Toán tử nửa xác định dương trên không gian hilbert

R đường thẳng thực|x| giá trị tuyệt đối của x Rn không gian Hilbert n-chiềuk.k chuẩn trong không gian Hilberth., .i tích vô hướng int C phần trong của C SpanC không gian con sinh bởi C x

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Năng Tâm

Hà Nội, 2014

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm,Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã hướng dẫn và chỉ bảo tận tình

để tôi hoàn thành luận văn này

Xin chân thành cảm ơn các Thầy cô của trường Đại học Sư phạm HàNội 2 đã truyền thụ kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập vừaqua

Xin cảm ơn các bạn bè đồng nghiệp và gia đình đã chia sẻ, giúp đỡ,động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thiện luận văn này

Hà Nội, tháng 10 năm 2014

Nguyễn Đình Thế

Tôi xin cam đoan bản luận văn này do tôi thực hiện dưới sự hướngdẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội2.

Trong khi thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khao học củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 10 năm 2014

Nguyễn Đình Thế

R đường thẳng thực

|x| giá trị tuyệt đối của x

Rn không gian Hilbert n-chiềuk.k chuẩn trong không gian Hilberth., i tích vô hướng

int C phần trong của C

SpanC không gian con sinh bởi C

x⊥y x trực giao với y

S⊥ phần bù trực giao của S

H∗ không gian liên hợp của H

R(T ), RanA ảnh của toán tử T

N (T ), KerT hạt nhân của toán tử T

A∗ toán tử liên hợp của toán tử A

K∗ nón đối ngẫu của nón K

Rm+ nón orthan không âm trong RmGLCP(T, K, q) bài toán bù tuyến tính suy rộngInf f cận dưới đúng của ánh xạ fSup f cận trên đúng của ánh xạ f

Mở đầu 1

1.1 Không gian Hilbert 3

1.2 Toán tử trong không gian Hilbert 7

1.2.1 Toán tử liên tục 7

1.2.2 Toán tử liên hợp 9

1.2.3 Toán tử chiếu 10

1.2.4 Toán tử đồng dương cộng, toán tử đơn điệu 12

1.3 Không gian đối ngẫu, tôpô yếu 13

1.3.1 Không gian đối ngẫu 13

1.3.2 Tôpô yếu trong không gian Hilbert 16

2 Toán tử nửa xác định dương trên không gian Hilbert và ứng dụng 19 2.1 Toán tử nửa xác định dương 19

2.1.1 Định nghĩa và tính chất 19

iv

2.1.2 Đặc trưng của toán tử nửa xác định dương trên

không gian Hilbert 24

2.2 Bài toán bù tuyến tính suy rộng 37

2.2.1 Sự tồn tại nghiệm 39

2.2.2 Tính ổn định 45

1 Lý do chọn đề tài

Trong lý thuyết toán tử trên không gian Hilbert, tính nửa xác địnhdương là một khái niệm quan trọng Nó có vai trò lớn trong nghiên cứucủa nhiều lĩnh vực, chẳng hạn như: Phương trình đạo hàm riêng, bấtđẳng thức biến phân, lý thuyết tối ưu, v.v Khái niệm này đã có nhiềutác giả quan tâm nghiên cứu và sử dụng; xem [5], [6] và các tài liệu dẫntrong đó

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan

hệ và những ứng dụng của toán giải tích, đặc biệt là Lý thuyết toán tử vàứng dụng, được sự động viên của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, tôi chọn

đề tài "Toán tử nửa xác định dương trên không gian Hilbert"

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu khái niệm và những tính chất của Toán tử nửa xác địnhdương trên không gian Hilbert Khảo sát ứng dụng của Toán tử nửa xácđịnh dương vào Bài toán bù tuyến tính

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Phạm vi nghiên cứu: Toán tử trong không gian Hilbert

- Đối tượng nghiên cứu: Toán tử nửa xác định dương và ứng dụng

5 Phương pháp nghiên cứu

- Tìm hiểu tài liệu: Các bài báo đã được đăng và sách đã in liên quanmật thiết đến toán tử nửa xác định dương và ứng dụng

- Sử dụng các phương pháp của Toán giải tích

6 Giả thiết khoa học (Dự kiến đóng góp mới)

- Một tổng quan về toán tử nửa xác định dương và một số ứng dụng

Kiến thức chuẩn bị

Nội dung chính của chương bao gồm một số kiến thức cơ sở về khônggian Hilbert thực và toán tử đơn tuyến tính trên không gian Hilbert.Những nội dung trình bày trong chương này chủ yếu lấy từ [1] và [6]

1.1 Không gian Hilbert

Cho H là không gian véc tơ trên trường số thực R

Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi mỗi ánh xạ

Số hx, yi được gọi là tích vô hướng của x và y Không gian véc tơ Hcùng với một tích vô hướng xác định được gọi là không gian có tích vôhướng hoặc không gian tiền Hilbert, và thường được viết là (H, h., i).Mệnh đề 1.1.1 Cho không gian véc tơ H cùng với một tích vô hướngh., i xác định Khi đó công thức

kxk =phx, xixác định một chuẩn trên H

Định nghĩa 1.1.2 Nếu không gian có tích vô hướng (H, h., i) với chuẩnxác định như trên là một không gian đủ, thì ta gọi (H, h., i) là một khônggian Hilbert và kí hiệu đơn giản là H

Ta gọi số chiều của H là số chiều của không gian Hilbert (H, h., i),

kí hiệu bởi dimH Nếu dimH < ∞ thì ta nói H là hữu hạn chiều, tráilại ta nói H là vô hạn chiều

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H

là không gian Hilbert con của không gian H

Ví dụ 1.1.1 Lấy H = Rn Với x = (x1, , xn), y = (y1, , yn) ∈ Hbiểu thức

kxk =phx, xi

Rn trở thành một không gian Hilbert hữu hạn chiều

Ví dụ 1.1.2 Ký hiệu l2 là không gian véc tơ các dãy số x = (xn) sao chochuỗi số

∀x, y ∈ M, ∀λ ∈ [0, 1] ta có λx + (1 − λ) y ∈ M

Định nghĩa 1.1.4 Một tập hợp M trong H là khả li nếu M bao hàmmột tập hợp con đếm được trù mật trong M

Định nghĩa 1.1.5 Cho K ⊂ H là một tập hợp khác rỗng K được gọi

là nón nếu ∀λ > 0 và x ∈ K ta luôn có λx ∈ K

Nón K được gọi là nón lồi nếu K là tập lồi

Nón K được gọi là nón lồi đóng nếu K vừa là nón lồi vừa là tập đóng.Định nghĩa 1.1.6 Nón K trong không gian H được gọi là mỏng nếu

K khả ly và véc tơ 0 không thuộc vào bao đóng yếu của tập {k ∈ K :kkk = 1}

Lưu ý rằng, mọi nón trong không gian hữu hạn chiều của H đều mỏng(xem [6])

Với α > 0 và phần tử e 6= 0 cố định trong không gian Hilbert khả ly

Chúng ta lưu ý rằng nón đa diện luôn mỏng

Định nghĩa 1.1.8 Cho không gian Hilbert H, x, y ∈ H và tập con

M ⊂ H, M 6= ∅

Phần tử x gọi là trực giao với phần tử y và viết là x ⊥ y nếu hx, yi = 0

Do hy, xi = hx, yi nên nếu x ⊥ y thì y ⊥ x

Phần tử x ∈ H gọi là trực giao với tập M , nếu x⊥y (∀y ∈ M ) và kíhiệu x⊥M

Từ định nghĩa ta có thể suy ra tính chất đơn giản sau :

1 0⊥x ∀x ∈ X;

2 x⊥y ⇒ y⊥x;

3 x⊥ {y1, y2, , yn} ⇒ x⊥(α1y1 + α2y2 + αnyn), n ∈ N∗,

αi ∈ R, i = 1, 2, 3, , n;

4 x⊥yn, yn → y khi n → ∞ thì x⊥y

Định nghĩa 1.1.9 Cho H là không gian Hilbert, tập M ⊂ H Phần bùtrực giao của M , kí hiệu

M⊥ = {x ∈ H : x ⊥ y, ∀y ∈ M }

1.2 Toán tử trong không gian Hilbert

1.2.1 Toán tử liên tục

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử H và H0 là hai không gian Hilbert Ánh xạ

A : H → H0 được gọi là một ánh xạ tuyến tính, hoặc toán tử tuyến tính,hay gọi tắt là toán tử nếu:

1, (∀x, y ∈ H) : A(x + y) = Ax + Ay

2, (∀x ∈ H)(∀α ∈ R) : A(αx) = αAx

Cho một toán tử A Tập {Ax | x ∈ H} gọi là ảnh của A; kí hiệu làR(A) hoặc RanA, tập {x ∈ H | Ax = 0} gọi là hạt nhân của A và kíhiệu là N (A) hoặc KerA

Định nghĩa 1.2.2 Cho H và H0 là hai không gian Hilbert Toán tửtuyến tính A : H → H0 gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số α ≥ 0 sao

Định nghĩa 1.2.3 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gianHilbert H vào không gian Hilbert H0 Hằng số α ≥ 0 nhỏ nhất thỏa mãn

hệ thức (1.2) gọi là chuẩn của toán tử A và kí hiệu là kAk

Từ định nghĩa dễ thấy chuẩn của toán tử có các tính chất:

1, (∀x ∈ H) kAxk ≤ kAk kxk;

2, (∀ε > 0)(∃xε ∈ H) sao cho (kAk − ε) kxεk < kAxεk

Định lý 1.2.1 Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian Hilbert Hvào không gian Hilbert H0 Các mệnh đề sau tương đương:

Định lý 1.2.2 Cho toán tử tuyến tính A từ không gian Hilbert H vàokhông gian Hilbert H Nếu toán tử A liên tục thì

kAk = sup

kxk≤1

kAxkhay

kAk = sup

kxk=1

kAxk

Định nghĩa 1.2.4 Giả sử H là không gian Hilbert và A : H → H làtoán tử tuyến tính (bị chặn hoăc không bị chặn) Véc tơ x 6= 0 được gọi

là véc tơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ, nếu

Ax = λx,hay là

(A − λI)x = 0

Định nghĩa 1.2.5 Giả sử A là một toán tử tuyến tính bị chặn trongkhông gian Hilbert H Số λ được gọi là thuộc phổ của A, hay một giá trịphổ của A, nếu không tồn tại toán tử ngược bị chặn (A − λI)−1

Tập tất cả các giá trị phổ của A được gọi là phổ của A; ký hiệu: σ(A)

1.2.2 Toán tử liên hợp

Định nghĩa 1.2.6 Cho toán tử tuyến tính bị chặn A từ không gianHilbert H vào không gian Hilbert H0 Toán tử B từ không gian H0 vàokhông gian H gọi là toán tử liên hợp với toán tử A, nếu

hAx, yi = hx, Byi , ∀x ∈ H, ∀y ∈ H0.Toán tử liên hợp B thường ký hiệu là A∗

Định lý 1.2.3 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Hilbert

H vào không gian Hilbert H0 Khi đó tồn tại toán tử A∗ liên hợp với toán

tử A từ không gian H0 vào không gian H

Định lý 1.2.4 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Hilbert

H vào không gian Hilbert H0 Khi đó toán tử liên hợp A∗ với toán tử Acũng là toán tử tuyến tính bị chặn và kA∗k = kAk

Định lý 1.2.5 Giả sử H, H0 là các không gian Hilbert, A : H → H0 làtoán tử tuyến tính liên tục Khi đó,

H = N (A) ⊕ R(A∗), H0 = N (A∗) ⊕ R(A)

Định nghĩa 1.2.7 Toán tử tuyến tính bị chặn A từ không gian Hilbert

H vào chính nó gọi là tự liên hợp nếu

hAx, yi = hx, Ayi , ∀x, y ∈ H

Toán tử tự liên hợp còn gọi là toán tử đối xứng

Định lý 1.2.6 Giả sử A là toán tử tuyến tính liên tục trong không gianHilbert phức H Khi đó, A tự liên hợp khi và chỉ khi (∀x ∈ H) hAx, xi

là số thực

Hệ quả 1.1 Giả sử A là toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert

H Khi đó, mọi giá trị riêng λ của A là số thực

Chứng minh Nếu x ∈ M thì đặt y = x, z = 0 và ta có khẳng địnhđúng Xét trường hợp x /∈ M Vì M đóng nên tồn tại duy nhất y ∈ Msao cho kx − yk = d(x, M ).

Đặt z = x − y, ta có x = y + z, ta phải chứng minh z ∈ M⊥ Thật vậy,với mọi α ∈ R, u ∈ M ta có

Tiếp theo ta chứng minh sự biểu diễn là duy nhất, giả sử x = y1+ z1

với y1 ∈ M, z1 ∈ M⊥ Khi đó, y − y1 = z1 − z, ta có y − y1 ∈ M và

y − y1 ∈ M⊥ Từ đó suy ra hy − y1, y − y1i = 0 Do vậy y = y1 và do đó

z = z1 Vậy định lý được chứng minh

Định nghĩa 1.2.8 Theo định lý trên, mọi x ∈ H đều biểu diễn đượcduy nhất dạng x = y + z với y ∈ M, z ∈ M⊥ Như vậy, H = M ⊕ M⊥.Ánh xạ P : H → M , xác định P (x) = y với x = y + z ∈ M ⊕ M⊥, đượcgọi là phép chiếu trực giao từ H lên M

Định lý 1.2.9 Phép chiếu trực giao P từ không gian Hilbert H lênkhông gian con đóng M 6= {0} là một toán tử tuyến tính liên tục

Chứng minh Với x1, x2 ∈ H, α ∈ R, theo định lý 1.2.8 ta có

x1 = P x1 + z1; x2 = P x2 + z2,trong đó z1, z2 ∈ M⊥.Vì vậy

x1 + x2 = P x1 + P x2 + z1 + z2,trong đó P x1 + P x2 ∈ M, z1 + z2 ∈ M⊥ Từ tính duy nhất của sự biểudiễn trong định lý trên ta suy ra

P (x1 + x2) = P x1 + P x2.Tương tự P (αx1) = αP (x1) Vậy P tuyến tính

Mặt khác, với x ∈ H ta có

kxk2 = kP xk2 + kzk2 ≥ kP xk2

Từ đó suy ra P bị chặn Vậy P liên tục Định lý được chứng minh

1.2.4 Toán tử đồng dương cộng, toán tử đơn điệu

Định nghĩa 1.2.9 Cho H là một không gian Hilbert, T là một toán tửtuyến tính bị chặn trên H, K là nón lồi đóng trong H Ta nói T là đồngdương cộng trên K nếu:

Toán tử T : H → H được gọi là đơn điệu chặt nếu:

hT x − T y, x − yi > 0 ∀x, y ∈ H, x 6= y

Toán tử T : H → H được gọi là đơn điệu mạnh nếu có hằng số

α ∈ R, α > 0 sao cho ∀x, y ∈ H, ta có:

hx − y, T x − T yi ≥ α kx − yk2.Mệnh đề 1.2.2 Cho H là không gian Hilbert Toán tử tuyến tính T :

H → H là đơn điệu khi và chỉ khi

hT x, xi ≥ 0 ∀x ∈ H

1.3 Không gian đối ngẫu, tôpô yếu

1.3.1 Không gian đối ngẫu

Định nghĩa 1.3.1 (Phiếm hàm tuyến tính) Cho H là một không gianHilbert Toán tử tuyến tính f : H → R được gọi là phiếm hàm tuyến tínhxác định trên H

Định nghĩa 1.3.2 (Không gian đối ngẫu) Cho H là không gian Hilbert.Không gian véc tơ L(H, R) tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục fxác định trên H (với phép cộng và nhân ánh xạ với số thông thường) vớichuẩn

kf k = sup

kxk=1

kf (x)kđược gọi là không gian liên hợp hay không gian đối ngẫu của H; ký hiệu

là H∗

Định lý 1.3.1 (Định lý F.Riesz) Với mỗi véc tơ a cố định thuộc khônggian Hilbert H , hệ thức :

a là một véc tơ của H thỏa mãn (1.4)

Chứng minh Phần thứ nhất của định lí ta dễ dàng chứng minh được vì

f (x) = ha, xi rõ ràng là một phiếm hàm tuyến tính do

kf (x)k = |ha, xi| 6 kak kxk (1.5)

kf (a)k = |ha, ai| = kak kak (1.6)nên phiếm hàm đó giới nội và thỏa mãn (1.3)

Để chứng minh phần ngược lại, ta xét một phiếm hàm tuyến tính liêntục f (x) trên không gian Hilbert H Tập hợp

f (y) = f (x) − f (x)

f (x0)f (x0) = 0.

Mà

x0 ∈ M⊥,vậy hy, x0i = 0 tức là

f (x) = ha0, xi thì ha − a0, xi = 0, nghĩa là a - a’ = 0 Cuối cùng do (1.5)

và (1.6) nên phải có (1.4) như trên Định lí được chứng minh

Định lý vừa chứng minh cho phép ta thiết lập một tương ứng một giữa hàm tuyến tính liên tục f trên H và véc tơ a ∈ H Tương ứng

một-đó là một phép đẳng cự tuyến tính, do vậy nếu ta đồng nhất phiếm hàm

f với các véc tơ a sinh ra nó thì ta có H∗ = H, nghĩa là: Không gianHilbert trùng với không gian liên hợp của nó

1.3.2 Tôpô yếu trong không gian Hilbert

Cho không gian Hilbert H, H∗ là không gian liên hợp của không gian

H Với mỗi x ∈ H ta xét họ νx tất cả các tập con của không gian H códạng:

Vx = V (x; f1, f2, , fn; ε) = {y ∈ H : |fj(y) − fj(x)| < ε, j = 1, 2, , n}trong đó n là số nguyên dương tùy ý; f1, f2, , fn là n phần tử tùy ý củakhông gian H∗, ε là số dương tùy ý

Họ νx thỏa mãn các tính chất:

1) (∀x ∈ X)νx 6= φ, ∀Vx ∈ νx ⇒ x ∈ Vx;

2) V1 ∈ νx, V2 ⊃ V1 ⇒ V2 ∈ νx;

3) ∀V1 ∈ νx, ∀V2 ∈ νx ⇒ V1 ∩ V2 ∈ νx;

4) ∀Vx ∈ νx ⇒ ∃Wx ∈ νx sao cho (∀y ∈ Wx)Vx ∈ νy

Định nghĩa 1.3.3 Tôpô duy nhất trên không gian Hilbert H sao chotại mỗi điểm x ∈ H họ νx là một cơ sở lân cận của điểm x được gọi làtôpô yếu trên không gian H, ký hiệu tôpô đó là σ(H, H∗)

Định lý 1.3.2 Tôpô yếu trên không gian Hilbert H là tôpô nghèo nhấttrên H để các ánh xạ f ∈ H∗ vẫn còn liên tục

Các khái niệm: Tập mở yếu, bao đóng yếu, hội tụ yếu trong H luônđược hiểu, một cách tương ứng, là tập mở, bao đóng, hội tụ của Mtrong tôpô yếu của H

Mệnh đề 1.3.3 Dãy {xk} ⊂ H hội tụ yếu đến x nếu và chỉ nếu f (xk) →

f (x) với mọi f ∈ H∗

Chứng minh Giả sử {xk} hội tụ yếu đến x và f ∈ H Với mọi ε > 0tồn tại k0 ∈ V (f, x, ε) với mọi k ≥ k0 Nhưng điều đó có nghĩa là

|f (xk) − f (x)| < ε với mọi k ≥ k0 Vậy f (xk) → f (x)

Bây giờ giả sử f (xk) → f (x) với mọi f ∈ H∗ Lấy lân cận tùy ý códạng V (f1, f2, , fp, x, ε) của x Vì fi(xk) → fi(x) với i = 1, , p nêntồn tại k0 để |fi(xk) − fi(x)| < ε với mọi k ≥ k0, i = 1, 2, , p Điềunày có nghĩa là xk ∈ V (f1, f2, , fp, x, ε) với mọi k ≥ k0, tức là xk hội

tụ yếu đến x

Nhận xét 1.1 Vì H = H∗ nên mệnh đề trên tương đương với: Dãy(xk) ⊂ H gọi là hội tụ yếu tới điểm x ∈ H, ký hiệu : xk * x, (n → ∞)nếu với mọi điểm y ∈ H

lim

k→∞hxk, yi = hx, yiĐịnh lý 1.3.3 Cho không gian Hilbert H, nếu dãy điểm (xn) ⊂ H hội

tụ yếu tới điểm x ∈ H và lim

n→∞kxnk = kxk thì lim

n→∞kxn− xk = 0Định lý 1.3.4 Cho không gian Hilbert H Nếu dãy điểm (xk) ⊂ H hội

tụ yếu thì dãy đó bị chặn

Mệnh đề 1.3.4 Cho không gian Hilbert H Tập K ⊂ X gọi là tậpcompact yếu trong không gian H, nếu mọi dãy vô hạn (xk) ⊂ K đềuchứa một dãy con hội tụ yếu trong không gian H

Định lý 1.3.5 Nếu tập K bị chặn trong không gian Hilbert H, thì K

là tập compact yếu trong không gian H

Mệnh đề 1.3.5 Hình cầu đơn vị đóng trong không gian Hilbert H làcompact yếu

Kết luận chương

Chương này đã trình bày một số kiến thức cơ bản về định nghĩa

và tính chất của không gian Hilbert, toán tử trong không gian Hilbert,không gian đối ngẫu, tôpô yếu Đây là những kiến thức nhằm hỗ trợ chocác kết quả sẽ được trình bày trong chương sau

Toán tử nửa xác định dương trên không gian Hilbert và ứng dụng

Trong chương này, tác giả trình bày các khái niệm và các tính chấtliên quan đến toán tử nửa xác định dương trên không gian Hilbert Đồngthời nghiên cứu các ứng dụng của toán tử nửa xác định dương trên khônggian Hilbert vào việc giải bài toán bù tuyến tính Các kiến thức trongchương này chủ yếu lấy từ các tài liệu [1], [4], [5] và [6]

2.1.1 Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 2.1.1 ([1], tr 253) (Toán tử nửa xác định dương) Toán

tử tuyến tính liên tục T trên không gian Hilbert H được gọi là nửa xácđịnh dương, ký hiệu T ≥ 0, nếu

hT x, xi ≥ 0 (∀x ∈ H)

Nhận xét Từ định lý (1.2.6) ta suy ra mọi toán tử nửa xác định dương

19

là tự liên hợp.

Ví dụ 2.1.1 Giả sử K(t, s) ∈ L2([a, b] × [a, b]), tức là:

Z b a

Z b a

|K(t, s)|2dtds < ∞,

và K(t, s) ≥ 0 (hầu khắp nơi trên hình vuông {a ≤ t, s ≤ b}) Xét toán

tử tích phân T trong L2[a, b] với hạch K(t, s):

(T x)(t) =

Z b a

|[x, y]|2 ≤ [x, x] [y, y] Đây chính là (2.1)

Hệ quả 2.1 ([1], tr 255) Giả sử T là toán tử nửa xác định dương trênkhông gian Hilbert H Khi đó,

kT xk2 ≤ kT k hT x, xi (∀x ∈ H) (2.2)Chứng minh Lấy y = T x Từ (2.1) suy ra

kT xk4 ≤ hT x, xi hT (T x), T xi

≤ hT x, xi kT k kT xk2.Suy ra (2.2)

Hệ quả 2.2 ([1], tr 255) Giả sử T là toán tử nửa xác định dương trênkhông gian Hilbert H, dãy {xn} ⊂ H thỏa mãn hT xn, xni → 0 Khi đó

T xn → 0

Chứng minh Từ (2.2) suy ra:

kT xnk2 ≤ kT k hT xn, xni

Vì vậy, hT xn, xni → 0 kéo theo T xn → 0

Định lý 2.1.2 ([1], tr 255) Giả sử H là không gian Hilbert, T là toán

tử nửa xác định dương trên H Đặt

kT xk2 ≤ kT k hT x, xi ≤ kT k M kxk2

Suy ra

kT k2 = sup

x∈H,kxk=1

kT xk2 ≤ M kT k Nên ta có

Suy ra Tmxn → 0 khi n → ∞ (hệ quả 2.2)

Nên ta có Tm = T − mI không có toán tử ngược bị chặn, bởi vì nếu tồntại Tm−1 bị chặn, thì phải có kTmxnk ≥ c kxnk = c (xem [1], định lý 2.11)Vậy m ∈ σ(T )

Với số  > 0, xét toán tử:

Tm− = T − (m − )I = (T − mI) + I = Tm + I

Bởi vì Tm + I là toán tử nửa xác định dương, cho nên Tm + I tự liênhợp Hơn nữa, với mọi x ∈ H,

kTm−xk2 = hTmx + x, Tmx + xi

= kTmxk2 + 2 hTmx, xi + 2kxk2

≥ 2kxk2

Suy ra N (Tm−) = {0}.

Mặt khác, R(Tm−) là tập đóng (xem [1], chứng minh định lý 5.15)Suy ra

H = N (Tm−) ⊕ R(Tm−∗ ) = R(Tm−) = R(Tm−)

Vậy Tm− ánh xạ H lên H

Tương tự (xem [1], chứng minh định lý 5.15) ta suy ra tồn tại toán

tử ngược liên tục Tm−−1 = [T − (m − )I]−1 vì vậy,

m −  /∈ σ(T ) (∀ > 0) (2.6)Bây giờ xét toán tử A = M I − T Ta có:

Theo chứng minh trên, ta suy ra:

a) A không có toán tử ngược liên tục Do A = −(T − M I), nên

M ∈ σ(T )

b) Với mọi  > 0, A + I có toán tử ngược liên tục:

(A + I)−1 = [(M + )I − T ]−1 = − [T − (M + )I]−1

Do đó,

M +  /∈ σ(T ) (∀ > 0) (2.7)

Ta có σ(T ) ⊂ R (xem [1], định lý 5.15) Vì vậy, Từ (2.6) và (2.7) ta suy

và K là một nón lồi, đóng trong Rn Giả sử rằng

(i) T là nửa xác định dương cộng trên K,

(ii) T là nửa xác định dương trên KT, và

(iii) (T + T∗)K là đóng trong Rn

Khi đó, T là nửa xác định dương trên Rn

Nội dung trong phần này, chúng ta sẽ tổng quát kết quả trên (định

lý 2.1.3) tới một toán tử trên không gian Hilbert, và giải một bài toán

bù tuyến tính cho một toán tử xác định trên không gian Hilbert, đồngthời nêu ra sự tổng quát của định lý Moreau Tiếp theo, chúng ta chỉ rarằng, dưới điều kiện đã biết, một toán tử trên không gian Hilbert là nửaxác định dương bất cứ khi nào nó là nửa xác định dương cộng trên mộtnón lồi, đóng và nửa xác định dương trên cực nón

Bắt đầu từ đây, ta cho T (với liên hợp T∗) là một toán tử tuyến tính

bị chặn trên không gian hilbert H, và K là một nón lồi đóng trong H.Chúng ta nói rằng

(1) T là nửa xác định dương trên K nếu hT x, xi ≥ 0 (∀x ∈ K).(2) T là nửa xác định dương cộng trên K nếu T là nửa xác định dươngtrên K và x ∈ K, hT x, xi = 0 ⇒ (T + T∗)x = 0.

(3) T là xác định dương trên K nếu hT x, xi > 0 (∀x ∈ K, x 6= 0).(4) T là bức trên K nếu có một α > 0 sao cho hT x, xi ≥ α kxk2 (∀x ∈K)

(5) T là đơn điệu trên K nếu hT x − T y, x − yi ≥ 0 với x, y ∈ K.(6) Một hàm số thực Q(x) là nửa liên tục dưới yếu trên K nếu Q(x)

là nửa liên tục dưới trên K, đối với tôpô yếu (tức là: lim inf Q(y) ≥ Q(x)khi y hội tụ yếu đến x trong K)

(i) T là nửa xác định dương cộng trên S,

(ii) T là nửa xác định dương trên ST và