Toán tử nửa xác định dương trên không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN ĐÌNH THẾ TOÁN TỬ NỬA XÁC ĐỊNH DƯƠNG TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm Hà Nội, 2014 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn bảo tận tình để hoàn thành luận văn này. Xin chân thành cảm ơn Thầy cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội truyền thụ kiến thức cho suốt trình học tập vừa qua. Xin cảm ơn bạn bè đồng nghiệp gia đình chia sẻ, giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thiện luận văn này. Hà Nội, tháng 10 năm 2014 Nguyễn Đình Thế LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thực hướng dẫn PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Trong thực luận văn, kế thừa thành khao học nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Hà Nội, tháng 10 năm 2014 Nguyễn Đình Thế CÁC KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG R đường thẳng thực ∅ tập hợp rỗng |x| giá trị tuyệt đối x H Không gian Hilbert Rn không gian Hilbert n-chiều . chuẩn không gian Hilbert ., . tích vô hướng int C phần C C bao đóng C ∂C biên C SpanC không gian sinh C x⊥y x trực giao với y S⊥ phần bù trực giao S H∗ không gian liên hợp H R(T ), RanA ảnh toán tử T N (T ), KerT hạt nhân toán tử T A∗ toán tử liên hợp toán tử A K∗ nón đối ngẫu nón K Rm + nón orthan không âm Rm GLCP(T, K, q) toán bù tuyến tính suy rộng Inf f cận ánh xạ f Sup f cận ánh xạ f Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Toán tử không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Toán tử liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Toán tử chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.4. Toán tử đồng dương cộng, toán tử đơn điệu . . . 12 1.3. Không gian đối ngẫu, tôpô yếu . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1. Không gian đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2. Tôpô yếu không gian Hilbert . . . . . . . . 16 Toán tử nửa xác định dương không gian Hilbert ứng dụng 19 2.1. Toán tử nửa xác định dương . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1. Định nghĩa tính chất . . . . . . . . . . . . . . 19 iv v 2.1.2. Đặc trưng toán tử nửa xác định dương không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. Bài toán bù tuyến tính suy rộng . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.1. Sự tồn nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.2. Tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 56 MỞ ĐẦU 1. Lý chọn đề tài Trong lý thuyết toán tử không gian Hilbert, tính nửa xác định dương khái niệm quan trọng. Nó có vai trò lớn nghiên cứu nhiều lĩnh vực, chẳng hạn như: Phương trình đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân, lý thuyết tối ưu, v.v Khái niệm có nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu sử dụng; xem [5], [6] tài liệu dẫn đó. Với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức học, mối quan hệ ứng dụng toán giải tích, đặc biệt Lý thuyết toán tử ứng dụng, động viên PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, chọn đề tài "Toán tử nửa xác định dương không gian Hilbert" để nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu Để đạt hiểu biết tốt Toán tử nửa xác định dương không gian Hilbert ứng dụng tính chất chúng vào Bài toán bù tuyến tính. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu khái niệm tính chất Toán tử nửa xác định dương không gian Hilbert. Khảo sát ứng dụng Toán tử nửa xác định dương vào Bài toán bù tuyến tính. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Phạm vi nghiên cứu: Toán tử không gian Hilbert. - Đối tượng nghiên cứu: Toán tử nửa xác định dương ứng dụng. 5. Phương pháp nghiên cứu - Tìm hiểu tài liệu: Các báo đăng sách in liên quan mật thiết đến toán tử nửa xác định dương ứng dụng. - Sử dụng phương pháp Toán giải tích. 6. Giả thiết khoa học (Dự kiến đóng góp mới) - Một tổng quan toán tử nửa xác định dương số ứng dụng. Chương Kiến thức chuẩn bị Nội dung chương bao gồm số kiến thức sở không gian Hilbert thực toán tử đơn tuyến tính không gian Hilbert. Những nội dung trình bày chương chủ yếu lấy từ [1] [6]. 1.1. Không gian Hilbert Cho H không gian véc tơ trường số thực R. Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi ánh xạ ., . : H × H → R (x, y) → x, y tích vô hướng H điều kiện sau thỏa mãn: Với x, y, z ∈ H α ∈ R i) x, y = y, x , ii) αx, y = α x, y , iii) x, y + z = x, y + x, z , iv) x, x ≥ 0, x, x = x = 0. Số x, y gọi tích vô hướng x y. Không gian véc tơ H với tích vô hướng xác định gọi không gian có tích vô hướng không gian tiền Hilbert, thường viết (H, ., . ). Mệnh đề 1.1.1. Cho không gian véc tơ H với tích vô hướng ., . xác định. Khi công thức x = x, x xác định chuẩn H. Định nghĩa 1.1.2. Nếu không gian có tích vô hướng (H, ., . ) với chuẩn xác định không gian đủ, ta gọi (H, ., . ) không gian Hilbert kí hiệu đơn giản H. Ta gọi số chiều H số chiều không gian Hilbert (H, ., . ), kí hiệu dimH. Nếu dimH < ∞ ta nói H hữu hạn chiều, trái lại ta nói H vô hạn chiều. Ta gọi không gian tuyến tính đóng không gian Hilbert H không gian Hilbert không gian H. Ví dụ 1.1.1. Lấy H = Rn . Với x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ H biểu thức n x, y = xi yi i=1 xác định tích vô hướng không gian Rn với chuẩn x = x, x Rn trở thành không gian Hilbert hữu hạn chiều. 42 Bây giờ, từ (2.10) theo (i), suy q, xn = −T xn , xn 0. Điều cho q, d 0. (2.13) Vì k ∈ K viết dạng: k = lim kn với kn ∈ Kn , n→∞ từ (2.10) ta có T d, k với k ∈ K, nghĩa T d ∈ K ∗. (2.14) Vì GLCP(T, K, q) chấp nhận được, ta suy T x0 + q, d 0. Từ sử dụng (2.12) (2.14) ta có q, d − T x0 , d = − x0 , T ∗ d = x0 , T d 0. Từ (2.13) ta nhận q, d = 0. Như vậy, d ∈ {x ∈ K | T x ∈ K ∗ , T x, x = 0, q, x = 0} . Theo (iv) điều suy d = 0, nghĩa ∈ [bao đóng yếu {x ∈ K : x = 1}]. Điều mâu thuẫn với (iii). Như vậy, dãy {xn } (hoặc dãy nó) bị chặn . Không giảm tổng quát, ta giả sử {xn } hội tụ yếu đến phần tử x0 ∈ K . Bây (2.10), theo (ii), cho ta T x0 + q, x0 0. 43 Hơn thế, sử dụng cách viết k = lim kn với kn ∈ Kn , (2.10) T x0 + q, k với tùy ý k ∈ K. Vì , x0 nghiệm toán GLCP(T, K, q) . Cuối cùng, cách lập luận tương tự ta tập nghiệm toán GLCP(T, K, q) bị chặn: giả sử không bị chặn, cách tương tự thực hiện, ta xây dựng phần tử d ∈ K thoả mãn (2.12); (2.13); (2.14) và, theo (iii), dẫn đến mâu thuẫn. Vì tập nghiệm GLCP(T, K, q) đóng yếu K ta suy tập compact yếu. Nhận xét giả thiết định lí (2.2.2): 1) Điều kiện (i) (ii) thỏa mãn T đơn điệu H. 2) Tính chấp nhận GLCP(T, K, q) tương đương với q ∈ [K ∗ − T (K)]. Khi có (i), q ∈ int [K ∗ − T (K)] suy (iv) thỏa mãn (xem [2], mệnh đề 2.3). 3) Nếu int(K ∗ ) khác rỗng q ∈ int [K ∗ − T (K)] (T x + q) ∈ int(K ∗ ) với x ∈ K (so sánh với [2], p. 349]). 4) Nếu K compact địa phương theo chuẩn điều kiện (iii) thỏa mãn . Theo nhận xét (1) (2) định lí (2.2.2) khái quát kết sau Borwein [2] : Nếu T đơn điệu H, K compact địa phương theo chuẩn K ∗ − T (K) = H tập nghiệm toán GLCP(T, K, q) khác rỗng bị chặn với q (so sánh với [2], p. 353 hệ 2.1). 5) Không có điều kiện (iii) (iv) kết sai. 44 6) Khi T tự liên hợp, điều kiện (iv) (khi có (i)) trở thành K ∩ KerT ∩ {q}⊥ = {0}. 7) Khi dim H < ∞ điều kiện (ii) (iii) luôn đúng. Định lý 2.2.3. ([6], tr 333) Cho dim H < ∞ giả sử T , K, q thỏa mãn: i) T tự liên hợp , ii) T đồng dương cộng K, iii) (T + q ⊗ q)(K) đóng . Nếu GLCP(T, K, q) chấp nhận có nghiệm. Chứng minh. Đặt M := KerT ∩ {q}⊥ . Nếu M = {0} theo định lí (2.2.2) ta có kết luận (xem nhận xét (6) (7)), ta giả sử M = {0}. Kí hiệu P phép chiếu trực giao từ H lên M ⊥ = RanT + Span {q}. Vì T x + q, k = T P x + q, P k (x, k ∈ K), ta nhận thấy tồn nghiệm GLCP(T, K, q) tương đương với tồn nghiệm GLCP(T, P (K), q) . Theo iii) tập K + Ker(T + q ⊗ q) = K + KerT ∩ q ⊥ = K + KerP đóng , P (K) đóng. Từ ii) dễ thấy T đồng dương cộng P (K) cuối ta có P (K) ∩ KerT ∩ q ⊥ ⊂ RanP ∩ KerP = {0}. 45 Như vậy, tất điều kiện định lí ( 2.2.2) thỏa mãn cho toán GLCP(T, P (K), q) có nghiệm. Điều suy toán GLCP(T, K, q) có nghiệm. 2.2.2. Tính ổn định Định lý 2.2.4. ([6], tr. 335) Nếu dim H < ∞ giả sử T đồng dương cộng K phát biểu sau tương đương: (a) Tập hợp nghiệm GLCP(T, K, q) khác rỗng compact. (b) {x ∈ K : T x ∈ K ∗ , T x, x = 0, q, x 0} = {0}. (c) q ∈ int(K ∗ − T (K)). (d) GLCP(T,K,q) chấp nhận {x ∈ K : T x ∈ K ∗ , T x, x = 0, q, x = 0} = {0} . Chứng minh. (a) ⇒ (b): Giả sử tập hợp nghiệm GLCP(T, K, q) khác rỗng compact. Theo Mangasrian ([10]) ta phải (b) thỏa mãn. Giả sử tồn x ∈ K cho T x ∈ K ∗ , T x, x = q, x 0. Cho x0 nghiệm toán GLCP(T, K, q). Thì với t có x0 + tx ∈ K T (x0 + tx) + q ∈ K ∗ . Hơn T (x0 + tx) + q, x0 + tx = = T x0 + q, x0 + T x0 + q, tx + T (tx), x0 + tx = + t q, x + t x0 , T ∗ x + t x0 , T x + t2 T x, x 46 q, x 0, T ∗ x + T x = T x, x = 0. Vì T (x0 + tx) + q ∈ K ∗ ta có T (x0 + tx) + q, x0 + tx 0. Do T (x0 + tx) + q, x0 + tx = 0, Khi x0 +tx nghiệm GLCP(T, K, q) với t 0. Bằng tính bị chặn tập nghiệm có x = 0. Vậy (a) ⇒ (b). (b) ⇒ (c): Giả sử (b) không suy (c). Dù q ∈ / (K ∗ − T (K)) q ∈ ∂ (K ∗ − T (K)). Trong hai trường hợp ∃ {qn } cho qn ∈ / (K ∗ − T (K)) qn → q (n → ∞). Khi thay đổi n tồn ξn với ξn = α ∈ R cho qn, ξn α ξn , k ∗ − ξn , T k (k ∈ K; k ∗ ∈ K ∗ ). Vì K ∗ − T (K) nón ta đặt α = qn, ξn Đặt k = ta có ξn , k ∗ Lại đặt k ∗ = ta có 0 qn , ξn ξn , k ∗ − ξn , T k (k ∈ K; k ∗ ∈ K ∗ ). 0; k ∗ ∈ K ∗ ta ξn ∈ K. − ξn , T k T ξn , ξn nên T ξn , ξn = 0. Vì ξn = với (n = 1,2,3, ) ta cho ξn (hoặc dãy ) hội tụ đến phần tử ξ Khi ξ = 1, ξ ∈ K, tξ ∈ K ∗ , T ξ, ξ = mâu thuẫn với điều giả sử . Vậy (b) ⇒ (c). (c) ⇒ (d): Giả sử (c) đúng, rõ ràng GLCP(T, K, q) chấp nhận . Giả sử có ξ = cho ξ ∈ K, tξ ∈ K ∗ , T ξ, ξ = q, ξ = 0. 47 Với z ∈ K ∗ − T (K) z = k ∗ − T k (k ∗ ∈ K ∗ ; k ∈ K) ta có ξ, z = ξ, k ∗ − ξ, T k = ξ, k ∗ + −T ∗ ξ, k + (ξ ∈ K, −T ∗ ξ = T ξ ∈ K ∗ ) = q, ξ . Điều cho thấy siêu phẳng {x ∈ H x, ξ = 0} tách q từ K ∗ − T (K). Vì q ∈ int (K ∗ − T (K)) ta có ξ = 0. Vậy (c) ⇒ (d). (d) ⇒ (a) theo định lí (2.2.2). Nhật xét định lí 2.2.4 : i) Khi H = Rn K = Rn+ tương đương (a) (c) trùng với kết Mangasrian [10]. ii) Giả sử K ∗ có phần khác rỗng T đồng dương cộng K. Giả thiết rẳng tồn x ∈ K cho T x + q ∈ intK ∗ . Borwein ([2]) toán GLCP(T, K, q) có tập nghiệm compact, rỗng. Vì T x + q ∈ intK ∗ suy q ∈ int[K ∗ − T (K)], định lý 2.2.4 chất GLCP(T, K, q) có tập nghiệm khác rỗng. iii) Với không gian hữu hạn chiều tính compact tập nghiệm tương đương với tính bị chặn, tập nghiệm toán GLCP(T, K, q) đóng. iv) Trong [12] chứng minh kết nhiễu toán tử đơn điệu xác định không gian phản xạ. 48 Chú ý 4. Trong trường hợp hữu hạn chiều, tính compact tập nghiệm tương đương với tính bị chặn đóng. Vì vậy, tập nghiệm GLCP(T, K, q) luôn đóng. Khi xét Rn ta có định lý sau: Định lý 2.2.5. (Định lý 2.1 [7]) Cho ∆ hình nón lồi đóng khác rỗng Rn , ma trận M ∈ Rn×n đồng dương cộng khác rỗng ∆, véc tơ p ∈ Rn . Thì điều sau tương đương: (a) Tập nghiệm GLCP(M, p, ∆) khác rỗng bị chặn. (b) p ∈ int((0+ ∆)∗ − M ∆). (c) Tồn ε > cho với M ∈ Rn×n p ∈ Rn với max { M − M , p − p } < ε, tập nghiệm GLCP(M , p , ∆) khác rỗng. Dưới trình bày đặc trưng nón đa diện không gian hữu hạn chiều. Định lý 2.2.6. ([6], tr. 337) Với dimH < ∞ mệnh đề sau tương đương: i) Tồn toán tử S : H → H cho S(K) không đóng. ii) Tồn phép chiếu trực giao P : H → H cho P (K) không đóng. iii) Tồn toán tử P : H → H đồng dương cộng K q ∈ H cho GLCP(T,K,q) chấp nhận nghiệm. iv) K đa diện. 49 v) Tồn toán tử chiếu P : H → H với dim(RanP ) = mà P (K) không đóng. Chứng minh. i) ⇒ ii): Giả sử i) đúng. Vì H/KerS đẳng cấu với Ran S (vì dimH < ∞) Π : H → H/KerS ánh xạ thương nên tập K + KerS không đóng H. Kí hiệu P phép chiếu trực giao từ H lên (KerS)⊥ . Vì KerP = KerS nên K + KerP không đóng. Vì P (K) không đóng H. Ta có ii). ii) ⇒ iii): Giả sử P phép chiếu lên H cho P (K) không đóng H. Kí hiệu u điểm giới hạn P (K) mà không thuộc P (K). Đặt q = −u kí hiệu I toán tử đồng H. Ta P (K)∗ − P (K) = H. Kí hiệu L nón lồi đóng (không thiết P (K)), Giả sử phản chứng L∗ − L = H. Lấy x ∈ H mà x ∈ / L∗ − L theo định lý tách ([9]) tồn a = 0, a ∈ H α ∈ R cho a, x ≤ α ≤ a, w − a, v v ∈ L, w ∈ L∗ . (2.15) Vì L∗ − L nón ta lấy α = 0. Đặt w = (2.15) ta nhận ≤ − a, v (v ∈ L) suy −a ∈ L∗ . Cho w = −a, v = nhắc lại ta lấy α = 0, (2.15) cho ≤ a, −a suy a = 0, mâu thuẫn với a = 0. Như P (K ∗ )−P (K) = H toán GLCP(I, P (K), q) chấp nhận được. Giả sử GLCP(I, P (K), q) 50 có nghiệm. Khi tồn tạo p ∈ P (K) cho p + q, v ≥ 0; với v ∈ P (K) p + q, p = 0. Với q = −u, ta có với v ∈ P (K): v−u = v−p + p−u + v − p, p − u ≥ p − u , v − p, p − u = v, p − u − p, p − u ≥ 0. Vì u thuộc bao đóng tập [P (K)]\P (K), điều xảy ra, GLCP(I, P (K), q) có nghiệm. Vì q ∈ RanP P phép chiếu, toán GLCP(I, P (K), q) chấp nhận (tương ứng có nghiệm) tương đương bái toán GLCP(P, K, q) chấp nhận (tương ứng có nghiệm). Như ta thấy toán GLCP(P, K, q) chấp nhận nghiệm. Cuối cùng, P đồng dương cộng K phép chiếu đơn điệu iii) ⇒ iv): Suy từ định lý 2.2.1. iv) ⇒ v): Theo kết [11]. v) ⇒ i): Hiển nhiên. Tiếp theo trình bày số ví dụ minh họa cho ứng dụng định lý 2.2.2: Ví dụ 2.2.1. Ví dụ thiếu điều kiện (iii) định lý 2.2.2 GLCP(T, P (K), q) không giải được. Cho ∞ H = l2 = x2n < ∞ x = (x1 , x2 , .) : xn ∈ R, n=1 51 với tích vô hướng cho trước ∞ x, y = x n yn . n=1 Cho l2+ hình nón dương l2 (tức là, xn ≥ với x = (x1 , x2 , .) ∈ l2+ ⊂ l2 ). Đặt v = α(1, 41 , 19 , .), u = β(γ, 21 , 13 , .) α, β, γ chọn cho α, β > 0, u = v = u, v = 0. Chúng ta định nghĩa toán tử chiếu P : l2 → l2 P : x → x, u u + x, v v. Vì P phép chiếu, P đơn điệu l2 đồng dương cộng l2+ . Hơn nữa, từ tính liên tục P suy tính nửa liên tục yếu ánh xạ x → P x, x . Nếu = x ∈ Ker P , x, v = nên vài thành phần x phải âm. Điều l2+ ∩ Ker P = {0}. Mặc dù l2+ tách được, có ∈ bao đóng - yếu x ∈ l2+ : x = . Cho en ký hiệu phần tử l2+ với vị trí thứ n chỗ khác. Đặt q = −u sau đó, cho n > 1, P n en β = n en , u u + β n α en , v v = u + v. β β n (2.16) Vì v ∈ (l2+ )∗ (= l2+ ), nên ta có [P ((n/β) en ) + q] ∈ (l2+ )∗ . Như GLCP(P, l2+ , q) chấp nhận kiểm tra tất điều kiện định lý 2.2.2 loại bỏ độ mỏng l2+ . Giả sử, có a ∈ l2+ với P a + q, x ≥ (∀x ∈ l2+ ), P a + q, a = 0. Bất đẳng thức P a + q, (n/β)en ≥ (n = 1, 2, .) a, u + α a, v − ≥ với n = 2, 3, ., β n 52 Nên a, u ≥ 1. Bây P a + q, a = quy | a, u |2 + | a, v |2 − a, u = 0, Vì a, u ≥ 1, suy a, v = 0. Do a ∈ l2+ tất đưa vào v đồng dương ngặt, nên phải có a = −u, x = q, x = P a + q, x ≥ với x ∈ l2+ . Nhưng −u, e2 = − 21 β < nên có mâu thuẫn. vậy, GLCP(P, l2+ , q) không giải được. Chú ý 5. : Cho n → ∞ (2.16) thấy u ∈ bao đóng P (l2+ ) . Tuy nhiên u không thuộc P (l2+ ): có P x = x, u u + x, v v = u với x ∈ l2+ , x, v = 0, suy x = u = P x = 0. Như vậy, ảnh l2+ P không đóng. Ví dụ 2.2.2. : Ví dụ điều kiện (iv) định lý 2.2.2 bỏ qua kết không đúng; tương tự ví dụ cho thấy điều kiện (iii) trog định lý 2.2.3 bị bỏ qua. Cho H = R3 , T (x, y, z) = (x, y, 0), K = (x, y, z) : x, z ≥ 0, 2xz ≥ y . Đặt q = (1, 1, 0) x0 = (1, −1, 1). Thì K hình nón lồi đóng với K ∗ = K x0 ∈ K. Do T x0 + q = (2, 0, 0) ∈ K ∗ , GLCP(T, K, q) chấp nhận được. Tồn phép chiếu T đơn điệu R3 đồng dương cộng K. Bây giả sử k = (x, y, z) nghiệm GLCP(T, K, q). Thì T k +q = (x+1, y +1, 0) ∈ K ∗ (= K) y = −1. 53 Vì 2xz ≥ y = 1, nên có x > để T k + q, k = x(x+1)+y(y +1) = x(x + 1) > 0. Như GLCP(T, K, q) không giải được. Chúng ta thấy K ∩ Ker T ∩ {q}⊥ = {(0, 0, z) : z ∈ R} = {0} , (T + q ⊗ q) K = (2x + y, x + 2y, 0) : x = y = x > . Tập hợp thứ hai không đóng, (1, 2, 0) điểm giới hạn (T + q ⊗ q) K không thuộc (T + q ⊗ q) K. Như vậy, điều kiện (iv) định lý 2.2.2 điều kiện (iii) định lý 2.2.3 không thỏa mãn. Các ví dụ đưa phần dẫn đến dự đoán rằng, ảnh nón qua toán tử mà không đóng toán GLCP tương ứng không thiết có nghiệm. Điều không gian hữu hạn chiều. (Dường kết luận tương tự với không gian vô hạn chiều không rõ điều này). Để kết thúc chương nêu lại ý có tính kết luận toán mở [6]: Chú ý 6. Cho dim H < ∞ cho T đồng dương cộng K. Giả sử GLCP(T, K, q) chấp nhận được, tức q ∈ [K ∗ − T (K)]. Khi kết chứng tỏ rằng: Nếu q ∈ int[K ∗ − T (k)] tập nghiệm GLCP(T, K, q) khác rỗng compact. Nếu q ∈ ∂(K ∗ − T (K)), (T + q ⊗ q)K đóng, T tự liên hợp tập nghiệm GLCP(T, K, q) khác rỗng không bị chặn. Bài toán 1. Tính tự liên hợp T bỏ (ii) hay định 54 lý 2.2.3 không? Chú ý 7. Định lý 2.2.3 chứng minh cách cực tiểu hóa phiếm hàm bậc hai. Chú ý 8. Định lý 2.2.4 dim H < ∞ T đồng dương cộng, tập nghiệm GLCP(T, K, q) khác rỗng compact tương đương với tồn ε > cho GLCP(T, K, q ) có tập nghiệm khác rỗng (compact) để q − q < ε. Bài toán 2. Định lý 2.2.6 có H vô hạn chiều không? Kết luận chương Chương trình bày khái niệm tính chất toán tử nửa xác định dương không gian Hilbert ứng dụng chúng vào việc giải toán bù tuyến tính. Kết luận Luận văn trình bày cách có hệ thống nội dung sau: • Khái niệm tính chất toán tử nửa xác định dương không gian Hilbert. • Ứng dụng toán tử nửa xác định dương không gian Hilbert vào toán bù tuyến tính suy rộng. • Những mối quan hệ xuất kết trình bày. • Trình bày cách có hệ thống số kết toán tử nửa xác định dương không gian Hilbert ứng dụng cho toán bù tuyến tính suy rộng không gian Hilbert. Một số kết tổng quát diễn giải tính toán lại cách chi tiết. Vì khả điều kiện có hạn, luận văn chắn tránh thiếu sót. Kính mong thầy cô đồng nghiệp góp ý kiến để em có điều kiện chỉnh sửa luận văn tốt hơn. 55 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu (1999), Giải tích hàm, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Hà Nội. [B] Tài liệu tiếng Anh [2] J. M. Borwein (1984), Generalized linear complemetality problems treated without the fixed point theory, JOTA 43 p. 343-356. [3] R. W. Cottle, J.-S. Pang, R. E. Stone (1992), The Linear Complementarity Problem, Acad. Press, New York. [4] M. S. Gowda (1985), Cone characterizations of positive semidefinite operators on a Hilbert space, Linear Algebra and its applications 64, 77 - 83. [5] M. S. Gowda (1986), A characterization of positive semidefinite operators on a Hilbert space, Journal of Optimization theory and Applications 3, 419-425. [6] M. S. Gowda, T. I. Seidman (1990), Generalized linead complementarity problems, Mathematical Programming 46, 329-340. 56 57 [7] N. N. Tam (2004), Some stability for semi-affine variational inequality problem, Acta Mathematice Vietnamica 29, 271-280. [8] S. P. Han and O. L. Mangarian (1982), Conjugate cone characterizations of positive definite and semidefinite matrices, Linear Algebra Appl. [9] O. L. Mangasrian (1969), Nonlinear Programming, McGraw-Hill, NewYork. [10] O. L. Mangasrian (1982), Characterizations of bounded solutions of linear complemetality problems, Math. Programming study 19, p. 153-166. [11] H. Mirkil (1957), New Characterizations of polyhedral cones, Canadian Jounal of Mathematics IX(1), p. 1-4. [12] L. McMinden (1984), Stable monotone variational inequalities, Technical Report #2734, Mathematics Research, Univertsity of Wisconsin (madison, WI). [13] J. Frédéric Bonnans, Alexander Shapiro, Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer (2000). [...]... một toán tử trên không gian Hilbert là nửa xác định dương bất cứ khi nào nó là nửa xác định dương cộng trên một nón lồi, đóng và nửa xác định dương trên cực nón Bắt đầu từ đây, ta cho T (với liên hợp T ∗ ) là một toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian hilbert H, và K là một nón lồi đóng trong H Chúng ta nói rằng 25 (1) T là nửa xác định dương trên K nếu T x, x ≥ 0 (∀x ∈ K) (2) T là nửa xác định dương. .. ∈ H, ∀y ∈ H Toán tử liên hợp B thường ký hiệu là A∗ Định lý 1.2.3 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Hilbert H vào không gian Hilbert H Khi đó tồn tại toán tử A∗ liên hợp với toán tử A từ không gian H vào không gian H Định lý 1.2.4 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Hilbert H vào không gian Hilbert H Khi đó toán tử liên hợp A∗ với toán tử A cũng là toán tử tuyến tính... không gian Hilbert, không gian đối ngẫu, tôpô yếu Đây là những kiến thức nhằm hỗ trợ cho các kết quả sẽ được trình bày trong chương sau Chương 2 Toán tử nửa xác định dương trên không gian Hilbert và ứng dụng Trong chương này, tác giả trình bày các khái niệm và các tính chất liên quan đến toán tử nửa xác định dương trên không gian Hilbert Đồng thời nghiên cứu các ứng dụng của toán tử nửa xác định dương. .. của toán tử nửa xác định dương trên không gian Hilbert vào việc giải bài toán bù tuyến tính Các kiến thức trong chương này chủ yếu lấy từ các tài liệu [1], [4], [5] và [6] 2.1 Toán tử nửa xác định dương 2.1.1 Định nghĩa và tính chất Định nghĩa 2.1.1 ([1], tr 253) (Toán tử nửa xác định dương) Toán tử tuyến tính liên tục T trên không gian Hilbert H được gọi là nửa xác định dương, ký hiệu T ≥ 0, nếu T x,... dương cộng trên K, (ii) T là nửa xác định dương trên K T , và (iii) (T + T ∗ )K là đóng trong Rn Khi đó, T là nửa xác định dương trên Rn Nội dung trong phần này, chúng ta sẽ tổng quát kết quả trên (định lý 2.1.3) tới một toán tử trên không gian Hilbert, và giải một bài toán bù tuyến tính cho một toán tử xác định trên không gian Hilbert, đồng thời nêu ra sự tổng quát của định lý Moreau Tiếp theo, chúng... T là nửa xác định dương trên H Chú ý 2 Trong hệ quả 2.4, nếu T là xác định dương trên K T thì T là xác định dương trên H khi và chỉ khi Q(x) là nửa liên tục dưới yếu trên K Khi xét trong Rn , ta được một phần của định lý 3.6 của [8] Hệ quả 2.5 ([4], tr 83) Giả sử rằng (i) T là nửa xác định dương trên K, (ii) T là bức trên K T , và (iii) (T + T ∗ )K là đóng trong H Thì T là nửa xác định dương trên H... gian Hilbert H Số λ được gọi là thuộc phổ của A, hay một giá trị phổ của A, nếu không tồn tại toán tử ngược bị chặn (A − λI)−1 Tập tất cả các giá trị phổ của A được gọi là phổ của A; ký hiệu: σ(A) 1.2.2 Toán tử liên hợp Định nghĩa 1.2.6 Cho toán tử tuyến tính bị chặn A từ không gian Hilbert H vào không gian Hilbert H Toán tử B từ không gian H vào không gian H gọi là toán tử liên hợp với toán tử A,... (xem [1], định lý 5.15) Vì vậy, Từ (2.6) và (2.7) ta suy ra σ(T ) ⊂ [m, M ] 2.1.2 Đặc trưng của toán tử nửa xác định dương trên không gian Hilbert Trong [8], Han và Mangarian đã chứng minh kết quả về đặc trưng của ma trận nửa xác định dương sau: Định lý 2.1.3 ([8], Định lý 3.1) Cho T là ma trận cấp n × n trên Rn , và K là một nón lồi, đóng trong Rn Giả sử rằng (i) T là nửa xác định dương cộng trên K,... tương tự như định lý 2.1.5] Hệ quả 2.4 ([4], tr 82) Giả sử rằng (i) T là bức trên K ( với hằng số α), và (ii) T là nửa xác định dương trên K T Thì T là nửa xác định dương trên H nếu Q(x) = T x, x là nửa liên tục dưới yếu trên K 30 Chứng minh Nếu T là nửa xác định dương trên H, thì theo mệnh đề 2.1.6, Q(x) là nửa liên tục dưới yếu trên K Nên giả thiết rằng Q(x) là nửa liên tục dưới yếu trên K Từ hệ... tính) Cho H là một không gian Hilbert Toán tử tuyến tính f : H → R được gọi là phiếm hàm tuyến tính xác định trên H Định nghĩa 1.3.2 (Không gian đối ngẫu) Cho H là không gian Hilbert Không gian véc tơ L(H, R) tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên H (với phép cộng và nhân ánh xạ với số thông thường) với chuẩn f = sup f (x) x =1 được gọi là không gian liên hợp hay không gian đối ngẫu của . σ(A). 1.2.2. Toán tử liên hợp Định nghĩa 1.2.6. Cho toán tử tuyến tính bị chặn A từ không gian Hilbert H vào không gian Hilbert H  . Toán tử B từ không gian H  vào không gian H gọi là toán tử liên. tại toán tử A ∗ liên hợp với toán tử A từ không gian H  vào không gian H. Định lý 1.2.4. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Hilbert H vào không gian Hilbert H  . Khi đó toán tử. Toán tử nửa xác định dương trên không gian Hilbert. Khảo sát ứng dụng của Toán tử nửa xác định dương vào Bài toán bù tuyến tính. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Phạm vi nghiên cứu: Toán tử