2 Toán tử nửa xác định dương trên không gian Hilbert và
2.2.2.Tính ổn định
Định lý 2.2.4. ([6], tr. 335) Nếu dimH < ∞ và giả sử T là một đồng dương cộng trên K thì các phát biểu sau là tương đương:
(a) Tập hợp nghiệm của GLCP(T, K, q) là khác rỗng và compact. (b) {x ∈ K : T x ∈ K∗,hT x, xi = 0,hq, xi 60} = {0}.
(c) q ∈ int(K∗ −T(K)).
(d) GLCP(T,K,q) chấp nhận được và
{x ∈ K :T x ∈ K∗,hT x, xi = 0,hq, xi = 0} = {0}.
Chứng minh. (a) ⇒ (b): Giả sử tập hợp nghiệm của GLCP(T, K, q) là khác rỗng và compact. Theo Mangasrian ([10]) ta phải chỉ ra (b) thỏa mãn. Giả sử tồn tại x∈ K sao cho
T x ∈ K∗,hT x, xi = 0 và hq, xi 6 0. Cho x0 là một nghiệm của bài toán GLCP(T, K, q). Thì với bất kì t> 0 có một x0 +tx ∈ K và T(x0 +tx) + q ∈ K∗. Hơn nữa hT(x0 +tx) + q, x0 +txi = = hT x0 +q, x0i+ hT x0 +q, txi +hT(tx), x0 +txi = 0 +thq, xi+ thx0, T∗xi+ thx0, T xi+t2hT x, xi 6 0
vì hq, xi 6 0, T∗x+T x = 0 và hT x, xi = 0.
Vì T (x0 +tx) + q ∈ K∗ ta có hT (x0 +tx) + q, x0 +txi > 0. Do vậy
hT (x0 +tx) +q, x0 +txi = 0, Khi đóx0+txlà nghiệm của GLCP(T, K, q)
với mọi t >0. Bằng tính bị chặn của tập nghiệm chúng ta có x = 0. Vậy
(a) ⇒ (b).
(b) ⇒ (c): Giả sử (b) không suy ra (c). Dù q /∈ (K∗ −T(K)) hoặc
q ∈ ∂(K∗ −T(K)). Trong cả hai trường hợp đều ∃ {qn} sao cho
qn ∈/ (K∗ −T(K)) và qn → q (n→ ∞). Khi thay đổi n thì tồn tại ξn với
kξnk = 1 và α ∈ R sao cho hqn,ξni 6 α 6 hξn, k∗i − hξn, T ki (k ∈ K;k∗ ∈ K∗). Vì K∗ −T(K) là nón ta đặt α = 0 thì hqn,ξni 6 06 hξn, k∗i − hξn, T ki(k ∈ K;k∗ ∈ K∗). Đặt k = 0 ta có hξn, k∗i > 0;k∗ ∈ K∗ ta chỉ ra ξn ∈ K. Lại đặtk∗ = 0ta có06 − hξn, T kivà do đóhT ξn, ξni 60nênhT ξn, ξni = 0 và hqn, ξni 6 0.
Vìkξnk = 1 với (n = 1,2,3, ....) ta có thể cho rằngξn (hoặc một dãy ) hội tụ đến phần tửξ Khi đó kξk = 1, ξ ∈ K, tξ ∈ K∗,hT ξ, ξi = 0 mâu thuẫn với điều giả sử . Vậy (b) ⇒(c).
(c) ⇒(d): Giả sử (c) đúng, rõ ràng GLCP(T, K, q) chấp nhận được . Giả sử có ξ 6= 0 sao cho ξ ∈ K, tξ ∈ K∗,hT ξ, ξi = 0 và hq, ξi = 0.
Với bất kì z ∈ K∗ −T(K) thì z = k∗ −T k (k∗ ∈ K∗;k ∈ K) ta có
hξ, zi = hξ, k∗i − hξ, T ki = hξ, k∗i +h−T∗ξ, ki
> 0 + 0 (ξ ∈ K,−T∗ξ = T ξ ∈ K∗) > 0 = hq, ξi.
Điều này cho thấy siêu phẳng {x ∈ H hx, ξi = 0} tách q từ K∗ −T(K). Vì q ∈ int (K∗ −T(K)) ta có ξ = 0.
Vậy (c) ⇒ (d).
(d) ⇒ (a) đúng theo định lí (2.2.2).
Nhật xét về định lí 2.2.4 :
i) Khi H = Rn và K = R+n sự tương đương giữa (a) và (c) trùng với kết quả của Mangasrian trong [10].
ii) Giả sử rằng K∗ có phần trong khác rỗng và T là đồng dương cộng trên K. Giả thiết rẳng tồn tại một x ∈ K sao cho T x + q ∈ intK∗. Borwein ([2]) đã chỉ ra rằng bài toán GLCP(T, K, q) có tập nghiệm compact, có thể rỗng. Vì T x + q ∈ intK∗ suy ra q ∈ int[K∗ −T(K)], định lý 2.2.4 về bản chất đã chỉ ra rằng GLCP(T, K, q) có tập nghiệm khác rỗng.
iii) Với không gian hữu hạn chiều tính compact của tập nghiệm tương đương với tính bị chặn, bởi vì tập nghiệm của bài toán GLCP(T, K, q)
luôn đóng.
iv) Trong [12] chứng minh kết quả nhiễu đối với các toán tử đơn điệu xác định trên các không gian phản xạ.
Chú ý 4. Trong trường hợp hữu hạn chiều, tính compact của tập nghiệm tương đương với tính bị chặn và đóng. Vì vậy, tập nghiệm của (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
GLCP(T, K, q) luôn luôn đóng.
Khi xét trên Rn ta có định lý sau:
Định lý 2.2.5. (Định lý 2.1 của [7]) Cho ∆ là một hình nón lồi đóng khác rỗng trong Rn, một ma trận M ∈ Rn×n là đồng dương cộng khác rỗng trên ∆, một véc tơ p ∈ Rn. Thì các điều sau là tương đương:
(a) Tập nghiệm của GLCP(M, p,∆) là khác rỗng và bị chặn. (b) p∈ int((0+∆)∗ −M∆).
(c) Tồn tại ε > 0 sao cho với mọi M0 ∈ Rn×n và p0 ∈ Rn với
max{kM0 −Mk,kp0 −pk} < ε, tập nghiệm của GLCP(M0, p0,∆) khác rỗng.
Dưới đây chúng ta trình bày một đặc trưng của nón đa diện trong các không gian hữu hạn chiều.
Định lý 2.2.6. ([6], tr. 337) Với dimH < ∞ các mệnh đề sau là tương đương:
i) Tồn tại một toán tử S : H → H sao cho S(K) không đóng.
ii) Tồn tại một phép chiếu trực giao P : H → H sao cho P(K) là không đóng.
iii) Tồn tại toán tử P : H → H là đồng dương cộng trên K và q ∈ H
sao cho GLCP(T,K,q) là chấp nhận nhưng không có nghiệm. iv) K không phải là đa diện.
v) Tồn tại toán tử chiếu P :H → H với dim(RanP) = 2 mà P(K) là không đóng.
Chứng minh. i) ⇒ ii): Giả sử i) đúng. Vì H/KerS đẳng cấu với Ran
S (vì dimH < ∞) và Π : H → H/KerS là ánh xạ thương nên tập
K + KerS không đóng trong H. Kí hiệu P là phép chiếu trực giao từ
H lên (KerS)⊥. Vì KerP = KerS nên K + KerP không đóng. Vì vậy
P(K) không đóng trong H. Ta có ii).
ii) ⇒ iii): Giả sử P là phép chiếu lên H sao cho P(K) không đóng trong H. Kí hiệu u là điểm giới hạn của P(K) mà không thuộc P(K). Đặt q = −u và kí hiệu I là toán tử đồng nhất trên H. Ta chỉ ra P(K)∗−
P(K) = H. Kí hiệu L là nón lồi đóng (không nhất thiết là P(K)), Giả sử phản chứng rằng L∗−L 6= H. Lấy x ∈ H mà x /∈ L∗−L khi đó theo định lý tách ([9]) tồn tại a 6= 0, a∈ H và α ∈ R sao cho
ha, xi ≤ α ≤ ha, wi − ha, vi v ∈ L, w ∈ L∗. (2.15) Vì L∗ −L là một nón ta có thể lấy α = 0. Đặt w = 0 trong (2.15) ta nhận được
0 ≤ −ha, vi (v ∈ L)
suy ra −a ∈ L∗.
Cho w = −a, v = 0 và nhắc lại rằng ta đã lấy α = 0, (2.15) cho
0 ≤ ha,−ai
suy raa = 0, mâu thuẫn vớia 6= 0. Như vậyP(K∗)−P(K) = H do đó bài toán GLCP(I, P(K), q) chấp nhận được. Giả sử rằng GLCP(I, P(K), q)
có nghiệm. Khi đó tồn tạo p ∈ P(K) sao cho hp+q, vi ≥ 0; vớiv ∈ P(K) và hp+q, pi = 0. Với q = −u, ta có với bất kỳ v ∈ P(K): kv −uk2 = kv −pk2 +kp−uk2 + 2hv−p, p−ui ≥ kp−uk2, bởi vì hv−p, p−ui = hv, p−ui − hp, p−ui ≥ 0.
Vì u thuộc bao đóng của tập [P(K)]\P(K), điều này không thể xảy ra, do đó GLCP(I, P(K), q) không thể có nghiệm. Vì q ∈ RanP và P
là một phép chiếu, bài toán GLCP(I, P(K), q) chấp nhận được (tương ứng có nghiệm) tương đương bái toán GLCP(P, K, q) chấp nhận được (tương ứng có nghiệm). Như vậy ta thấy rằng bài toán GLCP(P, K, q)
chấp nhận được nhưng không có nghiệm. Cuối cùng,P đồng dương cộng trên K vì các phép chiếu luôn là đơn điệu (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
iii) ⇒iv): Suy ra từ định lý 2.2.1.
iv) ⇒ v): Theo kết quả của [11].
v) ⇒ i): Hiển nhiên.
Tiếp theo chúng ta trình bày một số ví dụ minh họa cho ứng dụng của định lý 2.2.2:
Ví dụ 2.2.1. Ví dụ này chỉ ra rằng nếu thiếu điều kiện (iii) trong định lý 2.2.2 thì GLCP(T, P(K), q) không giải được. Cho
H = l2 = ( x = (x1, x2, ...) : xn ∈ R, ∞ X n=1 x2n < ∞ )
với tích vô hướng cho trước hx, yi = ∞ X n=1 xnyn.
Chol2+là hình nón dương trongl2 (tức là, mọixn ≥ 0vớix= (x1, x2, ...) ∈
l2+ ⊂ l2).
Đặt v = α(1, 14,19, ...), và u = β(γ,12, 13, ...) trong đó α, β, γ được chọn sao cho α, β > 0,kuk = kvk = 1 và hu, vi = 0.
Chúng ta định nghĩa một toán tử chiếu P : l2 → l2 bằng P : x → hx, uiu+hx, viv.
Vì P một phép chiếu,P đơn điệu trên l2 và do đó đồng dương cộng trên
l2+. Hơn nữa, từ tính liên tục của P suy ra tính nửa liên tục dưới yếu của ánh xạ x → hP x, xi. Nếu 0 6= x ∈ Ker P, thì hx, vi = 0 nên một vài thành phần của x phải âm. Điều này chỉ ra l2+∩Ker P = {0}. Mặc dù
l2+ tách được, chúng ta có 0 ∈ bao đóng - yếux ∈ l+2 : kxk = 1 .
Cho en là ký hiệu phần tử trong l2+ với 1 ở vị trí thứ n và 0 ở những chỗ khác. Đặt q = −u sau đó, cho n > 1, P n β en = n β en, u u+ n β en, v v = u+ α β 1 nv. (2.16)
Vì v ∈ (l+2 )∗ (= l+2 ), nên ta có [P ((n/β)en) +q] ∈ (l2+)∗. Như vậy GLCP(P, l2+, q) chấp nhận được và chúng ta đã kiểm tra tất cả các điều kiện của định lý 2.2.2 loại bỏ độ mỏng của l2+. Giả sử, có một a ∈ l+2 với
hP a+q, xi ≥ 0 (∀x ∈ l2+), và hP a+q, ai = 0. Bất đẳng thức hP a+q,(n/β)eni ≥ 0 (n = 1,2, ...) chỉ ra ha, ui+ α β 1 nha, vi −1≥ 0 với n = 2,3, ...,
Nên ha, ui ≥ 1. Bây giờ hP a+q, ai = 0 quy về |ha, ui|2 +|ha, vi|2 − ha, ui = 0, Vì ha, ui ≥ 1, suy ra ha, vi = 0.
Do a ∈ l2+ và tất cả sự đưa vào của v là đồng dương ngặt, nên phải có
a = 0 do đó h−u, xi = hq, xi = hP a+q, xi ≥ 0 với x ∈ l+2. Nhưng h−u, e2i = −1
2β < 0 nên chúng ta có một mâu thuẫn. như vậy, GLCP(P, l2+, q) không giải được.
Chú ý 5. : Cho n→ ∞ trong (2.16) chúng ta thấy rằng
u ∈ bao đóng P(l2+). Tuy nhiên u không thuộc P(l2+): nếu có một
P x = hx, uiu+ hx, viv = u với x ∈ l+2 , thì hx, vi = 0, suy ra x = 0 và do đó u = P x = 0. Như vậy, ảnh của l2+ dưới P không đóng.
Ví dụ 2.2.2. : Ví dụ này chỉ ra rằng nếu điều kiện (iv) trong định lý 2.2.2 bỏ qua thì kết quả không đúng; tương tự ví dụ cho thấy điều kiện (iii) trog định lý 2.2.3 không thể bị bỏ qua. Cho
H = R3, T(x, y, z) = (x, y,0), K = (x, y, z) : x, z ≥ 0, 2xz ≥ y2 .
Đặt q = (1,1,0) và x0 = (1,−1,1). Thì K là một hình nón lồi đóng với
K∗ = K và x0 ∈ K. Do T x0 + q = (2,0,0) ∈ K∗, GLCP(T, K, q) là chấp nhận được. Tồn tại một phép chiếu T đơn điệu trên R3 và đồng dương cộng trên K. Bây giờ giả sử k = (x, y, z) là nghiệm bất kỳ của GLCP(T, K, q). Thì T k+q = (x+1, y+1,0) ∈ K∗ (= K) do đóy = −1.
Vì2xz ≥ y2 = 1, nên có mộtx > 0đểhT k+ q, ki = x(x+1)+y(y+1) =
x(x+ 1) > 0. Như vậy GLCP(T, K, q) không giải được. Chúng ta thấy rằng (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
K ∩Ker T ∩ {q}⊥ = {(0,0, z) : z ∈ R} 6= {0},
(T +q ⊗q)K = (2x+y, x+ 2y,0) :x = y = 0 hoặc x > 0 .
Tập hợp thứ hai không đóng, vì (1,2,0) là một điểm giới hạn của
(T +q ⊗q)K và không thuộc (T + q ⊗q)K. Như vậy, điều kiện (iv) trong định lý 2.2.2 cũng như điều kiện (iii) trong định lý 2.2.3 đều không thỏa mãn.
Các ví dụ được đưa ra trong phần trên dẫn đến dự đoán rằng, nếu ảnh của nón qua toán tử mà không đóng thì bài toán GLCP tương ứng không nhất thiết có nghiệm. Điều này đúng nếu không gian là hữu hạn chiều. (Dường như kết luận tương tự cũng đúng với không gian vô hạn chiều nhưng chúng ta không rõ điều này).
Để kết thúc chương này chúng ta nêu lại các chú ý có tính kết luận và các bài toán mở trong [6]:
Chú ý 6. Cho dim H < ∞ và cho T đồng dương cộng trên K. Giả sử rằng GLCP(T, K, q) là chấp nhận được, tức là q ∈ [K∗ −T(K)]. Khi đó các kết quả của chúng ta chứng tỏ rằng:
Nếu q ∈ int[K∗−T(k)] thì tập nghiệm của GLCP(T, K, q) khác rỗng và compact.
Nếu q ∈ ∂(K∗−T(K)), (T +q⊗q)K là đóng, và T là tự liên hợp thì tập nghiệm của GLCP(T, K, q) là khác rỗng và không bị chặn.
lý 2.2.3 không?
Chú ý 7. Định lý 2.2.3 cũng có thể chứng minh bằng cách cực tiểu hóa một phiếm hàm bậc hai.
Chú ý 8. Định lý 2.2.4 chỉ ra rằng khi dim H < ∞ và T là đồng dương cộng, tập nghiệm của GLCP(T, K, q) khác rỗng và compact tương đương với sự tồn tại của một ε > 0 sao cho GLCP(T, K, q0) có tập nghiệm khác rỗng (compact) để kq0 −qk< ε.
Bài toán 2. Định lý 2.2.6 có đúng khi H là vô hạn chiều không?
Kết luận chương
Chương 2 đã trình bày các khái niệm và các tính chất về toán tử nửa xác định dương trên không gian Hilbert và ứng dụng của chúng vào việc giải bài toán bù tuyến tính.
Kết luận
Luận văn đã trình bày một cách có hệ thống các nội dung sau:
• Khái niệm và những tính chất cơ bản của toán tử nửa xác định dương trên không gian Hilbert.
• Ứng dụng của toán tử nửa xác định dương trên không gian Hilbert vào bài toán bù tuyến tính suy rộng.
• Những mối quan hệ xuất hiện trong các kết quả đã trình bày.
• Trình bày được một cách có hệ thống một số kết quả về toán tử nửa xác định dương trên không gian Hilbert và ứng dụng cho bài toán bù tuyến tính suy rộng trên không gian Hilbert. Một số kết quả tổng quát đã được diễn giải và tính toán lại một cách chi tiết.
Vì khả năng và điều kiện có hạn, luận văn chắc chắn không thể tránh được thiếu sót. Kính mong các thầy cô và các đồng nghiệp góp ý kiến để em có điều kiện chỉnh sửa luận văn được tốt hơn.
Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu tiếng Việt
[1] Đỗ Văn Lưu (1999), Giải tích hàm, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật Hà Nội.
[B] Tài liệu tiếng Anh
[2] J. M. Borwein (1984), Generalized linear complemetality problems treated without the fixed point theory, JOTA 43 p. 343-356.
[3] R. W. Cottle, J.-S. Pang, R. E. Stone (1992), The Linear Comple- mentarity Problem, Acad. Press, New York.
[4] M. S. Gowda (1985), Cone characterizations of positive semidefi- nite operators on a Hilbert space, Linear Algebra and its applica- tions 64, 77 - 83.
[5] M. S. Gowda (1986), A characterization of positive semidefinite operators on a Hilbert space, Journal of Optimization theory and Applications 3, 419-425. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[6] M. S. Gowda, T. I. Seidman (1990),Generalized linead complemen- tarity problems, Mathematical Programming 46, 329-340.
[7] N. N. Tam (2004), Some stability for semi-affine variational in- equality problem, Acta Mathematice Vietnamica 29, 271-280. [8] S. P. Han and O. L. Mangarian (1982), Conjugate cone charac-
terizations of positive definite and semidefinite matrices, Linear Algebra Appl.
[9] O. L. Mangasrian (1969), Nonlinear Programming, McGraw-Hill, NewYork.
[10] O. L. Mangasrian (1982), Characterizations of bounded solutions of linear complemetality problems, Math. Programming study 19, p. 153-166.
[11] H. Mirkil (1957), New Characterizations of polyhedral cones, Cana- dian Jounal of Mathematics IX(1), p. 1-4.
[12] L. McMinden (1984), Stable monotone variational inequalities, Technical Report #2734, Mathematics Research, Univertsity of Wisconsin (madison, WI).
[13] J. Frédéric Bonnans, Alexander Shapiro, Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer (2000).