Một số vấn đề của lý thuyết xác suất trên không gian Banach

Một số vấn đề của lý thuyết xác suất trên không gian Banach.

Mục lụcLời mở đầu i1 Kiến thức chuẩn bị 11.1 Biến ngẫu nhiên với giá trị trong không gian Banach . . 11.2 Biến Rademacher, nguyên lý Co . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Các bất đẳng thức đối với biến ngẫu nhiên thực và Mar-tingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Bất đẳng thức đẳng chu của tích độ đo . . . . . . . . . 122 Tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập 132.1 Đối xứng hoá và một số bất đẳng thức của tổng các biếnngẫu nhiên độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Tính khả tích của tổng đại lượng ngẫu nhiên độc lập . . 232.3 Sự tập trung và dáng điệu đuôi . . . . . . . . . . . . . . 433 Luật mạnh số lớn 563.1 Phát biểu chung cho định lý giới hạn . . . . . . . . . . . 563.2 Các luật số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Kết luận 78Tài liệu tham khảo 80i Lời nói đầuLý thuyết xác suất ra đời vào thế kỷ 17 bởi các nhà toán học Pháp.Tuy nhiên, phải đến nửa đầu thế kỷ 20 mới thực sự có một cơ sở vữngchắc. Kể từ đó môn khoa học này không ngừng phát triển. Ngày nay nóđã trở thành một ngành toán học lớn chiếm vị trí quan trọng, không chỉcó nhiều ứng dụng mà còn là một ngành toán có tầm lý thuyết ở trìnhđộ cao.Lý thuyết xác suất trong không gian Banach là một nhánh mới củatoán học, nhằm mở rộng để nghiên cứu vector ngẫu nhiên vô hạn chiều.Đó là một sự khái quát tự nhiên của quá trình ngẫu nhiên, đã đượcnhiều nhà toán học nghiên cứu như A. Beck, B. Maurey, G.Pisier, J-P.Kahane, J. Hoffmanm-Jorgensen, với nhiều kết quả quan trọng được tìmthấy . Do đó, tôi đã chon đề tài "Một số vấn đề của lý thuyết xácsuất trên không gian Banach" để làm đề tài luận văn tốt nghiệpthạc sĩ của mình. Tìm hiểu vấn đề này, tôi mong muốn sẽ nắm bắt đượcnhững kết quả cơ bản của thế hệ trước đã đạt được, và cố gắng rút ranhững kết luận, nhận xét của riêng mình. Từ đó trang bị cho mình vốnkiến thức và phương pháp nghiên cứu để có thể đi sâu vào lĩnh vực đó.Với khả năng và thời gian có hạn, nên tôi chỉ dừng lại ở việc nghiêncứu tổng các biến ngẫu nhiên độc lập cùng luật số lớn trong không gianBanach. Với lý do đó, bản luận văn được chia làm ba chương.Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị của luận văn. Trong chươngnày, tác giả nêu những khái niệm cơ bản về biến ngẫu nhiên trong khônggian Banach, chuổi biến Rademacher và bất đẳng thức đẳng chu. Đây lànhững kết quả quan trọng nhất để nghiên cứu tổng các biến ngẫu nhiêntrong không gian Banach ở các chương sau.Chương 2 Trình bày về tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập. Đâylà một trong hai chương chính của luận văn. Trong chương này, đượcchia thành ba phần: Phần đầu xem xét phương pháp đối xứng hoá trongii nghiên cứu các tính chất của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập, với cácbất đẳng thức quan trọng như bất đẳng thức co. Phần hai nghiên cứutính khả tích của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập với các định lý quantrọng là định lý 2.11 và 2.11. Phần cuối, quan trọng nhất với việc sửdụng bất đẳng thức đẳng chu để đánh giá biến cố đuôi, ở định lí 2.29.Chương 3 Trình bày về luât mạnh số lớn của tổng các biến ngẫunhiên trong không gian Banach. Nghiên cứu sự hội tụ hầu chắc chắn củatổng các biến ngẫu nhiên độc lập. Chương này được chia làm hai phần:Phần đầu nêu phát biểu chung của định lý giới hạn với kết quả quantrọng nhất là định lý 3.5; phần hai là áp dụng phát biểu chung đưa racác luật số lớn cụ thể.Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, ngườihướng dẫn khoa học của mình là GS. TSKH Đặng Hùng Thắng. Ngườiđã đưa ra đề tài và hướng dẫn tận tình trong suốt quá trình nghiên cứucủa tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trongkhoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại họcQuốc gia Hà Nội, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về kiến thức, tài liệuvà thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản luận văn này.Hà Nội, năm 2009Học viênTạ Công Sơniii Chương 1Kiến thức chuẩn bịPhần này, ta sẽ đưa ra một số khái niệm và kết quả cần dùng trong phầntiếp theo như: Các khái niệm, tính chất cơ bản liên quan tới biến ngẫunhiên với giá trị trong không gian Banach; bất đẳng thức đẳng chu; bấtđẳng thức co; và dãy biến Rademacher với các tính chất của nó.Với mục tiêu chính của luân văn là nghiên cứu về tổng các biến ngẫunhiên trong không gian Banach. Vì vậy, chương này chỉ chứng minh haibất đẳng thức về dãy tổng riêng là bất đẳng thức Levy và bất đẳng thứcOttavani-Kolmogorov.1.1 Biến ngẫu nhiên với giá trị trong khônggian BanachỞ đây, trình bày một số khái niệm và tính chất liên quan tới biến ngẫunhiên nhận giá trị trong không gian Banach như: Khái niệm về biếnngẫu nhiên với giá trị trong không gian Banach, các sự hội tụ trong củabiến ngẫu nhiên trong không gian Banach, tính khả tích.Ký hiệu B là không gian Banach trên R với chuẩn ., Blà khônggian liên hợp của B.Giả thiết không gian xác suất (Ω,A, P) là đầy đủ, và không gian Bthoả mãn điều kiện: tồn tại tập đếm được D là tập con của hình cầu1 đơn vị trong không gian liên hợp Bsao cho :x = supf∈D|f(x)| (với x ∈ B).Một biến ngẫu nhiên hoặc véc tơ ngẫu nhiên với giá trị trong không gianBanach B là một ánh xạ đo được X từ không gian xác suất (Ω,A, P)vào B, với B được trang bị trên đó một σ đại số sinh bởi các tập mởcủa B.Biến ngẫu nhiên X với giá trị trong B được gọi là Radon, nếu mỗiε > 0, tồn tại tập compac K(ε) trong B sao choP{X ∈ K} ≥ 1 − ε.Nói cách khác, độ đo ảnh của P qua X là một độ đo Radon trên (B,B).Hay tương đương với X nhận hầu hết các giá trị trong một không giantuyến tính đóng, tách được. Hơn nữa, điều này lại tương đương với tínhchất: X là giới hạn hầu chắc chắn của dãy hàm đơn giản:ixiIAivới xi∈ B, Ai∈ A.Đối với biến ngẫu nhiên X, khi đó độ đo xác suất ảnh trên B µ = µXcủa P qua X được gọi là phân phối xác suất của X.Khi đó phân phối của biến ngẫu nhiên Radon là hoàn toàn được xácđịnh bởi hình chiếu của nó; chính xác hơn, nếu X,Y là các biến ngẫunhiên Radon sao cho mọi f ∈ B: f(X) và f(Y ) (như là biến ngẫu nhiênthực) có cùng phân phối thì µX= µY.Kết hợp với định lý trong trường hợp thực, thì ta có : các phiếm hàmđặc trưng trên B:E exp{if(X)} =Bexp{if(x)}dµ(x) f ∈ Bxác định hoàn toàn phân phối của X.Nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối thoả mãn µX= µ(−X)thì tanói biến ngẫu nhiên X là đối xứng.Ta nói, µnhội tụ yếu tới µ và ký hiệu µn⇒ µ nếu và chỉ nếulimn→∞ϕdµn=ϕdµ2 với mọi ϕ liên tục và bị chặn trên B.Không gian tất cả các độ đo xác suất Radon trên (B, P(B)) cùngvới tô pô yếu xác định từ sự hôi tụ yếu ở trên là không gian metric đủ.Vì vậy để kiểm tra dãy µnhội tụ yếu ta cần chỉ ra (µn) compac yếu đồngthời tất cả các giới hạn có thể là như nhau.Đối với điều kiện đầu, một tiêu chuẩn quan trọng để kiểm tra là địnhlý Prokhonov:Tập (µi)i∈Itrong P(B) là compac tương đối với tô pô yếu khi và chỉ khimọi ε > 0, tồn tại tập compac K trong B đểµi(K) ≥ 1 − ε với mọi i ∈ I.Dãy (Xn) các biến ngẫu nhiên Radon với giá trị trong B gọi là hộitụ đến X nếu dãy phân phối µXn⇒ µX. Để kiểm tra (Xn) hội tụ yếuđến X ta cần kiển tra f(Xn) hôi tụ yếu tới f(X) với mọi f ∈ Bvà dãy(Xn) là chặt theo nghĩa:Mọi ε > 0, tồn tại tập compac K trong B vớiP(Xn > ε) ≥ 1 − εvới mọi n hoặc n đủ lớn.Dãy (Xn) gọi là hội tụ theo xác suất tới X nếu với mọi ε > 0limn→∞P{Xn− X > ε} = 0.Dãy được gọi là bị chặn theo xác suất ( hay bi chặn ngẫu nhiên) nếu vớimỗi ε > 0 tồn tại A > 0 sao chosup P{Xn > A} < ε.Ta có, nếu (Xn) hội tụ theo xác suất thì nó hội tụ yếu. Điều ngược lạiđúng nếu phân phối giới han tập trung tại một điểm. Do đó, muốn kiểmtra (Xn) hội tụ theo xác suất về 0 thì chỉ cần kiểm tra (Xn) là chặt vàtất cả các giới hạn có thể bằng 0.Nếu 0 < p ≤ ∞, kí hiệuLp(B) = Lp(Ω,A, P, B)là không gian tất cả các biến ngẫu nhiên X (trên (Ω,A, P)) nhận giá trịtrong B, sao choXpkhả tíchEXp=XpdP < ∞, p < ∞.3 vàX∞= esssupX < ∞, p = ∞.Khi đó Lp(B) cùng với Xp= (EXp)1/plà một không gian Banachvới 1 ≤ p ≤ ∞ (và là không gian vector metric với 0 < p < 1 ).Nếu (Xn) hội tụ tới X trong Lp(B), thì ta nói (Xn) hội tụ trung bìnhtới X. Và khi (Xn) hội tụ trung bình tới X thì nó cũng hội tụ theo xácsuất tới X.Dãy (Xn) hội tụ hầu chắc chắn tới X nếuP{ limn→∞Xn= X} = 1.Dãy (Xn) là bị chặn hầu chắc chắn nếuP{supnXn< ∞} = 1.Khác với sự hội tụ theo xác suất, hội tụ hầu chắc chắn không metric hoáđược, và rõ ràng hội tụ hầu chắc chắn kéo theo hội tụ theo xác suất.Ở phần tiếp theo, ta nêu một số định nghĩa và tính chất liên quanđến tính khả tích.Một biến ngẫu nhiên Radon X với giá trị trong B gọi là khả tíchmạnh nếu X khả tích (tức thuộc L1(B)).Bây giờ, ta định nghĩa một loại khả tích khác đó là khả tích yếu (khảtích Pettis):Giả sử, biến ngẫu nhiên Radon X thoã mãn: với mỗi f ∈ B, biếnngẫu nhiên thực f(X) khả tích. Nếu ta xét toán tửT : B−→ L1(Ω,A, P)định nghĩa bởi T (f) = f(X) thì T là toán tử bị chặn, vì vậy xác địnhmột phiếm hàm tuyến tính liên tục trên B, nó là một phần tử trongB. Nếu phần tử này thực sự thuộc B thì ta ký hiệu phần tử đó là EXvà khi đó ta nói X là khả tích yếu (hay khả tích Pettis). Nói cách khác,nếu tồn tại a ∈ B sao cho với mọi f ∈ B, ta có Ef(X) = f(a) thì X làkhả tích yếu, và viết EX = a.Nếu biến ngẫu nhiên Radon X khả tích mạnh thì khả tích yếu. Đồngthời ta cóEX ≤ EX4 Ở đây ta cũng nhắc lại một tính chất quan trọng được thiết lập từbất đẳng thức Jensen và tính độc lập. Nếu X là biến ngẫu nhiên Radonvới giá tri trong B mà EX = 0 ( tức Ef(X) = 0 với mọi f ∈ D) ta nóiX có kỳ vọng không hay X là quy tâm.Với F là một hàm lồi trong R+, X, Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lậplấy giá trị trong B sao cho EF (X) < ∞ và nếu Y có kì vọng 0.Ta có:EF (X + Y ) ≥ EF (X). (1.1)Tiếp theo ta sẽ chứng minh hai bất đẳng thức quan trọng của dãytổng riêng của dãy biến ngẫu nhiên độc lập (có thể tham khảo các chứngminh này trong [1])Định lý 1.1. (Bất đẳng thức Levy) Cho(Xi) là biến ngẫu nhiên đối xứngnhận giá trị trong B. Với mọi k, đặt Sk=ki=1Xi. Thì với mọi số nguyênN và t > 0 ta có:P{maxk≤NSk > t} ≤ 2P{SN > t}vàP{maxi≤NXi > t} ≤ 2P{SN > t}.Nếu (Sk) hội tụ theo xác suất tới S, thì ta có bất đẳng thức mở rộng sauP{maxkSk > t} ≤ 2P{S > t}và tương tự, khi thay Sibởi Xi.Hơn nữa, nếu tính khả tích đươc đảm bảo thì với mỗi p: 0 < p < ∞E maxk≤NSkp≤ 2ESNpvà tương tự, khi thay Skbởi Xk.Chứng minh. Ta chỉ chứng minh khẳng định đầu, các khẳng định khácchứng minh tương tự.Đặtτ = inf{k ≤ N : Sk > t}5 Khi đóNk=1{τ = k} = {maxk≤NSk > t}.VậyP{SN > t} =Nk=1P{Sn > t, τ = k}. (∗)Lại do, với mọi k thì (−X1, .,−Xk, Xk+1, ., XN) cùng phân phối với(X1, ., XN) và {τ = k} chỉ phụ thuộc vào X1, ., Xknên ta cũng có:P{SN > t} =Nk=1P{Sk− Rk > t, τ = k} (∗∗)ở đây Rk= SN− Sk. Cộng vế với vế (*) và (**) và dùng bất đẳng thứctam giác, ta có:2P{SN > t} =Nk=1P{τ = k} = P{maxk≥NSk > t}.Được điều phải chứng minh.Bất đẳng thức tiếp theo được đề cập tới là bất đẳng thức Ottavani-Kolmogorov. Chứng minh của nó được suy ra theo kiểu chứng minh củabất đẳng thức Levy.Định lý 1.2. Cho {Xi}i≤Nlà dãy biến ngẫu nhiên Borel độc lập với cácgiá trị trong không gian Banach tách được B. Xét Sk=ki=1Xi(k ≤ N)thì với mọi s, t > 0P{maxk≤NSk > s + t} ≤P{SN > t}1 − maxk≤NP(SN− Sk > s)Chứng minh. Xétτ =inf{k ≤ N : Sk > s + t} nếu tồn tại k như thế+∞ nếu không tồn tại k như vậy6 Khi đó {τ = k} chỉ phụ thuộc vào X1, X2, . . . , XkvàNk=1{τ = k} = {maxk≤NSk > s + t}nênNk=1P{τ = k} = P{maxk≤NSk > s + t}.Ta thấy, khiSk > s + t ⇒ SN ≥ Sk − SN− Sk > t.Vậy nên, khi τ = k và SN− Sk ≤ s thì SN > t.Cùng với tính độc lập của {τ = k} và SN− Sknên:P{SN > t} = P({SN > t}Nk=1{τ = k})=Nk=1P{τ = k,SN > t} ≥Nk=1P{τ = k,SN− Sk > s}=Nk=1P{SN− Sk > s}P{τ = k} ≥ inf P{SN−Sk ≤ s}Nk=1P{τ = k}= (1 − max P{SN− Sk > s})P{maxSN > s + t}⇒ đpcm1.2 Biến Rademacher, nguyên lý CoViệc nghiên cứu trực tiếp chuỗi ngẫu nhiên trong không gian Banach làkhó khăn. Vì vậy, như một bước trung gian ta sẽ nghiên cứu các kết quảcho trường hợp chuỗi đặc biệt dạngixiεi, với εilà các biến ngẫu nhiênthực nào đó. Như là một phép nhúng biến ngẫu nhiên thực vào khônggian các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach. Dướiđây, ta xem xét các tính chất của chuổi dạng trên.7 [...]... 11 1.4 Bất đẳng thức đẳng chu của tích độ đo Phần cuối của chương này, ta đề cập đến một bất đẳng thức rất quan trọng để nghiên cứu tổng đại lượng ngẫu nhiên Đó là bất đẳng thức đẳng chu cho tích độ đo Cho một không gian xác suất (E, Σ, µ) và một số nguyên N > 1 Ký hiệu P là tích độ đo µ⊗ N trên EN một điểm x trong EN có hệ số x = (x1 , , xN ) với xi ∈ E, A là một tập con của EN Chúng ta đặt: H(A, q,... hai của định lý cùng với biểu diễn tích phân của kỳ vọng ta suy ra tính chất sau: Nếu F là hàm không giảm, và khả vi thì ta có: ξi Xi ) ≤ 2EF ( EF ( i ζi Xi ) i Nhận xét cuối cùng là xuất phát từ câu hỏi nếu (Xi ) không đối xứng thì bất đẳng thức của định lý còn đúng không? Ta có kết quả như sau: Nếu (Xi ) không nhất thiết đối xứng nhưng có kỳ vọng không cùng với các giả thiết khác như trên định lý. .. vẫn chưa giả quyết được vấn đề này Bất đẳng thức ở trên được sử dụng chủ yếu với t = s, điều thú vị của chúng được bắt nguồn từ bình phương xác suất ở vế phải Điều này còn được thảo luận tiếp ở phần sau Như hệ quả của bất đẳng thức trên, mệnh đề tiếp theo là một bước kỹ thuật trước khi trình bày về tính khả tích Với việc áp dụng biểu diễn tích phân của kỳ vọng, ta có: Định lý 2.13 Cho 0 < p < ∞ và... và một số bất đẳng thức của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập Ý tưởng cơ bản trong nghiên cứu tổng các biến ngẫu nhiên độc lập là khái niệm đối xứng hoá Nếu X là biến ngẫu nhiên bất kỳ xác định trên (Ω, A, P); ta có thể xây dựng một biến ngẫu nhiên đối xứng theo nghĩa X = X − X , xác định trên (Ω × Ω , A × A , P × P ) và được gọi là đối xứng hoá của X Với X’ là bản sao độc lập với X (xây dựng trên không. .. Áp dụng bất đẳng thức Lêvy (Định lý 1.1) lần nữa, ta được điều phải chứng minh Nhận xét 2.12 Tư tưởng của định lý trên là phân hoạch không gian thành các miền để đánh giá trên từng miền Tác giả suy nghĩ rằng nếu ta phân hoạch không gian mịn hơn ta sẽ có những đánh giá tốt hơn ở đây, chẳng han ta đặt: τ1 = inf{j ≤ N : Sj > t} τ2 = inf{j ≤ N : Xj > s} sau đó đánh giá trên từng miền (τ1 , τ2 ) = (i, j)... định lý 2.7 suy ra: f 2 (Xi ) − Ef 2 (Xi )| E sup | f ∈D εi f 2 (Xi ) ≤ 2E sup f ∈D i i và, bởi (1.4) εi f 2 (Xi ) E sup f ∈D ≤ 4E i εi Xi Xi i Cùng với tính chất đối xứng của (Xi ) ta suy ra điều phải chứng minh 2.2 Tính khả tích của tổng đại lượng ngẫu nhiên độc lập Phần này ta xem xét tính khả tích của tổng các đại lượng ngẫu nhiên độc lập có giá trị trên không gian Banach Điều đó dẫn đến, cần có một. .. một ánh trên tập T , chúng ta đặt: h(t) T = h T = sup h(t) t∈T Ta có định lý sau: Định lý 1.5 Cho hàm số F : R+ → R+ là lồi và tăng Hơn nữa ϕi : R → R, i ≤ N 8 là ánh xạ co, sao cho ϕi (0) = 0 Thì với mọi tập T trong RN 1 EF ( 2 N N εi ϕi (ti ) T) ≤ EF ( εi ti i=1 T ) i=1 Nếu (xi )i≤N là các điểm trong không gian Banach, thì N N 2 E( sup | f ≤1 εi f (xi )|) ≤ 4E εi x i x i (1.4) i=1 i=1 Gọi X là một. .. lượng cỡ của H(A, q, k) với độ đo P (Chứng minh có trong [6]) Định lý 1.11 Với A là tập đo được với độ đo tích trong không gian EN Khi đó, có hằng số K để: P∗ (H(A, q, k)) ≥ 1 − [K( 1 ln( P(A) ) k 1 + )]k q với P∗ là độ đo xác suất ngoài 1 Đặc biệt, với P(A) ≥ và k ≥ q ta có: 2 P∗ (H(A, q, k)) ≥ 1 − ( Ko k ) q (1.6) Khi đó, với dãy biến ngẫu nhiên (Xn )n≤N độc lập nhận giá trị trong không gian đo... là bản sao độc lập với X (xây dựng trên không gian xác suất khác (Ω , A , P )) Phân phối của X và X-X’ là thực sự liên quan; chẳng hạn, ta có một số bất đẳng thức sau: Định lý 2.1 Với mọi t; a > 0; ta có P{ X ≤ a}P{ X > t + a} ≤ P{ X > t} Chứng minh Từ X − X { X ≥ X − X suy ra ≤ a} ∩ { X > t + a} ⊂ { X − X > t} cùng với tính độc lập, và cùng phân phối của X và X ta có đpcm Đặc biệt, khi ta chon a sao... Rademacher Định lý 1.3 Với 0 < p < ∞ khi đó tồn tại các hằng số dương Ap và Bp phụ thuộc vào p sao cho với mọi dãy số thực hữu hạn (αi ) Ta có 2 αi )1/2 ≤ Ap ( ε i αi p 2 αi )1/2 ≤ Bp ( Đặc biệt, p = 1 thì 2 αi )1/2 ≤ ( √ 2 ε i αi 1 Định lý 1.4 (Bất đẳng thức Co) Cho F : R+ → R+ là lồi, không giảm Mỗi dãy hữu hạn (xi ) trong không gian Banach B và mỗi dãy số thực (αi ) sao cho với mọi i, αi ≤ 1 với mọi i Ta . chon đề tài " ;Một số vấn đề của lý thuyết xácsuất trên không gian Banach& quot; để làm đề tài luận văn tốt nghiệpthạc sĩ của mình. Tìm hiểu vấn đề này,. dụng mà còn là một ngành toán có tầm lý thuyết ở trìnhđộ cao .Lý thuyết xác suất trong không gian Banach là một nhánh mới củatoán học, nhằm mở rộng để nghiên