Độ đo xác suất gauss trên không gian banach

80 3.3 Định lý Feldman-Hajek về tính tương đương của các độ đo Gauss trong không gian Hilbert... Chương này tác giả chủ yếu giớithiệu về các không gian cơ bản đó là không gian metric, kh

ộ - 2017

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình và cũng hết sức nghiêm khắccủa GS.TSKH.Đặng Hùng Thắng Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tácgiả muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người thầy đáng kính của mình.Thầy đã luôn tận tình hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tác giả trong suốtquá trình làm luận văn

Tác giả cũng muốn gửi tới toàn thể các thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đạihọc Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô đã đảm nhận giảng dạykhóa Cao học 2014 - 2016, đặc biệt là các thầy cô tham gia giảng dạy nhóm Xác suấtthống kê 2014 - 2016 lời cảm ơn chân thành đối với công lao dạy dỗ trong suốt thời giancủa khóa học

Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và các anh chị em trong nhóm Xácsuất thống kê 2014 - 2016 đã quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện và động viên tinh thần đểtác giả có thể hoàn thành được khóa học này

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng năm 2017

Học viên

Đỗ Huy Hùng

Mục lục

1.1 Không gian metric 4

1.2 Không gian Banach 7

1.3 Không gian Hilbert 12

1.4 Toán tử Hilbert-Schmidt và toán tử lớp vết 14

1.5 Giới thiệu về phân phối hữu hạn chiều 16

2 Độ đo Gauss trong không gian Banach 21 2.1 Độ đo Borel trong không gian Hilbert 21

2.2 Độ đo Wiener và tích phân Wiener trong C[0,1] 37

2.3 Không gian Wiener trừu tượng 49

2.4 C[0,1] được coi như một không gian Wiener trừu tượng 64

2.5 Định lý phân phối yếu và định lý Gross-Sazonov 68

3 Tính tương đương và tính trực giao của độ đo Gauss 75 3.1 Phép tịnh tiến của độ đo Wiener 76

3.2 Định lý Kakutani về tích vô hạn các độ đo 80

3.3 Định lý Feldman-Hajek về tính tương đương của các độ đo Gauss trong không gian Hilbert 82

MỤC LỤC

Như ta đã biết độ đo Lebesgue đóng vai trò rất quan trọng trong định lý tích phân trongkhông gianRnNhưng một câu hỏi đặt ra là: Liệu độ đo Lebesgue có nghĩa trong khônggian vô hạn chiều hay không Rất tiếc câu trả lời là không May mắn là, độ đo Gauss cónghĩa trong không gian vô hạn chiều và đây chính là trọng tâm trong nghiên cứu củachúng ta trong luận văn này.

Luận văn của tác giả được chia làm 3 chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, tác giả xin giới thiệu về các kiến thức chuẩn bị để làm tiền đềgiúp người đọc có thể dễ dàng theo dõi các chương sau Chương này tác giả chủ yếu giớithiệu về các không gian cơ bản đó là không gian metric, không gian Banach và khônggian Hilbert, đồng thời nhắc lại các kiến thức về các toán tử liên quan trong không gianHilbert cũng như khái niệm về phân phối hữu hạn chiều

Chương 2 Độ đo Gauss trong không gian Banach

Trong chương này, tác giả trình bày các kiến thức về độ đo xác suất Gauss trong khônggian Hilbert (một không gian Banach đặc biệt) và các vấn đề liên quan

Chương 3 Tính tương đương và tính trực giao của độ đo Gauss

Trong chương này, tác giả giới thiệu một số định nghĩa, khái niệm và các tính chất

liên quan đến độ đo Gauss là tính tương đương và tính trực giao.

Để nghiên cứu về đề tài "Độ đo Gauss trên không gian Banach", tác giả đã tham khảo

một số tài liệu trong và ngoài nước về Lý thuyết xác suất Trong đó

◦Nội dung chính chương 1 của luận văn tham khảo tài liệu [1] [2] [7] [4] và [3];

◦Nội dung chính chương 2 của luận văn tham khảo tài liệu [7];

◦Nội dung chính chương 3 của luận văn tham khảo tài liệu [7] và [6];

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.1.1 Tập hợp X được gọi là một không gian metric nếu tồn tại ánh xạ d :

Ánh xạd được gọi là hàm khoảng cách hay metric trên X Tập X cùng với metricd

được gọi là không gian metric với metric d và được ký hiệu là (X , d ) Các phần tử củakhông gian metric thường được gọi là điểm

Định nghĩa 1.1.2 Cho (X , d ) là không gian metric.

1 Với mỗi số thực r > 0 và điểm a ∈ X , tập B (a, r ) = {x ∈ X : d(a, x) < r } được gọi là hình cầu mở tâm a với bán kính r Tập B0(a, r ) = {x ∈ X : d(a, x) ≤ r } được gọi là hình cầu đóng tâm a với bán kính r Tập S r (a) = {x ∈ X : d(a, x) = r } được gọi là mặt cầu tâm a

với bán kính r

1.1 KHÔNG GIAN METRIC

2 Cho A và B là hai tập con khác trống của X Khoảng cách giữa A và B được định nghĩa là

y∈B d (a, y).

3 Cho A tập con khác trống của X Đường kính của A ký hiệu là δ(A) được định nghĩa là

Tiếp theo là các định nghĩa về tập mở, tập đóng, lân cận và không gian con

Định nghĩa 1.1.3 Cho (X , d ) là không gian metric.

1.1 KHÔNG GIAN METRIC

1 Tập A ⊂ X được gọi là tập mở nếu với mọi x ∈ A tồn tại r > 0 sao cho B (x, r ) ⊂ A.

2 Cho x ∈ X Mỗi tập mở V chứa x được gọi là một lân cận mở của x

3 Điểm x ∈ X được gọi là điểm trong của tập A ⊂ X nếu tồn tại lân cận mở V của x sao cho V ⊂ A

4 Tập tất cả các điểm trong của A được gọi là phần trong của A và ký hiệu A o Tập

A ⊂ X được gọi là tập đóng nếu phần bù của nó A c là tập mở.

5 Điểm x ∈ X được gọi là điểm dính của tập A ⊂ X nếu mọi lân cận của x đều có giao khác trống với A Tập tất cả các điểm dính của A được gọi là bao đóng của A và ký hiệu là A.

6 Điểm x ∈ X được gọi là điểm biên của tập A ⊂ X nếu nó là điểm dính cả của A và cả của A c Tập tất cả các điểm biên của A được gọi là biên của A và ký hiệu là F r (A)

7 Tập A ⊂ X gọi là trù mật trong X nếu X = A.

8 Ký hiệuB(X ) là σ− đại số bé nhất chứa các tập mở Mỗi tập B ∈B(X ) được gọi là tập Borel của X

9 Không gian metric X gọi là khả ly nếu trong X tồn tại tập A đếm được trù mật trong

1.2 KHÔNG GIAN BANACH

Định lý 1.1.4. 1 Hình cầu mở là tập mở Hình cầu đóng là tập đóng Mặt cầu là tập đóng.

2 Hợp của một số tùy ý các tập mở là tập mở Giao của một số hữu hạn các tập mở là tập mở.

3 Giao của một số tùy ý các tập đóng là tập đóng Hợp của một số hữu hạn các tập đóng là tập đóng.

4 Với mỗi tập A , phần trong A o là tập mở lớn nhất bị chứa trong A và bao đóng A là tập đóng nhỏ nhất chứa A

Định nghĩa 1.2.1 Cho E là một không gian vector trên trường K (K = R hoặc K = C) Một chuẩn trên E là một ánh xạ p : E → R thỏa mãn các điều kiện

1 p(x) ≥ 0 ∀x ∈ E

2 p(x) = 0 ⇔ x = θ , ở đó θ là phần tử không.

3 ∥ t x ∥= |t | ∥ x ∥ ∀t ∈ K

1.2 KHÔNG GIAN BANACH

4 p(x + y) ≤ p(x) + p(y) ∀x, y ∈ E

Ký hiệu ∥ x ∥= p(x) và ∥ x ∥ được gọi là chuẩn của x

Một không gian vector E cùng với chuẩn∥ · ∥xác định trên đó gọi là không gian định chuẩn.

NếuElà không gian định chuẩn thìEcũng là một không gian metric với khoảng cách

Định lý 1.2.3 Cho không gian định chuẩn E

1 Nếu x0∈ E và A ⊂ E là tập mở (đóng), thì tập x0+ A = {x0 + x : x ∈ A} là tập mở (đóng).

2 Nếu λ 6= 0 và A ⊂ E là tập mở (đóng), thì tập λA = {λx : x ∈ A} là tập mở (đóng).

A Toán tử tuyến tính liên tục.

Định lý 1.2.4 Cho E và F là hai không gian định chuẩn và A : E → F là một toán tử tuyến tính Khi đó A liên tục khi và chỉ khi A bị chặn tức là tồn tại hằng số M sao cho

1.2 KHÔNG GIAN BANACH

L(E , F )cũng là một không gian Banach

Ba kết quả sau đây gọi là ba nguyên lý cơ bản của lý thuyết toán tử tuyến tính

Định lý 1.2.5. • (Nguyên lý bị chặn đều) Giả sử E là không gian Banach, F là không gian định chuẩn và {A i}i ∈I là một họ tùy ý các phần tử của L(E , F ) Nếu với mỗi x ∈ E

Từ đó suy ra nếu A là song ánh thì A−1: F → E là toán tử tuyến tính liên tục.

• (Định lý đồ thị đóng) Giả sử E , F là các không gian Banach và A : E → F là toán tử tuyến tính Khi đó A liên tục khi và chỉ khi đồ thị của A là đóng theo nghĩa sau đây: với mọi dãy (x n ) ⊂ E nếulimn x n = x0 ,limn Ax n = y0 thì y0= Ax0

B Không gian liên hợp và toán tử liên hợp.

Định nghĩa 1.2.6 Nếu E là không gian định chuẩn trên trường K (K = R hoặc K = C) thì tập L(E , K ) được gọi là không gian liên hợp của E và được ký hiệu là E∗ Mỗi phần tử

f ∈ L(E ,K ) được gọi là một phiếm hàm tuyến tính.

Như vậy nếu f ∈ E∗thì

1.2 KHÔNG GIAN BANACH

Định lý 1.2.7 Cho E là không gian định chuẩn và M ⊂ E là một không gian con tuyến tính của E Nếu f ∈ L(M,K ) thì tồn tại f ∈ L(E ,K )˜ sao cho f (x) = f (x) ∀x ∈ M˜ và∥ ˜f ∥=∥ f ∥

Từ định lý Hahn-Banach ta suy ra kết quả quan trọng sau

Định lý 1.2.8 Với mỗi x0∈ E có tồn tại f0∈ E∗sao cho ­ f0, x0® =∥ x0∥và ∥ f0∥= 1 Từ đó suy ra

Vì thế có thể đồng nhấtEvới một không gian con củaE∗∗

Định nghĩa 1.2.10 Không gian định chuẩn E được gọi là phản xạ nếu E = E∗∗

Định nghĩa 1.2.11 Cho A ∈ L(E ,F ) Khi đó tồn tại và duy nhất một toán tử tuyến tính liên tục A∗: F∗→ E∗sao cho với mọi f ∈ F∗, x ∈ E

­x, A∗f ® = ­Ax, f ®.

A∗được gọi là toán tử liên hợp của A

Định lý 1.2.12 Giả sử E , F, H là các không gian Banach và A, B ∈ L(E ,F ),C ∈ L(F, H) Khi đó

• ∥ A∗∥=∥ A ∥

• ( λA)∗= λA∗, (A + B)∗= A∗+ B∗, (C A)∗= A∗C∗

• Nếu tồn tại A−1∈ L(F, E) thì tồn tại (A∗)−1và

(A∗)−1= (A−1)∗

1.2 KHÔNG GIAN BANACH

C Sự hội tụ.

Định nghĩa 1.2.13 Cho (x n)∞n=0 ⊂ E , (A n)∞n=0 ⊂ L(E , F ).

• Dãy (x n)gọi là hội tụ tới x0nếulimn ∥ x n − x0∥= 0

• Dãy (x n)gọi là hội tụ yếu tới x0nếu

• Dãy (A n)gọi là hội tụ tới A0nếu với mỗi x ∈ X dãy (A n x) hội tụ tới A0x

• Dãy (A n)gọi là hội tụ yếu tới A0nếu với mỗi x ∈ X dãy (A n x) hội tụ yếu tới A0x

• Dãy (A n)gọi là hội tụ theo chuẩn tới A0nếu

lim ∥ A n − A0∥= 0

Định lý 1.2.14 Cho (x n)∞n=0 ⊂ X , (A n)∞n=0 ⊂ L(E , F )

• Giả sử E là không gian Banach Để chuỗiP∞

n=1 x n hội tụ điều kiện cần và đủ là với mọi ε > 0 tồn tại n0sao cho với mọi n ≥ n0, với mọi p ta có

1.3 KHÔNG GIAN HILBERT

• Nếu dãy (x n ) ⊂ X hội tụ yếu tới x0thì dãy (A0 x n)hội tụ yếu tới A0x0.

• Nếu dãy (A n)hội tụ theo chuẩn tới A0và dãy (x n ) ⊂ X hội tụ yếu tới x0thì A n x n hội

tụ yếu tới A0x0.

Định nghĩa 1.3.1 Cho E là không gian vector (trong trường số phứcC) Một ánh xạ ϕ :

E × E → C được gọi là dạng Hermite trên E nếu nó thỏa mãn:

ϕ(x, y1+ y2) = ϕ(x, y1) + ϕ(x, y2), ∀x, y1, y2 ∈ E

ϕ(x,λy) = λϕ(x, y), ∀x, y ∈ E,∀λ ∈ C.

Định nghĩa 1.3.2 Dạng Hermite ϕ trên E được gọi là dương nếu ϕ(x,x) ≥ 0 với mọi x ∈ E

và được kí hiệu là ϕ ≥ 0

Định nghĩa 1.3.3 Tích vô hướng trên không gian vector E là dạng Hermite ϕ ≥ 0 trên E

thỏa mãn điều kiện:

1.3 KHÔNG GIAN HILBERT

Định nghĩa 1.3.5 Không gian vector E cùng với một tích vô hướng 〈·,·〉 trên đó gọi là không gian tiền Hilbert.

Ta có hai bất đẳng thức quan trọng sẽ được áp dụng trong những chương sau:

Mệnh đề 1.3.1 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz)

Giả sử ϕ là dạng Hermite không âm trên không gian vector E Khi đó,

|ϕ(x, y)|2≤ ϕ(x, x)ϕ(y, y), ∀x, y ∈ E

Vớix ∈ E, ta đặt∥ x ∥=p〈x, x〉.Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ở trên có thể được phátbiểu lại như sau:

ϕ(x + y,x + y) ≤ pϕ(x,x) + pϕ(y, y), ∀x, y ∈ E.

Tương tự, bằng việc vớix ∈ E, ta đặt∥ x ∥=p〈x, x〉.

Khi đó, bất đẳng thức Minkowski được phát biểu lại như sau:

1.4 TOÁN TỬ HILBERT-SCHMIDT VÀ TOÁN TỬ LỚP VẾT

Mệnh đề 1.3.3 Nếu E là không gian tiền Hilbert thì tích vô hướng của nó liên tục trên

E × E

ChoH là một không gian Hilbert khả ly với chuẩn| · | =p〈·,·〉 ChoAlà một toán tử tuyếntính củaH

Định lý 1.4.1 Cho {e n}và {d n}là hai cơ sở trực chuẩn bất kì của H , khi đó

∞X

n=1

|Ae n|2=

∞X

n=1 |Ae n|2là phân kỳ, thì cũng là phân kỳ với bất kì{d n}khác

Định nghĩa 1.4.2 Một toán tử tuyến tính A của H được gọi là toán tử Hilbert-Schmidt nếu, với các cơ sở trực chuẩn {e n}của H thìP∞

n=1 |Ae n|2< ∞ Một chuẩn Hilbert-Schmidt của A được định nghĩa như sau:

∥ A ∥2=³

∞X

Chú ý (a)chỉ ra rằng nếuAlà một toán tử Hilbert-Schmidt thì toán tử liên hợpA∗của

nó cũng là toán tử Hilbert-Schmidt Một cách giải thích tương tự có thể được áp dụng

1.4 TOÁN TỬ HILBERT-SCHMIDT VÀ TOÁN TỬ LỚP VẾT

cho các khẳng định khác

Kí hiệu:L(2)(H )được kí hiệu là tập hợp các toán tử Hilbert-Schmidt củaH.L(H )được kíhiệu là tập hợp các toán tử tuyến tính bị chặn củaH Theo định lý1.4.3(d),L(2)(H ) ⊂ L(H).Nếu H là hữu hạn chiều, thì L(2)(H ) = L(H) Nhưng nếuH là vô hạn chiều, thìL(2)(H ) 6=

L(H ) (Tức là, toán tử đồng nhấtIcủaH thuộcL(H )nhưng không thuộcL2(H ))

Định nghĩa 1.4.4 Cho A và B thuộc L(2)(H ) Định nghĩa tích trong Hilbert-Schmidt 〈〈A, B〉〉

của A và B như sau:

〈〈A, B〉〉 =

∞X

n=1

〈Ae n , B e n〉 ,

trong đó {e n}là một cơ sở trực chuẩn của H

Chú ý: Chuỗi trên hội tụ tuyệt đối, bởi vì 2|〈Ae n , B e n〉 |6|Ae n|2+ |B e n|2 và ta thấy rằng

〈〈A, B〉〉 hoàn toàn xác định.

Định lý 1.4.5. L(2)(H )với tích trong〈〈·,·〉〉là một không gian Hilbert.

Định nghĩa 1.4.6 Một toán tử của H được gọi là compact nếu nó đưa bất kì tập con bị chặn nào của H vào một tập đóng là compact.

Định lý 1.4.7 (Khai triển cực) Cho A là một toán tử compact của H Khi đó A có thể được viết dưới dạng A = U T , trong đó T là một toán tử compact xác định dương của H , và U là một ánh xạ đẳng cự có miền thuộc T vào H

Định lý 1.4.8 Nếu A là một toán tử compact tự liên hợp, thì tồn tại một cơ sở trực chuẩn

{e n}của H sao cho

Ax =

∞X

1.5 GIỚI THIỆU VỀ PHÂN PHỐI HỮU HẠN CHIỀU

Kí hiệu:L(1)(H )kí hiệu cho tập hợp các toán tử vết lớp của H Nếu A ∈ L(1)(H ), địnhnghĩa một chuẩn lớp vết của Abởi

||A||1=

∞X

(d ) Nếu A, B ∈ L(2)(H ) thì AB ∈ L(1)(H ) và ||AB||16||A||2||B||2,

(e) ||A||26||A||1,

( f ) ||AB||16||A|| ||B||1, ||AB||16||A||1||B||, (g ) ||A∗||1= ||A||1

Thật trùng hợp, suy ra từA = (UpT )p

T ta có những điều sau:

Hệ quả 1.4.12 Bất kỳ toán tử lớp vết nào cũng có thể được viết như một tích của 2 toán

tử Hilbert-Schmidt.

Định lý 1.4.13. L(1)(H )là một không gian Banach với một chuẩn lớp vết.

Phân phối hữu hạn chiều thực chất là ta làm việc với vector ngẫu nhiên hữu hạn chiều(nên còn được gọi là phân phối của vector ngẫu nhiên)

TrongRd ta có thể đưa vào quan hệ thứ tự bộ phận Vớix = (x1, , x d),y = (y1, , y d) ∈ Rd,

ta viết

x ≤ y nếux k ≤ y k , k = 1, ,d,

1.5 GIỚI THIỆU VỀ PHÂN PHỐI HỮU HẠN CHIỀU

Ngược lại, như trường hợpd = 1, nếu hàm sốdbiến sốF (x)thỏa mãn 4 tính chất trên thì

F sẽ là hàm phân phối của vector ngẫu nhiênd −chiều nào đó

Thật vậy, ta có thể lấy không gian đo(Rd,B(Rd)) Trên lớpC = {[a,b), a < b}đặt

P0[a, b] = 41b1−a142b2−a2 4d b d −a d F (a).

1.5 GIỚI THIỆU VỀ PHÂN PHỐI HỮU HẠN CHIỀU

Sau đó, nhờ nguyên lý thác triển độ đo, có thể thác triểnP0từClênB(Rd)để được độ đoxác suấtP trênB(Rd) Vector ngẫu nhiênX cần tìm chính là ánh xạ đồng nhất từRd lên

Ví dụ 1 Phân phối đa thức

Vector ngẫu nhiênd −chiềuX được gọi là có phân phối đa thức với các tham số

B

f (x1, , x d )d x1 d x d , B ∈B(Rd)

1.5 GIỚI THIỆU VỀ PHÂN PHỐI HỮU HẠN CHIỀU

C

h .Z

Ví dụ 2.Phân phối chuẩn nhiều chiều

Giả sửa = (a1, , a d)là vectord chiều vàM = (m i j)d

i , j =1là ma trận vuông cấpn Giảthiết rằngM đối xứng và xác định dương vàA = M−1 Ta nói rằng vector ngẫu

1.5 GIỚI THIỆU VỀ PHÂN PHỐI HỮU HẠN CHIỀU

nhiênX = (X1, , X d)có phân phối chuẩnN (a, M )nếu mật độ củaX có dạng

Chương 2

Độ đo Gauss trong không gian Banach

Cho Hlà một không gian Hilbert thực khả ly.B kí hiệu cho một trường Borel củaH, tức

làσ−trường sinh ra bởi các tập con mở củaH Một độ đo Borel trongHtheo định nghĩa

là một độ đo xác định trong(H ,B)

Định nghĩa 2.1.1 Cho µ là một độ đo Borel trong H Một toán tử hiệp phương sai S µ của

µ được định nghĩa bởi

­S µ x, y® =

Z

H

〈x, z〉 ­ y, z® µ(dz), x, y ∈ H.

Chú ý S µcó thể không tồn tại NếuS µtồn tại thìS µxác định dương và là tự liên hợp

Định nghĩa 2.1.2 Một toán tử được gọi là một S-toán tử của H nếu nó thuộc L(1)(H ) , xác định dương và tự liên hợp S kí hiệu cho tập hợp các S-toán tử của H

Chú ý Rõ ràngS không là một không gian vector S sẽ được coi như một tập hợp Chú

ý rằng nếu A ∈S thì||A||1 = t r ace A

2.1 ĐỘ ĐO BOREL TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chứng minh Điều kiện đủ: Cho {e n}là một cơ sở trực chuẩn củaH

Theo định lý hội tụ đơn điệu,

Rõ ràng,S µ là tự liên hợp và xác định dương Để chỉ ra rằngS µ∈S, ta sẽ chỉ ra rằng nếu

{e n}là một cơ sở trực chuẩn củaHthì chuỗi

∞X

n=1

­S µ e n , e n®

hội tụ

2.1 ĐỘ ĐO BOREL TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Đồng thời,

∞X

H

∞X

n=1

〈x, e n〉2µ(dx) (Định lý hội tụ đơn điệu)

=Z

2.1 ĐỘ ĐO BOREL TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

S r

+Z

Định lý 2.1.7 (Prohorov) Một phiếm hàm φ trong H là một phiếm hàm đặc trưng của một độ đo xác suất trong H khi và chỉ khi (a) φ(0) = 1 và φ là xác định dương, và (b) với mọi ² > 0, ∃S ε∈S sao cho

2.1 ĐỘ ĐO BOREL TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

S r

〈x, z〉 ­ y, z® µ(dz)

kết luận thỏa mãn được suy ra ngay

Chú ý (1)Thấy rằng nếu toán tử phương saiS µ củaµtồn tại, khi đó ta có1 − Re φ(x)6

2.1 ĐỘ ĐO BOREL TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Rõ ràng,νthỏa mãn các giả thiết của Định lý2.1.3và do đó toán tử hiệp phương saiS ²

của nó là một S-toán tử Đây là một chứng minh khác choS ε∈S

Điều kiện đủ.(Ta phải sử dụng Định lý Bochner cho không gian hữu hạn chiềuRn.)Bước 1 Đầu tiên ta suy ra một số tính chất suy ra từ(a)

(a − 1) |φ(x)|61, vàφ(x) = φ(−x)với mọixthuộcH

(a − 2) |φ(x) − φ(y)|62p|1 − φ(x − y)|với mọix, y thuộcH

(a − 3) |1 − φ(x)|6p2p1 − Re φ(x)với mọixthuộcH

(a − 1): Lấyn = 2,x1= 0vàx2= x,(a)suy ra rằng ma trận dưới đây là xác định dương theo

ý nghĩa đại số tuyến tính,





1 φ(x) φ(−x) 1

là xác định dương Do đó định thứcD ≥ 0 Tuy nhiên,

D = 1 + φ(x)φ(y) φ(x − y) + φ(x)φ(y)φ(x − y) − |φ(y)|2− |φ(x)|2− |φ(x − y)|2

= 1 + 2Re [φ(x)φ(y) φ(x − y)] − (|φ(x)|2+ |φ(y)|2) − |φ(x − y)|2

= 1 + 2Re [φ(x)φ(y) φ(x − y)] − ¡|φ(x) − φ(y)|2+ 2Re φ(x)φ(y)¢ − |φ(x − y)|2

= 1 + 2Re [φ(x)φ(y) (φ(x − y) − 1)] − |φ(x) − φ(y)|2− |φ(x − y)|2

2.1 ĐỘ ĐO BOREL TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Bước 2 Cho {e n} là một cơ sở trực chuẩn cố định của H Với mỗi n > 1, định nghĩa

ψ e1, ,en trongRnbởi

ψ e1, ,en (a1, , a n ) = φ(a1 e1+ · · · + a n e n)

Chú ý rằngRe φlà liên tục tại gốc theo(b) Do đóφlà liên tục trongHtheo(a−2)và(a−3)

Do đóψ e1, ,enliên tục với mỗin Cũng như vậy,ψ e1, ,en là xác định dương vàψ e1, ,en(0) = 1

2.1 ĐỘ ĐO BOREL TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Định lý Bochner choRncho chúng ta một họ các độ đo xác suất{µ n}sao cho

Khi đóX là đo được từΩvàoH Định nghĩaµ = P ◦ X−1là một độ đo xác suất Borel của

H ChoQ nlà một phép chiếu trực giao củaHvào bề rộng củae1, e2, , e n, nghĩa là:

2.1 ĐỘ ĐO BOREL TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Lúc này, chon → ∞và thấyQ n x → xtrongH khin → ∞, ta cóφ(Q n x) → φ(x)theo tính liêntục củaφ Áp dụng định lí tính hội tụ trội Lebesgue

Rn

φ(y1e k+1 + · · · + y n e k+n)

³ 1p

2π

´n

e−12{y12+···+y2n}d y1 d y n

=Z

2.1 ĐỘ ĐO BOREL TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Do đó,

1 −Z

Ω

e−

1 2

2.1 ĐỘ ĐO BOREL TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

P {

∞X

P ∞

j =1 X2

k+j d P

=Z

n=1

X n2< ∞} = 1,

điều phải chứng minh

Bây giờ, ta sẽ nghiên cứu độ đo Gauss trongH Ta bắt đầu với những điều sau đây

Định nghĩa 2.1.8 Một độ đo Gauss µ trong H là một độ đo Borel trong H sao cho với mỗi

x ∈ H , hàm đo được 〈x, ·〉 là một phân phối chuẩn, nghĩa là, tồn tại các số thực m x và σ x sao cho

trong đó m µ là trung bình của µ và S µ là toán tử hiệp phương sai của µ

Chú ý.(1)Định nghĩa2.1.8không chỉ ra bất cứ điều gì về sự tồn tại củam µvàS µ Tấtnhiên, bổ đề này nói rằng, nếum µvàS µtồn tại thìφcó thể được cho bởi công thức trên

(2)Ta có thể chỉ ra rằngµ = ˆν ⇒ µ = νˆ với bất kì 2 độ đo Borel nào trongH Khi đó, theo bổ

đề trên, một độ đo Gauss trongHđược xác định duy nhất bởi trung bình và toán tử hiệp

2.1 ĐỘ ĐO BOREL TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

phương sai của nó

Định lý 2.1.10 (Prohorov). (a) Nếu µ là một độ đo Gauss trong H thì S µ∈S.

(b) Nếu x0∈ H và S ∈ S thì φ(x) = e i 〈x0,x〉−12〈Sx,x〉 là một phiếm hàm đặc trưng của một độ đo

2.1 ĐỘ ĐO BOREL TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

< ∞

và theo chú ý phía dưới Định nghĩa2.1.4,m µtồn tại

(i i )Định lý có thể được diễn giải như sau:

φ(x) = e i 〈x0,x〉−1〈Sx,x〉là một phiếm hàm đặc trưng của một độ đo Gauss khi và chỉ khiS ∈S

Chứng minh (a)Theo chứng minh của Bổ đề2.1.9, ta có:

2.1 ĐỘ ĐO BOREL TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

x.Khi đó­Sy, y® < ε.Vì vậy,

σ y62 log 1

1 − 2ε.

Đồng thời,

σ y=Z

điều này đưa ra được khẳng định trên

Choc =43log1−2ε1 Khi đó khẳng định trên suy ra rằng

Z

H

­x, y®2µ(d y)6c 〈Sx, x〉.

Bất đẳng thức này chỉ ra rằng không những có sự tồn tại của toán tử hiệp phương saiS µ

củaµ, mà còn có sự tồn tại củaS µ∈S

2.1 ĐỘ ĐO BOREL TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

(b)Rõ ràng,φ(0) = 1vàφxác định dương Đầu tiên xét trường hợpx0= 0 Khi đó

1 − Re φ(x) = 1 − e−〈Sx,x〉2 61

2〈Sx, x〉

bởi vì1 − e −y6yvới mọiy ≥ 0

Vì 12S ∈S,(b)của định lý2.1.7thỏa mãn tầm thường

Do đó theo kết luận của định lý2.1.7, tồn tại một độ đo Borelµsao choφ(x) = ˆµ(x), x ∈ H.

2.1 ĐỘ ĐO BOREL TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

ˆ

µ(x) = e−|x|22

Bây giờ, ta chỉ sẽ ra tính chất bất biến của độ đo Gauss Choµlà một độ đo Gausstrong H có trung bình0 Nếu cần, ta có thể giả sử toán tử hiệp phương saiS của nó làđơn ánh bằng việc xét giá củaµ

Trong ảnhpS(H ),ta định nghĩa một tích trong〈 , 〉0bởi

(1)H0=pS(H ).Sau này, ta sẽ coi (H , µ)như một cặp(H0, H ).

(2)ChoU ∈ L(H).Ta sử dụngU˜ để kí hiệu cho liên hợp củaU

NếuH0là bất biến đối vớiU, tức làU (H0) ⊂ H0,thìU | H0 có thể được xem như một toán

tử củaH0.Một áp dụng dễ dàng của định lý đồ thị đóng chỉ ra rằngU | H0∈ L(H0).Toán tửnày sẽ được kí hiệu bằngU0 Liên hợp củaV ∈ L(H0)sẽ được kí hiệu bởiV∗

Định lý 2.1.13 Cho U ∈ L(H) và U (H0) ⊂ H0.Giả sử U0là unita trong H0 Khi đó µU−1= µ.

Chứng minh Dễ thấy rằng µU−1 là một độ đo Gauss trongH có trung bình0 Do đó, taphải chỉ ra rằng µU−1 có cùng một toán tử hiệp phương saiS như µ ChoT là toán tử