bài toán bất đẳng thức biến phân
Ta nhớ lại định nghĩa của bất đẳng thức biến phân. Giả sử f : K → B∗
là một ánh xạ. Bất đẳng thức biến phân được định nghĩa bởi ánh xạ f và tập hợp K là
tìm x∗ ∈ K sao cho
V I(f, K) : hf(x∗), y−x∗i ≥ 0 với mọi y ∈ K. (2.37) Tính chất 3) của Định lý 2.7 trong phần trước chứng tỏ rằng toán tử
πK : B∗ → K là đơn trị nếu và chỉ nếu B là phản xạ, lồi ngặt. Ta biết rằng, nếu B là không gian Banach phản xạ, lồi ngặt và trơn thì B∗ cũng vậy. Hơn nữa, nếu B là không gian Banach phản xạ, lồi ngặt và trơn thì ánh xạ đối ngẫu J : B → B∗ là đơn trị và là toàn ánh.
Định lý 2.9. Giả sử B là không gian Banach phản xạ, lồi ngặt, trơn và
B∗ là không gian đối ngẫu của B. Giả sử f : K →B∗ là toán tử tác động tùy ý. Khi đó một điểm x∗ ∈ K ⊂ B là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (2.37) nếu và chỉ nếu x∗ là nghiệm của phương trình toán tử trong B x= πK(J(x)−f(x)). (2.38) Để nghiên cứu bất đẳng thức biến phân (2.37), ta có thể dùng định lý Fan-KKM hoặc dùng kỹ thuật họ loại trừ các phần tử nếu K là một nón lồi đóng. Ta nhớ một vài bổ đề sau
Bổ đề 2.4. Tập hợp con K không rỗng của B được gọi là một nón điểm lồi đóng nếu tập K là đóng và các tính chất sau được thỏa mãn:
(k1) K +K ⊆K;
(k2) λK ⊆ K, với mọi λ ≥ 0;
(k3) K ∩(−K) = {0}.
Bổ đề 2.5. Nón đối ngẫu của một nón điểm lồi đóng K kí hiệu là K∗. Nó là một tập hợp con của K∗ và được định nghĩa như sau:
K∗ = {ϕ ∈ B∗ :hϕ, yi ≥ 0,∀y ∈ K}.
Ta nhớ rằng một ánh xạ T : B → B hoàn toàn liên tục nếu T liên tục và ánh xạ tập bị chặn D ⊂ B, thành tập T(D) là tập compact tương đối. Ánh xạ f : B → B được gọi là một trường hoàn toàn liên tục nếu f có một phép biểu diễn f(x) = J(x) −T(x), với x ∈ B, trong đó T : B → B
là ánh xạ hoàn toàn liên tục.
Ta nói họ phần tử {xr}r>0 ⊂ B là họ loại trừ của phần tử của trường hoàn toàn liên tục f(x) = J(x) − T(x) theo nón lồi K, nếu và chỉ nếu
(e1) kxrk → ∞ và r → ∞;
(e2) µrxr ∈ K và hT(xr)−J(µrxr), µrxr−yi ≥ 0,∀y ∈ K.
Kiểu định lý loại trừ Leray-Schauder giữ một vai trò quan trọng trong việc giải bài toán bất đẳng thức biến phân (2.37) nếu ta dùng họ loại trừ của phần tử.
Kiểu định lý loại trừ Leray-Schauder.
Giả sử X là tập hợp con đóng của không gian lồi địa phương E sao cho
0 ∈ int(X) và f : X → E là một ánh xạ đa trị với giá trị co compact không rỗng. Nếu tập điểm bất động củaf là rỗng thìf thỏa mãn điều kiện Leray-Schauder:
∃(λ∗, x∗) ∈ (0,1)×∂X do đó x∗ ∈ λ∗f(x∗).
Kết quả tổng quát sau suy từ tính lồi đều và không gian Banach trơn và không gian phản xạ, lồi ngặt và chỉ xác định trên một nón lồi đóng tùy ý. Định lý 2.10. Giả sử B là không gian Banach phản xạ, lồi ngặt, trơn và
B∗ là không gian đối ngẫu của B. Giả thiết K ⊆ B là nón lồi đóng tùy ý và giả sử f : K → B∗ là trường hoàn toàn liên tục với phép biểu diễn
f(x) = J(x)−T(x), ∀x ∈ B, trong đó T : K → B∗ là ánh xạ hoàn toàn liên tục (tuyến tính hoặc không tuyến tính). Khi đó, bài toán V I(f, K) có một nghiệm trong những tính chất sau:
(v1) V I(f, K) có 1 nghiệm;
(v2) Trường hoàn toàn liên tục f có một họ loại trừ các phần tử đối với K.
khi ánh xạ sau có một điểm bất động.
ΦK(x) =πK(J(x)−f(x)) = πK(T(x)), x ∈ K.
Dễ thấy điểm bất động của ánh xạ ΦK là trong K. Giả sử rằng ánh xạ ΦK
không có điểm bất động trong K. Ta xác định một ánh xạ Φ từ B đến B
như sau:
Φ(x) = ΦK(PK(x)) = πK(J(PK(x))−f(PK(x))) = πK(T(PK(x)))
với bất kì x ∈ B, trong đó PK : B →K là toán tử chiếu metric.
Ta thấy rằng điểm bất động của ánh xạ Φ, nếu có phải nằm trong
K. Từ đó PK(x) = x,∀x ∈ K, ta được Φ|K = ΦK. Do đó F(ΦK) =
F(Φ), trong đó F(ΦK), F(Φ) tương ứng là tập các điểm bất động của ΦK
và Φ. Vì điểm bất động của ánh xạ ΦK phải nằm trong K, thì phải giả thiết rằng ánh xạ ΦK không có điểm bất động trong K bao hàm ánh xạ Φ
không có điểm bất động, tính chất (J8) chỉ ra rằng J là toán tử liên tục trên không gian Banach trơn trong phần này đã chứng minh toán tử chiếu suy rộng πK là liên tục bởi vì B là không gian Banach phản xạ, lồi ngặt và trơn đều. Ta biết rằng nếu B là không gian Banach lồi ngặt, phản xạ và trơn thì toán tử metric PK :B →K là liên tục. Vì T là hoàn toàn liên tục nên toán tử Φ là compact và nửa liên tục trên.
Với ∀λ > 0, ta định nghĩa tập lồi đóng
Dr = {x ∈ B : kxk ≤ r}.
Rõ ràng tập hợp Dr có phần trong khác rỗng và 0 ∈ int(Dr). Do ánh xạ
Φ không có điểm bất động trong K, nên Φ không có điểm bất động trong
Dr với bất kỳ r > 0. Khi Φ hạn chế trên Dr. Áp dụng định lý loại trừ Leray-Schauder, ta có tồn tại
sao cho xr = λrΦ(xr) =λrπK(T(PK(xr))), tức là (1/λr)xr = Φ(xr) =πK(T(PK(xr))). Do πK(T(PK(xr))) ∈ K và K là nón, ta có xr ∈ K. Khi đó, ta đạt được PK(xr) =xr vì vậy (1/λr)xr = Φ(xr) =πK(T(xr)). Đặt(µr = 1/λr,∀r > 0tức làµrxr = πK(T(xr)).Ta cóhT(xr)−J(µrxr), µrxr −yi ≥ 0,∀y ∈ K. Vì xr ∈ ∂Dr và K là nón, nên kxrk= r, µr > 0 và µrxr ∈ K,∀r > 0.
Những tính chất này suy ra {xr} là họ loại trừ của phần tử của f đối với
K. Định lý được chứng minh.
Vì không gian Hilbert và không gian Banach lồi đều và trơn đều là không gian Banach phản xạ, lồi chặt và trơn nên các hệ quả sau suy trực tiếp từ Định lí 2.10
Hệ quả 2.2. Giả sử B là không gian Banach lồi đều và trơn, K ⊆ B là nón lồi đóng tùy ý và f : K → B là trường hoàn toàn liên tục với phép biểu diễn f(x) = x−T(x), với ∀x ∈ B tại f : K →B là ánh xạ hoàn toàn liên tục. Thì bài toán V I(f, K) có một nghiệm thỏa mãn:
(v1) V I(f, K) có một nghiệm;
(v2) Trường hoàn toàn liên tục f có một nghiệm loại trừ của phần tử đối với K.
Hệ quả 2.3. Giả sử H là không gian Hilbert, với K ⊆ H lồi đóng tùy ý và
f : K → H là trường hoàn toàn liên tục với phép biểu diễn f(x) = x−T(x),
với x ∈ H tại T : K → H là ánh xạ hoàn toàn liên tục. Thì bài toán
V I(f, K) ó ít nhất một nghiệm thỏa mãn những tính chất sau: (v1) V I(f, K) có một nghiệm;
(v2) Trường hoàn toàn liên tục f có một nghiệm loại trừ của phần tử đối với K.
Kết luận
Chương này chúng tôi trình bày được hai lớp toán tử chiếu suy rộng quan trọng được áp dụng nhiều trong lí thuyết tối ưu và các bài toán bất đẳng thức biến phân. Chúng tôi chứng minh tương đối chi tiết, so sánh các tính chất tốt còn giữ lại được khi suy rộng sang các không gian rộng hơn.
Kết luận
Luận văn đã trình bày được các vấn đề sau đây:
1. Trình bày một số nội dung chính về phép chiếu trên không gian Hilbert.
2. Trình bày chi tiết phép chiếu suy rộng trên không gian Banach phản xạ, lồi chặt và trơn.
3. Ứng dụng toán tử chiếu suy rộng vào các bài toán bất đẳng thức biến phân.
Do năng lực của bản thân còn có những hạn chế, luận văn sẽ không thể tránh khỏi những thiết sót, tác giả rất mong nhận được sự góp ý của bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn.
Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu Tiếng Việt
[1] Đậu Thế Cấp (2002), Giải tích hàm, Nhà xuất bản Giáo dục.
[2] Hoàng Tụy (2005), Hàm Thực và Giải Tích Hàm, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[3] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo Trình Giải Tích Đa Trị, Bộ sách toán cao cấp -Viện toán học, NXB Khoa học tự nhiên và Công nghệ. [B] Tài liệu Tiếng Anh
[4] Ya Alber (1994), Metric and generalized projection operators in Ba- nach spaces: properties and applications, in: Proceedings of the Israel Seminar, Ariel, Israel, Functional Differ. Equ. 1, pp. 1-21.
[5] Ya Alber (1996), Metric and generalized projection operators in Ba- nach spaces: properties and applications, in: A. Kartsatos (Ed.), The- ory and Applications of Nonlinear Operators of Accretive and Mono- tone Type, Dekker, New York, pp. 15-50.
[6] Jinlu Li (2005), The generalized projection operator on reflexive Ba- nach spaces and its applications, Journal of Mathematical Analysis and Applications 306, pp. 45-71.