2 Toán tử nửa xác định dương trên không gian Hilbert và
2.2.Bài toán bù tuyến tính suy rộng
Có rất nhiều kết quả liên quan đến bài toán bù tuyến tính trong các không gian hữu hạn chiều cũng như trong không gian vô hạn chiều (xem
[6], [3] và những tài liệu trích dẫn trong đó).
Bài toán bù tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều được phát biểu như sau:
Tìm vectơ z ∈ Rn sao cho
hM z +q, xi ≥ 0 ∀x ∈ Rn+, hM z + q, zi = 0,
trong đó M là ma trận vuông cấp n×n, q ∈ Rn,
với Rn+ = {x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn | xi ≥0 ∀i = 1,2, . . . , n}. Khái quát khái niệm trên trong không gian Hilbert:
Định nghĩa 2.2.1. Cho H là một không gian Hilbert, K là một nón lồi trong H. Bài toán bù tuyến tính trong không gian Hilbert là: Tìm x ∈ K
sao cho
hT x+q, ki > 0 (∀k ∈ K) và hT x+q, xi = 0,
trong đó T là một toán tử tuyến tính trên H và q là một phần tử của H. Bài toán trên được gọi là bài toán bù tuyến tính suy rộng trên không gian Hilbert và được kí hiệu GLCP(T, K, q).
Định nghĩa 2.2.2. Bài toán GLCP(T, K, q) được gọi là chấp nhận được nếu tồn tại x ∈ K sao cho T x+q ∈ K∗, trong đó
K∗ = {x ∈ H : hx, ki ≥ 0 ∀k ∈ K}.
Nếu x ∈ K sao cho T x+q ∈ K∗ thì ta nói x là chấp nhận được đối với (cho) bài toán GLCP(T, K, q).
Định nghĩa 2.2.3. Ta nói bài toán GLCP(T, K, q) giải được nếu tồn tại x chấp nhận cho bài toán GLCP(T, K, q) và hT x+q, xi = 0.
Ta sẽ nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và tính ổn định của bài toán bù tuyến tính suy rộng. Chúng ta chỉ ra, dưới điều kiện thích hợp, một bài toán bù tuyến tính suy rộng (định nghĩa trên một nón lồi đóng tổng quát trong một không gian Hilbert thực) sẽ giải được bất cứ khi nào toán tử là đồng dương cộng trên nón đó. Chúng ta cũng chỉ ra rằng trong số tất cả các nón lồi đóng trong một không gian Hilbert thực hữu hạn chiều, chỉ có các nón đa diện với tính chất lồi đóng mà mọi toán tử là đồng dương cộng trên nó, cho phép bài toán bù tuyến tính suy rộng giải được.
Định nghĩa 2.2.4. Cho q1, q2 ∈ H, q2⊗q1 chính là ký hiệu toán tử tuyến tính trên H định nghĩa bởi:
(q2 ⊗q1)(x) =hq1, xiq2.