Luận văn đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn cục trong không gian banach và ứng dụng

B G I O D C V O TO TR NG I HC s PH M H N I H TH HềA N H GI S CH IU FRACTAL C A TP H T T O N c c TR O N G K H ễ N G G IA N B A N A C H V N G D N G L U N V N TH C s T O N HC C h u yờn ngnh: T oỏn gii tớch M ó s : 60 46 01 02 Ngi hng dn khoa hc P G S T S C u n g T h A n h H N I, 2016 Li cm n Tụi xin by t lũng bit n chõn th n h v sõu sc n PG S.TS Cung Th Anh, ngi thy ó nh hng chn ti v nhit tỡnh hng dn tụi cú th hon th n h lun ny Tụi cng xin by t lũng bit n chõn th n h ti Phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo ging dy chuyờn ngnh Toỏn Gii tớch, trng i hc S phm H Ni ó giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc ti trng Nhõn dp ny tụi cng xin gi li cm n n gia ỡnh, bn bố ng nghip ó c v, ng viờn, to iu kin tụi hon th n h lun ny H Ni, thỏng nm 2016 Tỏc gi H T h H ũa Li cam oan Tụi xin cam oan, di s ch bo v hng dn ca PG S.TS Cung Th Anh, lun chuyờn ngnh Toỏn Gii tớch vi ti: ỏ n h g iỏ s c h iu f r a c ta l c a t p h ỳ t to n c c tro n g kh ụn g g ia n B a n a c h v ng d n g c hon th n h bi s nhn thc v tỡm hiu ca bn th õn tỏc gi Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v thc hin lun vn, tỏc gi ó k th a nhng kt qu ca cỏc nh khoa hc vi s trõ n trng v bit n H Ni, thỏng nm 2016 Tỏc gi H T h H ũa M c lc M u ỏ n h giỏ s ch iu fractal c a t p hỳ t to n cc tro n g k h ụn g gian B a n a ch 1.1 Tp hỳt ton cc 1.2 Khỏi nim, tớnh cht ca s chiu fractal 1.3 nh lớ v ỏnh giỏ s chiu f r a c t a l M t s ng dng 2.1 p dng cho m t lp phng trỡnh vi phõn t h n g 2.2 p dng cho m t lp phng trỡnh o hm riờng na tuyn tớnh loi p a b o lic K t lu n Ti liu th a m kho 15 15 17 21 22 M u Lớ chn t i Vic nghiờn cu dỏng iu tim cn nghim thi gian vụ cựng ca cỏc h ng lc vụ hn chiu sinh bi cỏc phng trỡnh o hm riờng phi tuyn hoc cỏc phng trỡnh vi phõn hm l m t bi toỏn quan trng v cú nhiu ý ngha thc tin Mt nhng cỏch tip cn bi toỏn ny i vi cỏc h ng lc tiờu hao vụ hn chiu l nghiờn cu s tn ti v cỏc tớnh cht ca hỳt ton cc ú l m t com pact, bt bin, hỳt cỏc b chn v cha ng nhiu thụng tin v dỏng iu tim cn ca h ang xột C th ta cú th xp x dỏng iu tim cn nghim ca mt qu o bt kỡ ca h ang xột bng cỏc qu o nm trờn hỳt ton cc Mt quan trng cn nghiờn cu l ỏnh giỏ chn trờn ca s chiu fractal ca hỳt ton cc, bi vỡ theo nh lớ Hừlder-M anộ ci biờn ta bit rng nu m t hỳt ton cc cú s chiu fractal hu hn thỡ, v nguyờn tc, ta cú th chuyn vic nghiờn cu h ng lc trờn hỳt v nghiờn cu cỏc h ng lc khụng gian hu hn chiu Trong nhng nm qua, ó cú nhiu kt qu tng quỏt v ỏnh giỏ s chiu fractal ca hỳt ton cc v ỏp dng chỳng cho hỳt ton cc ca nhiu lp phng trỡn h o hm riờng c th, xem [6] Tuy nhiờn, phn ln cỏc kt qu ó cú mi dng li trng hp hỳt ton cc khụng gian Hilbert Cỏc kt qu v tng ng trng hp hỳt ton cc khụng gian Banach cũn ớt Vỡ vy, chỳng tụi chn ny lm ti nghiờn cu ca lun M c ớch n gh iờn cu Nghiờn cu vic ỏnh giỏ chn trờn ca s chiu fractal ca hỳt ton cc khụng gian Banach p dng kt qu tng quỏt ny chng minh tớnh hu hn chiu ca hỳt ton cc ca m t s lp phng trỡnh c th N h i m v n gh iờn cu ỏnh giỏ chn trờn ca s chiu fractal ca hỳt ton cc khụng gian Banach p dng xột tớnh hu hn chiu ca hỳt ton cc ca m t s lp phng trỡnh c th i t n g v p h m v i n gh in cu i tng nghiờn cu: Tp hỳt ton cc ca h ng lc tiờu hao vụ hn chiu v s chiu fractal ca nú Phm vi nghiờn cu: Chn trờn ca s chiu fractal ca hỳt ton cc khụng gian Banach p dng cho hỳt ca m t s lp phng trỡn h c th 5 P h n g p h ỏp n gh iờn cu S dng cỏc phng phỏp ca lớ thuyt h ng lc tiờu hao vụ hn chiu K t qu trỡn h by c a lun T hit lp c kt qu tng quỏt v ỏnh giỏ chn trờn ca s chiu fractal ca hỳt ton cc khụng gian Banach p dng c cỏc kt qu tng quỏt xột tớnh hu hn chiu ca hỳt ton cc ca m t lp phng trỡnh vi phõn thng v m t lp phng trỡn h o hm riờng na tuyn tớnh loi parabolic 6 Chng ỏnh giỏ s chiu fractal ca hỳt ton cc tron g khụng gian B anach Chng ny trỡnh by cỏc khỏi nim v kt qu c bn v s tn ti ca hỳt ton cc; khỏi nim v cỏc tớnh cht ca s chiu fractal ca hỳt ton cc; thit lp kt qu tng quỏt v ỏnh giỏ chn trờn ca s chiu fractal ca hỳt ton cc khụng gian Banach 1.1 Tp hỳt to n cc Mc ny trỡnh by cỏc nh ngha v na nhúm liờn tc, hỳt ton cc, hp th v trỡnh by nh lớ c bn v s tn ti hỳt ton cc Mc ny c vit ch yu da trờn ti liu [2] Gi s X l khụng gian Banach n h n g h a 1 Mt h cỏc ỏnh x liờn tc S{t) : X ^ X , t > 0, gi l m t na nhúm liờn tc trờn X nu nú tha m ón cỏc iu kin sau: (0 ) = Id- S ( t + s) = S ( t ) S ( s ) ,V t , s > 0; Vi mi Xq X , ỏnh x t I>s ( ) ớCo liờn tc trờn [0; +oo); Vi mi t > 0, ỏnh x x H-> s (t ) x liờn tc trờn X n h n gh a 1.1.2 Tp khỏc rng A c X gi l hỳt ton cc ca na nhúm (S'(ớ) nu: A l compact; A l bt bin i vi na nhúm S { t ) , tc l S (t) A = A, Vớ > 0; A hỳt mi b chn B c X , tc l vi mi Ê > 0, tn ti T T (e, B) cho s (t)B c A (A: e) , Vớ > T (e, B ) , õy N (A, Ê) l Ê-lõn cn ca A X T ớnh cht hỳt tng ng vi iu kin sau õy: Vi mi b chn B cx, dist (S (t) B, A) > t >+00 ú dist(E ,F ) l na khong cỏch Hausdorff gia hai E , F c X , xỏc nh bi di s t (E , F ) := sup inf ||a; y II xeE veF T nh ngha suy hỳt ton cc A ca na nhúm ti l nht s (t ), nu tn n h n g h a 1.1.3 Tp b chn B c X gi l m t hp th ca na nhúm s cho (t ) nu vi b t kỡ b chn B c X , tn ti thi im T = T (B ) s (t) B c B vi mi t > T (B) n h n g h a 1.1.4 Gi s c X Tp Oỳ-gii hn ca A c nh ngha bi UJw u = n S (t)A s > s X ú S ( t ) A = {u = S ( t ) u : u E A } v [E]x l bao úng ca E X nh lớ sau õy l nh lớ c bn v s tn ti hỳt ton cc n h lớ 1.1.1 Gi s na nhúm s (t ) X l liờn tc v cú m t hp th compact B q Khi ú na nhúm s (t ) cú m t hỳt ton cc v A O ( B q), Lỳ-gii hn ca B q Hn na, A l liờn thụng 1.2 K h ỏi n im , tớn h ch t c a s ch iu fractal Mc ny trỡnh by khỏi nim v tớnh cht ca s chiu fractal Mc ny c vit ch yu da trờn ti liu [1] n h n g h a 1.2 Gi s M l m t com pact khụng gian m etric X Khi ú, s chiu fractal ca M c nh ngha bi d im F M = lim e ^0 log N x ( M, e ) logd) = lim e>0 ln N x ( M, ) In â ú N (M , e) l s ti thiu cỏc hỡnh cu úng bỏn kớnh e cn dựng ph M Hn na, s H e( M) := log2 N x ( M : e) gi l Kolmogorov e entropy ca M nh lớ sau õy núi v tớnh cht ca s chiu fractal n h lớ 1.2.1 (Tớnh cht ca s chiu fractal ) Nu M l c M thỡ dim F M < dim ^ M 2 d im ^ (M i u M 2) < m ax {dim ^ M l, dim^r M 2} dim (M X M 2) < dim F M i + dim ^ M Nu f : X > X liờn tc Holder vi s m tc l : If(x) - f(y)\ < L\ x - y \ 9, thỡ , d im rM dim f ( / (M )) < J 1.3 n h lớ v ỏn h giỏ s ch iu fractal Mc ny trỡnh by nh lớ v ỏnh giỏ s chiu fractal Mc ny c vit ch yu da trờn ti liu [3] Trc nghiờn cu nh lớ ta xột hai b sau: B 1.3 Nu u l m t khụng gian n chiu ca khụng gian Banach thc X thỡ N x (Bu ( , r ) , p ) < ( n + i r ( f j , < p < r, (1.1) ú hỡnh cu c ly cú th cú tõm u Cỏc kt qu tng t ỳng khụng gian Banach phc nu ta thay v phi ca (1.1) bi bỡnh phng ca nú 10 Chng minh Gi s K = R Vỡ U v l n chiu nờn cIb m (U ,R q0) < logn: c th, tn ti m t ng cu tuyn tớnh T : > u cho i m i i m i - ' < n Vỡ ,r ) = T T - \ B a ( ,r)) ầ T ( B R.J , IIT ằ ) , v B_n (0, ||T _1||r) cú th c ph bi ( + S H - hỡnh cu c ph bi s +I s â ' cú bỏn kớnh p /||T ||, iu ny suy B ( :r) cú th u - hỡnh cu bỏn kớnh p tng t Nu X l phc ta cn (1 + (a /ũ ))2n b - hỡnh cu CÊ, ph hỡnh cu bỏn kớnh a Ta kớ hiu Ê ( X ) l khụng gian cỏc phộp bin i tuyn tớnh b chn t X vo chớnh nú, /C(x) l khụng gian úng ca Ê ( x ) cha t t c cỏc bin i tuyn tớnh com pact t X vo chớnh nú v nh ngha Ê ,( X ) = {T e Ê( x) :T = L + c, C e X(X), ||L|Um < A} Ta ký hiu dist(^4, B ) l bỏn khong cỏch Hausdorff gia A v B , dist(A , B ) = sup ( inf IIa b\\x I a^A \bÊB J B 1.3.2 Cho X khụng gian Banach v T G L x / 2{ X) Khi ú, tn ti m t khụng gian hu hn chiu z ca X cho dist(T[Bx ( 0, 1) ] , T[ BZ ( , 1)]) < A (1.2) Ta kớ hiu \ (T) l giỏ tr nh nht ca n G N cho (1.2) ỳng vi khụng gian n chiu no ú ca X Chng minh Vit T = L + C vi c G C(X) v L G Ê ( x ) , vi || ||Ê(X) < A/2 u tiờn ta s chng minh vi mi > 0, tn ti m t khụng gian 11 hu hn chiu z cho dist(C [B x (0,l)],C [B z (0,l)]) < e Gi s cú m t trng hp khụng tha m ón Chn X X vi 11^1 ||x = v cho Zi = sp a n x i} Khi ú, d is t( [B x ( ,l ) ] , [ B Z( , l ) ] ) > e , v cng tn ti X2 X vi 11^2 ||x = cho \\Cx2 - C x i||x > e Vi z = s p a n { xi , x 2}, ta cú th tỡm c X3 vi la^llx = cho || a ;3 C x i||x > e v IIC x a^ llx > e Tip tc quỏ trỡn h quy np ny, ta cú th xõy dng dóy {Ej} vi ||xj|| = cho \ \ C x i - C x j ||x > e, %h iu ny m õu thun vi tớnh com pact ca c Bõy gi, cho < cho ||L ||Ê(X) < A < v chn z cho diat([B x(0, 1)], C[BZ{0, 1)]) < A - Nu X B { 0,1) v z B z ( 0,1) thỡ IIT x - Tz\\x < IIL(x - z)\\x + \\Cx - Cz\\x < + ||a; - c ^ ll* Nờn dist(T[Bx (0,l)],T [B z (0,l)]) < + dist(C[Bx (0,l)],C [B z (0,l)]) < X Ta cú iu phi chng minh 12 Bõy gi ta i nghiờn cu nh lớ v ỏnh giỏ s chiu ớractal n h lớ 1.3.1 (nh lớ v ỏnh giỏ s chiu ractal) Cho X l khụng gian Banach, u c X l m v f : u ằ X l mt ỏnh x kh vi liờn tc Gi s K l m t compact v X e (o, ) , D f ( x ) Ê a/2 (X ) vi mi X G K Khi ú, n = sup x ( Df ( x ) ) v D = sup ||Ê)/(a:)|| l hu hn v xK xK Ê>]an (n + l ) y N ( D f ( x )[Bx (0 ,1 )],2 A )< vi mi X G K, ú a = nu X l thc v a = nu X l phc T ú suy flog((n+ 1)Ê>/A)1 dinij?(K) < a n I Chng minh u tiờn, ta chng minh n = sup V \ ( D f ( x ) ) l hu hn Vi XK mi X G K , tn ti khụng gian tuyn tớnh hu hn chiu Z x cho dist(Ê0r)[iJ;aO,l)],Ê>/0r)[.Bớớ,(O ,l)]) < A Vỡ D f ( ) liờn tc nờn dn n tn ti x > cho dist(Df(y)lBx (0,l)],Df(y)BZ' ( , m < A vi mi y G B x (x, x), tc l V\(y) < ^ a(^) vi mi y Ph m ca K cú dng hp ca cỏc B x ( x , x) trờn X cú ph hu hn,t õy suy n < 00 Vỡ n = sup \ ( D f ( x ) ) < oo nờn vi mi X G K tn ti m t khụng gian XK Z x ca X vi d im ( Zx) < n cho i s t ( Df ( x ) [ B x ( , l ) ] , D f ( x ) [ B Zx(0,l)]) < X cho n gin ký hiu, ta vit thờm X vo ch s di lờn Z x v vit T = Df(x) 13 Chỳ ý rng T ( z ) cng l m t khụng gian n chiu ca X , ta cú th s dng B 1.3.1 ph hỡnh cu B T(Z){0, ||T ||) vi cỏc hỡnh cu -5x(y,A), < i < k cho k < G B x { 0, IlT II) vi mi v (n + 1) H A Do ú k T [ B Z ( , )] ầ B n z ỡ (0, ||T||) = B x (0, ||T||) n T(z) ỗ U B x (y A) i=1 (1.3) Ta s kt thỳc chng m inh bng vic chng t k \ j B x (Vi,2X)DT[Bx (,l)] i=1 T h t vy, nu X G B x { 0,1) thỡ t (1.2) suy tn ti y G T [ B z ( 0,1)] cho ||T x y\\x < A Vỡ y G T [ B Z {0,1)] nờn t (1.3) suy IIy - yi\\x < A vi i G { , , A:} v II^C - yi\\x < IIT x - y\\x + Il y - yi\\x < 2A, tc l Ta; G Bx ( y i , 2A) Kt qu ny suy phỏt biu ca nh lớ vỡ n u trờn X G K Cỏc h qu di õy l kt qu suy t nh lớ trờn: H qu 1.3 Gi s rng X l mt khụng gian Banach, U c X l mt m v f : u Ơ X l ỏnh x kh vi liờn tc Gi s K c u l mt compact cho f ( K ) I) K v D f ( x ) G Ê i ( X ) vi mi X G K Khi ú dim F (K') < oo 14 Chng minh T khng nh tng t c s dng nh lớ 1.3.1 chng minh n < oo suy tn ti a < cho D f ( x ) G L a ( X ) vi mi X G K Chỳ ý rng D * ] = D f * - 1( x ) ) o o D f ( x ) , v nu C G JC(X) v L G L ( X ) , i 1,2 thỡ (I + L ỡ) o (2 + L 2) = [I o + I o L + L o 2] -\-L\ o L ' - V - " e/cpo T ú suy rng nu D f ( x ) G L a ( X ) vi a < th ỡ [ D p)](x) G L ap(X) Suy vi p ln th ỡ D ( f p) ( x ) G vi A < 1/4, mi X G K Bõy gi ta cú th ỏp dng nh lớ 1.3.1 vo f p v trớ ca / (chỳ ý f p( K ) K ) suy d f ( K ) < 00 H q u 1.3.2 Cho X l khụng gian Banach v gi s T G C1( X ) , K l m t compact cho T ( K ) = K v D XT cú hng l v( x) hu hn vi su p z ^ x ) := u < 00 Khi ú, xK dimj?(K) < Chng minh Rừ rng vi mi A > v V X G K , D XT G L \ / 2( X ) vi mi A > H qu l vi < A < , dim ir(R") < V lo g ((i/+ l ) f ) log(l/2A ) Ly gii hn A > suy d im j() < V 15 Chng M t s ng dng Chng ny ỏp dng kt qu tng quỏt Chng ỏnh giỏ s chiu fractal ca hỳt ton cc ca m t lp phng trỡnh vi phõn thng v m t lp phng trỡnh o hm riờng na tuyn tớnh loi parabolic Chng ny c vit ch yu da trờn ti liu [2] v [3] 2.1 p d n g cho m t lp ph ng trỡn h v i p h õn th n g Cho / : Mn >Mn l hm kh vi liờn tc Gi s na nhúm { S (t) : t > 0} R n sinh bi phng trỡn h vi phõn 21 x = f(x) ( ) X (0) = x (2.2) vi iu kin ban u õy, X = ( x u , x n) e x0 e / (z) = ( /i ( z ) , , fn {x)) Ta gi s hm / tha m ón iu kin Lipschitz a phng \\f {x) - f {y)\\ < K { R ) x - y , vi mi x , y Mn m ||x , \\y\\ < R Khi ú vi mi Xq Mn, bi toỏn Cauchy (2.1)-(2.2) cú nht nghim xỏc nh trờn khong tn ti cc 16 i [0, T (Eo)) Hn na, nu T (ớCo) hu hn th ỡ la; (ớ)II > + oo t T { x 0)~ Tip theo ta gi s / tha m ón iu kin tiờu hao kiu Lyapunov, tc l tn ti hm dng V : Kn > R + thuc lp c cho n v v (X) f { x ) = VXi (X) fi (x) < -c + v (X), Vz e Mn, (2.3) i=1 v V (x) > +oo ||a;|| ằ +oo (2.4) Hm V (x) l m t hm Lyapunov i vi h (2.1) ||x|| ln, tc l bờn ngoi D = {x G R n : V (X) < |} Hm V (X (ớ)) gim dc theo qu o ca (2.1) V (X (t )) > | Min D b chn (2.4) Bõy gi ta s ch rng nu f ( x ) tha m ón iu kin (2.3)-(2.4) thỡ nghim x t ) ca bi toỏn (2.1)-(2.2) s tn ti ton cc trờn c khong [0; Too) v na nhúm S t ) sinh bi (2.1) s cú hỳt ton cc T h t vy, ly tớch vụ hng ca phng trỡnh (2.1) vi v y (x (t )) ]Rn v s dng (2.3) ta cú W {x)-x = v (z) = - w (z) f { x ) > c - V ( z ) Do ú V (X) + V (x) < c p dng b t ng thc Gronwall ta c V (x (t )) < e~StV (x (0)) + Yũ T õy suy nghim x t ) tn ti vi mi t > v hp (2.5) 17 l m t hp th ca S(t ) Do iu kin (2.4), Bo b chn (v ú com pact vỡ nú úng) R n Vy na nhúm S( t ) cú m t hỳt ton cc A c BoChỳ ý rng nu c mi = thỡ t (2.5) suy V (X (t )) > X > + oo vi G " H qu l A c {x e Kn \v {x) = 0} Hn na ta bit rng V (ổ) = kộo theo X = X*, ú X* l im dng (vỡ V l hm Lyapunov), v ú A = {a;*} Trong trng hp ny hỳt ton cc l tm thng Tip theo ta i ỏnh giỏ s chiu ca hỳt ton cc A Nu rank (D xf ) < k < n vi mi X A th ỡ dim ^ (^4) < k C th, nu / : R n > R n,/3 > v tn ti hng s M > cho f ( x ) X < vi ||x ||R > M , ú na nhúm {51(t) : t > 0} tng ng cú hỳt ton cc A R n xM" vi dim^r (^4) < k 2.2 p d n g cho m t lp phng trỡn h o hm rin g na tu y n tớn h loi p arab olic M n h 2 Cho : D ( A ) c X X l toỏn t qut vi R e ( A ) > Nu f : x a > X l kh vi liờn tc v liờn tc Lipschitz trờn cỏc b chn ca x a v na nhúm { S( t ) : t > 0} x a tng ng vi bai toan parabolic x + Ax = f(x ) vdi :r(0) = x$ E X a co tap hut toan cue A va hoac e~At la compact vdi mdi t > hoac f x G K ( Xa, X ) la compact vdi mdi x A thi dimg(.A) < oo Chting minh Vdi moi x G A , cho S ( t ) x = e~Atx + f e_j4(i_s)f ( S ( s ) x ) d s *0 nen dao ham S x (t) G Ê ( X ) vdi tildng ling x thuoc S( t ) tai x thoa m an Sx{t) = e~At + [ e-AI--'>f'{S(s)x)SI{s)ds Jo Do do, vdi t ldn thich hdp, gia thiet cua He qua 1.3.1 diidc thoa m an va ta co dieu can phai chiing minh Bay gid ta se diia lidc liidng tho so chieu cua tap hut toan cue Dau tien chu y rang neu A : D ( A ) C X > X la toan til hinh quat vdi giai thiic com pact va X@, /3 > 0, ki hieu khong gian phan tiidng ling vdi A, thi ton tai m ot day cac phep chieu vdi hang hhu han {Pn}neN va cac day so thiic dildng {An}neN va {M n}neN cho IIe~A,(I - Pn) |U(X,,Xô,) < t > 0,0 < y < < a (2.6) Ta noi rang A la toan til quat chap nhan diidc neu no la toan til quat va ton tai day {An}nÊN va M > cho (2.6) vdi M n = M , moi n Ê N Khong kho de thay rang, neu A la toan til quat chap nhan diidc th i A co giai thiic com pact 19 ú N = s u p { ||//(x )||/C(xô!;n : x e A } T b t ng thc Gronwall (xem [4, B 7.1.1]) suy a Bõy gi, nu Qn = - Pn), IIQ ;(ớ)IU p :") < M e x- + M N [ \ t - s ) e - >' - ^ \ \ S , ( s ) fx )ds Jo v ||Qn2c () ||,C(X) J t , M M N (MNrn_ < M e ~ K t +~ e{MNT{1~- * ) ) / ( _ q J a ( t - s y a e - { Xn + ( M N T ( l - a ) n i - a) ) ( t - s ) d i MMN < M e ~ Kt + e{MNT{1 ô))1/(1_)ớ J u - a e - ( X n + ( M N T ( l - a ) ) i n i - a) ) u d u a _x t M M N e(MNT( l - a) ^- ahV _ ) < M e ~ Xnt + - = - a An + (M N T (1 - a ) ) 1/(1_a) An it) , t > T tớnh chp nhn c ca A v (2.6), ||Qn|U(X) < Af, vi mi n N Do vy, |Qn^;(ớ)Qn|U(X) 5: M ( t ) , t > Chn = v io G N cho A (l) < A < Nu F = S ( l ) , L = Q noS ( 1) v c = PnoS ( l ) thỡ L x = Qn0S x { l ) v A cx= bt bin qua F Hn na, Fx = L x + Cx vi Pn0S x ( 1) v nu zx= R ( C X) v W x l m t khụng 20 gian ca X cho Cx : W x > Z x l m t ng cu, Fx G L \ { x ) vi mi X G A v A < Thờm na, V = su p d im (Z a;) < d im ( R( P) ) XầlA iu ny chng minh cỏc gi thit ca nh lớ 1.3.1 c tha m ón v ta cú log((z/ + l ) d im f ^ y log(l/2 ) < ' 21 K t lun Lun ó trỡnh by cỏc khỏi nim v kt qu c bn v s tn ti hỳt ton cc; khỏi nim v cỏc tớnh cht ca s chiu fractal ca hỳt ton cc; thit lp kt qu tng quỏt v ỏnh giỏ chn trờn ca s chiu fractal ca hỳt ton cc khụng gian Banach Lun cng ỏp dng c cỏc kt qu tng quỏt xột tớnh hu hn chiu ca hỳt ton cc ca m t lp phng trỡn h vi phõn thng v m t lp phng trỡnh o hm riờng na tuyn tớnh loi parabolic [...]... ny c vit ch yu da trờn ti liu [3] Trc khi nghiờn cu nh lớ ta xột hai b sau: B 1.3 1 Nu u l m t khụng gian con n chiu ca khụng gian Banach thc X thỡ N x (Bu ( 0 , r ) , p ) < ( n + i r ( f j , 0 < p < r, (1.1) trong ú hỡnh cu c ly cú th cú tõm trong u Cỏc kt qu tng t ỳng trong khụng gian Banach phc nu ta thay v phi ca (1.1) bi bỡnh phng ca nú 10 Chng minh Gi s K = R Vỡ U v l n chiu nờn cIb m... B 1.3.2 Cho X khụng gian Banach v T G L x / 2{ X) Khi ú, tn ti m t khụng gian con hu hn chiu z ca X sao cho dist(T[Bx ( 0, 1) ] , T[ BZ ( 0 , 1)]) < A (1.2) Ta kớ hiu \ (T) l giỏ tr nh nht ca n G N sao cho (1.2) ỳng vi khụng gian con n chiu no ú ca X Chng minh Vit T = L + C vi c G C(X) v L G Ê ( x ) , vi || ||Ê(X) < A/2 u tiờn ta s chng minh vi mi > 0, tn ti m t khụng gian con 11 hu hn chiu z... ) , v B_n (0, ||T _1||r) cú th c ph bi ( + S H - hỡnh cu trong c ph bi s +I s â ' cú bỏn kớnh p /||T ||, iu ny suy ra B ( 0 :r) cú th u - hỡnh cu bỏn kớnh p tng t Nu X l phc ta cn (1 + (a /ũ ))2n b - hỡnh cu trong CÊ, ph hỡnh cu bỏn kớnh a Ta kớ hiu Ê ( X ) l khụng gian cỏc phộp bin i tuyn tớnh b chn t X vo chớnh nú, /C(x) l khụng gian con úng ca Ê ( x ) cha t t c cỏc bin i tuyn tớnh com... cht ca s chiu fractal n h lớ 1.2.1 (Tớnh cht ca s chiu fractal ) 1 Nu M l c M 2 thỡ dim F M < dim ^ M 2 2 d im ^ (M i u M 2) < m ax {dim ^ M l, dim^r M 2} 3 dim ớ (M 1 X M 2) < dim F M i + dim ^ M 2 Nu f : X > X liờn tc Holder vi s m 6 tc l : If(x) - f(y)\ < L\ x - y \ 9, thỡ , d im rM dim f ( / (M )) < J 1.3 n h lớ v ỏn h giỏ s ch iu fractal Mc ny trỡnh by nh lớ v ỏnh giỏ s chiu fractal Mc... Lun vn ó trỡnh by cỏc khỏi nim v kt qu c bn v s tn ti tp hỳt ton cc; khỏi nim v cỏc tớnh cht ca s chiu fractal ca tp hỳt ton cc; thit lp kt qu tng quỏt v ỏnh giỏ chn trờn ca s chiu fractal ca tp hỳt ton cc trong khụng gian Banach Lun vn cng ỏp dng c cỏc kt qu tng quỏt xột tớnh hu hn chiu ca tp hỳt ton cc ca m t lp phng trỡn h vi phõn thng v m t lp phng trỡnh o hm riờng na tuyn tớnh loi parabolic ... n u trờn X G K Cỏc h qu di õy l kt qu suy ra t nh lớ trờn: H qu 1.3 1 Gi s rng X l mt khụng gian Banach, U c X l mt tp m v f : u Ơ X l ỏnh x kh vi liờn tc Gi s K c u l mt tp compact sao cho f ( K ) I) K v D f ( x ) G Ê i ( X ) vi mi X G K Khi ú dim F (K') < oo 14 Chng minh T khng nh tng t c s dng trong nh lớ 1.3.1 chng minh n < oo suy ra tn ti a < 1 sao cho D f ( x ) G L a ( X ) vi mi X G K... ) G L a ( X ) vi a < 1 th ỡ [ D p)](x) G L ap(X) Suy ra vi p ln th ỡ D ( f p) ( x ) G vi A < 1/4, mi X G K Bõy gi ta cú th ỏp dng nh lớ 1.3.1 vo f p trong v trớ ca / (chỳ ý f p( K ) 5 K ) suy ra d f ( K ) < 00 H q u 1.3.2 Cho X l khụng gian Banach v gi s T G C1( X ) , K l m t tp compact sao cho T ( K ) = K v D XT cú hng l v( x) hu hn vi su p z ^ x ) := u < 00 Khi ú, xK dimj?(K) < Chng minh... (X) < |} Hm V (X (ớ)) gim dc theo qu o ca (2.1) trong khi V (X (t )) > | Min D b chn do (2.4) Bõy gi ta s ch ra rng nu f ( x ) tha m ón iu kin (2.3)-(2.4) thỡ nghim x t ) ca bi toỏn (2.1)-(2.2) s tn ti ton cc trờn c khong [0; Too) v na nhúm S t ) sinh bi (2.1) s cú tp hỳt ton cc trong T h t vy, ly tớch vụ hng ca phng trỡnh (2.1) vi v y (x (t )) trong ]Rn v s dng (2.3) ta cú W {x)-x = v (z) = -... ớractal n h lớ 1.3.1 (nh lớ v ỏnh giỏ s chiu ractal) Cho X l khụng gian Banach, u c X l tp m v f : u ằ X l mt ỏnh x kh vi liờn tc Gi s K l m t tp compact v X e (o, ) , D f ( x ) Ê a/2 (X ) vi mi X G K Khi ú, n = sup x ( Df ( x ) ) v D = sup ||Ê)/(a:)|| l hu hn v xK xK Ê>]an (n + l ) y N ( D f ( x )[Bx (0 ,1 )],2 A )< vi mi X G K, trong ú a = 1 nu X l thc v a = 2 nu X l phc T ú suy ra 1 flog((n+... tn ti khụng gian con tuyn tớnh hu hn chiu Z x sao cho dist(Ê0r)[iJ;aO,l)],Ê>/0r)[.Bớớ,(O ,l)]) < A Vỡ D f ( ) liờn tc nờn dn n tn ti x > 0 sao cho dist(Df(y)lBx (0,l)],Df(y)BZ' ( 0 , m < A vi mi y G B x (x, x), tc l V\(y) < ^ a(^) vi mi y Ph m ca K cú dng hp ca cỏc B x ( x , x) trờn X cú ph con hu hn,t õy suy ra khi n < 00 Vỡ n = sup \ ( D f ( x ) ) < oo nờn vi mi X G K tn ti m t khụng gian XK con