Về tính lipschitz của toán tử trong không gian hibert và ứng dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân (LV01953)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRIỆU THỊ XEN VỀ TÍNH LIPSCHITZ CỦA TOÁN TỬ TRONG KHÔNG GIAN HIBERT VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRIỆU THỊ XEN VỀ TÍNH LIPSCHITZ CỦA TOÁN TỬ TRONG KHÔNG GIAN HIBERT VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH LÊ DŨNG MƯU HÀ NỘI, 2016 i Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành hướng dẫn khoa học GS.TSKH Lê Dũng Mưu Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thày, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình tìm hiểu, nghiên cứu để hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn tới toàn thể Thầy Cô giáo khoa Toán, chuyên ngành Toán Giải tích, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu trường Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình bạn bè cổ vũ, động viên, giúp đỡ trình học tập thực luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn không tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tôi mong nhận ý kiến đóng góp phản hồi từ phía thầy, cô, bạn để luận văn hoàn thiện cách tốt Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2016 Người thực Triệu Thị Xen ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn GS.TSKH Lê Dũng Mưu, luận văn chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài Tính Lipschitz toán tử không gian Hilbert ứng dụng vào bất đẳng thức biến phân hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân, không trùng lặp với luận văn khác Trong trình nghiên cứu thực luận văn, kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2016 Người thực Triệu Thị Xen iii Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan i ii Danh mục kí hiệu thường dùng iv Mở đầu 1 Toán tử Lipschitz không gian Hilbert 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Không gian metric 3 1.1.2 Không gian Hilbert 1.2 1.1.3 Phép chiếu metric Điểm bất động ánh xạ co 1.3 Điểm bất động ánh xạ không giãn 15 Ứng dụng vào bất đẳng thức biến phân 27 2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 27 2.2 Sự tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân 34 2.3 Nguyên lý ánh xạ co Banach giải bất đẳng thức biến phân 36 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 iv Danh mục kí hiệu thường dùng R H Tập hợp số thực Không gian Hilbert (X, d) dC (y) d(x, y) , x∈C x∈ /C ∀x ∈ C ∀x x−y |x| Không gian metric Khoảng cách từ y đến C Khoảng cách phần tử x y Tích vô hướng x thuộc tập C x không thuộc tập C Với x thuộc tập C Với x Chuẩn Chuẩn x − y Giá trị tuyệt đối x Mở đầu Lí chọn đề tài Giải tích hàm ngành Toán học xây dựng vào khoảng đầu kỷ XX Trong trình phát triển Giải tích hàm tích lũy nội dung phong phú Những phương pháp kết mẫu mực tổng quát Giải tích hàm xâm nhập vào tất ngành toán học có liên quan sử dụng đến công cụ Giải tích không gian vectơ Chính điều mở phạm vi nghiên cứu lớn cho ngành toán học Một hướng nghiên cứu mạnh mẽ Giải tích hàm lý thuyết điểm bất động Các định lý điểm bất động liên quan đến điều kiện mà khẳng định tồn điểm x∗ C(C ⊂ X) cho T x∗ = x∗ với T : C −→ C Điểm x∗ gọi điểm bất động ánh xạ T Những định lý điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỷ 20, phải kể đến định lý điểm bất động Brouwer (1912) nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) Các kết mở rộng lớp ánh xạ đặc biệt lớp ánh xạ có tính Lipschitz không gian khác nhau, ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực tập hợp lại tên chung: Lý thuyết điểm bất động Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu sắc môn bước đầu tiếp cận với việc nghiên cứu khoa học Dưới hướng dẫn GS.TSKH Lê Dũng Mưu chọn đề tài :“ Tính Lipschitz toán tử không gian Hilbert ứng dụng vào bất đẳng thức biến phân” 2 Mục đích nghiên cứu Làm quen với công việc nghiên cứu khoa học, tìm hiểu sâu Giải tích hàm đặc biệt tính Lipschitz toán tử không gian Hilbert Luận văn trình bày định lý tồn điểm bất động ánh xạ có tính Lipschitz như: điểm bất động ánh xạ không giãn áp dụng nguyên lý ánh xạ co Banach để giải bất đẳng thức biến phân Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tính Lipschitz toán tử không gian Hilbert Nghiên cứu toán bất đẳng thức biến phân Ứng dụng tính Lipschitz toán tử vào toán Bất đẳng thức biến phân Đối tượng phạm vi nghiên cứu Tính Lipschitz toán tử không gian Hilbert ứng dụng vào Bất đằng thức biến phân Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu liên quan đến tính Lipschitz toán tử không gian Hilbert Phân tích, tổng hợp hệ thống kiến thức liên quan tới toán bất đẳng thức biến phân Đóng góp luận văn Xây dựng luận văn thành tài liệu tổng quan tốt cho sinh viên học viên cao học đề tài “ Tính Lipschitz toán tử không gian Hilbert ứng dụng vào bất đẳng thức biến phân” Chương Toán tử Lipschitz không gian Hilbert Trong chương giới thiệu không gian metric, không gian Hilbert, phép chiếu metric, nhằm trang bị kiến thức cần thiết cho việc trình bày điểm bất động ánh xạ co, ánh xạ không giãn 1.1 1.1.1 Kiến thức chuẩn bị Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 Một hàm d có giá trị thực xác định với cặp phần tử x, y tập hợp X gọi metric X thỏa mãn điều kiện sau ( với x, y, z ∈ X ): 1) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = ⇔ x = y ; 2) d(x, y) = d(y, x); 3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, x)( bất đẳng thức tam giác) Một tập X với metric xác định gọi không gian metric d(x, y) gọi khoảng cách x y Các phần tử không gian metric (X, d) gọi điểm Định nghĩa 1.1.2 Giả sử x1 , x2 , , xn dãy điểm không gian metric (X, d) Dãy xn gọi hội tụ đến điểm x ∈ X lim d (xn , x) = x→∞ kí hiệu lim xn = x x→∞ Định nghĩa 1.1.3 Cho hai không gian metric (X, d) (Y, p) Một ánh xạ T từ X vào Y gọi liên tục x0 ∈ X với ε > tồn δ > cho với x ∈ X d(x, x0 ) < δ kéo theo ρ(T x, T x0 ) < ε Ánh xạ T gọi liên tục liên tục điểm x ∈ X Định nghĩa 1.1.4 Ta nói dãy {xn } dãy Cauchy hay dãy không gian metric X với ε > tồn nε cho d(xn , xm ) < ε với n, m ≥ nε Nếu dãy Cauchy X hội tụ X gọi không gian Metric đầy đủ Nguyên lý Cantor: Trong không gian metric đầy đủ dãy hình cầu đóng thắt dần có điểm chung Định nghĩa 1.1.5 Ánh xạ T : (X, d) → (Y, p) không gian metric thỏa mãn: ρ(T x, T z) ≤ M d(x, z) với số cố định M x, z ∈ X gọi ánh xạ Lipschitz Số nhỏ số M gọi số Lipschitz ánh xạ T kí hiệu L(T ) 1.1.2 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.6 (Tích vô hướng) Cho H không gian tuyến tính R Một tích vô hướng H ánh xạ, ký hiệu ·, · : H × H → R thỏa mãn điều kiện sau: 1) ∀x ∈ H : x, x ≥ 0, x, x = ⇔ x = 0; 2) ∀x, y ∈ H : x, y = y, x ; 32 Thì ta nói f khả vi F re chet x∗ gọi ∇f (x∗ ) = x0 đạo hàm F re chet f x∗ b Nếu tồn f (x∗ + tv) − f (x∗ ) lim t↓0 t giới hạn đạo hàm theo hướng v f x∗ kí hiệu f (x∗ , v) (f (x∗ v) = ∇f (x∗ ), x − x∗ ) c Nếu tồn f (x∗ , v) với x ∈ X ánh xạ f (x∗ , ·) : X −→ R tuyến tính liên tục ta nói f khả vi Gateaux x∗ gọi ∇f (x∗ ) = f (x∗ , ·) ∈ X ∗ đạo hàm Gateaux f x∗ Xét toán tối ưu: (P ) minf (x) : x ∈ ∆ (2.6) Định nghĩa 2.1.8 Bài toán x∗ ∈ ∆ gọi nghiệm địa phương toán (2.6), tồn µ > cho f (x∗ ≤ f (y), ∀y ∈ ∆ ∩ B(x∗ , µ) Tập nghiệm địa phương toán (2.6) kí hiệu loc(P ) Phần tử x∗ ∈ ∆ gọi nghiệm toàn cục toán (2.6), thỏa mãn f (x∗ ) ≤ f (y), ∀y ∈ ∆ Tập nghiệm toàn cục toán (2.6) kí hiệu Sol(P ) Định lý 2.1.1 (Điều kiện cần tối ưu bậc nhất) Nếu x∗ nghiệm địa phương toán tối ưu (2.6) ∆f (x∗ ), y − x∗ ∀y ∈ ∆, (2.7) Ở ∇f (x) đạo hàm Frechet Chứng minh Giả sử x∗ ∈ ∆ nghiệm địa phương toán (2.6) Khi ∃µ > cho f (y) ≥ f (x∗ ), ∀y ∈ ∆ ∩ B(x∗ , µ) Lấy tùy ý x ∈ ∆ \ x∗ , ∃δ > cho x∗ + t(x − x∗ ) ∈ ∆ ∩ B(x∗ , µ) ∃t ∈ (0, δ) Do f (x∗ + t(x − x∗ ) − f (x∗ ) ≤ lim = f (x∗ ; x − x∗ ) t↓0 t = f (x∗ , x − x∗ 33 Định lý chứng minh Định nghĩa 2.1.9 Ta nói hàm số Φ : X −→ R Lipschitz địa phương x ∈ X tồn ε > l > cho |Φ(x) − Φ(u)| ≤ l x − u B(x, ε) ∀x, u ∈ Nhận xét 2.1.1 Nếu hàm số Φ khả vi, liên tục x, Φ Lipschitz địa phương x Ví dụ 2.1.4 Hàm số Φ(x) = xsin x1 x ∈ X \ {0}, x = không Lipschitz địa phương x = ( đạo hàm hàm số giới hạn x tiến tới 0) Định nghĩa 2.1.10 Giả sử Φ Lipschitz địa phương x Số thực Φ0 (x, v) = lim sup x→x t↓0 Φ(x + tv) − Φ(x) t gọi đạo hàm suy rộng theo nghĩa Clarke x theo hướng v Ở (limx→x supt↓0 Φ(x+tv)−Φ(x) = sup limk→∞ Φ(x t k +tv k )−Φ(xk ) , xk tk → x, v k → v, tk ↓ ) Nhận xét 2.1.2 Φ0 (x, v) ≤ l v với v ∈ X Φ0 (x, ·) hàm lồi (l hệ số Lipschitz Φ lân cận x) Định nghĩa 2.1.11 Cho ∆ ⊆ X nón lồi Nón ∆+ = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v ≥ 0, ∀v ∈ ∆} gọi nón đối ngẫu dương Xét toán (2.4), V I(Φ, ∆) Tìm x∗ ∈ ∆ thỏa mãn Φ(x∗ ), y − x∗ ≥ ∀y ∈ ∆ Mệnh đề 2.1.3 Nếu ∆ nón lồi đóng, toán V I(Φ, ∆) viết sau x∗ ∈ ∆, Φ(x∗ ) ∈ ∆+ , Φ(x∗ ), x∗ = (2.8) 34 Chứng minh Lấy x∗ nghiệm toán (2.4) Với v ∈ ∆, Do ∆ nón lồi nên x∗ + v ∈ ∆ Từ (2.4), ta suy ≤ Φ(x∗ ), (x∗ + v) − x∗ = Φ(x∗ ), v Vì Φ(x∗ ) ∈ ∆∗ Do 21 x∗ ∈ ∆, 2x∗ ∈ ∆ (2.4), ta có 1 ≤ Φ(x∗ ), x∗ − x∗ = − Φ(x∗ ), x∗ , 2 ≤ Φ(x∗ ), 2x∗ − x∗ = Φ(x∗ ), x∗ Do đó, Φ(x∗ ), x∗ = Bây giờ, ta giả sử có x∗ mà (2.8) thỏa mãn Với y ∈ ∆, Do Φ(x∗ ), x∗ = Φ(x∗ ) ∈ ∆+ , ta có Φ(x∗ ), y − x∗ = Φ(x∗ ), y ≥ Điều chứng tỏ x∗ ∈ Sol(V I(Φ, ∆)) 2.2 Sự tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân Cho H không gian Hilbert, ∆ = ∅, ∆ ⊂ H tập lồi, đóng đặt d∆ (x) = inf{ x − y , y ∈ ∆} (2.9) hàm khoảng cách Định lý 2.2.1 (Xem [3], Chương 2, Định lý 2.2.1) Với giả thiết trên, với x ∈ H , tồn u ∈ ∆ cho x − u = d∆ (x) = inf x − y : y ∈ ∆ (2.10) Định lý 2.2.2 (Xem [3], Chương 2, Định lý 2.2.2) Với x ∈ H , phần tử u ∈ ∆ thỏa mãn (2.10) x − u, y − u ≤ ∀y ∈ ∆ Phép chiếu metric P∆ (·) ánh xạ Lipschitz với hệ số thể định lí sau 35 Định lý 2.2.3 (Xem [3], Chương 2, Định lý 2.2.3) Với x, y ∈ H , ta có P∆ (x) − P∆ (y) ≤ x − y Định lý 2.2.4 (Xem [3], Chương 2, Định lý 2.2.4) ( Định lý Brouwer) Cho ∆ ⊂ Rn tập lồi, compact, khác rỗng f : ∆ −→ ∆ ánh xạ liên tục Khi đó, tồn x ∈ ∆ thỏa mãn f (x) = x Dựa vào định lý điểm bất động Brouwer, ta chứng minh tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.4) Định nghĩa 2.2.1 Ta nói điều kiện coercivity condition thỏa toán V I(Φ, ∆), tồn x0 ∈ ∆ cho Φ(y) − Φ(x0 ) −→ +∞ y −→ +∞ y ∈ ∆ y − x0 (2.11) Định lý 2.2.5 (Xem [3], Chương 2, Định lý 2.3.2) Cho ∆ ⊂ R ánh xạ liên tục Nếu toán V I(Φ, ∆) thỏa điều kiện có nghiệm Nhận xét 2.2.1 Điều kiện (2.11) có nghĩa với M > tồn ρ > cho Φ(y) − Φ(x0 ) ≥M y − x0 ∀y ∈ ∆ thỏa mãn y > ρ Điều kiện đóng vai trò quan trọng nghiên cứu bất đẳng thức biến phân trường hợp hạn chế ∆ không compact Dễ thấy ∆ compact, với x0 ∈ ∆ toán V I(Φ, ∆) thỏa điều kiện Nếu tồn x0 ∈ ∆ α > cho Φ(y) − Φ(x0 ), y − x0 ≥ α y − x0 , ∀y ∈ ∆ (2.12) (2.11) thỏa mãn Nếu tồn α > cho Φ(y) − Φ(x), y − x ≥ α y − x , ∀x ∈ ∆, ∀y ∈ ∆ (2.12) thỏa (2.11) thỏa mãn 36 2.3 Nguyên lý ánh xạ co Banach giải bất đẳng thức biến phân Cho H không gian Hilbert, C tập lồi, đóng, khác rỗng H ; F : C −→ H ánh xạ đơn điệu ϕ hàm lồi đóng H Chúng ta xét toán bất đẳng thức biến phân dạng tổng quát sau: Tìm x∗ ∈ C cho F (x∗ ), x − x∗ + ϕ(x) − ϕ(x∗ ) ≥ ∀x ∈ C (2.13) Đặt y − x, G(y − x) + ϕ(y) − ϕ(x) | y ∈ C (2.14) h(x) nghiệm tối ưu toán xác định g(x), G toán tử tuyến tính tự liên hợp xác định dương Trong trường hợp hữu hạn chiều G ma trận đối xứng xác định dương g(x) = −min F (x), y − x + Bổ đề 2.3.1 (Xem [6], Chương 5, Bổ đề 2.1) Giả sử toán bất đẳng thức biến phân (2.13) có nghiệm Khi x∗ nghiệm toán (2.13) x∗ điểm bất động h Trong h(x∗ ) nghiệm tối ưu toán xác định g(x) Chứng minh Giả sử x∗ nghiệm (2.13) h(x∗ ) nghiệm toán xác định g(x∗ ) Thì F (x∗ ), h(x∗ ) − x∗ + ϕ(h(x∗ )) − ϕ(x∗ ) ≥ (2.15) Từ h(x∗ ) nghiệm toán lồi hàm đánh giá g(x∗ ) Tồn z ∗ ∈ ∂ϕ(h(x∗ ) cho F (x∗ ) + G(h(x∗ ) − x∗ ) + z ∗ , y − h(x∗ ) ≥ ∀y ∈ C (2.16) Thay y = x∗ bất đẳng thức ta F (x∗ ) + G(h(x∗ ) − x∗ ) + z ∗ , x − h(x∗ ) ≥ (2.17) 37 Cộng hai bất đẳng thức (2.15) (2.17) có G(h(x∗ )−z ∗ ), x∗ −h(x∗ ) + z ∗ , x−h(x∗ ) +ϕ(h(x∗ ))−ϕ(x∗ ) ≥ (2.18) Từ z ∗ ∈ ∂ϕ(h(x∗ )), ta có z ∗ , x∗ − h(x∗ ) ≤ ϕ(x∗ ) − ϕ(h(x∗ ) Do z ∗ , x∗ − h(x∗ ) − ϕ(x∗ ) − ϕ(h(x∗ )) ≤ (2.19) Từ bất đẳng thức (2.18) (2.19) nên G(h(x∗ ) − x∗ ), x − h(x∗ ) ≥ Do h(x∗ ) = x∗ , từ G xác định dương Ngược lại, giả sử h(x∗ ) = x∗ Khi (2.16) có dạng F (x∗ ) + z ∗ , y − x∗ ≥ ∀y ∈ C Từ z ∈ ∂ϕ(h(x∗ ) z ∗ , y − x∗ ≤ ϕ(y) − ϕ(x∗ ), ∀y ∈ C Cộng vào cuối hai vế bất đẳng thức ta có F (x∗ ), y − x∗ + ϕ(y) − ϕ(x∗ ) ≥ ∀y ∈ C Có nghĩa x∗ nghiệm toán (2.13) Định nghĩa 2.3.1 Ánh xạ đa trị Φ : C −→ H gọi đơn điệu C z − z , x − x ≥ 0, ∀x, x ∈ C, z ∈ Φ(x), z ∈ Φ(x ) Φ gọi đơn điêu mạnh với hệ số β > ( β đơn điệu mạnh) z − z ,x − x ≥ β x − x ∀x, x ∈ C, z ∈ Φ(x), z ∈ Φ(x ) Ánh xạ Φ gọi Lipschitz liên tục C với hệ số δ > Φ(x) − Φ(x ) ≤ δ x − x ∀x, x ∈ C (2.20) 38 (2.20) thỏa mãn với δ < 1, ánh xạ Φ gọi ánh xạ co C Nó gọi không giãn C δ = Ánh xạ Φ gọi đóng C với hệ số Φ > gọi tắt δ -đóng C Φ(x) − Φ(x ), x − x ≥ δ Φ(x) − Φ(x ) ∀x, x ∈ C Hệ số δ gọi hệ số đóng Một hàm thực f gọi δ -đóng C đạo hàm ∇f δ -đóng C , tức ∇f (x) − ∇f (x ), x − x ≥ δ ∇f (x) − ∇f (x ) ∀x, x ∈ C Để dơn giản ta giả sử G = αI , I ánh xạ đồng α > Bổ đề 2.3.2 (Xem [6], Chương 5, Bổ đề 3.1) Cho h(x) nghiệm toán tối ưu lồi (2.14) Khi h(x) − h(x ) ≤ x−x − (F (x) − F (x ) α Chứng minh Từ G xác định dương ϕ lồi C , toán (2.14) lối mạnh Do h(x) xác định nghiệm toán min{ y − x, G(y − x) + F (x), y − x + ϕ(y) − ϕ(x) + δC (y) | y ∈ H}, δC (y) thay cho hàm mục tiêu C Vi phân hàm dấu hiệu C hình nón pháp tuyến C , có ∈ G(h(x) − x) + F (x) + NC (h(x)) + ∂ϕ(h(x)) mà bao hàm tồn z1 ∈ NC (h(x)) z2 ∈ ∂ϕ(h(x)) Sao cho G(h(x) − x) + F (x) + z1 + z2 = 0, NC (h(x)) nón pháp tuyến C h(x) Từ G = αI , h(x) = x − 1 F (x) − z1 − z2 α α α (2.21) 39 Tương tự h (x) = x − 1 F (x ) − z1 − z2 α α α (2.22) Từ (2.21) ta viết lại h(x) − h(x ) = h(x) − h(x ), h(x) − h(x 1 (F (x) − F (x ) − (z1 − z1 ) − (z2 − z2 ), h(x) − h(x ) α α α Từ vi phân hàm lồi đơn điệu , có = x−x − z1 − z1 , h(x) − h(x ≥ ∀z1 ∈ NC (h(x)), z1 ∈ NC (h(x )), z2 − z2 , h(x) − h(x ≥ 0h(x) − h(x z2 ∈ ∂ϕC (h(x)), z2 ∈ ∂ϕC (h(x )) (2.23) Do từ (2.23) có h(x) − h(x ) ≤ x−x − ≤ x−x − (F (x) − F (x ), h(x) − h(x ) α (F (x) − F (x ) h(x) − h(x α Do h(x) − h(x ≤ x−x − (F (x) − F (x ) α Xét toán bất đẳng thức biến phân (2.13), F đơn điệu mạnh ϕ lồi mạnh C Trong trường hợp này, ánh xạ h nghiệm toán (2.14) co C phát biểu định lý sau: Định lý 2.3.1 (Xem [6], Chương 5, Định lý 3.1) i) Nếu F β - đơn điệu mạnh L-Lipschitz liên tục C , h co C với hệ số 2β L2 L2 + với α > δ := − α α 2β ii) Nếu ϕ ρ-lồi mạnh, h co C với hệ số δ := L2 + α2 α+ρ L2 − ρ2 với α > 2ρ 40 Chứng minh (i) Giả sử F β -đơn điệu mạnh L-Lipschitz liên tục C Từ (F (x) − F (x ) α x − x − x − x , (F (x) − F (x ) + (F (x) − F (x ) α α Bổ đề 2.3.2, kéo theo x−x − h(x)−h(x ) ≤ x−x − x−x , (F (x)−F (x ) + (F (x)−F (x ) α α Từ F β -đơn điệu mạnh L-Lipschitz liên tục C , ta có x − x , F (x) − F (x ) ≥ β x − x F (x) − F (x ) ≤ L2 x − x 2β − x−x α Do h(x) − h(x ) ≤ x−x 2β L2 = 1− + α α x−x 2 L2 + x−x α Do h(x) − h(x ) ≤ 1− 2β L2 + x−x α α L2 Rõ ràng, α > + Lα2 ∈ (0, 1) Do h co C δ := − 2β α 2β với hệ số δ (ii) Với ϕ ρ-lồi mạnh C Từ (2.21) (2.22) chứng minh Bổ đề 2.3.2 kéo theo h(x)−h(x ) 1 ≤ x−x , (F (x)−F (x )), h(x)−h(x ) − z2 −z2 , h(x)−h(x ), α α (2.24) z2 ∈ ∂ϕ(h(x)), z2 ∈ ∂ϕ(h(x )) 41 ρ-lồi mạnh ϕ, ta có z2 − z2 , h(x) − h(x ) ≥ ρ h(x) − h(x ) Từ (2.24), suy h(x)−h(x ) ⇐⇒ (1 + ρ ≤ x−x − (F (x)−F (x )), h(x)−h(x ) − h(x)−h(x ) α α ρ ) h(x) − h(x ) α ≤ x−x − ≤ x−x − (F (x) − F (x )), h(x) − h(x ) α (F (x) − F (x )) α h(x) − h(x ) ρ 2 ⇐⇒ (1 + ) h(x) − h(x ) ≤ x − x − (F (x) − F (x )) α α F (x) − F (x ) − x − x , F (x) − F (x ) (2.25) = x−x 2+ α α Từ F Lipschitz liên tục C với số L > đơn điệu C , có F (x) − F (x ) ≤ L x − x ∀x, x ∈ C, F (x) − F (x ), x − x ≥ ∀x, x ∈ C Kết hợp với (2.25) ρ (1 + )2 h(x) − h(x ) α ≤ x−x L2 = 1+ α Do x−x L2 + x−x α √ L2 + α2 h(x) − h(x ) ϕ x−x α+ρ √ L2 + α L2 − ρ2 Rõ ràng, < δ := < với số α > α+ρ 2ρ Trong phần tiếp the làm yếu tính đơn điệu mạnh F (2.13) đóng Bất đẳng thức biến phân (2.13) có nhiều nghiệm 42 Định lý 2.3.2 (Xem [6], Chương 5, Định lý 4.1) Giả sử F δ -đóng C với α ≥ Khi h ánh xạ không giãn C , 2δ h(x) − h(x ) ≤ x − x ∀x, x ∈ C Chứng minh Với x, x ta có x − x − (F (x) − F (x ) α 2 x − x , F (x) − F (x ) + F (x) − F (x ) α α Mặt khác, Từ F δ - tự C với hệ số δ δ ≥ , ta có 2δ = x−x − x − x , F (x) − F (x ) ≥ F (x) − F (x ) 2α Do x − x − (F (x) − F (x )) α ∀x, x ∈ C ≤ x−x x−x − (F (x) − F (x )) ≤ x − x α (2.26) Theo Bổ đề 2.3.2, kéo theo (2.26) h(x) − h(x ) ≤ x − x ∀x, x ∈ C Ví dụ 2.3.1 F (x) = Ax = 1 x1 , x2 ϕ(x) = (x21 + x22 ), +) F đơn điệu C Lipschitz với hệ số L Xét chuẩn F (x) − F (y) ≤ L x − y Ta có F (x) = Ax = 1 x1 x2 = x1 x1 + x2 C = R2+ 43 F (x) = Ax = x1 x1 + x2 ⇔ − 1 y1 y2 y1 y1 + y y1 y + y2 = x1 − y1 x + y2 ≤L (x1 − y1 )2 + x1 − y1 + x2 − y2 )2 ≤ L (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 ⇔ ⇔ (x1 − y1 )2 + (x1 − y1 + x2 − y2 )2 ≤ L (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 Đặt x1 − y1 = a, x2 − y2 = b a2 + (a + b)2 a2 + 2(a2 + b2 ≤ a2 + b2 a2 + b a2 ≤ =2+ a + b2 √ Dấu xảy a = b = Do L = +) ϕ lồi mạnh với hệ số ρ = h co C h(x) = argmin{ F (x), y − x + với α > α y−x 2 + ϕ(y) − ϕ(x)} 3−1 L2 − ρ2 = = Chọn α = 2ρ h(x) = min{ F (x), y − x + y − x + ϕ(y) − ϕ(x)} L2 + α Vậy δ = = α+ρ Do h ánh xạ Khi để giải toán bất đẳng thức biến phân quy việc tìm điểm bất động ánh xạ co theo nguyên lý ánh xạ co Banach Ở bước lặp k có xk ta tính xk+1 = h(xk ) Để tính h(xk ), theo định nghĩa ánh xạ h ta phải giải toán quy hoạch co mạnh h(xk ) = min{ F (xk ), y − xk + y − xk y∈C + ϕ(y) − ϕ(xk )} 44 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau - Các kết liên quan đến ánh xạ co, từ nguyên lý ánh xạ co Banach không gian metric đầy đủ mở rộng đến nguyên lý ánh xạ co định lý Meir Keeler Các định lý điểm bất động ánh xạ không giãn, ánh xạ giả co, ánh xạ giả co mạnh không gian Hilbert chủ yếu dựa vào tài liệu [2], [3], [7], [8], có kết hợp số tài liệu khác giả tích hàm - Giới thiệu phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co chủ yêu dựa vào tài liệu [7] - Giới thiệu nội dung toán bất đẳng thức biến phân Cụ thể giới thiệu kết tồn nghiệm, đặc biệt sâu vào việc trình bày kết nghiệm bất đẳng thức biến phân hỗn hợp đơn điệu mạnh, dựa nguyên lý ánh xạ co Banach chủ yếu dựa vào tài liệu [4], [5], [6] 45 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu, Nguyễn Hữu Điển, (2015), Nhập môn Giải tích lồi ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Phụ Hy, (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học Kĩ thuật Hà Nội [3] Nguyễn Năng Tâm, (2015), Bài giảng bất đẳng thức biến phân, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội [4] Đỗ Hồng Tân, Nguyễn Thị Thanh Hà, (2002), Các định lý điểm bất động, NXB Đại học sư phạm Hà Nội [B] Tài liệu Tiếng Anh [5] Ravi P Agarwal, Donal O’Regan, D.R Sahu, (2000), Fixed Point Theory for Lipschitzian-Type Mappings with Applications, Springer [6] Pham Ngoc Anh, Le Dung Muu, Van Hien Nguyen, Jean-Jacques Strodiot, (2003), "On the contraction and nonexpansiveness properties of the marginal mappings in generalized variational inequalities involving cocoercive operators" In Generalized Convexity, Generalized Monotonicity and Applications, Andrew Eberhard, Nicolas Hadjisavvas and Dinh The Luc (ed.), Springer [7] Michael Patriksson, (2013), Nonlinear Programming and Variational Inequality Problems, Springer Khoa học Business Media 46 [8] Ravi P Agarwal, Maria Meehan, Donal O’Regan, (2004), Fixed Point Theory and Applications, Cambridge University Press [...]... y trong đó t(k) = 1+k 2k 2 − 1−k T x − T y 2, 2k 27 Chương 2 Ứng dụng vào bất đẳng thức biến phân Bài toán bất đẳng thức biến phân ra đời vào những năm 1960 Hiện nay bài toán bất đẳng thức biến phân đã được phát triển thành nhiều dạng khác nhau, ví dụ: bất đẳng thức biến phân vecto, tựa bất đẳng thức, giải bất đẳng thức biến phân Bài toán này thu hút được nhiều sự quan tâm của nhiều nhà toán học Trong. .. Bài toán này thu hút được nhiều sự quan tâm của nhiều nhà toán học Trong chương này chúng tôi trình bày về bài toán bất đẳng thức biến phân, sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân và nguyên lý ánh xạ co Banach giải bài toán bất đẳng thức biến phân 2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân Định nghĩa 2.1.1 Một tập C ⊆ H được gọi là lồi nếu ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] =⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Định... (x), ∀x ∈ C Cho X là không gian Hilbert, ∆ ⊂ X là tập lồi, đóng, khác rỗng X ∗ là không gian đối ngẫu của X Hàm Φ : ∆ → X ∗ là ánh xạ đơn trị Định nghĩa 2.1.7 Bất đẳng thức biến phân cho bởi toán tử Φ và tập ∆ là bài toán tìm x∗ ∈ ∆ thỏa mãn Φ(x∗ ), y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ ∆ (2.4) và được kí hiệu là V I(Φ, ∆) Tập tất cả các điểm x∗ ∈ ∆ thỏa mãn (2.4) được gọi là tập nghiệm của V I(Φ, ∆) và kí hiệu là SOL(V... = x, z + z, y , Không gian tuyến tính H với tích vô hướng ·, · được gọi là không gian tiền Hilbert Định nghĩa 1.1.7 Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi là không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.8 Ta gọi một tập H = ∅ là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện: 1) H là không gian tuyến tính trên trường P ; 2) H được trang bị một tích vô hướng , ; x, x , x ∈ H 3) H là không gian Banach với chuẩn... quát hơn nếu D là toán tử bất kỳ trên một tập con của một không gian tuyến tính, việc chỉ ra phương trình Du = 0 (tương ứng u → λDu = 0) có nghiệm tương đương với việc chỉ ra ánh xạ u → u − Du (tương ứng với u → λDu) 7 có một điểm bất động Như vậy những điều kiện lên một toán tử hay miền xác định ở định nghĩa để đảm bảo tồn tại một điểm bất động diễn giải như các định lý về tồn tại trong giải tích Định... liên tục từ một tập con của X vào X Một điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động đối với f nếu x = f (x) Tập tất cả các điểm bất động của f được kí hiệu là F ix(f ) Người ta có thể thấy trong ví dụ dưới đây dạng điển hình của các định lý về tồn tại trong giải tích Ví dụ 1.1 Tìm nghiệm của phương trình P (z) = 0 trong đó P là một đa thức, tương đương với việc tìm một điểm bất động của ánh xạ z → z − P (z)... metric (X, d) vào không gian metric (z, p) được gọi là không giãn nếu với mọi x, y ∈ X ta có ρ(T x, T y) ≤ d(x, y) 16 Định lý 1.3.1 Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert H Ánh xạ T : C → C không giãn Các mệnh đề sau tương đương 1) Tập F (T ) các điểm bất động của ánh xạ T không rỗng 2) Với mọi x ∈ C dãy {T n x} bị chặn Hơn nữa trong trường hợp này F (T ) là lồi đóng Chứng minh... không gian metric (X, d) vào không gian metric (Y, p) được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số k ∈ [0, 1) sao cho: ρ(T x, T y) ≤ kd(x, y) với mọi x, y ∈ X ( k là hệ số co) Định lý điểm bất động được sử dụng rộng rãi nhất đó là định lý ánh xạ co Banach (1922) Định lý chỉ ra sự tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ Định lý ánh xạ co Banach ( xem [4], Chương 1) Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ và. .. 2 Định lý đã được chứng minh Định lý 1.3.3 (Xem [8], Chương 2, Định lý 2.4) Cho H là không gian Hilbert, C ⊆ H là tập bị chặn và F : C → C là ánh xạ không giãn Giả sử x ∈ C, y ∈ x+y C và a = ∈C 2 18 Kí hiệu δ(C) là đường kính của C và ε ≤ δ(C) sao cho x − F (x) < ε và y − F (y) ≤ ε Khi đó √ a − F (a) ≤ 2 ε 2δ (c) Chứng minh Ta có x−y ≤ x− a + F (a) a + F (a) + y− 2 2 không mất tính tổng quát ta giả... 1.3.1 Cho C là tập con, lồi đóng, bị chặn trong không gian Hilbert H , ánh xạ T : C → C không giãn Khi đó, T có một điểm bất động trong C Định lý 1.3.2 (Xem [8], Chương 2, Định lý 2.3) Cho H là không gian Hilbert, với u, v ∈ H cho r, B là các hằng số với 0 ≤ r ≤ R Nếu tồn tại x ∈ H với u+v u − x ≤ R, v − x ≤ R và − x ≥ r thì 2 u − v ≤ 2 R2 − r 2 Chứng minh Theo đẳng thức hình bình hành ta có u−v 2 + v −