MỤC LỤC
Mục tiêu của ta là nghiên cứu các tính chất của tổng các biến ngẫu nhiên với giá trị trong không gian Banach. Vì vậy, vấn đề lại chính là việc nghiên cứu biến cố đuôi của các martingale thực. Cho (Xi) là dãy hữu hạn của các biến ngẫu nhiên thực độc lập có kì vọng không, sao cho kXik∞ ≤ a ∀i.
Chương này, ta tìm cách mở rộng các kết quả của tổng các biến ngẫu nhiên thực, cho trường hợp biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach. Tuy nhiên, chúng ta cần nhấn mạnh rằng trong không gian Banach tổng quát, thiếu hẳn giả thiết trực giao E(P. Phương pháp đầu tiên được nói đến là phương pháp đối xứng hoá, được trình bày trong phần một; phương pháp thứ hai là phương pháp dùng dãy Rademacher cũng được trình bày ở phần một và phần ba; phương pháp thứ ba là phương pháp nghiên cứu thông qua dãy martigale thực ở phần ba; và cuối cùng và cũng là quan trọng nhất là sử dụng bất đẳng thức đẳng chu, được chỉ rừ ở phần ba.
Với ý tưởng như trên, chương này được chia làm ba phần: Phần một nghiên cứu phương pháp đối xứng hoá, và áp dụng nó để chứng minh định lí Lévy- Itô-Nisio, bất đẳng thức co. Phần hai nghiên cứu tính khả tích của tổng các đại lượng ngẫu nhiên, bất đầu bằng bất đẳng thức Hoffmana-Jorgensen, sau đó là bất đẳng thức momen của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập, và nhưng kết luận về tính khả tích.
Để làm rừ điều đú, ta bắt đầu bằng định lớ Levy-Ito- Nisio cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập không nhất thiết đối xứng (có thể chứng minh trực tiếp định lí này bằng cách áp dụng tiêu chuẩn ε−K của Prokhorov và bất đẳng thức Ottavani-Kolmogorov, được trình bày trong [2] và [7]). Khi đó (Sn0) hội tụ yếu tới S0, là biến ngẫu nhiên có cùng phân phối với S. Lại do tính liên tục của tích chập nên Sen −yếu−→S, theo chứng minhe. Phương phỏp đối xứng hoỏ được minh hoạ rừ hơn trong mệnh đề sau đây. εiXik) với (εi) là dãy Rademecher độc lập của (Xi). Phương pháp đối xứng hoá và các đánh giá ở trên chỉ ra rằng hầu hết các kết quả đối với biến ngẫu nhiên đối xứng, có thể di truyền cho trường hợp chung.
Phần tiếp theo, ta sử dụng các kết quả đã biết của tổng các biến Rademecher để thu được các kết quả cho tổng các biến ngẫu nhiên độc lập tổng quát. Nếu (Xi) không nhất thiết đối xứng nhưng có kỳ vọng không cùng với các giả thiết khác như trên định lý thì. ξiXeik) ≤EF(kX.
Ở đây sẽ đưa ra vài ý tưởng đơn giản, đặc biệt là một bất đẳng thức quan trọng của J.Hoffmann- Jorgensen và một số hệ quả của nó. Bất đẳng thức ở trên được sử dụng chủ yếu với t = s, điều thú vị của chúng được bắt nguồn từ bình phương xác suất ở vế phải. Như hệ quả của bất đẳng thức trên, mệnh đề tiếp theo là một bước kỹ thuật trước khi trình bày về tính khả tích.
Tiếp theo, ta sẽ đưa ra các khẳng định tương đương của các moment của tổng các đại lượng ngẫu nhiên đối xứng. Trước khi giới thiệu kết quả này, chúng ta cần một bổ đề đơn giản cho maximum của các biến ngẫu nhiên độc lập. Để chứng minh chiều ngược lại của bất đẳng thức, ta chú ý với bất đẳng thức (2.8) thì. Nhưng theo bất đẳng thức Marcop và bất đẳng thức co, ta có P{kX. Xikp)1p nên EkX.
Bây giờ, chúng ta tổng kết về tính khả tích cho tổng các biến ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trên không gian Banach, dựa trên các bất đẳng thức và các lập luận trên. Với tư tưởng, cố gắng tìm một khẳng định về mối quan hệ giữa sự hội tụ hầu chắc chắn và hội tụ trung bình giống như định lý Kolmogrov- Khinchin. Khẳng định đầu tiên, là do sự hội tụ trung bình kéo theo sự hôi tụ theo xác suất, tuy nhiên áp dụng định lý Levy về sự hội tu, suy ra (Sn) hội tụ hầu chắc chắn.
Cho(an) là một dãy các số dương tăng tới vô cùng,(Xi) là biến ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trong B và đặtSn =. Xi các biến ngẫu nhiên độc lập, bị chặn đều nhận giá trị trong B, đối xứng hoặc có kỳ vọng không .Chúng ta sẽ nghiên cứu tính khả tích củakSk. Giống như tư tưởng của khẳng định trên, ta thay hàm mũ bởi hàm luỹ thừa và với lí luận trong chứng minh của định lí 2.23.
EexpλkSNk ≤ exp(λt) + exp(2λt+ t)P{kSNk > t}EexpλkSNk Chia hai vế cho exp(2λt) rồi lấy tích phân hai vế ta được khẳng định hai. Để mở rộng kết quả này trong trường hợp giá trị véc tơ, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức đẳng chu, thể hiên ở phần tiếp theo.
Nhận xét để dẫn đến việc sử dụng các bất đẳng thức martingale trong nghiên cứu tổng các véc tơ ngẫu nhiên độc lập, là quan sát đơn giản nhưng cực kì hữu ích của Yurinski. Ý nghĩa của quan sát phía trên là biểu diễn độ lệch của tổng SN các véc tơ ngẫu nhiên độc lập Xi với kỳ vọng của nó EkSNk thông qua hiệu martingale thực di (. di = kSNk − EkSNk) với di lại được ước lượng bởi Xi. Bây giờ, chúng ta quay lại vấn đề chính của chương này với những áp dụng của bất đẳng thức đẳng chu ở định lý 1.11 cho tổng các biến ngẫu nhiên độc lập.
Bất đẳng thức này là công cụ rất mạnh và hiệu quả cho việc nghiên cứu sâu hơn tính chất khả tích của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập được bắt đầu ở phần trước, và nghiên cứu về các định lý về giới hạn hầu chắc chắn ở chương sau. Đầu tiên, ta sẽ phát biểu và chứng minh một ước lượng đuôi của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập dựa vào bất đẳng thức đẳng chu, với ký hiệu (kXik∗)i≤N là dãy không tăng, được sắp sếp từ (kXik)i≤N. Nhận xét đầu tiên M,m được định nghĩa thông qua biến ngẫu nhiên chặt cụt ui nếu ta không cần quan tâm đến tính chặt cụt, chẳng hạn biến ngẫu nhiên bị chặn thì (2.13) ở vế trái có thể thay thế 2s bởi s.
Một nhận xét quan trọng ở bước ba của chứng minh trên đó là tính đơn điệu của trung bình Rademacher, nó được sử dụng khi đánh giá kỳ vọng Eεk. Nhưng ta đã biết trong trường hợp thực thì chuỗi nay là khả tích cho cả hàm exp(xln+x), và nó là hàm tốt nhất có thể cho tính khả tích. Trường hợp biến ngẫu nhiên chỉ quy tâm, ta dùng phương pháp đối xứng hóa và áp dụng bổ đề 2.7 ta có đpcm.
Khi áp dụng bất đẳng thức J.Hoffmann- Jorgensen, ở định lý 2.16 đã chứng minh sự tương đương giữa các momen. Ta có thể giả thiết Xi (i ≤ N) là đối xứng (vì nếu không ta dùng phương pháp đối xứng hoá và áp dụng bổ đề 2.7 sẽ được điều phải chứng minh). Chương này, chúng ta nghiên cứu luật mạnh của số lớn cho tổng của biến ngẫu nhiên độc lập trong không gian Banach.
Sau đây ta sẽ nêu một bổ đề hữu ích về các tính chất theo xác suất của Sn. Cho (Xi) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, đối xứng, nhận giá trị trong B. Bổ đề tiếp theo mô tả sự rút gọn vào trong các tập I(n) khi nghiên cứu Sn.
Từ bổ đề 3.3và bổ đề Borel-Cantelli, ta có nhận xét: Với biến ngẫu nhiên đối xứng thì, sự hội tụ của chuỗi dạng P. Vì vậy phần tiếp theo ở dưới đây ta sẽ xem xét điều kiện cần và đủ để chuỗi P. Cho (Xi) là một dãy biến ngẫu nhiên đối xứng, độc lập nhận giá trị trong B.
Giả sử Xi là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối với X.
Ở đây ta sẽ dùng phương pháp lập luận xấp xỉ để chứng minh một phần tính chất này (với 0 < p ≤ 1) cho không gian Banach tách được bất kì. Phương pháp chứng minh xấp xỉ ở trên không mở rộng được cho trường hợp 1 < p < 2 được. Tính chất ứng với trường hợp 1 < p < 2 không đúng cho không gian Banach tổng quát; ví dụ tiếp theo sẽ chứng minh điều đó.
Trong C0- không gian Banach tách được gồm các dãy số thực tiến đến 0, được trang bị chuẩn sup; Khi đó với mọi dãy giảm (αn) các số thực hội tụ về 0 thì tồn tại một biến ngẫu nhiên bị chặn hầu chắc chắn và đối xứng, X sao cho Sn. Sau khi có sự mở rộng luật mạnh số lớn của biến ngẫu nhiên cùng phân phối với giá trị trên không gian Banach. Ta sẽ nghiên cứu luật mạnh số lớn cho các biến ngẫu nhiên độc lập, nhưng không cùng phân phối.
Cho (Xi) là một dãy các biến ngẫu nhiên radon độc lập, nhận giá trị trong không gian Banach B.