Mục này chúng tôi nghiên cứu một số tính chất của toán tử chiếu metric mở rộng từ toán tử chiếu metric trong không gian Hilbert sang không gian
Banach, ở đây cũng mô tả chi tiết những tính chất liên tục đều của toán tử chiếu metric trong không gian Banach.
Định nghĩa 2.4. Cho B là không gian Banach lồi đều và trơn đều và K
là tập con khác rỗng lồi đóng của B. Toán tử PK : B →K được gọi là toán tử chiếu metric nếu PK ánh xạ mỗi điểm x ∈ B thành phần tử gần nhất
¯
x ∈ K với x, nghĩa là x¯ là nghiệm của bài toán cực tiểu hóa
kx−xk = inf
ξ∈Kkx−ξk (2.9) Dưới các giả thiết của ta về không gian Banach B thì toán tử chiếu PK
hoàn toàn xác định, tức là có duy nhất hình chiếu x¯ với mỗi x ∈ B, phần tử x¯ gọi là xấp xỉ tốt nhất của x. Một câu hỏi tự nhiên nảy sinh là liệu định lí trên còn đúng khi ta xét trong không gian Banach lồi đều và trơn đều? Định lí dưới đây sẽ trả lời cho câu hỏi này.
Định lý 2.2. ChoA là toán tử tùy ý từ không gian Banach B vào B∗, α > 0
là số cố định bất kì, f ∈ B∗. Khi đó, điểm x ∈ K ⊂ B là một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
hAx−f, ξ −xi ≥ 0, ξ ∈ K,
nếu và chỉ nếu x∗ là nghiệm của phương trình toán tử trong B
x = PK(x−αJ∗(Ax−f)), (2.10) trong đó J∗ : B∗ → B là ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa trong B∗.
Chứng minh. Vì ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa J trong B là toán tử thuần nhất và lẻ, và
ta có thể viết bất đẳng thức đã cho dưới dạng tương đương
h(J(−αJ∗(Ax−f)) +x)−x, x −ξi ≥ 0, ξ ∈ K,
từ đây ta thu được phương trình (2.10).
Kí hiệu x = PKx, y = PKy và giả sử ξ là điểm bất kì trong tập hợp
K ⊂ B. Tương tự như các tính chất 1)-10) ta có các tính chất sau đối với
PK trong đó B là không gian Banach.
a) Toán tử PK là bất động tại mỗi điểm ξ nghĩa là PKξ = ξ.
b) Chỉ đúng trong không gian Hilbert.
c) hJ(x−x), x −ξi ≥ 0,∀ξ ∈ K. Điểm x là hình chiếu metric của x
trên K ⊂ B nếu bất đẳng thức c) thỏa mãn, ta gọi tính chất c) là nguyên lý biến phân cơ sở của PK trong B.
d) Chỉ đúng trong không gian Hilbert. e) hJ(x−x), x−ξi ≥ 0,∀ξ ∈ K.
Những kết quả mạnh hơn dưới đây.
Định lý 2.3. Điểm x ∈ K là hình chiếu của điểm x ∈ B trên K khi và chỉ khi bất đẳng thức hJ(x−x), x−ξi ≥ kx−xk2,∀ξ ∈ K (2.11) được thỏa mãn. Chứng minh. Thực tế, từ (2.11) ta có ngay kx−xk ≤ kx−xk−1 < hJ(x−x, x−ξ)i ≤ kx−ξk, ∀ξ ∈ K, nghĩa là x = PKx.
Ngược lại, nếu x = PKx thì theo c) ta có
0≤ hJ(x−x), x−ξi = hJ(x−x), x−xi+hJ(x−x), x −ξi − kx−xk2 +hJ(x−x, x−ξi.
từ đây ta thu được (2.11).
f) Bây giờ, ta mô tả tính chất của tính liên tục đều của toán tử PK
trong không gian Banach B. Nhớ lại rằng, toán tử chiếu metric trong không gian Banach không có mở rộng trong trường hợp tổng quát. Trong khi đó nó có tính liên tục đều trên mỗi tập hợp bị chặn dựa vào những định lý sau.
Định lý 2.4. Giả sử B là không gian Banach lồi đều và trơn đều. Nếu
δB(ε) là môđun của tính lồi trong không gian B, ρB(τ) là môđun của tính trơn, và δB−1(·) là hàm ngược của δB(ε) thì
kx−yk ≤ Cδ−B1(2ρB(8CLkx−yk)), (2.12) trong đó L là hằng số Figiel và
C = 2 max{1,kx−yk,ky −xk}.
Nhận xét 2.2. Nếukx−yk ≤ R và ky −xk ≤ R thìC (C = 2 max{1, R})
là hằng số tuyệt đối và (2.12) cho ta tính liên tục đều của toán tử PK trong không gian Banach trên tập hợp bị chặn.
Nhận xét 2.3. Ta có thể cải tiến ước lượng (2.12) trở thành
kx−yk ≤ 2Cδ−B1(16L2ρB(4kx−yk/C)), C = max{kx−yk,ky−xk}.
h) Chỉ đúng trong không gian Hilbert. i) Với bất kỳ PK thỏa mãn bất đẳng thức
hJ(x−PKx)−J(y −PKy), PKx−PKyi ≥ 0,∀x, y ∈ B.
j) Toán tử PK ổn định với nhiễu của tập hợp K.
2.2.2. Toán tử chiếu suy rộng πK trong không gian BanachCông thức (2.9) trong Định nghĩa 2.4, tức là Công thức (2.9) trong Định nghĩa 2.4, tức là
kx−xk = inf
ξ∈Kkx−ξk
của toán tử chiếu metric là tương đương bài toán cực tiểu hóa
PKx = x; x : kx−xk2 = inf
ξ∈Kkx−ξk2. (2.13) Chú ý rằngV1(x, ξ) =kx−ξk2 không chỉ được coi như bình phương khoảng cách giữa hai điểm x và ξ mà còn như là hàm Lyapunov theo ξ với x cố định. Vì vậy ta có thể viết lại (2.13) ở dạng
PKx = x; x : V1(x, x) = inf
ξ∈KV1(x, ξ).
Trong không gian Hilbert (và chỉ trong không gian Hilbert)
V1(x, ξ) = kxk2H −2(x, ξ) +kξk2H . (2.14) Bây giờ ta chỉ ra rằng có thể xây dựng được các phiếm hàm tương tự trên trong không gian Banach bằng cách dùng phép biến đổi Young-Fenchel.
Thực vậy, giả sử f(ξ) : B →R là một phiếm hàm cho trước và ϕ∈ B∗.
Phép biến đổi Young-Fenchel được định nghĩa là
f∗(ϕ) = sup
ξ∈B
Phiếm hàm f∗(ϕ) được gọi là liên hợp với f(ξ) và ta kí hiệu
Vf(ϕ, ξ) = f∗(ϕ)− hϕ, ξi+f(ξ)
khi đó Vf(ϕ, ξ) ≥ 0.
Phiếm hàm Vf(ϕ, ξ) : B∗ x B → R+ là không chuẩn tắc vì nó xác định trên cả hai phần tử ξ từ không gian Banach B và phần tử ϕ của không gian đối ngẫu B∗.
Ta định nghĩa phiếm hàm V(ϕ, ξ) : B∗ ×B →R bởi công thức
V(ϕ, ξ) = kϕk2B∗ −2hϕ, ξi+kξk2B∗. (2.15) Dễ dàng thấy rằng
V(ϕ, ξ) ≥ (kϕkB∗ − kξk)2 ≥0,
tức là, phiếm hàm V(ϕ, ξ) : B∗ × B → R+ là không âm. Hơn nữa, đặt
ξ = J∗ϕ và dùng định nghĩa của ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa, ta thu được bất đẳng thức kϕk2B∗ −2hϕ, J∗ϕi+ kJ∗ϕk2B∗ = 0. Do đó kϕk2B∗ = sup ξ∈B n 2hϕ, ξi − kξk2o
là biến đổi Young-Fenchel vàf∗(ϕ) = 4−1kϕkB2∗ là liên hợp vớif(ξ) =kξk2.
Ta mô tả những tính chất chính của hàm V(ϕ, ξ).
Bổ đề 2.1. Những phát biểu sau là đúng: 1) V(ϕ, ξ) liên tục;
2) V(ϕ, ξ) là khả vi theo ϕ và ξ;
4) gradξV(ϕ, ξ) = 2(J ξ −ϕ);
5) V(ϕ, ξ) lồi theo ϕ khi ξ cố định, theo ξ khi ϕ là cố định; 6) (kϕk − kξk)2 ≤ V(ϕ, ξ) ≤ (kϕk+kξk)2;
7) V(ϕ, ξ) ≥ 0,∀x, ξ ∈ B;
8) Cho ϕ cố định, khi đó V(ϕ, ξ) → ∞ nếu kξk → ∞ và ngược lại. Nếu ξ cố định thì V(ϕ, ξ) → ∞ nếu kϕk → ∞ và ngược lại;
1. V(ϕ, ξ) = 0 nếu và chỉ nếu ϕ = J ξ.
Chứng minh.
Tính liên tục của phiếm hàm V2(ϕ, ξ) suy từ tính liên tục của chuẩn và ánh xạ đối ngẫu trong các không gian trơn.
Tính khả vi của chuẩn trong không gian Banach trơn đều kéo theo tính khả vi của V(ϕ, ξ) theo ϕ khi ξ cố định và theo ξ khi ϕ cố định.
Công thức gradϕV(ϕ, ξ) và gradξV(ϕ, ξ) là kết quả của việc tính toán trực tiếp.
Tính đơn điệu của toán tử gradϕV(ϕ, ξ) và gradξV(ϕ, ξ) cho ta tính lồi của phiếm hàm V(ϕ, ξ). Các bất đẳng thức trong 6) được suy từ những mối liên hệ sau:
kϕk2B∗ −2hϕ, ξi+kξk2 ≤ kϕk2B∗ + 2kϕkB∗kξk+kξk2
và
kϕk2B∗ −2hϕ, ξi+ kξk2 ≥ kϕk2B∗ −2kϕkB∗kξk+kξk2.
từ đây suy ra 7) và 8) tính chất 9) thu được từ 6), đẳng thức
và phép biểu diễn duy nhất ϕ= J y, y ∈ B.
Bổ đề được chứng minh.
Bây giờ ta giới thiệu toán tử chiếu suy rộng đầu tiên trong không gian Banach.
Định nghĩa 2.5. Toán tử πK : B∗ → K ⊂ B được gọi là toán tử chiếu suy rộng nếu πK ánh xạ mỗi điểm cố định bất kỳ ϕ ∈ B∗ thành điểm cực tiểu của phiếm hàm V(ϕ, ξ), nghĩa là nghiệm của bài toán cực tiểu
πKϕ = ϕ; ϕ = V(ϕ, ϕ) = inf
ξ∈BV(ϕ, ξ),
phần tử ϕ ∈ K ⊂B cũng được gọi là hình chiếu suy rộng của điểm ϕ.
Sự tồn tại của toán tử πK xác định nhờ tính chất 8) của hàm V(ϕ, ξ).
Tính duy nhất suy từ tính đơn điệu ngặt của ánh xạ J.
Kí hiệu ϕ1 = πKϕ1; ϕ2 = πKϕ2 và giả sử ξ là điểm bất kì trong tập hợp
K ⊂ B. Tiếp theo, ta miêu tả những tính chất của toán tử πK bằng cách chứng minh các phát biểu tương tự như 1)-10) trong mục 2.1.
1) Toán tử πK là J- bất động theo mỗi điểm ξ ∈ K, nghĩa là:
πKJ ξ = ξ;
Thật vậy, theo tính chất 9) của phiếm hàm V(ϕ, ξ) vì
inf
η∈KV(J ξ, η) = V(J ξ, ξ) = 0.
2) πK là đơn điệu trong B∗, nghĩa là ∀ϕ1, ϕ2 ∈ B∗
hϕ1 −ϕ2, ϕ1 −ϕ2i ≥ 0. (2.16) Chứng minh. Bằng Định nghĩa 2.5 của toán tử πK, hai bất đẳng thức
thỏa mãn với ∀ξ, η ∈ K và ∀ϕ1, ϕ2 ∈ B∗. Đặtξ = ϕ2 và η=ϕ1, khi đó,
V(ϕ1, ϕ2) ≥ V(ϕ1, ϕ1), V(ϕ2, ϕ1) ≥ V(ϕ2, ϕ2),
và ta có
kϕ1k2B∗ −2hϕ1, ϕ2i+kϕ2k2 +kϕ2k2B∗ −2hϕ2, ϕ1i+kϕ1k2 ≥ kϕ1k2B∗ −2hϕ1, ϕ1i+ kϕ1k2 +kϕ2k2B∗ −2hϕ2, ϕ2i+ kϕ2k2.
Từ đây, ta thu được
hϕ1, ϕ1i+hϕ2, ϕ2i ≥ hϕ1, ϕ2i+hϕ2, ϕ1i, ∀ϕ1, ϕ2 ∈ B∗,
điều này là tương đương với (2.16).
3) hϕ−J ϕ, ϕ−ξi ≥ 0, ∀ξ ∈ K.
Điểm ϕ ∈ K là hình chiếu suy rộng của ϕ trên K ⊂ B nếu và chỉ nếu bất đẳng thức 3) thỏa mãn. Ta gọi tính chất 3) là nguyên lý biến phân cơ bản của πK trong cặp đối ngẫu B, B∗ vì điều này tương đương với phép biểu diễn nghiệm (trong dạng của bất đẳng thức biến phân) cho bài toán cực tiểu của phiếm hàm Lyapunov V(ϕ, ξ) trên K.
Chứng minh. Định nghĩa 2.5 cho ta
V(ϕ, ϕ) ≤V(ϕ, ϕ+ θ(ξ −ϕ))
trong đó θ ∈ [0,1] và ϕ+θ(ξ −ϕ) ∈ K, bởi vì tính lồi của K. Dùng tính chất 5) của phiếm hàm V(ϕ, ξ) ta có
0 ≥ V(ϕ, ϕ)−V(ϕ, ϕ+θ(ξ−ϕ)) ≥2hJ(ϕ+θ(ξ−ϕ))−ϕ,−ϕ+θ(ξ−ϕ)i.
Từ đây ta có bất đẳng thức
Cho θ → 0, ta có
hJ(ϕ)−ϕ, ξ −ϕi ≥ 0,∀ξ ∈ K.
Ngược lại, nếu 3) đúng thì
V(ϕ, ξ)−V(ϕ, ϕ) ≥ 2hJ ϕ−ϕ, ξ −ϕi ≥ 0,∀ξ ∈ K.
xuất hiện trong dạng của tính chất 4) của V(ϕ, ξ) nghĩa là,
V(ϕ, ξ) ≥ V(ϕ, ϕ),∀ξ ∈ K.
Do đó ϕ = πKϕ.
4) hϕ−J ξ, ϕ−ξi ≥ 0,∀ξ ∈ K.
Chứng minh. Rõ ràng
V(ϕ, ϕ) ≤ V(ϕ, ξ) +V(J ξ, ϕ),
viết lại bất đẳng thức trên một cách tường minh ta có
V(ϕ, ϕ) = kϕk2B∗ −2hϕ, ϕi+ kϕk2, V(ϕ, ξ) =kϕk2B∗ −2hϕ, ξi+kξk2, V(J ξ, ϕ) =kξk2 −2hJ ξ, ϕi +kϕk2, ta được hϕ, ξi+ hJ ξ, ϕi − hϕ, ϕi ≤ kξk2. Tính chất 4) được thỏa mãn, do đó kξk2 = hJ ξ, ξi. 5) hϕ−J ϕ, J∗ϕ−ξi ≥ 0,∀ξ ∈ K.
Chứng minh. Dùng nguyên lý biến phân cơ sở của πK trong cặp đối ngẫu B, B∗ (tính chất 3) ta có thể viết
Tính chất đơn điệu của toán tử J∗ cho ta bất đẳng thức
hϕ−J ϕ, ϕ−J∗ϕi = hϕ−J ϕ, J∗J ϕ−J∗ϕi ≤ 0.
Điều này kết luận chứng minh.
6) ||ϕ1 −ϕ2|| ≤2R1gH−1(||ϕ1 −ϕ2||B∗/R1), trong đó R1 = R1(kϕ1k,kϕ2k) = q (kϕ1k2 +kϕ2k2)/2. Chứng minh. Ta có hJ x−J y, x−yi ≥ 2R21δB(kx−yk/2R1) (2.17) và ω(kx−yk) =R21δB(kx−yk/2R1). Do đó, 2R21δB(kϕ1 −ϕ2k/2R1) ≤ hJ ϕ1 −J ϕ2, ϕ1 −ϕ2i.
Dùng tính chất 3) hai lần cho toán tử πK ta có
hJ ϕ1 −J ϕ2, ϕ1 −ϕ2i = hϕ1 −J ϕ2, ϕ1 −ϕ2i− hϕ1 −J ϕ1, ϕ1 −ϕ2i ≤ hϕ1 −J ϕ2, ϕ1 −ϕ2i và hϕ1 −J ϕ2, ϕ1 −ϕ2i ≤ hϕ1 −J ϕ2, ϕ1 −ϕ2i− hϕ2 −J ϕ2, ϕ1 −ϕ2i = hϕ1 −ϕ2, ϕ1 −ϕ2i. Hiển nhiên hϕ1 −ϕ2,ϕ1 −ϕ2i ≤ kϕ1 −ϕ2k.kϕ1 −ϕ2kB∗,
vì vậy bất đẳng thức
2R21δB(kϕ1 −ϕ2k/2R1) ≤ kϕ1 −ϕ2k kϕ1 −ϕ2kB∗
thỏa mãn. Điều này cho ta kết quả cuối cùng của 6)
Nhận xét 2.4. Nếu kϕ1k và kϕ2k bị chặn đều bởi R, thì R1 ≤ R và ta có từ
δB(kx−yk/2R1) ≥(4L)−1R1−2R2δB(kx−yk/2R)
kϕ1 −ϕ2k ≤ 2RgB−1(4Lkϕ1 −ϕ2kB∗/R)
có nghĩa là toán tử chiếu metric πK là liên tục đều trên mỗi tập bị chặn của không gian Banach B.
7) hϕ1−ϕ2, ϕ1−ϕ2i ≥ 2R21δB(kϕ1 −ϕ2k/2R1), trong đó R1 ở 6). Bất đẳng thức này được chứng minh nhờ tính chất trước.
8) Toán tử πK cho bởi xấp xỉ tốt tuyệt đối của ϕ ∈ B∗ theo phiếm hàm V(ϕ, ξ) nghĩa là
V(J ϕ, ξ) ≤ V(ϕ, ξ)−V(ϕ, ϕ).
vì vậy, πK là toán tử không giãn liên quan tới phiếm hàm V(ϕ, ξ),
trong không gian Banach, nghĩa là
V(J ϕ, ξ) ≤ V(ϕ, ξ).
Chứng minh. Ta viết lại tính chất 3) theo dạng sau
hϕ, ϕ−ξi ≥ hJ ϕ, ϕ−ξi,∀ξ ∈ K.
Từ đây ta thấy rằng
hJ ϕ, ξi+hϕ, ϕi − kϕk2.
Điều này tương đương với bất đẳng thức
||ϕ||2B∗ −2hϕ, ξi+||ξ||2 ≥
||ϕ||2 −2hJ ϕ, ξi+||ξ||2 +||ϕ||2B∗ −2hϕ, ϕi+||ϕ||2.
Tính chất 8) được suy ra nhờ các bất đẳng thức dưới đây
V(ϕ, ϕ) = kϕk2B∗ −2 < ϕ, ϕ >+kϕk2, V(ϕ, ξ) =kϕk2B∗ −2< ϕ, ξ > +kξk2, V(J ϕ, ξ) = kϕk2 −2< J ϕ, ξ > +kξk2.
9) Bất kì πK đều thỏa mãn bất đẳng thức
h(IB∗ −J πK)ϕ1 −(IB∗ −J πK)ϕ2, πKϕ1 −πKϕ2i ≥ 0,∀ϕ1, ϕ2 ∈ B∗,
trong đó IB∗ : B∗ →B∗ là toán tử đồng nhất trong B∗.
Chứng minh. Từ tính chất 3) ta có
hϕ1 −J ϕ1, ϕ1 −ϕ2i ≥ 0
và
hϕ2 −J ϕ2, ϕ2 −ϕ1i ≥ 0,
kết hợp các bất đẳng thức trên ta thu được 9).
10) Toán tử πK ổn định với nhiễu của tập hợp K, nghĩa là
kϕ2 −ϕ1kB∗ ≤2C1δB−1(2−1C1−2C2σ), trong đó ϕ1 = πKϕ, ϕ2 = πKϕ, K1 và K2 là tập hợp lồi đóng, H(Ω1,Ω2) ≤ σ và C1 = q (kϕ1k2 +kϕ2k2)/2, C2 = 2 max{kϕ−J ϕ1kB∗,kϕ−J ϕ2kB∗}.
2.2.3. Toán tử chiếu suy rộng ΠK trong không gian Banach
Bây giờ, chúng tôi giới thiệu toán tử chiếu suy rộng ΠK trong không gian Banach và mô tả tính chất của nó. Hơn nữa, ta chỉ ra mối liên hệ giữa toán tử ΠK và πK.
Nhớ lại rằng toán tử J là một-đối-một khi B là không gian Banach lồi đều và trơn đều. Vì vậy, mỗi phần tử ϕ ∈ B∗ có thể được biểu diễn duy nhất theo dạng ϕ = J x, x ∈ B. Thay cho (2.15) V(J x, ξ) = V2(J x, ξ),
trong đó
V2(J x, ξ) = kxk2 −2hJ x, ξi+kξk2. (2.18) Do đó, phiếm hàm V2(x, ξ) : B ×B → R+ là một trường hợp đặc biệt của
V(x, ξ). Vì vậy, Bổ đề 2.1 vẫn đúng với V2(x, ξ). Chú ý rằng
gradϕ=J xV2(x, ξ) = 2(x−ξ), gradξV2(x, ξ) = 2(J ξ−J x),
vì kxk2 = kJ xk2B∗.
Nhận xét 2.5. V2(x, ξ) 6= V2(ξ, x) trong trường hợp tổng quát và bất đẳng thức chỉ xảy ra trong không gian Hilbert.
Bây giờ, ta có thể giới thiệu toán tử chiếu suy rộng thứ hai trong không gian Banach.
Định nghĩa 2.6. Toán tử ΠK : B → K ⊂ B được gọi là toán tử chiếu suy rộng nếu πK ánh xạ mỗi điểm cố định bất kỳ x ∈ B tương ứng với điểm cực tiểu của phiếm hàm V2(x, ξ) qua bài toán cực tiểu
ΠKx = bx; xb : V2(x,bx) = inf
Nhận xét 2.6. V2(x, ξ) = V1(x, ξ) và bx = x trong không gian Hilbert. Không khó để kiểm tra lại rằng
ΠK = πKJ, πK = ΠKJ∗, (2.19) trong đóJ :B →B∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa trong B và J∗ : B∗ → B
là ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa trong B∗. Điều này cho phép ta thiết lập lại công thức mà không cần chứng minh các tính chất tương ứng của toán tử
πK cho toán tử ΠK.
Kí hiệu bx = ΠKx,yb= ΠKy và giả sử ξ là điểm tùy ý trong K ⊂B. Khi đó:
1) Toán tử ΠK là bất động theo mỗi điểm ξ ∈ K, nghĩa là ΠKξ = ξ;
2) ΠK là đơn điệu trong B, nghĩa là
hJ x−J y,xb−byi ≥ 0.
3) hJ x−Jx,b bx−ξi ≥ 0,∀ξ ∈ K.
Điểm x là hình chiếu suy rộng của x trên K ⊂ B nếu bất đẳng thức 3) thỏa mãn, ta gọi tính chất 3) là nguyên lý biến phân cơ bản của
ΠK trong B. 4) hJ x−J ξ,bx−ξi ≥ 0,∀ξ ∈ K. 5) hJ x−Jx, xb −ξi ≥ 0,∀ξ ∈ K.