Định nghĩa 4.1. Một phõn phối àđược gọi là chia vụ hạn nếu với mỗi n cú phần tử xn ∈X và λn ∈M(X) sao cho à=λnn∗xn.
Định lý 4.1. Các phân phối chia vô hạn tạo thành một nửa nhóm con đóng trong M(X).
Định lý 4.2. Nếuà là một phõn phối chia vụ hạn thỡ hàm đặc trưng của nú àˆ(y) không triệt tiêu tại mọi y∈X.
Với mỗi độ đo hữu hạn F, phân phối chia vô hạn e(F) được xác định như sau:
e(F) = e−F(X)
1 +F +F2
2! +...+ Fn n! +...
Ở đó 1 là độ đo tập trung tại gốc.
Định lý 4.3. Cho àn =e(Fn). Để àn là compact dịch chuyển điều kiện cần là:
i) Với mỗi lân cận N của gốc, Fn hạn chế tới N’ là compact yếu có điều kiện, ii) Sup
n
R [1−cos (x,y)]dFn <∞, với mỗi y ∈X.
Định lý 4.4. Cho àn∈ M(X), à∈M(X) và àn ⇒à khi n → ∞. Khi đú àˆn(y) hội tụ đều đến àˆ(y) trờn mỗi hỡnh cầu bị chặn.
Định lý 4.5. Cho àn ∈M(X) là compact dịch chuyển và àˆn(y)→àˆ(y)đều trờn cỏc hỡnh cầu bị chặn. Khi đú àn⇒à.
Chứng minh. Bởi vỡàn là compact dịch chuyển, ta cú thể chọnxn trong X sao cho àn∗xn là compact. Ta sẽ chứng minh rằng dóy xn là compact cú điều kiện. Nếu điều này không đúng, ta có thể chọn một dãy con mà ta vẫn ký hiệu là xn và dãy này không có dãy con hội tụ.
Bởi vỡàn∗xn là compact cú điều kiện nờn nú cú một dóy conànj∗xnj hội tụ yếu.
Do đúàˆnj(y) exp
i xnj, y
cũng nhưàˆnj(y)hội tụ đều trờn cỏc hỡnh cầu bị chặn.
Từ tớnh compact của |àn|2 suy ra tồn tại một hỡnh cầu S sao cho inf
n |àˆn(y)|2 ≥ ε >0,∀y∈S suy ra ei(xnj,y) hội tụ đều trên S và do đó xnj hội tụ theo chuẩn.
Bổ đề 4.1. Cho f(y) là một hàm không âm trên X sao cho f(2y) ≤ 4f(y) với mọi y ∈X. Nếu f(y)≤ ε khi (Sy, y) ≤δ, ở đó ε và δ là các hằng số dương và S là một S-toán tử thì
f(y)≤(S1y, y) +ε Với mọi y∈X, S1 = 4εδ−1S.
Chứng minh. ĐặtS0 =εδ−1S. Khi đóf(y)≤ε với (S0y, y)≤ε. Bây giờ ta giả sử (S0y, y)≤4nε, ở đó n là một số nguyên dương.
Nếuyn= 2−ny, ta có:
(S0yn, yn) = 4−n(S0y, y)≤ε.
Bởi vì f(2y)≤4f(y), nên f(y)≤f(2nyn)≤4nf(yn)≤4nε.
Do đóf(y)≤4nε nếu (S0y, y)≤4nε (4.1) Với mọi số nguyên không âm n.
Bây giờ cho y ∈ X và (S0y, y) = t. Giả sử t > ε. Khi đó tồn tại một số nguyên không âm n sao cho:
4nε < t≤4n+1ε.
Bởi vì (S0y, y)≤4n+1ε, theo (4.1) ta có
f(y)≤4n+1ε ≤4t = 4 (S0y, y). (4.2) Nếut < ε, từ định nghĩa của S0 ta có
f(y)≤ε. (4.3) Từ (4.2) và (4.3) ta có
f(y)≤max [ε,(4S0y, y)]
≤(S1y, y) +ε.
Bổ đề 4.2. Nếu a1, a2, ..., am là các số thực bất kỳ sao cho |aj| ≤1với 1≤j ≤m, khi đó
1−a1a2...am ≤
m
X
j=1
(1−aj).
Chứng minh. Giả sửa1, a2, ..., am dương. Nếu m = 1⇒ bất đẳng thức đúng.
Giả sử bất đẳng thức đúng với m=k.
Khi đó
1−a1a2...akak+1 = (1−a1a2...ak) + (a1...ak) (1−ak+1)
≤
k
X
j=1
(1−aj) + (1−ak+1)
=
k+1
X
j=1
(1−aj).
Do đó bất đẳng thức được chứng minh bằng quy nạp.
Bây giờ ta giả sử ít nhất một aj âm. Giả sử đó là ar. Khi đó 1−a1a2...am≤1 +|a1a2...am| ≤1 +|ar|
= 1−ar ≤
m
X
j=1
(1−aj).
Định lý 4.6. Cho Fn là một dãy các độ đo hữu hạn sao cho e(Fn)là compact dịch chuyển. Khi đó
Sup
n
Z
kxk≤1
kxk2dFn <∞.
Đặt K(x, y) =ei(x,y)−1−i(x, y)/ 1 +kxk2
(4.6)
Định lý 4.7. Cho àn =e(Fn) ở đú Fn là một dóy tăng cỏc độ đo với mỗi n. Giả sử àn∗xn ⇒ à với phần tử xn trong X được chọn một cỏch phự hợp. Khi đú Fn tăng tới một độ đo F cái mà có thể là σ- hữu hạn nhưng hữu hạn ở bên ngoài mỗi lân cận của gốc và
Z
kxk≤1
kxk2dF <∞.
Hơn nữa, àˆ(y) = exp
i (x0, y) +R
K(x, y)dF (x)
, Ở đó x0 là một phần tử cố định của X.
Chứng minh. Giả sửλn là dịch chuyển của àn bởi phần tử zn=−
Z x
1 +kxk2dFn Khi đó
λˆn(y) = exp Z
K(x, y)dFn(x)
.
Bây giờ ta sẽ chứng minh rằngλˆn(y) hội tụ đều trên các hình cầu bị chặn. Ta có:
Z
K(x, y)dFn = Z
kxk≤1
K(x, y)dFn+ Z
kxk>1
K(x, y)dFn (4.7)
Giả sử F là giới hạn của Fn. Theo định lí 4.3 và 4.6 suy ra F là hữu hạn ở bên ngoài mỗi lân cận của gốc và
Z
kxk≤1
kxk2dF <∞.
Bởi vì |K(x, y)| ≤2 + kxk kyk/1 +kxk2
≤2 +kyk
⇒ lim
n→∞Sup
y∈S
Z
kxk>1
K(x, y)dFn− Z
kxk>1
K(x, y)dF
= 0 (4.8)
với mọi hình cầu bị chặn S. Nói cách khác, nếukxk ≤1, thì
|K(x, y)| ≤
ei(x,y)−1−i(x, y)
+ |(x, y)| kxk2/1 +kxk2
≤c(x, y)2+|(x, y)| kxk2
≤ckxk2kyk2+kyk kxk2 Ở đó c là một hằng số tuyệt đối.
Bởi vì R
kxk≤1
kxk2dF hữu hạn
⇒ lim
n→∞Sup
y∈S
Z
kxk≤1
K(x, y)dFn− Z
kxk≤1
K(x, y)dF
= 0 (4.9)
Các phương trình (4.7) - (4.9) chỉ ra
⇒ lim
n→∞Sup
y∈S
λˆn(y)−λˆ(y) = 0 Ở đó ˆλ(y) = expR
K (x,y)dF .
Bởi vì λn là compact dịch chuyển, từ định lí 4.5 suy ra rằngλn⇒λ và là một dịch chuyển của λ.
Định lý 4.8. Cho ϕ(y) là một hàm có dạng ϕ(y) = exp
Z
K (x,y)dF(x)
Ở đó F là một độ đo σ - hữu hạn cái mà hữu hạn ở bên ngoài mỗi lân cận của gốc
và Z
kxk≤1
kxk2dF <∞.
Khi đú ϕ(y) là hàm đặc trưng của một phõn phối chia vụ hạn à.
Chứng minh. Cho Nn : ký hiệu hình cầu bán kính n1 bao quanh gốc và Fn là hạn chế của F trên Nn0. Khi đó Fn tăng tới F.
Giả sử àˆn(y) = expR
K (x,y)dFn .
Từ chứng minh của định lí 4.7 suy ra lim
n→∞Sup
y∈S
|àˆn(y)−ϕ(y)| = 0 với mỗi hỡnh cầu bị chặn S. Theo định lớ 4.1 và 4.5, thật là đủ để chỉ ra rằngàn là compact dịch chuyển hoặcλn=|àn|2 là compact.
Đặt Mn=Fn+ ˜Fn. Khi đó
λn=|àn|2 =|e(Fn)|2 =e(Mn).
Bởi vỡ Fn tăng tới F ⇒àn tăng tới M =F + ˜F. Khụng mất tớnh tổng quỏt, ta cú thể giả sử rằng F và do đó M triệt tiêu ở bên ngoài hình cầu kxk ≤1.
Khi đó
1−ˆλn(y) = 1−exp Z
[cos (x,y)−1]dàn
= 1−exp
− Z
[1−cos (x,y)]dàn
≤ Z
[1−cos (x,y)]dàn≤ Z
(1−cos (x,y))dM
≤ 1 2
Z
kxk≤1
(x, y)2dM = 1
2(S0y, y). Bởi vì R
kxk≤1
kxk2dM = 2 R
kxk≤1
kxk2dF <∞
Suy ra S0 là một S - toán tử cố định không phụ thuộc vào n. Theo định lí 2.3 suy raλn là compact có điều kiện.
Định nghĩa 4.2. Một phõn phối à được gọi là Gausian nếu nú cú cỏc tớnh chất sau:
i) àlà chia vụ hạn
ii) Nếu à=e(F)∗α, ở đú α là chia vụ hạn thỡ F suy biến tại gốc.
Định lý 4.9. Một phõn phối à trờn X là Gaussian ⇔àˆ(y) cú dạng:
ˆ
à(y) = exp
i (x0, y)− 1
2(Sy, y)
. Ở đó x0 là một phần tử cố định và S là một S-toán tử.
Định lý 4.10. Một hàm ϕ(y)là hàm đặc trưng của một phõn phối chia vụ hạn à trên X khi và chỉ khi nó có dạng
ϕ(y) = exp
i (x0, y)− 1
2(Sy, y) + Z
K(x, y)dM(x)
(4.10)
Ở đó x0 là một phần tử cố định của X, S là một S - Toán tử và M là một độ đo σ - hữu hạn và hữu hạn ở bên ngoài mỗi lân cận của gốc và R
kxk≤1
kxk2dM(x)<∞.
Ở đây K(x, y) là hàm
ei(x,y)−1− i(x, y)/1 +kxk2
. Biểu diễn (4.10) là duy nhất.