Toán tử chiếu suy rộng trên không gian banach và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐOÀN TRƯỜNG TOÁN TỬ CHIẾU SUY RỘNG TRÊN KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm Hà Nội - 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập. Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, thầy cô giáo, đồng nghiệp THPT Sóc Sơn, gia đình bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 06 năm 2014 Tác giả Đoàn Trường Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Toán tử chiếu suy rộng không gian Banach ứng dụng” hoàn thành nhận thức thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Hà Nội, tháng 06 năm 2014 Tác giả Đoàn Trường Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Khái niệm không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Toán tử tuyến tính, toán tử compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Không gian liên hợp, tôpô yếu tôpô yếu* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4. Không gian Banach phản xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.5. Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4. Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chương 2. Toán tử chiếu suy rộng ứng dụng . . . . . . . . . . 21 2.1. Toán tử chiếu không gian Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2. Toán tử chiếu suy rộng không gian Banach . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.1. Toán tử chiếu metric PK không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.2. Toán tử chiếu suy rộng πK không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.3. Toán tử chiếu suy rộng ΠK không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3. Toán tử chiếu suy rộng không gian Banach phản xạ, lồi chặt trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4. Ứng dụng vào nghiên cứu tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Mở đầu 1. Lí chọn đề tài Toán tử chiếu PK : H → K, H không gian Hilbert K tập lồi đóng H, sử dụng nhiều lĩnh vực toán học, như: Lý thuyết tối ưu, lý thuyết điểm bất động, quy hoạch phi tuyến, lý thuyết trò chơi, bất đẳng thức biến phân, toán bù (xem [4] tài liệu dẫn đó). Năm 1994, Alber [4] đưa toán tử chiếu suy rộng πK : B ∗ → K ΠK : B → K xét B không gian Banach lồi trơn, B* không gian đối ngẫu B. Trong [5] Alber đưa số ứng dụng toán tử chiếu πK , ΠK vào giải bất đẳng thức biến phân toán tìm giao Von-Neumann không gian Banach. Nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu toán tử chiếu suy rộng ứng dụng chúng. Những nghiên cứu tìm thấy [6] tài liệu dẫn đó. Sau học kiến thức chương trình đào tạo Thạc sĩ Toán giải tích, với mong muốn hiểu biết sâu kiến thức học, mối quan hệ ứng dụng chúng, chọn đề tài nghiên cứu “Toán tử chiếu suy rộng không gian Banach ứng dụng” để thực luận văn tốt nghiệp thạc sĩ mình. 2. Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng phạm vi nghiên cứu Mục đích đề tài tìm hiểu, khảo sát nắm vững tính chất toán tử chiếu không gian Banach ứng dụng chúng. Thu thập tài liệu qua báo đăng sách in, đọc phân tích, so sánh tổng hợp để có tổng quan phép chiếu phép chiếu suy rộng. Tìm ví dụ minh họa số ứng dụng toán bất đẳng thức biến phân. 3. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phép chiếu metric không gian Hilbert suy rộng không gian Banach phản xạ. Một số ứng dụng vào Lý thuyết tối ưu bất đẳng thức biến phân. 4. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích hàm giải tích biến phân. 5. Đóng góp đề tài Trình bày tổng quan toán tử chiếu suy rộng số ứng dụng giải bất đẳng thức biến phân. Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày khái niệm không gian Banach thực, Hilbert thực số kiến thức có liên quan khác, xem công cụ dùng đến chương sau. Chứng minh kết tìm [1], [2] [3] 1.1. Không gian Banach 1.1.1. Khái niệm không gian Banach Định nghĩa 1.1. Cho X không gian tuyến tính R với ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu . đọc chuẩn, thỏa mãn tiên để sau: 1) ||x|| ≥ (∀x ∈ X); ||x|| = ⇔ x = 0; 2) ||λx|| = |λ|||x|| (∀x ∈ X, ∀λ ∈ R); 3) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| (∀x, y ∈ X). Số x gọi chuẩn véc-tơ x. Ta kí hiệu không gian định chuẩn X. Định nghĩa 1.2. Không gian tuyến tính thực với chuẩn xác định X gọi không gian định chuẩn thực. Định nghĩa 1.3. Dãy {xn } không gian định chuẩn X gọi hội tụ đến x0 ∈ X nếu: lim xn − x0 = 0; n→∞ kí hiệu: xn → x0 lim xn = x0 n→∞ Định nghĩa 1.4. Dãy {xn } không gian định chuẩn X gọi dãy Cauchy lim n,m→∞ xn − xm = 0. Định nghĩa 1.5. Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach dãy X hội tụ. 1.1.2. Toán tử tuyến tính, toán tử compact Giả sử X X hai không gian tuyến tính R ánh xạ: f : X → X . Định nghĩa 1.6. f gọi ánh xạ tuyến tính, toán tử tuyến tính, hay gọi tắt toán tử, ∀x ∈ X, ∀y ∈ X , ∀α, β ∈ R, f (αx + βy) = αf (x) + βf (y). Sau ta thường gọi f toán tử tuyến tính. Định nghĩa 1.7. Toán tử tuyến tính f : X → X gọi bị chặn ∃k > 0, ∀x ∈ X, ||f (x)|| ≤ k||x||. (1.1) Định lý 1.1. Giả sử X X hai không gian định chuẩn f : X → X toán tử tuyến tính mệnh đề sau tương đương (i) f liên tục đều; (ii) f liên tục ; (iii) f liên tục điểm ∈ X; Nhận xét 1.1. a) Đối với toán tử tuyến tính, khái niệm liên tục bị chặn tương đương. b) Từ (1.1) suy sup x∈X,x=0 f (x) < +∞. x Định nghĩa 1.8. Giả sử X X không gian định chuẩn R. Kí hiệu L(X, X ) không gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào X . L(X, X ) không gian véc-tơ R - không gian véc-tơ L(X, X ) tất ánh xạ tuyến tính từ X vào X . Với f ∈ L(X, X ), đặt f = inf {k : f (x) ≤ k x ,∀x ∈ X} Định nghĩa 1.9. Cho không gian metric M = (X, d). Tập K ⊂ X gọi tập compact không gian M, dãy vô hạn phần tử thuộc K chứa dãy hội tụ tới phần tử thuộc tập K. Tập K gọi tập compact tương đối không gian M, dãy vô hạn phần tử thuộc K chứa dãy hội tụ tới phần tử thuộc tập X. Định nghĩa 1.10. Giả sử X X không gian định chuẩn. Ánh xạ (toán tử) tuyến tính f : X → X gọi toán tử compact ảnh f (B) hình cầu đơn vị B X compact tương đối X . Nếu f toán tử compact f = sup f (x) = sup x∈B y : y ∈ f (B) < ∞, 44 Định lý 2.6. Các bất đẳng thức 8C δB ( x − ξ /4C) ≤ V2 (x, ξ) ≤ 4C ρB (4 x − ξ /C) (2.20) ∀x, ξ ∈ B, C= ( x + ξ )/2. Chứng minh. Ta bắt đầu chứng minh bất đẳng thức vế trái. Giả sử x y phần tử B. Ta có (x + y)/2 − x ≥ Jx, y − x + 2R12 δB ( y − x /4R1 ). Sử dụng đẳng thức Jx, x = x , ta Jx, y ≤ (x + y)/2 − 2R12 δB ( x − y /4R1 ). Hàm không giảm ggB (ε)/ε kéo theo 2δB (ε/2) ≤ δB (ε). Do đó, V2 (x, y) = x − Jx, y + y ≥ x + y − 2−1 x + y + 4R12 δB ( x + y /4R1 ) ≥ 2R12 δB ( x − y /2R1 ) + 4R12 δB ( x − y /4R1 ) ≥ 8R12 δB ( x − y /4R1 ). Bất đẳng thức vế trái (2.20) chứng minh không gian Banach lồi đều. Giả sử ta chứng minh bất đẳng thức vế phải không gian Banach trơn đều. Tương tự cách (2.17) ta suy Jx − Jy, x − y ≥ 2R12 δB ∗ ( Jx − Jy B ∗ /2R1 ), B ∗ lồi đều. Từ (2.21) ta có Jx − Jy B∗ x − y ≥ 2R12 δB ∗ ( Jx − Jy B ∗ /2R1 ). (2.21) 45 Vì gB ∗ (ε) = δB ∗ (ε)/ε, ước lượng gB ∗ ( Jx − Jy B ∗ /2R1 ) ≤ R1−1 x − y rõ ràng đúng. Hơn nữa, ρB (τ ) = sup {ετ /2 − δB ∗ (ε)} , 0≤ε≤2 ρB (τ ) ≥ ετ /2 − δB ∗ (ε), ≤ ε ≤ 2, τ > 0. Do ρB (4δB ∗ (ε)/ε) ≥ δB ∗ (ε). Kí hiệu hB (τ )=P B (τ )/τ, ta có hB (4gB ∗ (ε) ≥ ε/4. Định nghĩa ε = Jx − Jy B ∗ /R1 . sử dụng hàm không tăng hB (τ ), ta có từ (2.22) hB (4gB ∗ (ε) ≤ hB (4R1−1 x − y ). Do đó, J x − Jy B∗ ≤ 8R1 hB (4R1−1 x − y ). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có Jx − Jy, x − y ≤ 2R1P B (4 x − y /R1 ). Mặt khác, tính lồi V2 (Jx, y) suy V2 (x, y) ≤ V2 (y, y) + Jx − Jy, x − y = Jx − Jy, x − y , Định lý chứng minh. (2.22) 46 Hệ 2.1. Nếu ξ x bị chặn, V2 (x, ξ) → 0, x − ξ → ngược lại. Bổ đề 2.2. Nếu x ≤ R ξ ≤ R 2L−1 R2 δB ( x − ξ /4R) ≤ V2 (x, ξ) ≤ 4L−1 R2 ρB (4 x − ξ /R). Ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa B thỏa mãn bất đẳng thức sau: 2C δB ( x − ξ /2C) ≤ Jx − Jξ, x − ξ ≤ 4C ρB (4 x − ξ /C) (2.23) Jx − Jξ B∗ ≤ 8ChB (4 x − ξ /C), hB (τ )= ρB (τ )/τ. (2.24) Bổ đề 2.3. Nếu x ≤ R ξ ≤ R (2L)−1 R2 δB ( x − ξ /2R) ≤ Jx − Jξ, x − ξ ≤ 2L−1 R2 ρB (4 x − ξ /R). Jx − Jξ B∗ (2.25) (2.26) ≤ 8RhB (16L x − ξ /R), hB (τ )= ρB (τ )/τ. Đây công thức giải tích tốt biết để thấy ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa toán tử đơn điệu (liên tục đều) tập bị chặn (trơn đều) không gian Banach lồi đều. Một ước lượng khác ánh xạ đối ngẫu Jx, Jξ, x − ξ ≤ 8||x − ξ||2 + 2C1 ρB (||x − ξ||). (2.27) 2.3. Toán tử chiếu suy rộng không gian Banach phản xạ, lồi chặt trơn Trong phần này, ta nghiên cứu trường hợp B không gian Banach phản xạ, lồi ngặt. Vì không gian Banach lồi phản xạ lồi ngặt, 47 trường hợp ta nghiên cứu phần tổng quát trường hợp lồi Alber nghiên cứu [5] Định lý 2.7. Nếu B không gian Banach phản xạ với B ∗ không gian đối ngẫu B K tập hợp con, khác rỗng, đóng, lồi B ta có tính chất sau: 1) Với ϕ ∈ B ∗ , πK ϕ tập không rỗng, đóng, lồi bị chặn K; 2) ∀ϕ ∈ B ∗ hai phần tử khác πK ϕ phụ thuộc tuyến tính; 3) Toán tử πK : B ∗ → K đơn trị B lồi ngặt. Chứng minh. 1) Với ϕ ∈ B ∗ , πK ϕ không rỗng. Tính bị chặn πK ϕ suy từ bất đẳng thức V (ϕ, x) ≥ ( x − ϕ )2 . Tiếp theo ta chứng minh πK ϕ đóng. Giả sử {xn } ⊆ πK ϕ xn → x0 , n → ∞. Ta có V (ϕ, x0 ) = ϕ − ϕ, x0 + x0 = lim ( ϕ n→∞ − ϕ, xn + xn ) = lim V (ϕ, xn ) = inf V (ϕ, y). n→∞ y∈K Do x0 ∈ πK ϕ, πK ϕ đóng. Cuối cùng, ta chứng minh πK ϕ lồi. Giả sử x1 , x2 ∈ πK ϕ, K ≤ λ ≤ từ tính chất liên tục phiếm hàm V, ta có V (ϕ, λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λV (ϕ, x1 ) + (1 − λ)V (ϕ, x2 ) = λ inf V (ϕ, y) + (1 − λ) inf V (ϕ, y) y∈K = inf V (ϕ, y). y∈K y∈K 48 Suy λx1 + (1 − λ)x2 ∈ πK ϕ. Do πK ϕ tập hợp lồi. 2) Giả sử x1 , x2 ∈ πK ϕ x1 = µx2 với số thực µ = 1. Khi ta có V (ϕ, x1 ) = V (ϕ, x2 ) suy ϕ, x2 − x1 = x2 − x1 . Thay x1 µx2 đẳng thức ta có 2(1 − µ) ϕ, x2 = (1 − µ2 ) x2 . Do µ = 1, nên ϕ, x2 = (1 + µ) x2 . Đặt x3 = (x2 + x1 )/2 = 1+µ x2 . Từ tính chất lồi πK ϕ, ta có x3 ∈ πK ϕ. Từ V (ϕ, x2 ) = V (ϕ, x3 ), lí luận tương tự trên, ta có ϕ, x2 = (1 + Suy + µ = + 1+µ , 1+µ ) x2 . tức µ = 1. Điều mâu thuẫn với giả thiết µ = 1. Do 2) chứng minh. 3) Trước tiên ta chứng minh tồn ϕ ∈ B ∗ cho πK ϕ không đơn trị B không lồi ngặt. Giả sử x1 , x2 ∈ πK ϕ, với ϕ ∈ B ∗ đó. Ta có V (ϕ, x1 ) = V (ϕ, x2 ) điều suy ϕ, x2 − x1 = x2 − x1 . (2.28) Từ tính chất 1) với λ ∈ [0, 1] ta có (λx2 + (1 − λ)x1 ) ∈ πK ϕ. Từ V (ϕ, λx2 + (1 − λ)x1 ) = V (ϕ, x1 ) ta có ϕ, (λx2 + (1 − λ)x1 ) − x1 = λx2 + (1 − λ)x1 − x1 , 49 tức 2λ ϕ, x2 − x1 = λx2 + (1 − λ)x1 − x1 , (2.29) Từ (2.28) (2.29) ta có λ( x2 − x1 )= λx2 + (1 − λ)x1 − x1 . Nên λx2 + (1 − λ)x1 = λ x2 + (1 − λ) x1 . Từ λx2 + (1 − λ)x1 ≤ (λ x2 + (1 − λ) x1 )2 . =λ2 dx2 +2λ(1 − λ) x2 ≤ λ x2 + (1 − λ) x1 x1 + (1 − λ)2 x1 = λx2 + (1 − λ)x1 . Do ta có λx2 + (1 − λ)x1 = .λ x2 + (1 − λ) x1 . Lấy λ = 12 , ta có x2 + x1 = x2 + x1 . Từ tính chất 2) ta thấy cặp phần tử phụ thuộc tuyến tính πK ϕ. Do đẳng thức chứng tỏ B không lồi ngặt. Thứ hai, ta chứng minh B không lồi ngặt tồn ϕ ∈ B ∗ cho πK ϕ không đơn trị . Giả sử B không lồi ngặt. Tồn x1 , x2 ∈ B cho x1 , x2 độc lập tuyến tính thỏa mãn x1 = x2 = x1 +x2 = x1 + x2 = 1. Đặt K = co(x1 ,x2 ), ta thấy tồn ϕ ∈ B ∗ thỏa mãn πK ϕ = co(x1 ,x2 ) Thật vậy, B phản xạ, nên B ∗ vậy. Từ định lí James, với phần tử x1 +x2 tồn ϕ ∈ B ∗ thỏa mãn ϕ = ϕ, x1 +x = 1. Suy ( ϕ, x1 + ϕ, x2 ) = (2.30) 50 Vì ϕ, x1 ≤ ϕ x1 = ϕ, x2 ≤ ϕ x2 = 1, Theo (2.30) ta có ϕ, x1 = ϕ, x2 = 1. Với x ∈ K, đặt x = λx1 + (1 − λ)x2 , λ ∈ [0, 1] . Ta có ϕ, x = ϕ, λx1 + (1 − λ)x2 = λ ϕ, x1 + (1 − λ) ϕ, x2 = Ta có = ϕ, x ≤ ϕ (2.31) x = x . Dễ thấy x = λx1 + (1 − λ)x2 ≤ λ x1 + (1 − λ) x2 = Cho ta x = áp dụng (2.31) bất đẳng thức cuối ta có V ϕ, x = ϕ − ϕ, x + x = 0. (2.32) Do tính chất không âm phiếm hàm V, (2.32) suy x ∈ πK ϕ, với x ∈ K. Ta thu πK ϕ = co(x1 ,x2 ). Dĩ nhiên πK ϕ không đơn trị . Vậy tính chất 3) chứng minh Định lý 2.8. Nếu B không gian Banach phản xạ, lồi ngặt B ∗ không gian đối ngẫu B K tập lồi, đóng khác rỗng B toán tử chiếu suy rộng πK : B ∗ → K liên tục. Chứng minh. Vì B không gian Banach phản xạ, lồi ngặt trơn, từ tính chất 3) Định lý 2.7, πK đơn trị. Giả sử ϕn → ϕ n → ∞, giả sử πK (ϕn ) = xn πK (ϕ) = x n = 1, 2, 3, . . . . Từ bất đẳng thức ( ϕn − xn )2 ≤ V (ϕn , xn ) ≤ V (ϕn , x) ≤ ( ϕn + x )2 , giả thiết ϕn → ϕ n → ∞ điều cho ta {xn } tập hợp bị chặn B. Do B phản xạ, có dãy {xn }, ta kí hiệu 51 {xn }, xn x yếu n → ∞. Tương tự chứng minh tính chất 3) Định lý 2.7, ta thấy x = πK (ϕ) = x. Với λ ∈ [0, 1] ta có λx + (1 − λ)xn ∈ K. Từ bất đẳng thức V (ϕ, x) ≤ V (ϕ, λx + (1 − λ)xn ), ta có ϕ − ϕ, x + x ≤ ϕ − ϕ, λx + (1 − λ)xn + λx + (1 − λ)xn . Do ϕ, (1 − λ)(xn − x ≤ λx + (1 − λ)xn − x 2. Lí luận tương tự trên, từ bất đẳng thức V (ϕn , xn ) ≤ V (ϕn , x) ta có −ϕn , xn − x ≤ x − xn . Cộng vế với vế hai bất đẳng thức thu ϕ − ϕn , xn − x ≤ λx + (1 − λ)xn ≤ λ2 x − xn + 2λ(1 − λ) x +(1−λ)2 xn − xn + 2λ ϕ, xn − x xn + 2λ ϕ, xn − x ≤λ x + (1 − λ) xn =λ( x − xn ) + 2λ ϕ, xn − x . − xn + 2λ ϕ, xn − x Vì ϕ − ϕn , x − xn ≥ λ( xn − x ) + 2λ ϕ, x − xn . Nếu ta sử dụng bất đẳng thức V (ϕ, x) ≤ V (ϕ, xn ) V (ϕn , xn ) ≤ V (ϕn , λx + (1 − λ)xn ) (2.33) 52 tương tự lí luận trên, ta ϕ − ϕn , x − xn ≥ (1−λ)( x − xn ) + 2(1 − λ) ϕn , x − xn . (2.34) Từ (2.33) (2.34) lấy λ = 1/2 ta ϕ − ϕn , x − xn ≥ ( xn ϕ − ϕn , x − xn ≥ ( x − x ) + ϕ, x − xn − xn ) + ϕn , x − xn . Từ điều kiện ϕn → ϕ với n → ∞ xn (2.35) (2.36) x yếu, n → ∞ kết hợp với (2.35)-(2.36) ta xn → x với n → ∞. Vì xn → x yếu n → ∞ B phản xạ, lồi ngặt, ta có xn → x yếu, n → ∞. Như định lý chứng minh. 2.4. Ứng dụng vào nghiên cứu tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Ta nhớ lại định nghĩa bất đẳng thức biến phân. Giả sử f : K → B ∗ ánh xạ. Bất đẳng thức biến phân định nghĩa ánh xạ f tập hợp K tìm x∗ ∈ K cho V I(f, K) : f (x∗ ), y − x∗ ≥ với y ∈ K. (2.37) Tính chất 3) Định lý 2.7 phần trước chứng tỏ toán tử πK : B ∗ → K đơn trị B phản xạ, lồi ngặt. Ta biết rằng, B không gian Banach phản xạ, lồi ngặt trơn B ∗ vậy. Hơn nữa, B không gian Banach phản xạ, lồi ngặt trơn ánh xạ đối ngẫu J : B → B ∗ đơn trị toàn ánh. 53 Định lý 2.9. Giả sử B không gian Banach phản xạ, lồi ngặt, trơn B ∗ không gian đối ngẫu B. Giả sử f : K → B ∗ toán tử tác động tùy ý. Khi điểm x∗ ∈ K ⊂ B nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.37) x∗ nghiệm phương trình toán tử B x = πK (J(x) − f (x)). (2.38) Để nghiên cứu bất đẳng thức biến phân (2.37), ta dùng định lý Fan-KKM dùng kỹ thuật họ loại trừ phần tử K nón lồi đóng. Ta nhớ vài bổ đề sau Bổ đề 2.4. Tập hợp K không rỗng B gọi nón điểm lồi đóng tập K đóng tính chất sau thỏa mãn: (k1) K + K ⊆ K; (k2) λK ⊆ K, với λ ≥ 0; (k3) K ∩ (−K) = {0} . Bổ đề 2.5. Nón đối ngẫu nón điểm lồi đóng K kí hiệu K ∗ . Nó tập hợp K ∗ định nghĩa sau: K ∗ = {ϕ ∈ B ∗ : ϕ, y ≥ 0, ∀y ∈ K} . Ta nhớ ánh xạ T : B → B hoàn toàn liên tục T liên tục ánh xạ tập bị chặn D ⊂ B, thành tập T (D) tập compact tương đối. Ánh xạ f : B → B gọi trường hoàn toàn liên tục f có phép biểu diễn f (x) = J(x) − T (x), với x ∈ B, T : B → B ánh xạ hoàn toàn liên tục. Ta nói họ phần tử {xr }r>0 ⊂ B họ loại trừ phần tử trường hoàn toàn liên tục f (x) = J(x) − T (x) theo nón lồi K, ∀r > tồn số thực µr > xr ∈ K cho 54 (e1) xr → ∞ r → ∞; (e2) µr xr ∈ K T (xr ) − J(µr xr ), µr xr − y ≥ 0, ∀y ∈ K. Kiểu định lý loại trừ Leray-Schauder giữ vai trò quan trọng việc giải toán bất đẳng thức biến phân (2.37) ta dùng họ loại trừ phần tử. Kiểu định lý loại trừ Leray-Schauder. Giả sử X tập hợp đóng không gian lồi địa phương E cho ∈ int(X) f : X → E ánh xạ đa trị với giá trị co compact không rỗng. Nếu tập điểm bất động f rỗng f thỏa mãn điều kiện Leray-Schauder: ∃(λ∗ , x∗ ) ∈ (0, 1) × ∂X x∗ ∈ λ∗ f (x∗ ). Kết tổng quát sau suy từ tính lồi không gian Banach trơn không gian phản xạ, lồi ngặt xác định nón lồi đóng tùy ý. Định lý 2.10. Giả sử B không gian Banach phản xạ, lồi ngặt, trơn B ∗ không gian đối ngẫu B. Giả thiết K ⊆ B nón lồi đóng tùy ý giả sử f : K → B ∗ trường hoàn toàn liên tục với phép biểu diễn f (x) = J(x) − T (x), ∀x ∈ B, T : K → B ∗ ánh xạ hoàn toàn liên tục (tuyến tính không tuyến tính). Khi đó, toán V I(f, K) có nghiệm tính chất sau: (v1) V I(f, K) có nghiệm; (v2) Trường hoàn toàn liên tục f có họ loại trừ phần tử K. Chứng minh. Từ Định lý 2.9, toán V I(f, K) có nghiệm 55 ánh xạ sau có điểm bất động. ΦK (x) = πK (J(x) − f (x)) = πK (T (x)), x ∈ K. Dễ thấy điểm bất động ánh xạ ΦK K. Giả sử ánh xạ ΦK điểm bất động K. Ta xác định ánh xạ Φ từ B đến B sau: Φ(x) = ΦK (PK (x)) = πK (J(PK (x)) − f (PK (x))) = πK (T (PK (x))) với x ∈ B, PK : B → K toán tử chiếu metric. Ta thấy điểm bất động ánh xạ Φ, có phải nằm K. Từ PK (x) = x, ∀x ∈ K, ta Φ|K = ΦK . Do F (ΦK ) = F (Φ), F (ΦK ), F (Φ) tương ứng tập điểm bất động ΦK Φ. Vì điểm bất động ánh xạ ΦK phải nằm K, phải giả thiết ánh xạ ΦK điểm bất động K bao hàm ánh xạ Φ điểm bất động, tính chất (J8) J toán tử liên tục không gian Banach trơn phần chứng minh toán tử chiếu suy rộng πK liên tục B không gian Banach phản xạ, lồi ngặt trơn đều. Ta biết B không gian Banach lồi ngặt, phản xạ trơn toán tử metric PK : B → K liên tục. Vì T hoàn toàn liên tục nên toán tử Φ compact nửa liên tục trên. Với ∀λ > 0, ta định nghĩa tập lồi đóng Dr = {x ∈ B : x ≤ r} . Rõ ràng tập hợp Dr có phần khác rỗng ∈ int(Dr ). Do ánh xạ Φ điểm bất động K, nên Φ điểm bất động Dr với r > 0. Khi Φ hạn chế Dr . Áp dụng định lý loại trừ Leray-Schauder, ta có tồn xr ∈ ∂Dr λr ∈ (0, 1) 56 cho xr = λr Φ(xr ) = λr πK (T (PK (xr ))), tức (1/λr )xr = Φ(xr ) = πK (T (PK (xr ))). Do πK (T (PK (xr ))) ∈ K K nón, ta có xr ∈ K. Khi đó, ta đạt PK (xr ) = xr (1/λr )xr = Φ(xr ) = πK (T (xr )). Đặt (µr = 1/λr , ∀r > tức µr xr = πK (T (xr )). Ta có T (xr ) − J(µr xr ), µr xr − y ≥ 0, ∀y ∈ K. Vì xr ∈ ∂Dr K nón, nên xr = r, µr > µr xr ∈ K, ∀r > 0. Những tính chất suy {xr } họ loại trừ phần tử f K. Định lý chứng minh. Vì không gian Hilbert không gian Banach lồi trơn không gian Banach phản xạ, lồi chặt trơn nên hệ sau suy trực tiếp từ Định lí 2.10 Hệ 2.2. Giả sử B không gian Banach lồi trơn, K ⊆ B nón lồi đóng tùy ý f : K → B trường hoàn toàn liên tục với phép biểu diễn f (x) = x − T (x), với ∀x ∈ B f : K → B ánh xạ hoàn toàn liên tục. Thì toán V I(f, K) có nghiệm thỏa mãn: (v1) V I(f, K) có nghiệm; (v2) Trường hoàn toàn liên tục f có nghiệm loại trừ phần tử K. 57 Hệ 2.3. Giả sử H không gian Hilbert, với K ⊆ H lồi đóng tùy ý f : K → H trường hoàn toàn liên tục với phép biểu diễn f (x) = x−T (x), với x ∈ H T : K → H ánh xạ hoàn toàn liên tục. Thì toán V I(f, K) ó nghiệm thỏa mãn tính chất sau: (v1) V I(f, K) có nghiệm; (v2) Trường hoàn toàn liên tục f có nghiệm loại trừ phần tử K. Kết luận Chương trình bày hai lớp toán tử chiếu suy rộng quan trọng áp dụng nhiều lí thuyết tối ưu toán bất đẳng thức biến phân. Chúng chứng minh tương đối chi tiết, so sánh tính chất tốt giữ lại suy rộng sang không gian rộng hơn. Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau đây: 1. Trình bày số nội dung phép chiếu không gian Hilbert. 2. Trình bày chi tiết phép chiếu suy rộng không gian Banach phản xạ, lồi chặt trơn. 3. Ứng dụng toán tử chiếu suy rộng vào toán bất đẳng thức biến phân. Do lực thân có hạn chế, luận văn tránh khỏi thiết sót, tác giả mong nhận góp ý bạn đọc để luận văn hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn. 58 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Đậu Thế Cấp (2002), Giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục. [2] Hoàng Tụy (2005), Hàm Thực Giải Tích Hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội. [3] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo Trình Giải Tích Đa Trị, Bộ sách toán cao cấp -Viện toán học, NXB Khoa học tự nhiên Công nghệ. [B] Tài liệu Tiếng Anh [4] Ya Alber (1994), Metric and generalized projection operators in Banach spaces: properties and applications, in: Proceedings of the Israel Seminar, Ariel, Israel, Functional Differ. Equ. 1, pp. 1-21. [5] Ya Alber (1996), Metric and generalized projection operators in Banach spaces: properties and applications, in: A. Kartsatos (Ed.), Theory and Applications of Nonlinear Operators of Accretive and Monotone Type, Dekker, New York, pp. 15-50. [6] Jinlu Li (2005), The generalized projection operator on reflexive Banach spaces and its applications, Journal of Mathematical Analysis and Applications 306, pp. 45-71. 59 [...]... chuẩn hóa, và bài toán bất đẳng thức sẽ nghiên cứu ở chương sau Chương 2 Toán tử chiếu suy rộng và ứng dụng Trong chương này phần đầu chúng tôi trình bày toán tử chiếu metric PK trên không gian Hilbert, và toán tử chiếu metric trên không gian Banach lồi đều, tiếp theo chúng tôi trình bày toán tử suy rộng của toán tử chiếu đó sang không gian Banach phản xạ, xét hai lớp toán tử chiếu tương ứng πK và ΠK ... 2.2 Toán tử chiếu suy rộng trên không gian Banach 2.2.1 Toán tử chiếu metric PK trong không gian Banach Mục này chúng tôi nghiên cứu một số tính chất của toán tử chiếu metric mở rộng từ toán tử chiếu metric trong không gian Hilbert sang không gian 28 Banach, ở đây cũng mô tả chi tiết những tính chất liên tục đều của toán tử chiếu metric trong không gian Banach Định nghĩa 2.4 Cho B là không gian Banach. .. (J9 ) J là toán tử liên tục đều trên mỗi tập bị chặn trong không gian Banach trơn đều; (J10 ) J là toán tử đồng nhất trong các không gian Hilbert, tức là, J = IH 1.4 Bất đẳng thức biến phân Giả sử B là không gian Banach lồi đều và trơn đều, B ∗ là không gian đối ngẫu của · B , · B∗ , · H là các chuẩn trong không gian Banach B, B ∗ và trong không gian Hilbert H Kí hiệu cặp đối ngẫu của B ∗ và B là ϕ,... tục đều của toán tử PK trong không gian Banach B Nhớ lại rằng, toán tử chiếu metric trong không gian Banach không có mở rộng trong trường hợp tổng quát Trong khi đó nó có tính liên tục đều trên mỗi tập hợp bị chặn dựa vào những định lý sau Định lý 2.4 Giả sử B là không gian Banach lồi đều và trơn đều Nếu δB (ε) là môđun của tính lồi trong không gian B, ρB (τ ) là môđun của tính −1 trơn, và δB (·) là... từ X vào X ∗∗ và do đó, có thể đồng nhất X với không gian con Φ(x) của X ∗∗ Với quan điểm như vậy, từ nay về sau ta luôn xem X là không gian con của không gian X ∗∗ Không gian định chuẩn X được gọi là không gian phản xạ nếu X = X ∗∗ (tức là ánh xạ nhúng là một song ánh từ X lên X ∗∗ , điều này xảy ra khi và chỉ khi Φ(B ) = B ∗∗ Vì không gian X ∗∗ luôn luôn là không gian Banach, nên một không gian. .. Định nghĩa 1.11 Toán tử tuyến tính A : X → X được gọi là hữu hạn chiều, nếu niềm giá trị của toán tử A là một không gian con hữu hạn chiều của Y Định lý 1.3 Giả sử X, X là các không gian định chuẩn; A, B : X → X là toán tử compact Khi đó, với mọi số α, β toán tử αA + βB là compact Định lý 1.4 Giả sử X là không gian định chuẩn, X là không gian Banach, An ∈ L(X, X ) (n = 1, 2, ) là dãy toán tử compact,... không gian Banach trơn đều là không phản xạ Định lý 1.11 Mọi không gian Banach là trơn đều nếu và chỉ nếu X ∗ là không gian lồi đều Modun của tính lồi và tính trơn là xác định bởi ρX∗ (t) = sup tε − δX (ε) : ε ∈ [0, 2] , t ≥ 0 2 Ví dụ 1.1 Không gian Lp là trơn đều (và lồi đều) với 1 < p < +∞ Tuy nhiên L∞ (R2 ) không là không gian lồi đều, thật vậy xét x = (1, 1) và y = (0, 1) Ta có ⇒ x ∞ = y ∞ =1 và. .. = x∗ (x) 1.1.4 Không gian Banach phản xạ Trong mục này, ta xét trường hợp X là một không gian định chuẩn và X ∗ là không gian liên hợp của nó Ta đã biết X ∗ cũng là một không gian định chuẩn, hơn nữa là không gian Banach, với chuẩn được xác định bởi x∗ = sup {| x, x∗ | : x ≤ 1} , x∗ ∈ X ∗ Không gian định chuẩn X ∗ cũng có không gian liên hợp gồm các phiếm hàm tuyến tính liên tục X ∗∗ trên nó mà ta... sử H là không gian tiền Hilbert, các dãy {xn } và {yn } hội tụ đến x và y trong H Khi đó, lim (xn , yn ) = (x, y) n→∞ 18 Định nghĩa 1.32 Không gian tiền Hilbert H đầy đủ được gọi là một không gian Hilbert Định nghĩa 1.33 Mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian H Định lý 1.12 (F.Riesz) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert... đều và trơn đều và K là tập con khác rỗng lồi đóng của B Toán tử PK : B → K được gọi là toán tử chiếu metric nếu PK ánh xạ mỗi điểm x ∈ B thành phần tử gần nhất x ∈ K với x, nghĩa là x là nghiệm của bài toán cực tiểu hóa ¯ ¯ x − x = inf x − ξ ξ∈K (2.9) Dưới các giả thiết của ta về không gian Banach B thì toán tử chiếu PK hoàn toàn xác định, tức là có duy nhất hình chiếu x với mỗi x ∈ B, phần ¯ tử x . 2. Toán tử chiếu suy rộng và ứng dụng . . . . . . . . . . 21 2.1. Toán tử chiếu trên không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2. Toán tử chiếu suy rộng trên không gian Banach. 31 2.2.3. Toán tử chiếu suy rộng Π K trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3. Toán tử chiếu suy rộng trên không gian Banach phản xạ, lồi chặt và trơn phân. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Phép chiếu metric trên không gian Hilbert và suy rộng của nó trên không gian Banach phản xạ. Một số ứng dụng vào Lý thuyết tối ưu và bất đẳng thức biến