Độ đo xác suất gauss trên không gian banach

- ỗ Ộ uy ùng XÁ SUẤ Ô USS B ộ - 2017 U - ỗ Ộ uy ùng XÁ SUẤ Ô USS B LTXS v t ố ố LU V S.TS k toá 60460106 T S ặ ù ộ - 2017 T ắ ọc Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành với hướng dẫn tận tình nghiêm khắc GS.TSKH.Đặng Hùng Thắng Trước trình bày nội dung luận văn, tác giả muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người thầy đáng kính Thầy ln tận tình hướng dẫn giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả muốn gửi tới tồn thể thầy Khoa Tốn - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy đảm nhận giảng dạy khóa Cao học 2014 - 2016, đặc biệt thầy cô tham gia giảng dạy nhóm Xác suất thống kê 2014 - 2016 lời cảm ơn chân thành công lao dạy dỗ suốt thời gian khóa học Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp anh chị em nhóm Xác suất thống kê 2014 - 2016 quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện động viên tinh thần để tác giả hồn thành khóa học Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2017 Học viên Đỗ Huy Hùng Mục lục Lời cảm ơn Lời mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian Banach 1.3 Không gian Hilbert 12 1.4 Toán tử Hilbert-Schmidt toán tử lớp vết 14 1.5 Giới thiệu phân phối hữu hạn chiều 16 Độ đo Gauss không gian Banach 21 2.1 Độ đo Borel không gian Hilbert 21 2.2 Độ đo Wiener tích phân Wiener C[0,1] 37 2.3 Không gian Wiener trừu tượng 49 2.4 C[0,1] coi không gian Wiener trừu tượng 64 2.5 Định lý phân phối yếu định lý Gross-Sazonov 68 Tính tương đương tính trực giao độ đo Gauss 75 3.1 Phép tịnh tiến độ đo Wiener 76 3.2 Định lý Kakutani tích vơ hạn độ đo 80 3.3 Định lý Feldman-Hajek tính tương đương độ đo Gauss không gian Hilbert 82 MỤC LỤC Kết luận 90 Lời mở đầu Ngày nay, Lý thuyết xác suất có lẽ ngành tốn học khơng xa lạ người tính ứng dụng thực tiễn nhiều lĩnh vực sống Chính tầm quan trọng mơn nên trở thành ngành nghiên cứu quan tâm cách đặc biệt đương nhiên bao hàm lượng kiến thức rộng lớn, chuyên sâu Vì kiến thức hạn hẹp nên tác giả xin tìm hiểu nghiên cứu đề tài nhỏ "Độ đo xác suất Gauss khơng gian Banach" Như ta biết độ đo Lebesgue đóng vai trò quan trọng định lý tích phân không gian Rn Nhưng câu hỏi đặt là: Liệu độ đo Lebesgue có nghĩa khơng gian vô hạn chiều hay không Rất tiếc câu trả lời khơng May mắn là, độ đo Gauss có nghĩa khơng gian vơ hạn chiều trọng tâm nghiên cứu luận văn Luận văn tác giả chia làm chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, tác giả xin giới thiệu kiến thức chuẩn bị để làm tiền đề giúp người đọc dễ dàng theo dõi chương sau Chương tác giả chủ yếu giới thiệu không gian khơng gian metric, khơng gian Banach không gian Hilbert, đồng thời nhắc lại kiến thức tốn tử liên quan khơng gian Hilbert khái niệm phân phối hữu hạn chiều Chương Độ đo Gauss không gian Banach Trong chương này, tác giả trình bày kiến thức độ đo xác suất Gauss không gian Hilbert (một không gian Banach đặc biệt) vấn đề liên quan Chương Tính tương đương tính trực giao độ đo Gauss Trong chương này, tác giả giới thiệu số định nghĩa, khái niệm tính chất liên quan đến độ đo Gauss tính tương đương tính trực giao Để nghiên cứu đề tài "Độ đo Gauss không gian Banach", tác giả tham khảo số tài liệu ngồi nước Lý thuyết xác suất Trong ◦ Nội dung chương luận văn tham khảo tài liệu [1] [2] [7] [4] [3]; ◦ Nội dung chương luận văn tham khảo tài liệu [7]; ◦ Nội dung chương luận văn tham khảo tài liệu [7] [6]; Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 Tập hợp X gọi không gian metric tồn ánh xạ d : X × X → [0 : ∞) có tính chất sau: d (x, y) > với cặp (x, y) X × X d (x, y) = x = y d (x, y) = d (y, x) Với x, y, z ∈ X ta có bất đẳng thức tam giác sau d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z) Ánh xạ d gọi hàm khoảng cách hay metric X Tập X với metric d gọi không gian metric với metric d ký hiệu (X , d ) Các phần tử không gian metric thường gọi điểm Định nghĩa 1.1.2 Cho (X , d ) không gian metric Với số thực r > điểm a ∈ X , tập B (a, r ) = {x ∈ X : d (a, x) < r } gọi hình cầu mở tâm a với bán kính r Tập B (a, r ) = {x ∈ X : d (a, x) ≤ r } gọi hình cầu đóng tâm a với bán kính r Tập S r (a) = {x ∈ X : d (a, x) = r } gọi mặt cầu tâm a với bán kính r 1.1 KHƠNG GIAN METRIC Cho A B hai tập khác trống X Khoảng cách A B định nghĩa d (A, B ) = inf x∈A,y∈B d (x, y) Nói riêng A = {a} khoảng cách d ({a}, B ) gọi khoảng cách từ điểm a tới tập B ký hiệu d (a, B ) tức d (a, B ) = inf d (a, y) y∈B Cho A tập khác trống X Đường kính A ký hiệu δ(A) định nghĩa δ(A) = sup d (x, y) x∈A,y∈A Chú ý δ(A) ≥ (có thể +∞) δ(A) = A tập gồm điểm Ngoài x, y ∈ B (a, r ) → d (x, y) ≤ d (x, a) + d (a, y) < 2r δ(B (a, r )) ≤ 2r Tập A khác trống X gọi tập bị chặn δ(A) < +∞ Dễ thấy A bị chặn tồn hình cầu B (x , r ) chứa A Tập A khác trống X gọi hoàn toàn bị chặn với r > tồn số hữu hạn hình cầu B , , B n (mở hay đóng) có bán kính bé hay r cho A ⊂ E1 ∪ E2 ∪ ∪ En Tức với r > tập A phủ số hữu hạn hình cầu (mở hay đóng) có bán kính ≤ r Hiển nhiên tập hoàn toàn bị chặn bị chặn Trong khơng gian hữu hạn chiều điều ngược lại nói chung điều ngược lại khơng Tiếp theo định nghĩa tập mở, tập đóng, lân cận khơng gian Định nghĩa 1.1.3 Cho (X , d ) không gian metric 1.1 KHÔNG GIAN METRIC Tập A ⊂ X gọi tập mở với x ∈ A tồn r > cho B (x, r ) ⊂ A Cho x ∈ X Mỗi tập mở V chứa x gọi lân cận mở x Điểm x ∈ X gọi điểm tập A ⊂ X tồn lân cận mở V x cho V ⊂ A Tập tất điểm A gọi phần A ký hiệu A o Tập A ⊂ X gọi tập đóng phần bù A c tập mở Điểm x ∈ X gọi điểm dính tập A ⊂ X lân cận x có giao khác trống với A Tập tất điểm dính A gọi bao đóng A ký hiệu A Điểm x ∈ X gọi điểm biên tập A ⊂ X điểm dính A A c Tập tất điểm biên A gọi biên A ký hiệu F r (A) Tập A ⊂ X gọi trù mật X X = A Ký hiệu B(X ) σ− đại số bé chứa tập mở Mỗi tập B ∈ B(X ) gọi tập Borel X Không gian metric X gọi khả ly X tồn tập A đếm trù mật X 10 Dãy (x n ) ⊂ X gọi hội tụ tới x ∈ X lim d (x n , x) = 11 Dãy (x n ) ⊂ X gọi dãy Cauchy với ε > tồn n cho n > n , m > n d (x n , x m ) < ε 12 Không gian metric X gọi đầy đủ với dãy Cauchy (x n ) ⊂ X hội tụ Một số kết cần nhớ 3.1 PHÉP TỊNH TIẾN CỦA ĐỘ ĐO WIENER Nếu f : C [0, 1] → R w− khả tích, ta viết f (x)w(d x) f (x)δx C [0,1] Định nghĩa 3.1.1 f (x)δx gọi tích phân phẳng Donsker Cho x ∈ C [0, 1] Định nghĩa độ đo tịnh tiến w x0 w theo x w x0 (E ) = w(E + x ), E ∈ B(C [0, 1]) Ta ký hiệu C tập hàm f liên tục tuyệt đối cho f (0) = 0, f ∈ L [0, 1] Định lý 3.1.2 Nếu x ∈ C w x0 ∼ w đạo hàm Radon-Nikodym cho d w x0 dw (x) = e − 21 1 x (t )2 d t − x (t )d x(t ) Chú ý x (t )d x(t ) coi tích phân ngẫu nhiên (Phần 2.4) d w x0 dw xác định w− hầu khắp nơi Khi Cameron-Martin lần chứng minh công thức này, họ coi x (t )d x(t ) tích phân Stieltjes cho họ giả sử x biến phân bị chặn d w x0 dw xác định nơi C [0, 1] Chứng minh Điều ta phải chứng minh với hàm w− khả tích f nào, ta có f (y)wd (y) = C [0,1] g (x , x) = e − 12 f (x + x )g (x , x)w(d x), C [0,1] x (t )2 d t − x (t )d x(t ) 77 3.1 PHÉP TỊNH TIẾN CỦA ĐỘ ĐO WIENER Tuy nhiên, cách sử dụng tích phân phẳng Donsker, ta có f (y)w(d y) = f (y)δy C [0,1] = f (y)e − 21 y (t )2 d t dy = f (x + x )e = f (x + x )e = f (x + x )e − 12 (x (t )+x (t ))2 d t − 21 − 12 1 x (t )2 d t − x (t )x (t )d t − 21 e f (x + x )e = dx x (t )2 d t dx x (t )2 d t − x (t )d x(t ) − 21 δx x (t )2 d t − x (t )d x(t ) w(d x) C [0,1] Trong trường hợp không gian Wiener trừu tượng (i , H , B ) ta có định lý Chứng minh định lý coi điều chỉnh cho việc sử dụng tích phân phẳng chứng minh trước Với x ∈ B, định nghĩa p t (x, E ) = p t (E + x), E ∈ B(B ) Định lý 3.1.3 Nếu h ∈ H p t (h, ·) tương đương với p t đạo hàm Radon-Nikodym cho d p t (h, ·) (x) = e − 2t |h| − t 〈h,x〉 , x ∈ B d pt Chú ý 〈h, x〉 coi biến ngẫu nhiên qua B Xem Bổ đề 2.3.17 Chứng minh Ta phải chứng minh với hàm p t − khả tích f Ta có f (x + h)e − 2t |h| f (y)p t (d y) = B − 1t 〈h,x〉 p t (d x) B Hiển nhiên, ta bất đẳng thức cho hàm liên tục bị chặn Cho f hàm liên tục bị chặn B g = f |H Theo định lý 2.5.5 g˜ có nghĩa 78 3.1 PHÉP TỊNH TIẾN CỦA ĐỘ ĐO WIENER g˜ = f hầu khắp nơi (p t ) Do ta chọn dãy {P n } ⊂ F hội tụ mạnh tới đồng cho g (P n x)∼ hội tụ tới f hầu khắp nơi (p t ) Do g (P n x)∼ (y)p t (d y) f (y)p t (d y) = lim n→∞ B B = lim g (P n x) = lim g (P n x + P n h) = lim φ(P n x) n→∞ Pn H n→∞ Pn H n→∞ Pn H dimP n H 2πt 1 dimP n H 2πt dimP n H 2πt e − 2t |x| d x 1 e − 2t |x+h| d x e − 2t |x| d x φ(P n x)∼ (y)p t (d y), = lim n→∞ B φ(y) = e − 2t |h| Rõ ràng, φ(P n x)∼ → e − 2t |h| − 1t 〈·,h〉 − 1t 〈 y,h 〉 g (y + h), y ∈ H f (· + h) theo xác suất Chọn dãy P n (nếu cần), cho hội tụ hầu khắp nơi (p t ) Do f (y + h)e − 2t |h| f (y)p t (d y) = B − 1t 〈 y,h 〉 p t (d y) B Hệ 3.1.4 (a)Với ε > 0, w{x ∈ C [0, 1]; ∥ x ∥≤ ε} > (b)Với ε > 0, p t {x ∈ B ; ∥ x ∥≤ ε} > Chú ý Hệ suy tập mở khơng rỗng có độ đo Wiener dương 79 3.2 ĐỊNH LÝ KAKUTANI VỀ TÍCH VƠ HẠN CÁC ĐỘ ĐO Chứng minh (a) Xem Bổ đề 2.4.5 Định lý 3.1.2 (b) Sử dụng lập luận chứng minh Bổ đề 2.4.5 ngoại trừ việc Định lí 3.1.3 nên sử dụng thay Định lý 3.1.2 Hệ 3.1.5 Nếu θ ∈ L [0, 1] e − θ(t )d x(t ) w− khả tích e − θ(t )d x(t ) w(d x) = C [0,1] e θ(t )2 d t Chứng minh Cho x (t ) = θ(s)d s, x ∈ C Đặt f ≡ Định lý 3.1.2 thu e 1= − 12 1 θ(t )2 d t − θ(t )d x(t ) 0 w(d x) C [0,1] =e − 12 1 θ(t )2 d t e − θ(t )d x(t ) w(d x) C [0,1] 3.2 Định lý Kakutani tích vơ hạn độ đo Cho µ ν hai độ đo xác suất không gian đo (X , B) Cho λ độ đo xác suất cho µ ν liên tục tuyệt đối λ Ví dụ, λ lấy 21 (µ + ν) Định nghĩa tích phân Hellinger µ ν sau: H (µ, ν) = X dµ dλ 80 dν d λ dλ 3.2 ĐỊNH LÝ KAKUTANI VỀ TÍCH VƠ HẠN CÁC ĐỘ ĐO Có thể dễ dàng kiểm tra H (µ, ν) độc lập với việc chọn λ thường kí d µd ν Ta có tính chất sau cho H (µ, ν) : hiệu X (i ) ≤ H (µ, ν) ≤ 1, (Theo bất đẳng thức Schwarz), (i i ) H (µ, ν) = ⇐⇒ µ = ν, (i i i ) H (µ, ν) = ⇔ µ ⊥ ν (trực giao), (i v) µ ∼ ν (tương đương) ⇒ H (µ, ν) > Cho Ω = R × R × R × , B˜ = ˜ Cho {µn } B(R) Ta có khơng gian đo (Ω, B) {νn } hai dãy độ đo xỏc sut R nh ngha = à1 ìà2 × ν = ν1 ×ν2 × Khi ˜ Rõ ràng, µk ⊥ νk với vài k , µ ⊥ ν µ ν hai độ đo xác suất (Ω, B) Tuy nhiên, liệu có µk ∼ νk với k khơng? Ta có câu trả lời sau đây: Định lý 3.2.1 (Kakutani) Nếu µk ∼ νk , k = 1, 2, 3, µ ν tương đương trực giao Hơn nữa, µ ∼ ν ∞ H (µk , νk ) k=1 dµ > Trong trường hợp µ ∼ ν, d ν = ∞ d µk k=1 d νk Ví dụ Cho d µk = Khi µ ∼ ν (x+a )2 x k e − 2t d x d νk = e − 2t d x 2πt 2πt ∞ k=1 ak < ∞ Trong trường hợp này, dµ {(x , x , , x n , )} = e − 2t dν Chứng minh Sử dụng cơng thức H (µk , νk ) = e Ví dụ Cho d µk = x e − 2t 2πt d x d νk = ∞ a2 − k=1 k t ∞ a x k=1 k k a2 − 8tk dễ dàng kiểm tra e− 2πt (x+a k )2 2s d x, k = 1, 2, Nếu t = s µ ⊥ ν với ak Chứng minh Sử dụng công thức dễ dàng kiểm tra H (µk , νk ) = [2 t s/(t + s)]1/2 e −ak /4(t +s) 81 3.3 ĐỊNH LÝ FELDMAN-HAJEK VỀ TÍNH TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA CÁC ĐỘ ĐO GAUSS TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Ví dụ Cho d µk = x2 − e 2tk 2πt k Khi µ ∼ ν d x d νk = a k2 ∞ k=1 t k − e 2πt k Ví dụ Cho d µk = Nếu 3.3 ∞ (t k=1 k d x , k = 1, 2, 3, < ∞ Trong trường hợp dµ −1 {(x , , x n , )} = e dν x e− 2π (x+a k )2 2t k d x d νk = a2 ∞ k k=1 t k − ∞ ak xk k=1 t k x2 − e 2tk 2πt k d x, k ≥ − 1)2 < ∞ µ ∼ ν Định lý Feldman-Hajek tính tương đương độ đo Gauss không gian Hilbert Cho H không gian Hilbert thực khả ly Trong 2.1 ta độ đo Gauss µ H xác định vector m µ H S− tốn tử S µ H m µ gọi trung bình µ S µ tốn tử hiệp phương sai µ Định lý Feldman Hajek khẳng định hai độ đo Gauss H tương đương trực giao Để thuận tiện, ta sử dụng kí hiệu µ = [a, S] có nghĩa µ độ đo Gauss H với trung bình a tốn tử hiệp phương sai S Nếu S ∈ S, S kí hiệu cho bậc hai dương S Chú ý S ∈ L (2) (H ) S ∈ S Định lý 3.3.1 Cho µ = [0, S] ν = [a, S] Khi µ ∼ ν a ∈ S(H ) µ ⊥ ν a ∉ S(H ) Hơn nữa, µ ∼ ν đạo hàm Radon-Nikodym cho dν (x) = e − |( dµ S)−1 a|2 + ( S)−1 a,( S)−1 x Chú ý 82 3.3 ĐỊNH LÝ FELDMAN-HAJEK VỀ TÍNH TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA CÁC ĐỘ ĐO GAUSS TRONG KHƠNG GIAN HILBERT (a) Coi H khơng gian Wiener trừu tượng (i , S(H ), H ), ta thấy phần kết luận Định lý 3.1.3 với t = h = −a e i 〈b,x〉 d µ(x) = e − 〈Sb,b〉 Do ( S)−1 a, ( S)−1 x (b) Chú ý biến H ngẫu nhiên H , có phân phối chuẩn (đối với µ) với trung bình phương sai |( S)−1 a|2 Chứng minh Bước 1: µ khơng trực giao với ν ⇒ a ∈ S(H ) Với h ∈ H , cho µh νh phân phối 〈h, ·〉 µ ν tương ứng Vì µ khơng trực giao với ν, nên µh khơng trực giao với νh với h = Thấy µh phân phối chuẩn N (0, 〈Sh, h〉) νh phân phối chuẩn N (〈a, h〉 , 〈Sh, h〉) Suy sup |h|=1 | 〈a, h〉 | 〈Sh, h〉 < ∞, tức là, a ∈ S(H ) Bước 2: a ∈ S(H ) ⇒ µ ∼ ν, dν d µ (x) cho định lý Coi H không gian Wiener trừu tượng (i , H0 , H ), H0 = S(H ) tích H0 cho x, y H0 = ( S)−1 x, ( S)−1 y , x, y ∈ H0 Dễ thấy µ độ đo Wiener p H ν p (a, ·) Do Định lí 3.1.3 cho ta kết luận thỏa mãn Hệ 3.3.2 Cho µ = [a, S] ν = [b, S] Khi µ ∼ ν µ ⊥ ν theo a − b ∈ S(H ) khơng Chứng minh Chú ý đơn giản tính tương đương trực giao bảo toàn phép tịnh tiến Định lý 3.3.3 Cho µ = [0, S ] ν = [0, S ] Nếu µ khơng trực giao với ν S = S T S , T toán tử khả nghịch bị chặn xác định dương T − I ∈ L (2) (H ) 83 3.3 ĐỊNH LÝ FELDMAN-HAJEK VỀ TÍNH TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA CÁC ĐỘ ĐO GAUSS TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chứng minh Cho λ1 , λ2 , , λn , giá trị riêng khác S cho e , e , , e n , vector đơn vị riêng tương ứng Định nghĩa H = {(s , s , ); ∞ j =1 λ j s j < ∞} ánh xạ Φ : H → H Φ(x) = (〈x, e 〉 / λ1 , , 〈x, e n 〉 / λn , ) Thấy Φ ánh xạ lên ker Φ = ker S Cho µ˜ ν˜ phân phối µ ν H (Φ(x))i kí hiệu cho nhân tố thứ i Φ(x) Rõ ràng, với i , j = 1, 2, , ta có (Φ(x))i d µ(x) = H (Φ(x))i d ν(x) = 0, H (Φ(x))i (Φ(x)) j d µ(x) = δi j , H (Φ(x))i (Φ(x)) j d ν(x) = S2ei , e j λi λ j H ≡ ti j Nghĩa là, ˜ = s i d µ(s) H s i d ν˜ (s) = H ˜ = δi j s i s j d µ(s) H s i s j d ν˜ (s) = t i j H Vì µ ν khơng trực giao, nên µ˜ ν˜ khơng trực giao Cho µ˜ n ν˜ n giới hạn µ˜ ν˜ lên n tọa độ Chú ý µ˜ n độ đo Gauss với trung bình toán tử hiệp phương sai I ν˜ n độ đo Gauss khác với trung bình tốn tử hiệp phương sai Tn ,    t 11 t 12  Tn =    t n1 t n2 t 1n      t nn Cho λ1 λ2 hai độ đo Gauss Rn với trung bình a1 a2 , toán tử hiệp 84 3.3 ĐỊNH LÝ FELDMAN-HAJEK VỀ TÍNH TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA CÁC ĐỘ ĐO GAUSS TRONG KHÔNG GIAN HILBERT phương sai S S tương ứng Khi tích phân Hellinger λ1 λ2 cho det S det S det (S + S )/2 H (λ1 , λ2 )2 = 1/2 exp {− (S + S )−1 (a1 − a2 ), a1 − a2 } Bây giờ, cho θn, j , j = 1, , n, giá trị riêng Tn Khi ta có + θn, j log θn, j − log ( ) 2 n log H (µ˜ n , ν˜ n ) = j =1 ˜ ν˜ ) > Thấy H (µ˜ n , ν˜ n ) đơn điệu giảm tới H (µ, ˜ ν˜ ) Vì µ˜ khơng trực giao với ν˜ , ta có H (µ, n → ∞ Do đó, tồn số hữu hạn M cho H (µ˜ n , ν˜ n ) > e −4M với n Nghĩa n [2 log ( j =1 + θn, j ) − log θn, j ] < M với n Điều suy n (a) (1 − θn, j )2 < M với n, (vì (1 − x)2 ≤ log j =1 (b) Tồn < c < ∞ cho c < θn, j < 1+x − log x) với n, j c Định nghĩa toán tử T : H → H việc yêu cầu T x = x x ∈ ker S Te i = ∞ j =1 t i j e j , i = 1, 2, T rõ ràng xác định dương (b) suy T khả nghịch bị chặn Hơn nữa, ∞ i , j =1 (t i j − δi j )2 = lim n→∞ n i , j =1 n (1 − θn, j )2 = lim n→∞ (t i j − δi j )2 j =1 < M (theo a) Do đó, T − I ∈ L (2) (H ) Ta có kết sau (không chứng minh), [0, S ] không trực giao với [0, S ] ker S = ker S 85 3.3 ĐỊNH LÝ FELDMAN-HAJEK VỀ TÍNH TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA CÁC ĐỘ ĐO GAUSS TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Theo kết trên, ta có S T S = S thuộc ker S Hơn nữa, với i = 1, 2, , S1T S T ( λi e i ) S1ei = ∞ λi t i j e j ) S1( = j =1 ∞ = λi λ j ti j e j j =1 ∞ S2 ei , e j e j = j =1 = S2 ei Do ta có S T S = S thuộc H Định lý 3.3.4 Cho µ = [0, S ] ν = [0, S ] Giả sử S = S T S , T xác định dương, bị chặn, khả nghịch T − I ∈ L (2) (H ) Khi µ tương đương với ν Hơn nữa, đạo hàm Radon-Nikodym cho bởi: ∞ dν (ψ{x n }) = dµ k=1 βk + βk x2 e 2(βk +1) k , ψ βk cho chứng minh sau Chú ý Giới hạn ý tới (ker S )⊥ , cần ta giả sử S toán tử 1-1 Khi ta coi H khơng gian Wiener trừu tượng (i , S (H ), H ) trước đó, µ độ đo Wiener p H Hơn nữa, dễ thấy ν = p ◦ L −1 , L= S ( S )−1 Nếu S S liên hệ định lý L có tính chất tương tự T Chứng minh Cho {e k } sở trực chuẩn H bao gồm vector riêng T − I cho {βk } giá trị riêng tương ứng Khi Te k = (βk + 1)e k , k = 1, 2, 86 3.3 ĐỊNH LÝ FELDMAN-HAJEK VỀ TÍNH TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA CÁC ĐỘ ĐO GAUSS TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Cho Ω = R × R × v = à1 ì à2 ì , ν˜ = ν1 × ν2 × , µk = x2 2π e − d x với k νk = Vì ∞ β2 k=1 k 2π(βk + 1) e − 2(βx k +1) dx k = 1, 2, < ∞, µ˜ tương đương với ν˜ theo phần 3.2 Ví dụ ∞ d ν˜ ((x , x , )) = d µ˜ k=1 βk + βk x2 e 2(βk +1) k ˜ ) = ν˜ (Ω0 ) = tích vơ hạn Khi tồn khơng gian Ω0 Ω cho µ(Ω hội tụ (x , x , ) ∈ Ω0 Ta T − I ∈ L (1) (H ), dd µν˜˜ biểu diễn sau ∞ d ν˜ ((x , x , )) = ( (βk + 1))−1/2 e d µ˜ k=1 βk ∞ x2 k=1 βk +1 k Định nghĩa ánh xạ ψ : Ω → H bởi: ψ(x) = ∞ xk S e k , x = (x , x , ) ∈ Ω k=1 ˜ x) = trace S |ψ(x)|2 ν˜ (d x) = trace S T = trace S T S = Dễ kiểm tra |ψ(x)|2 µ(d trace S Ω Ω Do ψ(x) ∈ H hầu chắn µ˜ ν˜ Một ánh xạ ψ thường gọi vector ngẫu nhiên Ta µ = µ˜ ◦ ψ−1 ν = ν˜ ◦ ψ−1 sau Chú ý µ˜ ◦ ψ−1 ν˜ ◦ ψ−1 độ đo Gauss với trung bình 87 3.3 ĐỊNH LÝ FELDMAN-HAJEK VỀ TÍNH TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA CÁC ĐỘ ĐO GAUSS TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Hơn nữa, 〈x, z〉 y, z µ˜ ◦ ψ−1 (d z) H x, ψ(z) = ˜ z) y, ψ(z) µ(d H ∞ = Ω z j zk S1e j , x ˜ z) S e k , y µ(d z j zk S1e j , x ˜ z) S e k , y µ(d j ,k=1 ∞ = j ,k=1 Ω ∞ Vì j =1 z 2j S x, = S1e j , x ˜ ∈ L (Ω, µ) S1 y = S x, y, Tương tự, 〈x, z〉 y, z ν˜ ◦ ψ−1 (d z) = S x, y H Do đó, ta có µ = µ˜ ◦ ψ−1 ν = ν˜ ◦ ψ−1 Suy µ ∼ ν Từ công thức cho hệ dν (ψ(x)) = dd µν˜˜ (x), dµ d ν˜ d µ˜ mối quan ta dễ dàng thu công thức thỏa mãn Bổ đề 3.3.5 Nếu [a1 , S ] [a2 , S ] khơng trực giao [0, S ] [0, S ] không trực giao Định lý 3.3.6 Nếu [a1 , S ] [a2 , S ] tương đương trực giao Chúng tương đương (a)[a , S ] [a , S ] tương đương, (b)[a , S ] [a , S ] tương đương Chú ý Điều kiện cần đủ cho (a) cho Hệ 3.3.2, (b) cho Định lí 3.3.4 Chứng minh Giả sử [a1 , S ] không trực giao với [a2 , S ] theo Bổ đề 3.3.5 [0, S ] không trực giao với [0, S ] Do đó, theo Định lý 3.3.3 Định lý 3.3.4, [0, S ] tương đương 88 3.3 ĐỊNH LÝ FELDMAN-HAJEK VỀ TÍNH TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA CÁC ĐỘ ĐO GAUSS TRONG KHÔNG GIAN HILBERT với [0, S ] Do đó, [a2 , S ] [a2 , S ] tương đương Do vậy, [a1 , S ] không trực giao với [a , S ] Theo Hệ 3.3.2, [a , S ] [a , S ] tương đương Do đó, [a , S ] [a , S ] tương đương 89 Kết luận Rõ ràng, độ đo xác suất Gauss không gian Banach đóng vai trò quan trọng giải tích không gian vô hạn chiều Tuy nhiên khả có hạn nên tác giả nghiên cứu cách xây dựng độ đo xác suất Gauss khơng gian Banach đặc biệt khơng gian Hilbert khả ly vơ hạn chiều, đồng thời tìm hiểu tính tương đương tính trực giao độ đo Gauss Nếu có hội tiếp tục nghiên cứu sâu đề tài này, tác giả muốn dành nhiều thời gian nghiên cứu tính tương đương trực giao độ đo Gauss không gian khác (cụ thể không gian hàm) 90 Tài liệu tham khảo [1] Đặng Hùng Thắng (2010), Xác suất nâng cao, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội [2] Đặng Hùng Thắng (2015), Xác suất không gian metric, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội [3] Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải (2016), Giáo trình giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [4] Phạm Kỳ Anh-Trần Đức Long(2001), Giáo trình hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [5] Nguyễn Duy Tiến-Vũ Viết Yên (2000), Lý thuyết xác suất, Nhà xuất giáo dục [6] Kakutani S (1948), On equivalence of infinite product measures, Ann Math 49(1948), 214-224 [7] Hui-Hsiung Kuo (1975), Gaussian Measures in Banach Spaces, Springer-Verlag, Berlin.Heidelberg.NewYork 91 ... khơng gian không gian metric, không gian Banach không gian Hilbert, đồng thời nhắc lại kiến thức toán tử liên quan không gian Hilbert khái niệm phân phối hữu hạn chiều Chương Độ đo Gauss không gian. .. nhỏ "Độ đo xác suất Gauss không gian Banach" Như ta biết độ đo Lebesgue đóng vai trò quan trọng định lý tích phân khơng gian Rn Nhưng câu hỏi đặt là: Liệu độ đo Lebesgue có nghĩa khơng gian vơ... 16 Độ đo Gauss không gian Banach 21 2.1 Độ đo Borel không gian Hilbert 21 2.2 Độ đo Wiener tích phân Wiener C[0,1] 37 2.3 Không gian Wiener trừu