Tính đóng và tính đầy đủ trong một số không gian hàm

1 LỜI CẢM ƠN Trước tiên xin gửi lời cảm ơn chân thành tới ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội trường Cao đẳng Nghề Bắc Giang tồn thể thầy cơ, cán công nhân viên công tác giảng dạy trường Đại học Sư phạm Hà Nội trường Cao đẳng Nghề Bắc Giang tạo điều kiện thuận lợi cho tơi kết thúc tốt đẹp chương trình cao học hồn thành luận văn tốt nghiệp Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới T.S Nguyễn Văn Khải – người thầy hướng dẫn, bảo tận tình cho tơi suốt q trình hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ để tơi an tâm học tập hồn thành tốt luận văn Hà Nội, tháng năm 2012 Học viên Thân Thị Thanh LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn trực tiếp T.S Nguyễn Văn Khải Trong q trình nghiên cứu, tơi kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2012 Học viên Thân Thị Thanh Mục lục Mở đầu Lý chọn đề tài Trong giải tích tốn học tốn học tính tốn, nhiều trường hợp ta khơng thể tính phân tử x khơng gian X (thường X khơng gian véc tơ vơ hạn chiều có trang bị chuẩn tích vơ hướng) Khi người ta tìm cách tính gần x cách mơ tả sau: i □ X Bước 1: Chọn hệ véc tơ x i  , Bước 2: Khai triển hình thức x theo hệ x i  , i □ dạng (1)  x  Bước 3: Lấy i xi i0 N0 □ đủ lớn đặt N0 (2) x i xi i0 Ta coi x (2) gần x X   i xi sai số x so với x iN0 Nếu hệ véc tơ xi i □ chọn “đủ tốt” sai số nêu đủ nhỏ , N0 đủ lớn Để xác khái niệm nêu trên, chọn nghiên cứu làm rõ khái niệm tính đóng đầy đủ (các véc tơ) mối quan hệ chúng không gian X Mục đích nghiên cứu Làm rõ khái niệm tính đóng, tính đầy đủ (hai khái niệm tảng tính tốn giải tích) liên hệ hai khái niệm Luận văn nghiên cứu tính đóng, tính đầy đủ số hệ véc tơ đặc biệt L a,bhoặc C 0,1 Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ chính: Nghiên cứu khái niệm tính đóng, tính đầy đủ hệ véc tơ khơng gian tuyến tính định chuẩn, khơng gian tiền Hilbert Nghiên cứu mối liên hệ khái niệm Nghiên cứu số trường hợp cụ thể Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu hai khái niệm: Tính đóng, tính đầy đủ khơng gian giải tích hàm trừu tượng Phạm vi nghiên cứu: Các khơng gian tuyến tính định chuẩn, không gian tiền Hilbert trường hợp cụ thể Phương pháp nghiên cứu L  a,b  , C 0,1 Dịch đọc tài liệu Phân tích tổng hợp trình bày lại khái niệm đóng đầy đủ theo phương pháp giải tích hàm Dự kiến đóng góp đề tài Trình bày cách hệ thống vấn đề tính đóng tính đầy đủ Trình bày mối quan hệ tính đóng tính đầy đủ Chương Các kiến thức chuẩn bị Trước nghiên cứu tính đóng tính đầy đủ, nhắc lại số kiến thức sở 1.1 Khơng gian tuyến tính định chuẩn Ta nhắc lại số khái niệm không gian metric Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập khác rỗng Hàm d: X x X □ gọi khoảng cách (hay metric) tính chất sau thỏa mãn: 1,  x, y X  d (x, y)  0, d (x, y) 0 x y ; 2, ( x, y X ) d (x, y) d ( y, x) ; 3, ( x, y, z X ) d (x, y) d (x, z) d (z, y) (bất đẳng thức tam giác) Tập X với hàm khoảng cách d xác định gọi không gian metric Định nghĩa 1.1.2 Cho X không gian metric với hàm khoảng cách d (x, y) Nếu x0 tập U( x0,r ) bao gồm tất phần tử x X  thỏa mãn X, d x, x0  gọi hình cầu mở tâm x bán kính r Một phần tử r x (S tập mở) gọi phần tử S có r 0  cho S U( x, r ) S Định nghĩa 1.1.3 Dãy điểm hội tụ tới phần tử x X nế u xntrong không gian metric X gọi lim d (x, xn ) 0 n Khi ta nói x giới hạn dãy xnvà viết lim x x n n Nhận xét: Một dãy hội tụ khơng thể hội tụ tới hai phần tử khác Thật vậy, giả sử lim d (x, xn ) lim d ( y, xn ) 0 , theo bất đẳng 0 thức n n tam giác ta có d (x, y) d (x, xn ) d ( y, xn ) với n  ta d (x, y)  x y Định nghĩa 1.1.4 Một dãy phần tử xncủa X gọi dãy Cauchy (cơ bản)  0, m, n N () hay d (xm , xn ) N () :   lim m,n d (xm , xn ) 0 Không gian X đầy đủ dãy Cauchy có giới hạn X Định nghĩa 1.1.5 Cho X tập khác rỗng, X gọi không gian tuyến tính trường K (thực hay phức) X tồn hai ánh xạ sau mà chúng gọi phép cộng phép nhân với lượng vô hướng X X X K X X (, x)  .x (x, y)  (x  y) cho: 1, x y y x x, y X ; 2, x ( y z) (x y) z x, y, z X ; 3, 0 X : x x X ;  x x (x) 0; 4, x X (x) X : ().x   ( .x) 5, , K ,x X ; 6, ().x  .x .x , K ,x X ; .(x y)  .x .y K ,x, y X ; 7, 8, 1.x  x x X Định nghĩa 1.1.6 Cho khơng gian tuyến tính X trường K (K= □ , K= □ ) Xét ánh xạ từ X vào tập số thực □ , ký hiệu thỏa mãn tiên đề sau đây: 1, ( x X ) x 0, x 2, ( x X ) ( K ), 0 x ; x  x ; f (zn ) 0 Do nghiệm f (z) có điểm giới hạn nằm z  Theo định lý hàm giải tích ta có f (z) 0 Điều kéo 1 theo L(x )  n 1, Từ x đóng nên đầy đủ  k k 0, kéo theo Như vậy, từ X L( yk )  k 1, suy 0, L 0 L 0 Theo định lý 2.3.2 y k là đóng   F (z)  Hệ 3.4.1 (Szász) Cho k  k k k cz , c số thực, chuỗi lũy thừa xác định r 0 bán kính hội tụ Giả sử   ,  n1 kn k1 k2  dãy số nguyên 1 với ck 0 Nếu tnlà dãy số thực phân biệt thỏa mãn  r1 tn r dãy hàm fn (x) F (tn x), đầy đủ (3.4.6) n 1, (3.4.7) L2 (0,1) Nếu c 0 đầy đủ C  0,1 Chứng minh c x Theo định lý 3.2.1 3.2.2 suy c x n n n cn n C0,1 c L [0,1]và C 0,1 Bây giả x Đặt x n    sử cx  n n L 0,1 là đóng n n cn Khi limsup c x n limsup c n  2n  n n n Mà ta có n r n  r1 nên theo định lý dãy hàm fn (x) F tn (tn x), r n 1, đầy đủ Hệ chứng minh Ví dụ 3.4.1: Cho f (z) (1 z)s , s số thực khác 0,1, Với điều kiện này, khơng có hệ số Maclaurin f (z) triệt tiêu r 1 Cho s tn  dãy điểm thỏa tn 1 , mãn n 0,1, Khi (1  tn x) đầy đủ L [0,1] C 0,1 Định lý 3.4.2 (Birkhoff) Cho H không gian Hilbert hệ trực chuẩn đầy đủ Cho * n  n1 *  đầy * n y là hệ trực chuẩn thứ hai Nếu   yn đủ x là * * xn y   (3.4.8) Chứng minh N (1) Nếu với ,  2* * (3.4.9) xk y  1 N 1 hệ * * * * * x1 , x2 , , xN , yN 1, yN 2 đầy đủ H Giả sử có phần tử w 0 trực giao với tất phần tử hệ Khi   2* * (w, x y ) * w  (w, x )  *  k 1  k 2* * k x y w    k k N 1   (w, x )  w k N 1  * 2* xk y  k N 1 k k w (mâu thuẫn)  k N 1 x*k  * (2) Giả sử với vài N ,  1 Đặt yk  N 1 zk xk *  (x , y  j N 1 j Khi hệ z , , , z2 z , *N y1 * N 2 N * k * j ) y* k 1, 2, , N , đầy đủ H Thật vậy, giả sử w phần tử trực giao với phần tử Khi (w, zk )   *  * * *  (xk , y j ) y j  w, xk  j   N  1 (w, xk )*   (x , y  j N 1 * Do (w, xk ) 0, * k * j * )(w, *y j ) (w, xk ) k 1, 2, , N Theo phần (1) w 0 ta có , xk   yk  Để chứng minh định lý, lấy N đủ lớn để 1 Cho S phần bù N 1 , trực giao yN y * * N 2 . , tập tất phần tử trực giao với phần tử Với j N 1  k N (zk , y* j ) (x , * *k y j)  ta có  (x , y  * k pN 1 * p 0 * * * * )( *y p , *y j ) (x k , y j ) (x k , y j ) * * Do z , z , , z N S Từ * z , z , , z , y , y * đầy đủ, S N 1 N N 2 chứa phần tử khác tổ hợp tuyến tính z1, z2 , , zN Do S không gian hữu hạn chiều với số chiều N Chú ý phần tử * * * y1 , y2 , , y S Từ chúng trực chuẩn, nên chúng độc lập tuyến tính Vậy số chiều S N Suy phần tử z , z , , zN tính y*, y*, , y* Nếu (w, y* )  0, N tổ hợp tuyến k 1, kéo theo k * w z , z , , zN 1 , yN , y N do2 * w 0 Định lý 3.4.3 (Play-Wiener-Boas) Cho X khơng gian tuyến tính định chuẩn giả sử xn là đóng X Nếu dãy y n là dãy cho với số , 1 với dãy hữu hạn số a1, a2 , , an ta có a n k k 1 n (xk yk ) y n cũng đóng X  a k xk (3.4.10) k 1 Chứng minh Cho X1 không gian X bao tuyến tính xn  Thế n * X1 bao gồm tất tổ hợp tuyến tính hữu hạn a k L với  xk Cho X k 1 X1 L( yk )  k 1, Ta dự đoán chuẩn L 0, n n L( a k xk )  k 1   L a k (xk yk ) L k 1 n a n (xk yk )  L a k  k k 1 xk k 1 Vì X1 chuẩn L khơng vượt L Theo định lý 1.1.3 ta có  thể mở rộng L lên tồn X mà khơng cần làm thay đổi chuẩn Gọi hàm mở rộng F : F (xk ) L(xk ) , k 1, F L X1 (3.4.11) Từ xk là đầy đủ nên F (xk ) L(xk ) k 1, 2, suy F L 0, L L Do L  F X1 Từ 1 suy y nlà đầy đủ đóng X L 0 Do x là dãy trực * Hệ 3.4.2 Cho H không gian Hilbert n chuẩn đầy đủ Cho y k là dãy cho: a ,01  (3.4.12) n * a (x y n )    k k 1  kk k 1 k với dãy số phức ak  Khi y k là đầy đủ Ta thu (3.4.12)   k 1 n n *  Ta có a a k * xk  y (3.4.13)   1 Chứng minh thỏa mãn (3.4.12) suy (3.4.10) nên y k là x k k k 1 k 1 đóng H đầy đủ Chú ý theo giả thuyết (3.4.13) ta có  n n k 1 k * k a (x y )  n  a k y  k k * x  k    a k y n 1 ta thu (3.4.12) với  2    k * x   k 1 2     2 a  k 1  2 k n thay cho  Hệ 3.4.3 (Schãfke) Nếu (3.4.10) thỏa mãn với  y n  đóng xnlà đóng Chứng minh Ta cần y n là đóng suy xnlà đóng Từ (3.4.10) bất n đẳng thức tam giác ta có n   a k 1 a k k 1 k  Do yk  ak xk ak xk n n k 1 k 1 xk    n a k 1 k yk Kết hợp điều với (3.4.10) ta có a  n k k 1 (xk yk ) n    (3.4.14) ak yk k 1  Nếu     1 từ (3.4.14) kéo theo x đóng  n (theo   định lý 3.4.3) Ví dụ 3.4.2: (Duff-Eachus) Cho L ,là khơng gian hàm  f (x) f (x)dx  biến thực giá trị phức đo , và ( f , f )     Cho n 0, 1, 2 dãy số phức cho:  n  , n ln  n 0, 1, 2 0.22 ,  n Khi dãy dao động “điều hòa” e là đầy i n x (3.4.15) L , đủ Chứng minh Để đơn giản coi số nguyên  I n n n I n n 0, 1, 2 số I1, I2 ký hiệu  n 1, chứng minh cách sử ,   iIn x dụng định lý 3.1.2,e là tập trực chuẩn đầy đủ  2 Hơn nữa, f L , , L  , j  x f (x) j x f (x)     Như hệ 3.4.2 đặt  dx    f j   * x  k Khi eiIk x , 2 y  eik x 2 k   * y x  eiIk x eik Ik x 1 k 2 n  x Vì e 1 x x   1!  x  2!  nên  e j i  k  I k  x i =  n! Với số a1, a2 , , an a y x iI x n * k j j1 tùy ý,    n  j (k  x ) Ik ) j! k e k  i ( I ) x )   j k j k 2 j 1 k 1 a j k k = j! k 1  x j n ( j    j! j1  k k  j 1 j!  (  j I )  k j 1 j j! k k k 1 j eiIk x 2 j 2 j 2  n eiIk x     k k  2 a  I  I ) j j 1 j! k   1 j j   ak  j! k j 1 ln 2 n  ln Vì   e 1e  ( x   k k  n j k j n  kkk    I ) eiIk x j 2 n   2  1ak e   k 1   1 1 1 nên điều kiện (3.4.12) thỏa mãn  Ví dụ 3.4.3: Cho h (z)là đầy đủ trực chuẩn * h (z)  f   n1 B L (D) Nếu (z) dxdy f 1 là đầy đủ L (D)  f (z) L (D) n * n n n n Đ c n ặ biệt, ế u D đường tròn đơn vị, theo đủ  fnlà đầy  n 1  n1 z 1 n z dxdy 1 f n (z) kéo Kết luận Trên toàn nội dung luận văn tơi với đề tài “Tính đóng tính đầy đủ số khơng gian hàm” Luận văn trình bày với cố gắng nhằm đạt mục đích u cầu sau: Trình bày có hệ thống kiến thức giải tích đại Cung cấp cho bạn đọc khái niệm số tính chất tính đóng, tính đầy đủ số khơng gian hàm mối quan hệ tính đóng tính đầy đủ Đưa ví dụ cụ thể để minh họa cho định nghĩa nhắc tới Với lực hạn chế thời gian có hạn chắn luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong q thầy bạn học góp ý để luận văn hồn thiện Danh mục tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Giải tích số, NXB ĐHQG Hà Nội (1999) [2] Nguyễn Minh Chương (chủ biên), Nguyễn Văn Khải, Khuất văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường, Giải tích số, Nhà Xuất Bản giáo dục (2009) [3] Nguyễn Phụ Hy, Giải tích hàm, Nhà xuất khoa học kỹ thuật Hà Nội (2006) [4] Nguyễn Văn Khuê (chủ biên), Bùi Đắc Tắc, Đỗ Đức Thái, Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, tập 1, Nhà xuất giáo dục (2001) [5] Nguyễn Văn Khuê (chủ biên), Lê Mậu Hải, Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, tập 2, Nhà xuất giáo dục (2001) [6] Nguyễn Văn Kh, Lê Mậu Hải, Khơng gian tuyến tính tôpô – Banach – Hilbert, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội (1996) Tiếng Anh [1] N Dunford and J.T Schwartz, Linear Operators, General theory, Publishers, New York (1958) [2] R Meise and D Vogt, Introduction to Functional Analysis, Clarendon Press, Oxford (1997) [3] Philip J Davis, Interpolation and approximation, Blaisdell –New York (1963) ... bày lại khái niệm đóng đầy đủ theo phương pháp giải tích hàm Dự kiến đóng góp đề tài Trình bày cách hệ thống vấn đề tính đóng tính đầy đủ Trình bày mối quan hệ tính đóng tính đầy đủ Chương Các... nghiên cứu tính đóng, tính đầy đủ số hệ véc tơ đặc biệt L a,bhoặc C 0,1 Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ chính: Nghiên cứu khái niệm tính đóng, tính đầy đủ hệ véc tơ khơng gian tuyến tính định... nghiên cứu làm rõ khái niệm tính đóng đầy đủ (các véc tơ) mối quan hệ chúng không gian X Mục đích nghiên cứu Làm rõ khái niệm tính đóng, tính đầy đủ (hai khái niệm tảng tính tốn giải tích) liên