Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 43 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
43
Dung lượng
294,27 KB
Nội dung
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Trương Thị Ngọc Mai ĐỐINGẪUTRONGMỘTSỐKHƠNGGIANHÀM KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội - Năm 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Trương Thị Ngọc Mai ĐỐINGẪUTRONGMỘTSỐKHƠNGGIANHÀM Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã sinh viên: 145D1402090089 KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS BÙI KIÊN CƯỜNG Hà Nội - Năm 2018 LỜI CẢM ƠN Trong q trình nghiên cứu thực khóa luận, với cố gắng thân hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình thầy giáo bạn sinh viên, em hoàn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy cơng tác Khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội thầy cô trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho em kiến thức quý báu chuyên môn kinh nghiệm nghiên cứu thời gian vừa qua Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người tận tình giúp đỡ, bảo cung cấp cho em kiến thức tảng để em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cám ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2018 Sinh viên Trương Thị Ngọc Mai LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan hướng dẫn thầy giáo Bùi Kiên Cường khóa luận em hồn thành khơng trùng với đề tài khác Trong thực đề tài em sử dụng tham khảo thành tựu nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2018 Sinh Viên Trương Thị Ngọc Mai ii Mục lục MỞ ĐẦU 1 Đốingẫukhônggian Hilbert 1.1 Khơnggian tích vơ hướng 1.2 Khônggian Hilbert 1.2.1 Mộtsố ví dụ 1.3 Phiếm hàm tuyến tính khơnggian Hilbert 1.4 Đốingẫukhônggian Hilbert 11 Đốingẫukhônggian định chuẩn 2.1 13 Khônggian định chuẩn, khônggian Banach 13 2.1.1 Khônggian định chuẩn 13 2.1.2 Khônggian Banach 14 2.2 Phiếm hàm tuyến tính khônggian định chuẩn 14 2.3 Khônggianđốingẫu 15 2.3.1 Khônggianđốingẫu thứ hai 18 Định lý Hahn-Banach 19 2.4.1 19 Đốingẫusốkhônggian Banach 26 Đốingẫu Rn 26 2.4 2.5 2.5.1 Định lý Hahn-Banach thực phức i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Ngọc Mai p (1 ≤ p < ∞) 2.5.2 Đốingẫu 27 2.5.3 Khônggianđốingẫu Lp (1 ≤ p < ∞) 31 2.5.4 Đốingẫu C [a, b] 33 KẾT LUẬN 36 Tài liệu tham khảo 37 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Ngọc Mai LỜI MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Cho X khônggian định chuẩn Khônggianđốingẫu X, ký hiệu X ∗ tập hợp tất phiếm hàm tuyến tính liên tục X Với phép toán cộng phiếm hàm nhân phiếm hàm với vô hướng X ∗ khônggian vectơ Hơn nữa, với phần tử f thuộc X ∗ , công thức f = sup |f (x)| f = x∈X, x =1 sup |f (x)| x∈X, x =1 làm X ∗ trở thành khônggian định chuẩn đầy đủ, tức khônggian Banach Mối liên hệ X X ∗ không rõ ràng lắm, trừ trường hợp X khơnggian định chuẩn có số chiều hữu hạn X khônggian Hilbert Để nghiên cứu sâu thêm khônggianđốingẫu lớp khônggianhàm khác nhau, với niềm say mê thân giúp đỡ tận tình thầy Bùi Kiên Cường, em thực khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Đối ngẫusốkhơnggianhàm ” Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Ngọc Mai Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu đốingẫukhônggian Hilbert sốkhônggian Banach Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý thuyết - Phương pháp giải tích hàmĐối tượng phạm vi nghiên cứu Đốingẫukhônggian Hilbert tổng quát sốkhơnggian Banach cụ thể Cấu trúc khóa luận Bài khóa luận gồm chương: Chương : Đốingẫukhônggian Hilbert Chương : Đốingẫukhônggian Banach Do làm quen với việc nghiên cứu khoa học nên vấn đề trình bày khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận nhiều ý kiến đóng góp thầy bạn đọc, để đề tài hoàn thiện Chương Đốingẫukhônggian Hilbert 1.1 Khônggian tích vơ hướng Định nghĩa 1.1 Cho khơnggian véc tơ X trường P (P trường số thực R trường số phức C) Tích vơ hướng X ánh xạ từ tích Descartes X × X vào trường P, kí hiệu (·, ·) thỏa mãn tiên đề: (∀x, y ∈ X)(y, x) = (x, y); (∀x, y, z ∈ X)(x + y, z) = (x, z) + (y, z); (∀x, y ∈ X)(∀α ∈ P)(αx, y) = α(x, y); (∀x ∈ X)(x, x) > 0, x = θ (θ ký hiệu phần tử không), (x, x) = 0, x = Số (x, y) gọi tích vơ hướng hai véc tơ x y Khơnggian X với tích vơ hướng gọi khơnggian tích vơ hướng hay khơnggian tiền Hilbert Ví dụ 1.1.1 Cho Rk khônggian véc tơ thực k chiều ∀x, y ∈ Rk : Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Ngọc Mai x = (x1 , x2 , xk ) y = (y1 , y2 , yk ) n Đặt x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xj yj (1.1) j=1 Thì Rk với hệ thức thỏa mãn tiên đề tích vơ hướng Thật vậy: Kiểm tra tiên đề tích vơ hướng ∀x = (x1 , x2 , xk ) ∈ Rk , ∀y = (y1 , y2 , yk ) ∈ Rk Ta có (y, x) = k j=1 yj xj = (x, y) Vậy tiên đề thỏa mãn ∀x = (x1 , x2 , xk ) ∈ Rk , ∀y = (y1 , y2 , yk ) ∈ Rk ∀z = (z1 , z2 , , zk ) ∈ Rk Ta có (x + y, z) = (x1 , x2 , , xk ) , (z1 , z2 , , zk ) + (y1 , y2 , , yk ) , (z1 , z2 , , zk ) Suy (x + y, z) = k j=1 xj zj + k j=1 yj zj Suy (x + y, z) = (x, z) + (y, z) Vậy tiên đề thỏa mãn ∀x = (x1 , x2 , xk ) ∈ Rk , ∀y = (y1 , y2 , yk ) ∈ Rk , ∀α ∈ R Ta có (αx, y) = (α (x1 , x2 , , xk ) , (y1 , y2 , , yk )) = α (x1 , x2 , ,k ) , (y1 , y2 , , yk ) Suy (αx, y) = α k j=1 xj yj Suy (αx, y) = α (x, y) Vậy tiên đề thoản mãn ∀x = (x1 , x2 , xk ) ∈ Rk , ta có: Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Ngọc Mai (ii) Nếu khônggian định chuẩn E phản xạ, E phải khơnggian Banach (vì khônggianđốingẫu đầy đủ) Định lý 2.6 Nếu E khônggian định chuẩn M ⊂ E khơnggian đóng x0 ∈ E, x0 ∈ / M , tồn tai α ∈ E ∗ với α(x0 ) = α(x) = với x ∈ M Chứng minh Cho d = dist(x0 , M ) = inf{ x − x0 : x ∈ M } Từ M đóng x0 ∈ / M, d > Cho M1 = {x + λx0 : x ∈ M, λ ∈ K} xác định hàm tuyến tính M1 cho α : M1 → K α(x + λx0 ) = λ Ta thấy (λ = 0) x + λx0 = |λ| x + x0 ≥ |λ|d λ |α(x + λx0 )| = |λ| ≤ x + λx0 d (đúng với x + λx0 ∈ M1 , λ = 0) Tức α hàm tuyến tính liên tục M1 , α ∈ M1∗ Theo định lý Hahn-Banach, ta mở rộng α tới phần tử E ∗ với tính chất cần 23 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Ngọc Mai thiết Hệ 2.5 ( ∞ ∗ ) = Cụ thể hơn, đồng ( ∞ ∗ Chứng minh Ta biết (c0 )∗ = ∞ c0 = ) với , c0 khônggian đóng ∞ Cụ thể hơn, có ánh xạ T : → (c0 )∗ cho ∞ (T (b))(a) = ∞ (T ((bn )∞ n=1 ))((an )n=1 ) = an b n n=1 với b = (bn )∞ n=1 ∈ đẳng cự từ 1 , a = (an )∞ n=1 ∈ c0 Ánh xạ đẳng cấu đến (c0 )∗ Bởi đối s (s dng bt ng thc Hă olders) nh ó làm ví dụ 2.3 để biểu thị T tốn tử tuyến tính bị chặn, từ ta xác định T : tương tự Tương tự T (b) ( đến ( ( ∞ )∗ ∞ , ta biết = b Kết T không ∞ ∗ ) Theo định lý 2.6, tồn α ∈ ( ∞ ∗ ) , α = với α = c0 α đại diện phần tử lọc (bn )n ∈ → (l∞ )∗ công thức ≤ b Từ c0 ⊂ ∞ )∗ biến thức T thỏa mãn T (b) ánh xạ 1 nghĩa khơng có chọn , α((an )n ) = với (an )n ∈ an b n ∞ n Định lý 2.7 Nếu E khơnggian Banach vơ hạn chiều tồn 24 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Ngọc Mai ánh xạ tuyến tính khơng liên tục α : E → K Chứng minh Do E khơnggian vectơ trường K, phải có sở đại số (hoặc sở Hamel) Cho {ei : i ∈ I} sở gọi lại x ∈ E biểu thị (theo cách nhất) tổ hợp tuyến tính hữu hạn x = xi1 ei1 + xi2 ei2 + + xin ein phần tử sở Hoặc viết lại dạng xi ei x= i∈I xi = i = ij cho số j Xem xét phiếm hàm hệ số αi : E → K x → xi Khi đó, phép biến đổi tuyến tính αi (i ∈ I) phải không liên tục Thật vậy, αi liên tục, ta lấy dãy vô hạn (in )n phần tử phân biệt I Cho n xn = j=1 eij 2j eij Dễ thấy (xn ) dãy Cauchy E, tồn limn→∞ xn = 25 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Ngọc Mai x ∈ E Nếu αij liên tục 2j eij αij (x) = lim αij (xn ) = n khác không với vơ hạn ij Điều mâu thuẫn x= αi (x)ei i∈I tổng hữu hạn 2.5 2.5.1 Đốingẫusốkhônggian Banach Đốingẫu Rn Xét khônggian Rn với chuẩn Euclide cho phiếm hàm tuyến tính: n f (x) = αk xk , x = (x1 , , xn ) k=1 Từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, cho ta: n n |f (x)| = αk2 x αk x k ≤ k=1 k=1 Vì phiếm hàm f bị chặn đẳng thức đạt với x = (α1 , , αn ), ta có f = n k=1 αk Ngược lại, f ∈ (Rn )∗ , lấy vecto sở ei Với x = (x1 , , xn ) 26 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Ngọc Mai n k=1 xk ek viết x = vậy: n n αk x k xk f (ek ) = f (x) = k=1 k=1 với αk = f (ek ) Do đốingẫu Rn theo nghĩa, tất phiếm hàm tuyến tính bị chặn có dạng f (x) = f = 2.5.2 n k=1 αk xk , với n k=1 αk ĐốingẫuĐốingẫu p q p (1 ≤ p < ∞) , p1 + 1q = 1, có nghĩa phiếm hàm tuyến tính bị chặn p viết dạng: ∞ f (x) = αk xk với α = {αn } ∈ q f = α q k=1 Mệnh đề 2.3 Nếu E = lp ≤ p < ∞, khơnggianđốingẫu thỏa mãn 1 + =1 q p (lp )∗ = lq Chính xác hơn, lq đẳng cấu với (lp )∗ theo song ánh sau T : lq → (lp )∗ , 27 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Ngọc Mai với b = (bn )n ∈ lq T (b) : lp →K ∞ (an )n → an b n n=1 Chứng minh Điều ta thấy ánh xạ T có nghĩa Nếu ta cố định b = (bn )n ∈ lq bt ng thc Hăolder cho chỳng ta an bn ≤ a b p q n=1 với a = (an )n ∈ lp Điều cho thấy chuỗi (T (b))(a) ln hội tụ T (b) : lp → K hàmsố xác định Dễ thấy T (b) ánh xạ tuyến tính T bt ng thc Hăolder ta cú bt ng thc |T (b)(a)| ≤ a p b q Suy T (b) ánh xạ tuyến tính bị chặn T (b) có chuẩn b q Vì T (b) nằm khônggianđốingẫu lp T (b) (lp )∗ ≤ b q Tiếp theo, cần đẳng thức xảy bất đẳng thức Vì ta cần chứng minh T (b) (lp )∗ ≥ b q Nếu b = bất đẳng thức Vì thế, giả sử b = (tức có số n với bn = 0) Khi với < p < ∞, Nếu ta lấy an = |bn |q (bn )−1 (bằng bn = 0), a = (an )n ∈ lp p ∞ a p qp−p |bn | = q |bn | = n=1 (q − 1)p = q Vì T (b)(a) = p ∞ = b q p q n=1 ∞ n=1 an bn 28 = ∞ q n=1 |bn | = b qq Do Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Ngọc Mai b = T (b) (lp )∗ b |T (b)(a)| ≥ = a p b Từ đó, ta thấy T (b) = b (lp )∗ q q q q p = b q− pq q = b q q (trong trường hợp p > Nếu p = 1, lấy n0 với bn0 = đặt a = (an )∞ n=1 an = |bn | bn n |an | với n = n0 an = với n lại Vì a = = |an0 | = ∞ an bn = |an0 bn0 | = |bn0 | |T (b)(a)| = n=1 Vậy T (b) (lp )∗ ≥ |T (b)(a)| |bn0 | = = |bn0 | a 1 bất đẳng thức với cách chọn n0 mà bn0 = Do T (b) (l1 )∗ ≥ sup |bn0 | = sup |bn | = b n n0 ,bn0 =0 ∞ Điều đề cập tới trường hợp p = 1, q = ∞ Vì T ánh xạ bảo toàn chuẩn từ tập lq lên tập (lp )∗ Thực tế T ánh xạ tuyến tính (và phép đẳng cấu khônggian vecto (lp )∗ ) dễ dàng kiểm tra với b, b ∈ lq λ ∈ K, ta có T (λb + b) = λT (b) + T (b) (Áp dụng hai vế cho tùy ý a ∈ lq thấy đúng.) Lấy α ∈ (lp )∗ xác định b = (bn )n bn = α(en ) với en dãy (0, 0, · · · , 0, 1, 0, · · · ) dãy số ) trừ số vị trí thứ n Ta chứng minh b ∈ lq T (b) = α 29 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Ngọc Mai Chú ý với dãy a = (a1 , a2 , · · · , an , 0, 0, · · · ) với hữu hạn số khác 0, a ∈ lp a tổ hợp tuyến tính hữu hạn a = a1 e1 + a2 e2 + · · · + an en số ej Ta sử dụng α hai vế phương trình tính tuyến tính α để chứng minh α(a) = a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn Lấy aj = |bj |q (bj )−1 với j = 1, 2, · · · , n (và aj = với j > n) Ta tính cách dễ dàng p n a p |bj |q = j=1 n α(a) = n |bj |q aj b j = j=1 j−1 Vì α (lp )∗ ≥ |α(a)| = a p n q j=1 |bj | n q j=1 |bj | 1− p1 n p |bj |q = q n |bj |q = j=1 j=1 (đến có số bj = với ≤ j ≤ n) Nếu ta cho n → ∞ bất đẳng thức, ta tìm b ∈ lq (tức b Khi p = ta có en q ≤ α (lp )∗ = |bn | = |α(en )| ≤ α (l1 )∗ 30 en = α (l1 )∗ p > 1) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Do b q = b ∞ Trương Thị Ngọc Mai = supn |bn | ≤ α (l1 )∗ b ∈ lq xẩy trường hợp p = Vì ta nói T (b) ∈ (lp )∗ dễ dàng chứng minh T (b)(en ) = bn = α(en ) Theo tính tuyến tính dãy hữu hạn số khác a = n j=1 aj ej ∈ lp ta có T (b)(a) = α(a) Cuối cùng, dãy hữu hạn số khác phủ kín lp x = (xn )n ∈ lp rõ ràng p ∞ x − (x1 , x2 , · · · , xn , 0, 0, · · · ) p |xj |p = → n → j=n+1 Vì T (b) α liên tục lp tập dày, phải T (b) = α 2.5.3 Khônggianđốingẫu Lp (1 ≤ p < ∞) Giả sử ≤ p < ∞ q số mũ liên hợp p, tức 1/p+1/q = 1, Bt ng thc Hăolder cho thy mi hm g ∈ Lq tạo nên phiếm hàm tuyến tính bị chặn Lp l(f ) = f (x)g(x)dµ(x) (2.1) X f ≤ g Lq Do đó, liên kết g với l ta thấy Lq ⊂ (Lp )∗ ≤ p < ∞ Kết phần để chứng minh ≤ p < ∞, phiếm hàm tuyến tính Lp dạng (2.1) với g ∈ Lq Điều nói (Lp )∗ = Lq ≤ p < ∞ Kết không trường hợp p = ∞; đối 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Ngọc Mai ngẫu L∞ chứa L1 Định lý 2.8 Giả sử ≤ p < ∞, 1/p + 1/q = Thì với B = Lp ta có B ∗ = Lq theo nghĩa với phiếm hàm tuyến tính bị chặn l Lp tồn g ∈ Lq cho l(f ) = f (x)g(x)dµ(x), X f ∈ Lp Hơn nữa, l B∗ = g Lq Để chứng minh Định lý này, ta cần Bổ đề sau: Bổ đề 2.1 Giả sử ≤ p, q ≤ ∞ số mũ liên hợp i) Nếu g ∈ Lq , g Lq = sup | f f g| Lp ≤1 ii) Giả sử g khả tích tập độ đo hữu hạn, sup | f Khi g ∈ Lq g f g| = M < ∞ Lp ≤1 Lq = M Chứng minh Sau ta trình bày chứng minh cho trường hợp khơnggian có độ đo hữu hạn Trong trường hợp này, với l phiếm hàm cho Lp , định nghĩa tập hợp hàm ν ν(E) = l( χE ), E tập độ đo Định nghĩa có nghĩa χE tự động thuộc Lp khơnggian có độ đo hữu hạn Ta quan sát thấy |ν(E)| ≤ c(µ(E))1/p , 32 (2.2) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Ngọc Mai c chuẩn phiếm hàm tuyến tính, phải ý đến việc χE Lp = (µ(E))1/p Bây tính chất tuyến tính l suy hàm ν hữu hạn cộng tính Ngồi {En } đếm tính tập đo rời nhau, ta đặt ∗ ∞ E = ∪∞ n=1 En , En = ∪n=N +1 En hiển nhiên N χEN χE = χEN∗ + n=1 N Do ν(E) = ν(EN∗ ) + ν(En ) Tuy nhiên ν(En∗ ) → N → ∞, n=1 (2.2) giả định p < ∞ Điều cho thấy ν cộng tính đếm được, ngồi (2.2) cho thấy ν liên tục tuyệt đối µ Định lí Lebesgue - Radon - Nykodim then chốt độ đo liên tục tuyệt đối, đảm bảo hữu hàm khả tích g cho ν(E) = gdµ tập hợp E đo Do có l(χE ) = X χE gdµ Mở rộng phép biểu diễn l(f ) = f gdµ để hàm f đơn giản, đoạn đến giới hạn, với f ∈ Lp , từ hàm đơn giản trù mật Lp , ≤ p < ∞ Cũng từ Bổ đề ta suy g 2.5.4 Lq = l Đốingẫu C [a, b] Định nghĩa 2.8 Hàm x : [a, b] → R gọi có biến phân bị chặn đoạn [a, b] có K > cho với phân hoạch đoạn 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Ngọc Mai [a, b] (có nghĩa tập hữu hạn (t1 , , tn ) cho a = t0 < t1 , < < tn = b) n |x(ti ) − x(ti−1 )| ≤ K i=1 BV [a, b] khônggian định chuẩn tất x : [a, b] → R có biến phân bị chặn, với chuẩn x = |x(a)| + T V (x), với T V := sup n i=1 |x(ti ) − x(ti−1 )|, cận tất phân hoạch [a, b] Hệ Định lí Hahn-Banach đốingẫu C [a, b] BV [a, b] Định lý 2.9 (Định lí biểu diễn Riesz) Cho f ∈ C [a, b]∗ , tồn v ∈ BV [a, b] cho b f (x) = x(t)dv(t), x ∈ C [a, b] (2.3) a f = T V (v) Đảo lại, v ∈ BV [a, b] xác định hàm f ∈ C [a, b]∗ cho công thức (2.3) Chứng minh Cho f ∈ C [a, b]∗ , cần xác định hàm v ∈ BV [a, b] cho f (x) = b a x(t)dv(t) Ý tưởng tự nhiên tập x = us (s ∈ [a, b]), us (t) = 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Ngọc Mai với t ∈ [a, b], b f (us ) = s dv(t) = v(s) − v(a) us (t)dv(t) = a a đặt v(a) = v(s) = f (us ), us ∈ / C [a, b] Tuy nhiên, us thuộc khônggian B phiếm hàm bị chặn [a, b], C [a, b] ⊆ B, Hahn-Banach, có mở rộng F f từ C [a, b] đến B, chuẩn bảo tồn Nó cho phép xác đinh v(s) = F (us ) Phần lại, khơng khó để với v ∈ BV [a, b], b f (x) = x(t)dv(t), f = T V (v) a Nhận xét 2.2 Định lí biểu diễn Riesz không cung cấp v ∈ BV [a, b], có nghĩa f (x) = x(1/2) biểu diễn v(t) = α ≤ t < 1/2 t = 1/2 1/2 < t ≤ Trong α số Để tránh điều này, định nghĩa Định nghĩa 2.9 N BV [a, b] ⊂ BV [a, b] Khônggian định chuẩn phiếm hàm biến phân bị chặn v ∈ BV [a, b] cho v(a) = liên tục phải (a, b) Do v = T V (v), N BV [a, b] đốingẫu C [a, b] 35 KẾT LUẬN Trên toàn khóa luận tốt nghiệp:"Đối ngẫusốkhơnggian hàm" em thực Khóa luận giúp em trau dồi thêm kiến thức toán học, bước đầu hình thành tư việc nghiên cứu khoa học Tuy nhiên thời gian có hạn vốn kiến thức hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn sinh viên để khóa luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! 36 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học kĩ thuật, Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2004),Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [3] Elias M Stein, Rami Shakarchi (2011), Functional Analysis: Introduction to Further Topics in Analysis, Princeton Lectures in Analysis, Part IV [4] A N Kolmogorov, S V Fomin (1957), Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis, Graylock Press, Rochester, New York 37 ... hướng, H làm thành không gian Banach Ta gọi không gian không gian Hilbert, không gian tuyến tính đóng Ta gọi khơng gian tuyến tính đóng khơng gian Hilbert H không gian Hilbert không gian H Khóa luận... Như vậy, không gian Hilbert tự đối ngẫu 12 Chương Đối ngẫu không gian định chuẩn 2.1 2.1.1 Không gian định chuẩn, không gian Banach Không gian định chuẩn Định nghĩa 2.1 Ta gọi không gian định... 11 Đối ngẫu không gian định chuẩn 2.1 13 Không gian định chuẩn, không gian Banach 13 2.1.1 Không gian định chuẩn 13 2.1.2 Không gian Banach 14 2.2 Phiếm hàm