Tính đóng và tính đầy đủ trong một số không gian hàm

1 LỜI CẢM ƠN Trước tiên tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 và trường Cao đẳng Nghề Bắc Giang cùng toàn thể các thầy cô, cán bộ công nhân viên đang công tác và giảng dạy tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 và trường Cao đẳng Nghề Bắc Giang đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới T.S Nguyễn Văn Khải – người thầy đã hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tôi an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn. Hà Nội, tháng 6 năm 2012 Học viên Thân Thị Thanh 2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của T.S Nguyễn Văn Khải. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2012 Học viên Thân Thị Thanh 3 Mục lục 4 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Trong giải tích toán học và trong toán học tính toán, nhiều trường hợp ta không thể tính đúng được phân tử x trong không gian X (thường thì X là không gian véc tơ vô hạn chiều có trang bị chuẩn hoặc là tích vô hướng). Khi đó người ta sẽ tìm cách tính gần đúng x và một trong những cách đó được mô tả như sau: Bước 1: Chọn một hệ véc tơ   , i x i  trong X . Bước 2: Khai triển hình thức x theo hệ   , i x i  dưới dạng x 0 i i i x      (1) Bước 3: Lấy 0 N  đủ lớn và đặt x 0 0 N i i i x     (2) Ta coi x ở (2) là gần đúng của x X và 0 i i i N x    là sai số của x so với x . Nếu hệ véc tơ   , i x i  chọn ở trên “đủ tốt” thì sai số nêu trên đủ nhỏ khi 0 N đủ lớn. Để chính xác các khái niệm nêu trên, tôi đã chọn nghiên cứu và làm rõ các khái niệm về tính đóng và đầy đủ (các véc tơ) và mối quan hệ của chúng trong không gian X . 2. Mục đích nghiên cứu Làm rõ khái niệm về tính đóng, tính đầy đủ (hai khái niệm nền tảng trong tính toán của giải tích) và sự liên hệ giữa hai khái niệm này. Luận văn cũng nghiên cứu tính đóng, tính đầy đủ một số hệ véc tơ đặc biệt trong   2 ,L a b hoặc   0,1 C . 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 5 Nhiệm vụ chính: Nghiên cứu khái niệm tính đóng, tính đầy đủ của một hệ véc tơ trong không gian tuyến tính định chuẩn, không gian tiền Hilbert. Nghiên cứu mối liên hệ giữa các khái niệm này. Nghiên cứu một số trường hợp cụ thể. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là hai khái niệm: Tính đóng, tính đầy đủ trong những không gian giải tích hàm trừu tượng. Phạm vi nghiên cứu: Các không gian tuyến tính định chuẩn, không gian tiền Hilbert và các trường hợp cụ thể   2 ,L a b ,   0,1 C . 5. Phương pháp nghiên cứu Dịch và đọc tài liệu. Phân tích tổng hợp và trình bày lại các khái niệm đóng và đầy đủ theo phương pháp giải tích hàm. 6. Dự kiến đóng góp của đề tài Trình bày một cách hệ thống vấn đề tính đóng và tính đầy đủ. Trình bày mối quan hệ về tính đóng và tính đầy đủ. 6 Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị Trước khi nghiên cứu về tính đóng và tính đầy đủ, chúng ta cùng nhắc lại một số kiến thức cơ sở. 1.1. Không gian tuyến tính định chuẩn Ta nhắc lại một số khái niệm về không gian metric Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập khác rỗng. Hàm d: X x X   được gọi là một khoảng cách (hay metric) nếu các tính chất sau đây được thỏa mãn: 1,   , x y X  ( , )d x y 0, ( , ) 0 d x y x y    ; 2, ( ,x y X  ) ( , ) ( , )d x y d y x ; 3, ( , ,x y z X  ) ( , ) ( , ) ( , )d x y d x z d z y  (bất đẳng thức tam giác). Tập X với hàm khoảng cách d xác định như trên được gọi là không gian metric. Định nghĩa 1.1.2. Cho X là không gian metric với hàm khoảng cách ( , )d x y . Nếu 0 ,x X tập U( 0, x r ) bao gồm tất cả các phần tử x X thỏa mãn   0 , d x x r được gọi là một hình cầu mở tâm 0 x bán kính r . Một phần tử x S (S là tập mở) được gọi là phần tử trong của S nếu có một 0r  sao cho U( ,x r ) S . Định nghĩa 1.1.3. Dãy điểm   n x trong không gian metric X được gọi là hội tụ tới phần tử x X nếu lim ( , ) 0 n n d x x   . Khi đó ta nói x là giới hạn của dãy   n x và viết lim n n x x   . 7 Nhận xét: Một dãy hội tụ thì không thể hội tụ tới hai phần tử khác nhau. Thật vậy, giả sử lim ( , ) 0 n n d x x   và lim ( , ) 0 n n d y x   , theo bất đẳng thức tam giác ta có 0 ( , ) ( , ) ( , ) n n d x y d x x d y x   với n   ta được ( , ) 0d x y  do đó x y . Định nghĩa 1.1.4. Một dãy các phần tử   n x của X được gọi là dãy Cauchy (cơ bản) nếu 0, ( ) : N      ( , ) m n d x x   , ( )m n N    hay , lim ( , ) 0 m n m n d x x   . Không gian X là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều có giới hạn trong X . Định nghĩa 1.1.5. Cho X là một tập khác rỗng, X được gọi là không gian tuyến tính trên trường K (thực hay phức) nếu trên X tồn tại hai ánh xạ sau đây mà chúng được gọi lần lượt là phép cộng và phép nhân với một lượng vô hướng ( , ) ( ) X X X x y x y     và ( , ) . K X X x x      sao cho: 1, , ; 2, ( ) ( ) , , ; 3, 0 : 0 ; 4, ( ) : ( ) 0; 5, ( ). ( . ) , , ; 6, ( ). . . , , ; 7, .( ) . . , , ; 8, 1. . x y y x x y X x y z x y z x y z X X x x x X x X x X x x x x K x X x x x K x X x y x y K x y X x x x X                                                                Định nghĩa 1.1.6. Cho không gian tuyến tính X trên trường K (K=  , K=  ). Xét ánh xạ từ X vào tập số thực  , ký hiệu là . thỏa mãn các tiên đề sau đây: 1, ( x X  ) 0, 0x x x      ; 2, ( x X  ) ( K    ), x x    ; 8 3, ( ,x y X  ) x y x y   . Khi đó ánh xạ . được gọi là chuẩn xác định trên X. Không gian tuyến tính X cùng với chuẩn xác định như trên được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn. Nếu K   thì X được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn thực. Với ,x y thuộc không gian tuyến tính định chuẩn X đặt ( , ) d x y x y  . Ta thấy rằng hàm d: XxX   là hàm khoảng cách và ta nói đó là metric cảm sinh bởi chuẩn. Định nghĩa 1.1.7. Nếu trong không gian tuyến tính định chuẩn X mọi dãy Cauchy có giới hạn thuộc X thì X là đầy đủ. Không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach. Ví dụ 1.1.1: Không gian Euclide phức n  là đầy đủ. Do đó nó là không gian Banach. Thật vậy, lấy ( ) ( ) ( ) 1 2 ( , , , ). m m m m n x x x x Nếu   m x là dãy Cauchy thì 2 ( ) ( ) 1 , ( ). n m p i i i x x m p N         Do đó, với i bất kỳ 2 ( ) ( ) , ( ). m p i i x x m p N       Suy ra với mỗi i ,   ( ) m i x là dãy Cauchy và có giới hạn i x : ( ) lim 0. m i i m x x    Đặt 1 2 ( , , , ) n x x x x thì: 2 2 ( ) 2 ' 1 ( ). n m m i i i x x x x m N           Ví dụ 1.1.2: Cho X là C   ,a b tập tất cả các hàm số xác định và liên tục trên   ,a b với chuẩn Chebyshev max ( ) a x b f f x    . Không gian này là đầy đủ. Nếu max ( ) ( ) , ( ) m n a x b f x f x m n N         thì dãy   ( ) m f x là hội tụ điểm trên   ,a b . Do đó nếu hàm   ( ) ,f x C a b sao cho: ' ( ) ( ) , , ( ) n f x f x a x b n N        9 thì kéo theo n f hội tụ tới f theo chuẩn. Ví dụ 1.1.3: Cho X là tập hợp các hàm liên tục trên đoạn   ,a b với chuẩn 2 2 ( ) b a f f x dx   thì X là không đầy đủ. Thật vậy, ta có thể chỉ ra dãy Cauchy trong X nhưng không hội tới phần tử thuộc X . Để đơn giản ta lấy 1, 1a b   và xét ( ) n f x định nghĩa bởi 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 n x n f x nx x n n x n                     và ( )f x là hàm không liên tục 1 1 0 ( ) 1 0 1. x f x x           Ta có 1 0 2 2 2 1 0 2 ( ) ( ) ( 1 ) (1 ) 3 n n n f x f x nx dx nx dx n           . Suy ra 2 lim 0 n n f f    . Suy ra n f hội tụ theo chuẩn tới f và nó là dãy Cauchy. Nhưng nó không hội tụ theo chuẩn đến một hàm liên tục ( )g x vì . n n f g f f g f     Nếu 0 n g f   thì 0 f g   . Suy ra 0 2 1 (1 ( )) 0 g x dx     và 1 2 0 ( ( ) 1) 0 g x dx    . Do đó ( ) 1 1 0 ( ) 1 0 1. g x x g x x            Vậy ( )g x không liên tục. 10 Định nghĩa 1.1.8. Tập Y   được gọi là không gian định chuẩn con của không gian định chuẩn X nếu Y là không gian tuyến tính con của không gian X và chuẩn xác định trên Y là chuẩn cảm sinh từ chuẩn trên X . Định nghĩa 1.1.9. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường K (K là trường số thực  hoặc trường số phức  ). Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là tuyến tính nếu A thỏa mãn các điều kiện: 1, ( ,x y X  ) ( )A x y Ax Ay   ; 2, ( )x X  ( )k K  ( )A kx kAx . Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi Y =K thì A được gọi là phiếm hàm tuyến tính, nếu K   thì A còn được gọi là phiếm hàm tuyến tính thực. Định nghĩa 1.1.10. Cho X là không gian tuyến tính và Y là không gian con tuyến tính. Cho L một là phiếm hàm tuyến tính xác định trên Y . Một hàm tuyến tính L 1 được gọi là một mở rộng của L trên X nếu L 1 ( )x là xác định với x X  và L 1 ( )x  L ( x ) với x  Y . Ví dụ 1.1.4: Cho X là không gian của các hàm xác định trên   ,a b . Cho Y là không gian con của X gồm tập các hàm xác định và liên tục trên   ,a b . Rõ ràng   ,Y C a b là không gian con thực sự của X . Với 1 a x b  , xét phiếm hàm :L Y   xác định bởi L ( f )= 1 lim x x  f ( x ). Xét phiếm hàm 1 :L X   xác định bởi   1 1 ( ) L g g x g X   . Rõ ràng ,L 1 L là hai phiếm hàm tuyến tính, thử trực tiếp ta có 1 L là một mở rộng của L trên X . Định lý 1.1.1. Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn thực và Y là một không gian con tuyến tính ( Y  X ). Cho ( )p x là một phiếm hàm giá trị thực xác định trên các phần tử của X và thỏa mãn các tính chất dưới đây: 1, ( ) 0 ;p x x X   2, ( ) ( ) ( ) , ;p x y p x p y x y X     (1.1.1) 3, ( ) ( ) , 0. p x p x x X        [...]... v  1,2 Do F nên suy ra s  w và (2.3.8) được viết lại thành n * * lim w   ( w, xk ) xk  0 n k 1 Và do đó ta thu được B Vậy (2.3.5) được chứng minh Nhận xét: Như vậy trong không gian tiền Hilbert thì tính đóng của một dãy suy ra tính đầy đủ của dãy đó, nếu không gian là Hilbert (đầy đủ) thì tính đóng và tính đầy đủ là hai khái niệm tương đương và trong một vài trường hợp, chúng được dùng để... tích trong C và liên tục trên C Với chuẩn được xác định f  max f ( z ) zC (1.3.3) 24 Chương 2 Tính đóng và tính đầy đủ trong một số không gian hàm 2.1 Tính đóng Định nghĩa 2.1.1 Một hệ hữu hạn hoặc vô hạn của các phần tử x1 , x2 trong một không gian tuyến tính định chuẩn X được gọi là đóng nếu mỗi phần tử x  X có thể xấp xỉ tùy ý gần bằng tổ hợp tuyến tính của hữu hạn các phần tử trong dãy  xi... * mà L( xk )  0, k  *  L  0 , trong đó X * là không gian tuyến tính định chuẩn liên hợp của X 2.2.2 Tính đầy đủ trong không gian tiền Hilbert Định nghĩa 2.2.3 Một tập S trong một không gian tiền Hilbert X là đầy đủ nếu ( y, x)  0 x  S (2.2.1) kéo theo y=0 Nhận xét: Như vậy trong không gian tiền Hilbert bây giờ có hai định nghĩa về dãy đầy đủ định nghĩa 2.2.3 và định nghĩa 2.2.2 với chú ý về... k  K Khi đó X * được gọi là không gian tuyến tính và là không gian liên hợp với X Nếu X là không gian tuyến tính định chuẩn ta đưa vào X * khái niệm chuẩn: L  sup x0 L( x) x 27 thì X * cũng là không gian tuyến tính định chuẩn và được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn liên hợp với X Định nghĩa 2.2.2 Dãy các phần tử  xk k * là đầy đủ trong không gian tuyến tính định chuẩn X nếu với L ...  w( x)dx   thì kết quả này có thể mở rộng lên lớp L  a, b; w các hàm đo 2 a b được f thỏa mãn  w( x) f 2 dx   a Định lý 2.3.1 đã đề cập đến tính đóng và tính đầy đủ trong không gian tiền Hilbert Ở đây chúng ta sẽ xem xét chúng trong không gian tuyến tính định chuẩn Ta có bảng về tính đóng và tính đầy đủ của dãy và không gian ... số  bởi w1  w2   wN là tổ hợp tuyến tính của dãy  yn  , tức là  yn  là đóng trong X 2.2 Tính đầy đủ 2.2.1 Tính đầy đủ trong không gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 2.2.1 Cho X là không gian tuyến tính trên trường K Xét X * là tập hợp các phiếm hàm L tuyến tính liên tục xác định trên X Trang bị cho X * phép tính cộng: ( L1  L2 )( x)  L1 ( x)  L2 ( x) L1 , L2  X * , x  X và phép tính. .. một phiếm hàm lồi Định nghĩa 1.1.11 Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn và L là phiếm hàm tuyến tính trên X Nếu tồn tại số A  L  sup L( x)   x 1 thì L là phiếm hàm tuyến tính bị chặn và số A  L được gọi là chuẩn của phiếm hàm tuyến tính L Ta chú ý các tính chất sau của chuẩn 1, L  sup x 0 L( x) ; x 2, L( x)  L x Chú ý: Có thể thấy với phiếm hàm tuyến tính thì tính bị chặn và liên tục... trị trong không gian tuyến tính định chuẩn phức Để thiết lập nó, chúng ta sử dụng một phương pháp đơn giản là kết hợp với mỗi không gian tuyến tính định chuẩn phức một không gian tuyến tính định chuẩn thực duy nhất Bằng cách đó, việc chứng minh định lý trở về trường hợp thực Định nghĩa 1.1.12 Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn phức Không gian X R bao gồm các phần của X Phép cộng xác định trong. .. iL( x) Vậy L là tuyến tính trên X Định lý 1.1.3 (Bohnenblust-Sobczyk-Suchomlinoff) Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn phức và Y là không gian con Cho L là một phiếm hàm tuyến tính phức xác định trên Y và có chuẩn L Y Khi đó có một phiếm hàm tuyến tính L1 là mở rộng của L trên X và thỏa mãn L1 X  L Y Chứng minh Viết L( x)  LR ( x)  iL1 ( x) x  Y , trong đó LR và L1 là hàm giá trị thực Theo... 1.2.2 Không gian tuyến tính trên trường K cùng với một tích vô hướng được gọi là không gian tiền Hilbert Mọi không gian tiền Hilbert là định chuẩn với chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng Nếu với chuẩn này X là đầy đủ thì nó được gọi là không gian Hilbert Ví dụ 1.2.1: là không gian tiền Hilbert với tích vô hướng ( x, y )  x y Ta kiểm tra thấy nó thỏa mãn hệ tiên đề của tích vô hướng nên nó là không gian . đóng và tính đầy đủ. Trình bày mối quan hệ về tính đóng và tính đầy đủ. 6 Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị Trước khi nghiên cứu về tính đóng và tính đầy đủ, . là hai khái niệm: Tính đóng, tính đầy đủ trong những không gian giải tích hàm trừu tượng. Phạm vi nghiên cứu: Các không gian tuyến tính định chuẩn, không gian tiền Hilbert và các trường hợp. cứu tính đóng, tính đầy đủ một số hệ véc tơ đặc biệt trong   2 ,L a b hoặc   0,1 C . 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 5 Nhiệm vụ chính: Nghiên cứu khái niệm tính đóng, tính đầy đủ của một