Độ đo xác suất trên không gian hàm và không gian Hilbert

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ NỘI ———————————– NGUYỄN THẾ LÂM ĐỘ ĐO XÁC SUẤT TRÊN KHÔNG GIAN HÀM VÀ KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Đặng Hùng Thắng Hà Nội - 2013 i Mục lục Mục lục ii Độ đo xác suất không gian Metric 1.1 Tính quy 1.2 Giá độ đo 1.3 Tính chất Radon 1.4 Độ đo hoàn hảo 1.5 Liên hệ phiếm hàm tuyến tính độ đo 1.6 Tôpô yếu không gian độ đo 12 1.7 Sự hội tụ phân phối mẫu 19 Độ đo xác suất không gian Hilbert 21 2.1 Giới thiệu 21 2.2 Hàm đặc trưng tiêu chuẩn compact 21 2.3 Một ước lượng phương sai 30 2.4 Phân phối chia vô hạn 34 2.5 Tiêu chuẩn compact 40 2.6 Luật kết hợp 46 Độ đo xác suất C[0,1] 51 3.1 Giới thiệu 51 3.2 Các độ đo xác suất C [0, 1] 52 3.3 Một điều kiện cho tồn trình ngẫu nhiên với quỹ đạo C[0, 1] 55 3.4 Sự hội tụ tới chuyển động Brownian 56 3.5 Phân bố biến ngẫu nhiên liên hệ với chuyển động Brownian 60 Tài liệu tham khảo 65 ii Lời mở đầu Độ đo xác suất không gian metric lĩnh vực quan trọng xác suất thống kê Để giúp độc giả hiểu rõ độ đo, tính chất độ đo, vai trò độ đo mối liên hệ độ đo với lĩnh vực toán học khác, tơi hồn thành luận văn Luận văn chia thành chương với phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo phụ lục Chương 1: Trình bày độ đo xác suất khơng gian metric Chương 2: Trình bày độ đo xác suất khơng gian Hilbert Chương 3: Trình bày độ đo xác suất C[0,1] Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học GS.TSKH.Đặng Hùng Thắng thuộc khoa Toán - Cơ - Tin trường Đại học Khoa học Tự nhiên ĐHQGHN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy giúp đỡ khoa học mà thầy dành cho tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Nhân dịp này, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy phản biện, người đọc đóng góp ý kiến cho tơi để luận văn hồn thiện Qua xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà nội tận tình giảng dạy, cung cấp kiến thức để ngày hồn thiện chun mơn Cuối tơi xin gửi lời c�ng minh Cho xnk = x k n −x k−1 n (n) x(n) (t) = (−1)εnk xnk xnk ,x1 (t) = k≤nt k≤nt 61 , (n) (n) Ở εnk = Sup x1 (j/n) /a ≤ εnk = Sup x1 (j/n) /a > j≤k−1 j≤k−1 Khi biến ngẫu nhiên (−1) εnk xnk độc lập phân phối Điều xnk độc lập với εnk , xn1 , , xnk−1 Bởi xnk −xnk phân phối suy (−1)εnk xnk có phân phối chuẩn với trung bình phương sai n1 Do (n) phân phối hữu hạn chiều trình x(n) (t) x1 (t) trùng Bởi (n) hàm x(n) (t) x1 (t) hội tụ tới x (t) (Ta x) (t) với xác suất n → ∞, suy W = WT−1 a Định lý 5.1 Cho a>0, W x : max x (t) > a, x (T ) ∈ [c, d] 0≤t≤T max[d,a] =√ 2πT max[2a−c,a] −u2 2T exp du + √ 2πT max[c,a] exp −u2 2T du max[2a−d,a] Chứng minh Bởi W {x :x (T ) = a} = 0, W x : max x (t) > a, x (T ) ∈ [c, d] = W {x : x (T ) ∈ [c, d] ∩ [a, ∞)} 0≤t≤T +W x : max x (t) > a, x (T ) ∈ [c, d] ∩ (−∞, a] (5.1) 0≤t≤T Cho Ta phép biến đổi xác định bổ đề 5.2 Bởi theo chứng minh bổ đề 5.1, W x : max x (t) = a 0≤t≤T = 0, theo bổ đề 5.2 ta có W x : max x (t) > a, x (T ) ∈ [c, d] ∩ (−∞, a] 0≤t≤T = W x : max (Ta x) (t) > a, (Ta x) (T ) ∈ [c, d] ∩ (−∞, a] 0≤t≤T = W x : max x (t) ≥ a, x (T ) ∈ [2a − d, 2a − c] ∩ (a, ∞] 0≤t≤T Nhưng biến cố {x (T ) ∈ [2a − d, 2a − c] ∩ (a, ∞]} bao hàm biến cố Do W x : max x (t) > a,x (T ) ∈ [c, d] ∩ [−∞, a) 0≤t≤T 62 max x (t) ≥ a 0≤t≤T max[2a−c,a] =√ 2πT e −u2 2T du (5.2) max[2a−d,a] Hơn W {x :x (T ) ∈ [c, d] ∩ [a, ∞)} max[d,a] √ = exp 2πT −u2 2T du (5.3) max[c,a] Các phương trình (5.1)-(5.3) hồn thành chứng minh định lí Trong định lí trên, lấy [c, d] = (−∞, +∞) ta Hệ 5.1 Với a>0 ∞ W x : max x (t) > a 0≤t≤T =√ 2πT 63 exp a −u2 2T du KẾT LUẬN Nội dung trình bày luận văn kiến thức bổ ích độ đo xác suất không gian hàm không gian Hilbert Mỗi chương có định nghĩa, định lý chứng minh chặt chẽ Những độc giả học cao học toán chuyên ngành ”lý thuyết xác suất thống kê tốn học” hồn tồn đọc hiểu luận văn Mặt khác tài liệu tham khảo tốt cho muốn nghiên cứu sâu lĩnh vực xác suất thống kê Do thời gian có hạn nên nội dung trình bày luận văn cịn mang tính chất khái quát Vì bạn đọc muốn tìm hiểu sâu luận văn tham khảo thêm tài liệu trích cuối khóa luận này, bạn nghiên cứu thêm phần ”Độ đo xác suất D[0, 1]”(chương VII), ”Độ đo xác suất nhóm metric (chương III)” [5] 64 Tài liệu tham khảo [1] Đặng Hùng Thắng (1998), Mở đầu lý thuyết xác suất ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục [2] Đặng Hùng Thắng (2006), Quá trình ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm , Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [4] Nguyễn Duy Tiến (2005), Các mơ hình xác suất ứng dụng, phần III Giải tích ngẫu nhiên , Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [5] K.R PARTHASARATHY, ”Probability measures on metric spaces”, Ams Chelsea Publishing, American Mathematical Society Providence, Rhode Island 65 PHỤ LỤC Định lý Cho X không gian Metric, A, B tập đóng rời X Khi tồn hàm liên tục f (x) X thỏa mãn: 1) 2) Nếu ≤ f (x) ≤ 0,x ∈ A f (x) = 1,x ∈ B inf d (x, y) = δ > hàm f chọn liên tục x∈A,y∈B Định lý Hàm d (x, A) thỏa mãn bất đẳng thức |d (x, A) − d (y, A)| ≤ d (x, y) Đặc biệt d (x, A) liên tục Định lý Hàm ϕ xác định Y hàm đặc trưng độ đo µ ∈ M (X) ⇔ điều kiện sau (1) ϕ (e) = 1; (2) ϕ liên tục (3) ϕ xác định dương 66 ... tham khảo phụ lục Chương 1: Trình bày độ đo xác suất khơng gian metric Chương 2: Trình bày độ đo xác suất không gian Hilbert Chương 3: Trình bày độ đo xác suất C[0,1] Luận văn hoàn thành hướng... Liên hệ phiếm hàm tuyến tính độ đo 1.6 Tôpô yếu không gian độ đo 12 1.7 Sự hội tụ phân phối mẫu 19 Độ đo xác suất không gian Hilbert 21 2.1... đo xác suất không gian metric lĩnh vực quan trọng xác suất thống kê Để giúp độc giả hiểu rõ độ đo, tính chất độ đo, vai trò độ đo mối liên hệ độ đo với lĩnh vực tốn học khác, tơi hồn thành luận