƣợc hàm cos Khi f hàm liên tục  1,1 mà V  nên f hàm liên tục  V  Đặt B  f V  Với y   1,1 ta có cos  f  y    y 45 Cho nên cos  B  =cos  f V    V Ta có  sin  B    I   cos  B    I  V  W Vì B  f V  nên theo 2 Định lý 3.1.10.v) ta suy B giao hoán với toán tử mà giao hoán với V Mà W giao hoán với V nên B giao hoán với W Vậy theo Bổ đề 3.1.13 W  J sin  B  với J ánh xạ đối hợp giao hoán với sin  B  W Mà B giao hoán với sin  B  W nên B giao hoán với J Do k   JB   J k 1B k 1 B k 1 k sin  JB     1    1  J  1  2k  1!   2k  1!   2k  1! k 0 k 0 k 0  k 1 k suy sin  JB   J sin  B   W Tƣơng tự, ta có cos  JB   Jcos  B   V Vậy   JB  tự liên hợp ei  cos  isin  V  iW  U Định lý 3.2.2 Cho X không gian Hilbert phức T 𝓛  X  chuẩn tắc Khi ta viết T  RU  UR với R tốn tử dương U tốn tử unita Do T  R  ei với R   tự liên hợp Đây gọi phân tích cực T Chứng minh Gọi R bậc hai dƣơng T *T Với x  X ta có Rx  Rx, Rx  R x, x  T *Tx, x  Tx,Tx  Tx 2 Xét tƣơng ứng U : R  X   X Rx Tx Với x, y  X Rx  Ry R  x  y   Cho nên Tx  Ty  T  x  y   R  x  y   46 Suy Tx  Ty hay U  Rx   U  Ry  Vậy U ánh xạ Mà T ánh xạ tuyến tính nên U ánh xạ tuyến tính Với y  R  X  tồn x  X để R  x   y Suy Uy  UR  x   Tx  Rx  y Vậy U toán tử đẳng cự nên Định lý 1.1.7 suy U liên tục Do theo Định lý 1.2.4 U đƣợc mở rộng cách thành ánh xạ tuyến tính liên tục từ R  X  vào X ta ký hiệu U ' Vì T chuẩn tắc nên với x  X ta có Tx  Tx,Tx  T *Tx, x  TT * x, x  T * x,T * x  T * x Vậy Rx  Tx  T *x nên Ker T   Ker T *   Ker  R   Ker  R*   R  X   Ker  R*     Ker T   *   T  X    Bây ta chứng minh U ' R  X  tập đóng T  X    Ta kiểm tra đƣợc U ' R  X   U '  R  X    T  X  Mặt khác, với dãy  yn n  U '  R  X  , yn  y  xn n  R  X  , cho Khi tồn yn  U ' xn Ta có yn  ym  U ' xn  U ' xm  xn  xm , với m, n Vì  yn n hội tụ nên dãy Cauchy X Do  xn n hội tụ Giả sử xn  x  R  X  U ' xn  U ' x Mà giới hạn dãy hội tụ U ' x  y Từ suy y U '  R  X   47 Vậy U '  R  X   tập đóng T  X  Mặt khác ta lại có T  X   U '  R  X    U '  R  X   Vậy U '  R  X    T  X  Cho nên ta định nghĩa U ' tồn X cách đặt U ' x  x , với  x   R  X  Khi với x  X U ' x  U ' x1  U ' x2 với x  x1  x2 , x1  R  X     x2  R  X  Rõ ràng U ' tốn tử tuyến tính Ta có U đẳng cự nên ta có U '  z   z , với z  R  X  Do với x  X ta có U ' x  U ' x1  U ' x2 2  U ' x1  U ' x2  x1  x2 2  x Vậy U ' đẳng cự Mặt khác, ta có         U ' R  X   T  X   R  X  U '  R  X    R  X     Mà R  X   R  X     X nên U '  X   X Do U ' toán tử unita U ' R  T Ta có T T *T giao hoán với mà R bậc hai dƣơng T *T nên R giao hoán với T Do với x  X ta có RU '  Rx   RTx  TRx Vậy RU '  T R  X  Mặt khác với y  R  X  , tồn  xn n  X cho y  lim Rxn Suy n   RU ' y  lim  RU '  Rxn    lim TRxn   T lim Rxn  Ty n n 48 n  Vậy RU '  T R  X  Mà R  X          K er R  K er T với     x  R  X  x  R  X  Vậy RU '  T R  X  Từ suy RU '  T Vậy T  RU '  U ' R Mặt khác U ' toán tử unita nên U '  ei ,  tự liên hợp Do T  Rei với R   tự liên hợp Định lý 3.2.3 Mọi tốn tử tuyến tính bị chặn A : X  Y không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y biểu diễn dạng: A  VT , V : X Y T : X  X toán tử dương X toán tử đẳng cự phận với miền gốc  A   T   X * miền ảnh  A  Y Chứng minh Vì A* A tốn tử dƣơng X nên tồn toán tử dƣơng T   A A Với x  X , ta có * Tx  Tx.Tx  T x, x  A*Ax,x  Ax, Ax  Ax , 2 Vậy Tx  Ax , với x  X Từ ta lập đƣợc ánh xạ; V   : T   Tx  A Ax  Tƣơng tự nhƣ chứng minh Định lý 3.2.2 ta có V tốn tử tuyến tính T   X đẳng cự ta mở rộng V lên tồn tốn tử đẳng cự ta kí hiệu V ' ta có V ' tốn tử unita T   X lên đƣợc  A  V '  R T   Vậy  A  Y Nếu x  Ker T  ta đặt V ' x  Do ta xác định đƣợc tốn tử đẳng cự phận V ' không gian X vào Y với miền gốc 49 T  miền ảnh  A  A  Thật từ đẳng thức T   Bây ta chứng minh * Tx  Tx,Tx  A* Ax, x , ta suy Tx  A* Ax  Vậy Ker  A* A  Ker T  nên T    A A   A  * * x  Ker  A Mà K er A  K er T nên x  Ker T  , x  T    A  Vậy * A  Mặt khác ta có x  * T  Do A  V 'T , T : X  X toán tử dƣơng X V : X  Y toán tử đẳng cự phận với miền gốc  A   T   X mà miền ảnh  A  Y * Ví dụ 3.2.4 Trong không gian l cho a   an n dãy số phức bị chặn có m  m *  phần tử đầu khơng, tốn tử A : l  l xác định nhƣ sau: x  n n  l , Ax   ann n Tìm tốn tử T ,V : l  l , T tốn tử dƣơng l  A   T   l V toán tử đẳng cự phận với miền gốc ảnh  A  l * miền thỏa mãn A  VT Tƣơng tự Ví dụ 1.1.5 ta chứng minh đƣợc A toán tử tuyến tính liên tục gọi A* tốn tử liên hợp A tƣơng tự ví dụ 3.1.14 ta có   A* x  an n , n với x   n n  l Ta có   A* Ax  an n , với n x  n n  l Đặt T   an n n , với x  n n  l Khi T tốn tử tuyến tính liên tục T *  A* A Mặt khác, ta có 50  Tx, x   an  n  n 0 Vậy T toán tử dƣơng l Ta có  A    A   x  l , x   0,0, ,0, * * * m1 ,  m  ,  m 3  ,  i  T   T   x  l * , x   0,0, ,0,m1,m2 ,m3  ,i  Ker T   x  l * , x  1,2 , ,m ,0,0, ,0,  ,i     Khi theo chứng minh Định lý 3.2.3 ta xây dựng toán tử đẳng cự phận V nhƣ sau      0,0, ,0, am1 m1 , am m2 ,  am1 am2  Vx    0 Vậy V T   , x=  n n  T  , x  Ker T  toán tử đẳng cự phận với miền gốc  A   T  miền ảnh  A   A * Với x  X , ta kiểm chứng đƣợc Ax  VTx hay A  VT 51 KẾT LUẬN Trong khóa luận tốt nghiệp này, tơi cố gắng tìm hiểu nghiên cứu số tính chất tốn tử dƣơng dạng phân tích cực tốn tử tuyến tính liên tục khơng gian Hilbert Tuy nhiên hạn chế lực thời gian nên khóa luận chƣa nghiên cứu sâu số tính chất liên quan đến đề tài Rất mong q thầy giáo bạn sinh viên đóng góp ý kiến cho khóa luận đƣợc hồn chỉnh Một lần xin chân thành cảm ơn tất quý thầy cô giáo bạn sinh viên giúp đỡ tơi suốt q trình nghiên cứu hồn thành khóa luận Hà Nội, tháng năm 2014 Sinh viên thực Nguyễn Thị Tài 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Xuân Liêm, 2000, Bài tập giải tích hàm, NXB Giáo dục, [2] Nguyễn Phụ Hy, 2005, Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật, [3] John B.Conway, 1990, Acourse in Functional Analysis, Gradute Texts in Mathe-matics, Department of Mathematics University of Tenessee Knoxville, TN 37996, USA, [4] Donald Cartwright, 1988, Lectures on Functionnal Analysis, NXB Giáo dục, Sydey University Press, [5] Lokenth Debnath, Piotr Mikusinski, 2005, Hilbert space with Applications, El-sevier Academic Press, Boston, [6] Wikipedia, 2010, Polar decompostion 53 ... khơng gian tuyến tính đóng khơng gian Hilbert H không gian Hilbert không gian H Định nghĩa 1.1.7 (Không gian định chuẩn) Khơng gian định chuẩn (hay khơng gian tuyến tính định chuẩn) khơng gian. .. Chƣơng TỐN TỬ DƢƠNG TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Trong phần lại, ta xét không gian trường  2.1 Định nghĩa toán tử dƣơng Định nghĩa 2.1.1 Cho X khơng gian Hilbert, tốn tử A ( X ) gọi dương  Ax,... hai toán tử dƣơng) Căn bậc hai toán tử dương A toán tử tự liên hợp B thỏa mãn B  A Định lý 2.2.16 Cho A tốn tử dương khơng gian Hilbert X Khi đó, A có bậc hai dương Hơn nữa, B giao hoán với toán