Toán tử dương trong không gian hilbert

Khóa luận này nhằm mục đích nghiên cứu, hệ thống các tính chất của toán tử dương trong không gian Hilbert đồng thời tìm hiểu về dạng phân tích cực của một toán tử tuyến tính liên tục.. M

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên nghành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học:

ThS Phùng Đức Thắng

HÀ NỘI - 2014

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn, giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình thực hiện khóa luận Đặc biệt, tôi xin

bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc sĩ Phùng Đức Thắng, Trường Đại

học Sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình hướng dẫn, quan tâm giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này

Với điều kiện thời gian nghiên cứu và vốn kiến thức còn hạn chế, chắc chắn đề tài sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp của quý thầy cô và các bạn để đề tài thực sự có chất lượng và hữu ích

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Tài

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài: “Toán tử dương trong không gian

Hilbert” là kết quả mà tôi đã trực tiếp tìm tòi, nghiên cứu Trong quá

trình nghiên cứu tôi đã sử dụng một số tài liệu của một số tác giả cũng như một số trang web có liên quan tới đề tài mà tôi thực hiện Tuy nhiên,

đó chỉ là cơ sở để tôi rút ra được những vấn đề cần tìm hiểu ở đề tài của mình Đây là kết quả của cá nhân tôi, hoàn toàn không trùng với kết quả của các tác giả khác

Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm!

Sinh viên

Nguyễn Thị Tài

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Một số định nghĩa 3

1.2 Một số toán tử đặc biệt trong không gian Hilbert 4

Chương 2 TOÁN TỬ DƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 11 2.1 Định nghĩa toán tử dương 11

2.2 Các tính chất của toán tử dương 13

CHƯƠNG 3 DẠNG PHÂN TÍCH CỰC CỦA MỘT TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC 31

3.1 Một số định nghĩa và tính chất 31

3.2 Dạng phân tích cực của một toán tử 45

KẾT LUẬN 52

TÀI LIỆU THAM KHẢO 53

Khóa luận này nhằm mục đích nghiên cứu, hệ thống các tính chất của toán tử dương trong không gian Hilbert đồng thời tìm hiểu về dạng phân tích cực của một toán tử tuyến tính liên tục

Nội dung nghiên cứu của tôi tuy không phải là những kết quả mới được tìm thấy, nhưng với tinh thần tìm tòi học hỏi kiến thức mới, hy vọng đề tài này sẽ đem lại nhiều kiến thức bổ ích và thú vị cho độc giả Nội dung khóa luận gồm ba chương:

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Toán tử dương trong không gian Hilbert

Chương 3 Dạng phân tích cực của một toán tử tuyến tính liên tục

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu

Làm rõ các khái niệm, tính chất, định lý, hệ thống các tính chất của toán tử tuyến tính dương, trong không gian Hilbert Đồng thời tìm hiểu về dạng phân tích cực của một toán tử tuyến tính liên tục

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu:

Không gian Hilbert

3.2 Phạm vi nghiên cứu:

Những định nghĩa, tính chất, định lý và các vấn đề liên quan của không gian Hilbert

4 Phương pháp nghiên cứu

Sưu tầm tài liệu trên cơ sở đó phân tích, tổng hợp, diễn giải, làm rõ

và trình bày một cách có hệ thống để giải quyết các vấn đề đặt ra của khoá luận

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Một số định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1 (Toán tử) Toán tử là một thực thể toán học mà khi tác

dụng lên một hàm số bất kỳ sẽ cho ta một hàm số khác

Định nghĩa 1.1.2 (Toán tử tuyến tính) Cho các không gian tuyến tính

X và Y trên trường P(P hoặc P ) Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính nếu ánh xạ A thỏa mãn các điều kiện:

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính

Định nghĩa 1.1.3 (Toán tử tuyến tính bị chặn) Cho các không gian định

chuẩn X và Y Toán tử tuyến tính A từ không gian X vào không gian

Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số C 0 sao cho:

Ax C x  x X

Định lý 1.1.4 (Ba mệnh đề tương đương về toán tử tuyến tính liên tục)

Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian Y Ba mệnh đề sau tương đương:

(i) A liên tục;

(ii) A liên tục tại điểm x0 nào đó thuộc X ;

(iii) A bị chặn

Định nghĩa 1.1.5 (Không gian Hilbert) Ta gọi một tập hợp H   gồm những phần tử , , , x y z nào đấy là không gian Hilbert, nếu tập hợp H thỏa mãn các điều kiện:

(i) H là không gian tuyến tính trên P

(ii) H được trang bị một tích vô hướng;

(iii) H là không gian Banach với chuẩn x  x x, , xH

Ta gọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian H

Định nghĩa 1.1.7 (Không gian định chuẩn) Không gian định chuẩn (hay

không gian tuyến tính định chuẩn) là một không gian tuyến tính X trên trường P ( P là trường số thực hay trường số phức ) cùng với một ánh xạ từ X vào tập hợp số thực, kí hiệu (đọc là chuẩn), thỏa mãn các tiên đề sau:

không của X ) (ii)  x X  P x    x ;

(iii) x y, X x y  x  y (bất đẳng thức tam giác)

Số x được gọi là chuẩn của vector x Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn là Các tiên đề (i), (ii), (iii) được gọi là hệ tiên đề chuẩn

1.2 Một số toán tử đặc biệt trong không gian Hilbert

Định nghĩa 1.2.1 (Toán tử liên hợp) Cho X Y, là hai không gian Hilbert, A X: Y là một toán tử tuyến tính liên tục Lúc đó toán tử

tuyến tính liên tục và A Y: X được gọi là toán tử liên hợp của toán

tử A nếu

, , , ,

x Ay  A x y x yX

Định nghĩa 1.2.2 (Toán tử tự liên hợp) Cho X là một không gian

Hilbert, A  X A gọi là tự liên hợp nếu

x Ay  Ax y x yX

Định lý 1.2.3 Cho X là một không gian Hilbert phức và A  X Điều kiện cần và đủ để A tự liên hợp là Ax x,  với mọi xX.

Định nghĩa 1.2.4 (Toán tử chiếu) Cho X là một không gian vector trên

trường ( hoặc ) và X M N trong đó M N là các không gian ,

con của X Khi đó, mỗi phần tử xX được biểu diễn một cách duy

nhất dưới dạng x y z với yM và zN Ánh xạ

:

P X X

x y được gọi là toán tử chiếu (hay phép chiếu trực giao) của không gian X lên không gian con M , kí hiệu P M

*Nếu X là một không gian Hilbert và M là một không gian con đóng của X thì mọi vector xX đều có thể biểu diễn theo một cách duy nhất dưới dạng: x y z với yM và zM Lúc đó ánh xạ P được gọi

là toán tử chiếu (hay phép chiếu trực giao ) của không gian X lên không gian con đóng M Kí hiệu P M

Định nghĩa 1.2.5 (Toán tử đẳng cự) Cho , X Y là không gian Hilbert và toán tử tuyến tính : T X Y sao cho Tx  x với mọi Lúc đó T

được gọi là toán tử đẳng cự

Định nghĩa 1.2.6 (Toán tử unita) Nếu T là toán tử đẳng cự và toàn ánh

thì T được gọi là một toán tử unita

Định lý 1.2.7 Cho , X Y là không gian Hilbert và : T X Y là một toán

tử tuyến tính Lúc đó các mệnh đề sau tương đương:

(i) U là một toán tử unita;

(ii) U là một phép đẳng cấu của X lên Y ;

(iii) U liên tục và U U I U X,  U I Y ( I X,I Y là các toán tử

đồng nhất lần lượt trong X và trongY );

Định lý 1.2.10 Nếu : A X Y là một toán tử tuyến tính liên tục của không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y thì

 A =  A  *

A

trong đó A là toán tử liên hợp của A

Định nghĩa 1.2.11 (Toán tử đẳng cự bộ phận ) Giả sử X và Y là hai

không gian Hilbert Một toán tử tuyến tính V X: Y được gọi là toán

tử đẳng cự bộ phận nếu X MN trong đó M và N là những không gian con đóng trực giao với nhau, sao cho:

(i) Vx0 khi xN ,

(ii) Vx  x khi xM .

Nhận xét:

Rõ ràng  V N Nếu đặt L  V thì L V X  V M  Không gian con M X đƣợc gọi là miền gốc, còn L Y đƣợc gọi là miền ảnh

của toán tử đẳng cự bộ phận V

Định nghĩa 1.2.12 (Toán tử chuẩn tắc) Toán tử tuyến tính liên tục N

trong không gian Hilbert X được gọi là một toán tử chuẩn tắc nếu N giao hoán với toán tử liên hợp N* của nó, tức là N N* NN*

Vậy các toán tử tự liên hợp, toán tử unita trong không gian Hilbert

X đều là những toán tử chuẩn tắc

Định nghĩa 1.2.13 Cho X là không gian định chuẩn phức. A ( )

và  Nếu tồn tại x0 trong X sao cho Axx thì  được gọi là một giá trị riêng của toán tử A và x là vector riêng tương ứng với giá trị riêng   là giá trị phổ của A nếu không tồn tại toán tử ngược liên tục (AI)1 Tập các giá trị phổ gọi là phổ của toán tử A , kí hiệu

là ( ) A Nếu  là giá trị riêng của A thì   ( )A

Định lý 1.2.14 Cho X là một không gian Banach phức Khi đó

( )T

   với mọi T ( )X

Định lý 1.2.15 Cho X là một không gian Hilbert phức và T ( )X là một toán tử tự liên hợp Khi đó ( ) T ℝ

Định nghĩa 1.2.16 Cho X là một không gian Banach và T ( )X , khi

đó số thực

( )≔ max{||   ( )T }

Gọi là bán kính phổ của toán tử T

Định lý 1.2.17 Nếu X là một không gian Banach phức và T ( )X thì

Định lý 1.3.2 (Nguyên lý bị chặn đều) Giả sử X là một không gian

Banach, Y là một không gian định chuẩn Cho (A ) I là một họ các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Nếu họ (A ) I bị chặn điểm trên X thì sẽ bị chặn đều

Định lý 1.3.3 (Định lý Banach) Giả sử , X Y là hai không gian Banach

và A X: Y là một song ánh tuyến tính liên tục Khi đó A là một phép đồng phôi tuyến tính

Định lý 1.3.4 (Suy rộng hàm liên tục ) Cho X là một không gian định

chuẩn và Y là một không gian Banach Cho X0 là không gian con trù mật của X và cho T0:X0 Y là toán tử tuyến tính liên tục Khi đó có duy nhất một toán tử tuyến tính liên tục T X: Y sao cho

0

|X 0

T T Toán tử này thu được từ T0 được gọi là “suy rộng của T0 bởi tính liên tục”

Định nghĩa 1.3.5 (Đại số) Một đại số X trên trường (gọi tắt là đại

số X ) là một không gian vector trên trường , mà trên đó tồn tại một phép toán hai ngôi, kí hiệu là (.) gọi là phép nhân, thỏa mãn các điều kiện sau đây:

(i) x y(  z) xyxz,

(ii) (x y z)  xz yz,

(iii) (xy)(x y) x(y),

Với mọi , , x y zX,

Định nghĩa 1.3.6 (Đại số con) Một tập con của đại số X được gọi là

đại số con của đại số X nếu nó là một không gian vector con đóng kín đối với phép nhân trên X

Định nghĩa 1.3.7 (Đồng cấu đại số) Một đồng cấu đại số từ đại số X

vào đại số Y là một ánh xạ : h X Y sao cho

(i) h x( y)h x( )h y( ),

(ii) h x h y( ) ( )h xy( ),

(iii) h rx( )rh x( ),

(ii) 𝒜 tách các điểm của , nghĩa là nếu 1 và 1 là những

phần tử khác nhau thuộc  thì tồn tịa hàm f 𝒜 sao cho

( ) ( )

f   f  , (iii) Với mọi f 𝒜 thì f 𝒜

Khi đó 𝒜 trù mật trong ( )

Chương 2 TOÁN TỬ DƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Trong phần còn lại, ta luôn xét các không gian trên trường 

2.1 Định nghĩa toán tử dương

Định nghĩa 2.1.1 Cho X là một không gian Hilbert, toán tử A ( )X được gọi là dương nếu

Ax x

   với mọi xX Khi đó ta kí hiệu : A0

Nhận xét: Theo Định lý 1.2.3 ta suy ra nếu A là một toán tử dương thì A là tự liên hợp

Ví dụ 2.1.2 Toán tử đơn vị I là toán tử dương vì:

Ix x  x x  x m x .Khi đó chọn m1 là số dương thỏa mãn định nghĩa

Ví dụ 2.1.3 Giả sử K t s( , ) là hàm thuộc không gian 2    

( ,a b  a b, ) và ( , ) 0

K t s  hầu khắp nơi trên hình vuông at s, b Khi đó toán tử tích phân A trong không gian 2 

 

 

2 , ,

a b a b

K t s x s dsdt 

Vậy A là một toán tử dương

Ví dụ 2.1.4 Phép chiếu trực giao P lên không gian con đóng M của

không gian Hilbert X là một toán tử dương

Ta có P là toán tử tuyến tính liên tục Mặt khác với mỗi xX thì

2.2 Các tính chất của toán tử dương

Trong mục này ta xét các toán tử trong không gian Hilbert X

Định lý 2.2.1 Nếu A  X thì các toán tử A A và * AA là dương *

Chứng minh Ta có A và A là các toán tử tuyến tính liên tục nên các *toán tử A A và * AA cũng là các toán tử tuyến tính liên tục Mặt khác, *với mọi xX A,   X ta có

 Nếu Ax y, 0 thì (2.2.1) hiển nhiên đúng

 Giả sử Ax y, 0 Với mọi  , ta có

do đó nếu chọn t Ax y, với t là một số thực tùy ý thì

Ax x  t Ax y t Ax y Ay y  (2.2.2)

Vì (2.2.2) phải đúng với mọi t nên Ay y, 0 Do đó vế phải của

(2.2.2) là một tam thức bậc hai đối với t và không âm với mọi t, vậy biệt

số của nó là không dương, tức là

 Nếu Ax =0 thì bất đẳng thức đã cho hiển nhiên đúng

 Giả sử Ax 0 Với mọi xX , từ (2.2.1) chọn y Ax, ta có

Ax Ax, 2  Ax x, A Ax Ax( ),  Ax 4  Ax x, A Ax Ax( ) Mặt khác theo bất đẳng thức Schwarz ta có

Một số trường hợp đặc biệt của hệ quả trên là:

Cho A là toán tử dương Khi đó, nếu Ax x, 0, với mọi xX thì

0

Ax hay A0

Theo hệ quả 2.2.4 và giả thiết ta có Ax 2  A Ax x, 0 với xX

Nên Ax 0, với mọi xX.Vậy Ax0, với mọi xX hay A0

Tính chất 2.2.6 Cho A là toán tử dương Đặt

Đặt A m  A mI Vì A I là các toán tử tuyến tính liên tục nên , A m cũng

là toán tử tuyến tính liên tục Ta có

,

A x c x c  c A 

 Nếu A m 0 thì mM hay AmI Suy ra ( ) A m

Giả sử A m 0suy ra c0 Vậy A x m m  c 0 (mâu thuẫn vì

Suy ra A m là đơn ánh Vậy (A m)0 Ta lại có A m tự liên hợp

nên

X  (A m) (A m) (A m)

Do đó với mọi xX tồn tại (x n n)  (A m) hội tụ đến x Vì

(x n n)  (A m) nên tồn tại (y n n) X sao cho ( 1,2, )

Do đó x (A m) Vậy X  (A m) hay là A m toàn ánh Vậy từ (2.2.3) và Định nghĩa 1.3.1 ta suy ra tồn tại toán tử 1

m

A liên tục Do đó ( )

m   A , với mọi  0

Xét toán tử BMIA Ta có các toán tử I và A là các toán tử tuyến

tính liên tục nên toán tử B cũng là toán tử tuyến tính liên tục Mặt khác,

Vì vậy theo chứng minh ở trên thay toán tử A m bằng toán tử B ta suy ra

toán tử B không có toán tử ngược liên tục Mà B  (A MI)nên Cũng theo chứng minh ở trên ta suy ra với mọi  0 thì toán tử BI có toán tử ngược liên tục với

BI   M  I A    A M  I 

Vì vậy M   ( )A với mọi  0 Mà  A  ,m   A và

( )

M    A với mọi  0 nên  A m M, 

Định lý 2.2.7 Cho A  X là một toán tử tự liên hợp Đặt

Chứng minh Trước hết ta có A là toán tử tự liên hợp nên Ax x, luôn

là một số thực với mọi xX Do đó ta có thể định nghĩa được các số

Tính chất 2.2.9 Nếu A B,   X , A B, 0và A B 0 thì A B 0

Chứng minh Từ A B x x,  , 0 ta suy ra Ax x,   Bx x, 0 với

mọi xX Mà Ax x, 0 nên Ax x, 0, do đó A0 Tương tự ta cũng chứng minh được B0 Vậy A B 0

AB

Hơn nữa, nếu T là một toán tử tuyến tính liên tục giao hoán với các

 *

n

A nN thì T cũng giao hoán với A

Chứng minh Với mỗi  *

nN đặt C n  B A n thì C n là toán tử dương

và

1 2 3 n 0

C C C C  

  với mọi xX, suy ra dãy  A n n

hội tụ điểm đến toán tử tuyến tính liên tục A Mặt khác, ta có ánh xạ

Vậy B A Bây giờ giả sử T là một toán tử tuyến tính liên tục giao

hoán với mọi A n n( N*), khi đó với mọi x X ta có

Chứng minh Trước hết ta chứng minh hai điều nhận xét sau

1) Nếu A B là hai toán tử dương trong không gian Hilbert X và ,

ABBA thì

 *,

k k

A BBA k (2.2.4)

Từ đó suy ra rằng B giao hoán với mọi đa thức của A , tức là với mọi toán tử có dạng a I0 a A1   a A m m, a i .

Chứng minh Ta sẽ chứng minh (2.2.4) bằng phương pháp quy nạp

Với k 1 theo giả thiết thì (2.2.4) đúng

Giả sử (2.2.4) đúng tới k n tức A B n BA n Khi đó

C x x  Cx Cx  Cx  C Cx x  Cx x

( ) (2.2.5)

khi đó các toán tử A n n( 0,1, ) là các đa thức của A0  A Do đó A n

giao hoán với B Từ nhận xét 2) ta suy rằng toán tử A1 dương và A 1 Nên toán tử A2 cũng dương và A2 1 Giả sử toán tử A n dương và

Bất đẳng thức trên đúng với mọi n nên chuỗi

2 0

k k

Ax= lim

n k n

k

BA x A x

Vậy AB là một toán tử dương

Nhận xét 2.2.12 Tích của hai toán tử dương không nhất thiết là dương

Xét hai toán tử A B, : 2  2 được xác định như sau

A B biểu diễn của toán tử A B, là

Vậy theo Định lý 2.2.11 thì BA C 0 hay ACBC

Định lý 2.2.14 Cho A là một toán tử dương thỏa mãn I  A I với

Với mọi xX , do đó nếu Ax 0 thì x0 Vậy toán tử A là đơn ánh

Ta chứng minh  A đóng Xét dãy  y n n   A sao cho y≔lim n

n y

 Khi đó tồn tại  x n n  X , sao cho y n  Ax n Ta có

tại lim n

n x x X

   và vì A liên tục nên y Ax, do đó  A là một tập