Một số không gian hàm phụ thuộc thời gian

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ****** LÊ THỊ HUỆ MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM PHỤ THUỘC THỜI GIAN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Hà Nội - 2014 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ****** LÊ THỊ HUỆ MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM PHỤ THUỘC THỜI GIAN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học Ths PHÙNG ĐỨC THẮNG Hà Nội - 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn ThS Phùng Đức Thắng, người giao đề tài tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành khóa luận Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo khoa Tốn trường Đại học sư phạm Hà Nội giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập hồn thành khóa luận Hà Nội, tháng năm 2014 Sinh viên Lê Thị Huệ Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn ThS Phùng Đức Thắng, khóa luận tốt nghiệp đại học chun ngành Tốn giải tích với đề tài “Một số khơng gian hàm phụ thuộc thời gian” hoàn thành nhận thức thân tơi Trong q trình nghiên cứu thực khóa luận, tơi kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2014 Sinh viên Lê Thị Huệ Mục lục Mở đầu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Banach 1.2 Không gian C[a, b] 1.3 Không gian Lp [a, b] 1.4 KHÔNG GIAN Wpm (Ω) 15 Chương MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM PHỤ THUỘC THỜI GIAN 21 2.1 Không gian C([0, T ]; X) 21 2.2 Không gian Lp (0, T ; X) 23 2.2.1 Xây dựng tích phân 23 2.2.2 Không gian Lp (0, T ; X) 26 2.3 Không gian Sobolev phụ thuộc thời gian Wp1 (0, T ; X) 40 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 Mở đầu Lí chọn đề tài Như biết, nhiều vấn đề lĩnh vực vật lý, hóa học, sinh học dẫn đến việc khảo sát hay nhiều phương trình đạo hàm riêng việc định lượng hóa đặc trưng đối tượng nghiên cứu đại lượng toán học Từ dẫn đến hệ thức phi tuyến tham biến nên ta cần phải xét phương trình vi phân phi tuyến Tuy nhiên, xuất khó khăn tốn học thực Bởi vậy, xây dựng mơ hình tốn học buộc phải bớt tính xác bỏ qua phần thêm phi tuyến bé chuyển sang tuyến tính hóa lân cận nghiệm cho cách đưa tốn tốn tuyến tính Vẫn chưa đủ, để giải tốn ta lại có thay đổi định giả thiết toán tương ứng nghiệm có thay đổi định Khi đó, việc tìm nghiệm cổ điển tốn phức tạp, thế, người ta xây dựng nghiệm suy rộng nó, sau thiết lập độ trơn chúng chứng minh nghiệm cổ điển tốn Nói để thấy rằng, khơng gian nghiệm tốn giải có nhiều thay đổi so với khơng gian nghiệm tốn thực tế ban đầu Vì vậy, việc chọn khơng gian hàm cho nghiệm tốn có vai trò quan trọng để đảm bảo tính đặt tốn Trong không gian hàm thường chọn phải kể đến không gian hàm phụ thuộc thời gian Trong q trình học tập thầy giới thiệu, đặc biệt hướng dẫn gợi ý thầy Phùng Đức Thắng, chọn đề tài: “Một số khơng gian hàm phụ thuộc thời gian” làm khóa luận tốt nghiệp đại học Đối tượng phạm vi nghiên cứu 2.1 Đối tượng nghiên cứu Không gian hàm phụ thuộc thời gian 2.2 Phạm vi nghiên cứu Những định nghĩa, tính chất, định lý vấn đề liên quan số không gian hàm phụ thuộc thời gian: không gian C([0, T ]; X), không gian Lp (0, T ; X) không gian Sobolev phụ thuộc thời gian Wp1 (0, T ; X) Mục đích, nhiệm vụ - Làm rõ khái niệm, tính chất, định lý, khơng gian hàm phụ thuộc thời gian - Nêu chứng minh vấn đề liên quan đến không gian hàm phụ thuộc thời gian Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm tài liệu, phân tích, tổng hợp, diễn giải, làm rõ trình bày cách có hệ thống để giải vấn đề đặt khóa luận Đóng góp khóa luận - Làm rõ ràng, chi tiết hệ thống tri thức mới, chuyên sâu mơn phương trình đạo hàm riêng đại Đó khái niệm kiến thức như: định nghĩa đạo hàm yếu, số không gian hàm phụ thuộc thời gian - Khóa luận cung cấp thêm tính chất vấn đề liên quan số không gian hàm phụ thuộc thời gian Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phục lục, khóa luận gồm 02 chương: Chương dành để đưa số kiến thức không gian Banach, không gian C[a, b], không gian Lp [a, b], không gian Wpm (Ω) Chương tổng hợp cách có hệ thống số không gian hàm phụ thuộc thời gian: không gian C([0, T ]; X), không gian Lp (0, T ; X), không gian Sobolev phụ thuộc thời gian Wp1 (0, T ; X) Tác động f ∈ Lp (0, T ; X ) lên u ∈ Lp (0, T ; X) đưa T f, u = f (t), u(t) dt Trong dấu ·, · biểu thị cặp đối ngẫu Lp (0, T ; X)−Lp (0, T ; X ) dấu ·, · biểu thị cặp đối ngẫu X − X Định nghĩa tính liên tục tính khả vi theo điểm hàm nhận giá trị vectơ giống trường hợp nhận giá trị vô hướng Định nghĩa 2.10 Một hàm f : (0, T ) → X gọi liên tục điểm t ∈ (0, T ) f (s) → f (t) X s → t f gọi liên tục (0, T ) liên tục điểm thuộc (0, T ) Định nghĩa 2.11 Một hàm f : (0, T ) → X gọi khả vi t ∈ (0, T ), với đạo hàm theo điểm ft (t), ft (t) = lim h→0 f (t + h) − f (t) h giới hạn tồn X Hàm f gọi khả vi liên tục (0, T ) đạo hàm theo điểm tồn với t ∈ (0, T ) ft : (0, T ) → X hàm liên tục Giả thiết tính khả vi liên tục thường mạnh để sử dụng nên cần khái niệm yếu tính khả vi hàm nhận giá trị vectơ Với hàm nhận giá trị thực, chẳng hạn hàm bậc thang hàm Cantor, điều kiện đạo hàm theo điểm tồn h.k.n (0, T ) không dẫn đến lý thuyết hữu hiệu Thay vào sử dụng khái niệm đạo hàm suy rộng đạo hàm yếu 33 Cho L1loc (0, T ; X) không gian hàm đo f : (0, T ) → X (0, T ) C ∞ (0, T ) khả tích khoảng giá compac (a, b) không gian hàm trơn, nhận giá trị thực φ : (0, T ) → R với giá compac sptφ (0, T ) Định nghĩa 2.12 Một hàm f ∈ L1loc (0, T ; X) gọi khả vi yếu với đạo hàm yếu ft = g ∈ L1loc (0, T ; X) T T φ f dt = − ∞ φgdt (2.6) với hàm thử φ ∈ C (0, T ) Các tích phân (2.6) hiểu tích phân Bochner Nếu J : X → Y phép nhúng liên tục từ không gian Banach X vào không gian Banach Y , f ∈ L1loc (0, T ; X) (Jf )t ∈ L1loc (0, T ; X) ta có: T J T φ Jf dt = − φ f dt = T φ(Jf )t dt Do đó, đồng f với Jf sử dụng (2.6) để định nghĩa đạo hàm nhận giá trị Y hàm nhận giá trị X Nếu f : (0, T ) → R hàm khả tích nhận giá trị vơ hướng theo định lý khả tích Lebesgue, ta có hệ giới hạn h→0 h t+h lim f (s)ds t tồn f (t) với t h.k.n theo điểm (0, T ) Kết cho tích phân nhận giá trị vectơ Định lý 2.7 Giả sử X không gian Banach f ∈ L1 (0, T ; X), h→0 h t+h f (t) = lim 34 f (s)ds t với t h.k.n theo điểm (0, T ) Chứng minh Vì f nhận giá trị tách được, giả thiết X tách Cho {cn ∈ X : n ∈ N} tập trù mật X, áp dụng định lý khả tích Lebesgue cho hàm nhận giá trị thực ta có: f (t) − cn = lim h→0 h t+h f (s) − cn ds t với n ∈ N t h.k.n theo điểm (0,T) Do với t ∈ (0, T ) với n ∈ N ta có t+h lim sup h→0 h f (s) − f (t) ds ≤ t ≤ lim sup h→0 h t+h ( f (s) − cn + f (t) − cn ) ds t ≤ f (t) − cn Vì điều với cn nên lim sup h→0 h t+h f (s) − f (t) ds = t Do lim sup h h→0 t+h t f (s)ds − f (t) ≤ lim sup h→0 h t+h f (s) − f (t) ds = t từ ta có điều phải chứng minh Hệ 2.1 Giả sử f : (0, T ) → X khả tích địa phương T φf dt = với φ ∈ C ∞ (0, T ) Khi f = h.k.n theo điểm (0, T ) 35 Chứng minh Chọn dãy hàm thử ≤ φn ≤ mà giá bao hàm tập compac cố định (0, T ) cho φn −→ χ(t,t+h) theo điểm, χ(t,t+h) hàm đặc trưng khoảng (t, t + h) ⊂ (0, T ) Nếu f ∈ L1loc (0, T ; X) theo định lý tính hội tụ trội ta có t+h T f (s)ds = lim n→∞ t φn (s)f (s)ds Do đó, T φf ds = với φ ∈ C ∞ (0, T ) t+h f (s)ds = với (t, t + h) ⊂ (0, T ) t Theo định lý khả tích Lebesgue định lý 2.7 f = h.k.n theo điểm (0, T ) Mệnh đề 2.3 Giả sử f : (0, T ) → X khả vi yếu f = f hàm Chứng minh Điều kiện đạo hàm yếu f = có nghĩa T f φ dt = với φ ∈ Cc∞ (0, T ) (2.7) Chọn hàm thử η ∈ Cc∞ (0, T ), mà tích phân biểu diễn tùy ý hàm thử φ ∈ Cc∞ (0, T ): φ = Aη + ψ A ∈ R ψ ∈ Cc∞ (0, T ) cho T A= t φdt, [φ(s) − Aη(s)] ds ψ(t) = 0 36 Nếu T ηf dt ∈ X c= từ (2.7) ta có T (f − c)φdt = với φ ∈ Cc∞ (0, T ) Theo hệ 2.1 f = c h.k.n theo điểm (0, T ) Từ ta thấy hàm khả vi yếu nguyên hàm hàm khả tích Định lý 2.8 Giả sử X không gian Banach f ∈ L1 (0, T ; X) u khả vi yếu với đạo hàm khả tích ft = g ∈ L1 (0, T ; X) t f (t) = c0 + g(s)ds (2.8) h.k.n theo điểm (0, T ) Trong trường hợp đó, u khả vi h.k.n theo điểm đạo hàm theo điểm trùng với đạo hàm yếu Chứng minh Nếu f cho (2.8) f (t + h) − f (t) = h h t+h g(s)ds t Theo định lý khả tích Lebesgue định lý 2.7 ta có đạo hàm f tồn h.k.n theo điểm g Ta có: f (t + h) − f (t) ≤ h h 37 t+h g(s) ds t Mở rộng f (t) = với t ∈ (−∞; 0) (T ; +∞) để hàm f : R → X sử dụng định lý Fubini, ta có t+h f (t + h) − f (t) dt ≤ h h ≤ h ≤ h R g(s) ds dt R t h g(s + t) ds dt R h g(s + t) dt ds ≤ R g(t) dt R Nếu φ ∈ Cc∞ (0, T ), sử dụng định lý tính hội tụ trội kết ft hội tụ h.k.n theo điểm, ta có T T φ(t + h) − φ(t) f (t)dt h→0 h T f (t) − f (t − h) dt = −lim φ(t) h→0 h φ (t)f (t)dt = lim T =− φ(t)g(t)dt g đạo hàm yếu f Ngược lại, ft = g ∈ L1 (0, T ), cho t f (t) = g(s)ds Theo lập luận ft = g, nên đạo hàm yếu (f − f )t = Theo mệnh đề 2.3 f − f hàm h.k.n theo điểm Do t f (t) = c0 + g(s)ds Tính chất đặc trưng đạo hàm yếu hàm nhận giá trị vectơ tương tự tính chất đạo hàm yếu hàm nhận giá trị thực bao gồm tính đối ngẫu 38 Mệnh đề 2.4 Cho X không gian Banach với không gian đối ngẫu X Nếu f, g ∈ L1 (0, T ; X) f khả vi yếu với ft = g với w ∈ X d w, f = w, g dt đạo hàm yếu nhận giá trị thực (0, T ) Chứng minh Nếu ft = g T T φgdt với φ ∈ Cc∞ (0, T ) φ f dt = − 0 Tác động lên phương trình w ∈ X sử dụng tính liên tục tích phân, ta có T T φ w, g dt với φ ∈ Cc∞ (0, T ) φ w, f dt = − 0 Tức d w, f = w, g dt Ngược lại, có d w, f = w, g dt T (φ f + φg) dt = với w ∈ X w, Suy T (φ f + φg) dt = 0 Do f khả vi yếu với ft = g 39 Hệ 2.2 Giả sử X → Y phép nhúng liên tục từ không gian Banach X vào không gian Banach Y , X không gian trù mật Y F : X × (0, T ) → Y Khi hàm u ∈ L1 (0, T ; X) nghiệm yếu phương trình ut = F (u, t) có đạo hàm yếu ut ∈ L1 (0, T ; Y ) ut = F (u, t) với t hk.n theo điểm (0, T ) Tính chất tương đương với t u(t) = u0 + F (u(s), s)ds với t h.k.n theo điểm (0, T ) Hoặc d w, u(t) = w, F (u(t), t) với w ∈ Y dt Hơn nữa, xấp xỉ hàm trơn tùy ý w : (0, T ) → Y tổ hợp tuyến tính hàm có dạng w(t) = φ(t)w, ta có mệnh đề tương đương T − T wt (t), u(t) dt = w(t), F (u(t), t) dt với w ∈ Cc∞ (0, T ; Y ) 2.3 Không gian Sobolev phụ thuộc thời gian Wp1(0, T ; X) Chúng ta định nghĩa không gian Sobolev hàm nhận giá trị vectơ giống với hàm nhận giá trị vơ hướng chúng có tính chất tương tự 40 Định nghĩa 2.13 Cho X không gian Banach thực với chuẩn · ≤ p ≤ ∞ Không gian Sobolev Wp1 (0, T ; X) bao gồm tất hàm u ∈ Lp (0, T ; X) cho đạo hàm yếu u tồn thuộc Lp (0, T ; X) Hơn T u u Wp1 (0,T ;X) Wp1 (0,T ;X) = p X u(t) = ess sup ( u(t) 0≤t≤T + u (t) + u (t) X p p X ≤ p < ∞ dt p = ∞ X) Định lý 2.9 Không gian Wp1 (0, T ; X) với ≤ p < ∞ không gian Banach Chứng minh Trước hết ta kiểm tra u chuẩn Wp1 (0,T ;X) Rõ ràng i) u Wp1 (0,T ;X) ≥ với u ∈ Wp1 (0, T ; X) T u Wp1 (0,T ;X) =0⇔ u(t) T ⇔ p X u(t) ⇔ u(t) ⇔ p X    u(t) + u (t) + u (t) + u (t) p X   u (t) p X p X =0 =0 ⇔ u = h.k.n 41 p X p X p X p dt =0 dt = =0 ⇔    u(t)   u (t) X X =0 =0 ii) Với u ∈ Wp1 (0, T ; X), α ∈ R ta có: T αu Wp1 (0,T ;X) = αu(t) T = p X T = |α| u(t) = |α| u + αu (t) |α|p u(t) p X p X p X p dt + |α|p u (t) + u (t) p X p p X dt p dt Wp1 (0,T ;X) iii) Với u, v ∈ Wp1 (0, T ; X) ta có: T u+v u(t) + v(t) = Wp1 (0,T ;X) T = u(t) + v(t) p X p X p p X + u (t) + v (t) dt T dt + u (t) + v (t) p X p dt Theo định nghĩa chuẩn f ∈ Lp (0, T ; X) p T f Lp (0,T ;X) = f (t) p X ⇒ f (t) dt p Lp (0,T ;X) T = f (t) p X dt nên ta có u+v p Wp1 (0,T ;X) p Lp (0,T ;X) = u(t) + v(t) ≤ u(t) p Lp (0,T ;X) T = u(t) T = u(t) = u = p X + v(t) p Lp (0,T ;X) T dt + v(t) p X p Wp1 (0,T ;X) + u (t) + v (t) + u (t) + v p X p X p Lp (0,T ;X) + u (t) p Lp (0,T ;X) T dt + u (t) T dt + v(t) p Wp1 (0,T ;X) 42 p X p X + v (t) p Lp (0,T ;X) T dt + + v (t) v (t) p X dt p X dt Suy u+v ≤ Wp1 (0,T ;X) u ≤ u p Wp1 (0,T ;X) Wp1 (0,T ;X) + v + v p p Wp1 (0,T ;X) Wp1 (0,T ;X) Ta chứng minh Wp1 (0, T ; X) không gian Banach 1 Giả sử {uk }∞ k=1 dãy Wp (0, T ; X) Vì Wp (0, T ; X) khơng gian Lp (0, T ; X) nên {uk }∞ k=1 dãy Lp (0, T ; X), mà Lp (0, T ; X) khơng gian Banach Do {uk }∞ k=1 hội tụ u ∈ Lp (0, T ; X) Tức với để uk − uk0 Lp (0,T ;X) > bé tùy ý, tồn k0 < với k ≥ k0 Tương đương p T p X uk (t) − uk0 (t) dt −→ k −→ ∞ Hay T uk (t) − uk0 (t) p X dt −→ k −→ ∞ Mặt khác, {uk }∞ k=1 dãy Wp (0, T ; X) nên ta có uk − uk+1 Wp1 (0,T ;X) −→ k −→ ∞ T uk (t) − uk+1 (t) hay T ⇔ uk (t) − uk+1 (t) T ⇔ uk (t) − uk+1 (t) T uk (t) − uk+1 (t) mà T uk (t) − uk+1 (t) nên p X p X p X + uk (t) − uk+1 (t) + uk (t) − uk+1 (t) p X p X uk (t) − uk+1 (t) p X p X dt −→ k −→ ∞ dt −→ k −→ ∞ 43 dt −→ k −→ ∞ dt −→ k → ∞ T dt + p p X dt −→ k −→ ∞ T ⇔ uk (t) − uk+1 (t) ⇔ uk − uk+1 Lp (0,T ;X) p X p −→ k −→ ∞ dt −→ k −→ ∞ p p Do {uk }∞ k=1 dãy L (0, T ; X) Do L (0, T ; X) không gian Banach nên uk −→ u1 Lp (0, T ; X) Bây khẳng định u ∈ Wp1 (0, T ; X) u = u1 Thật với φ ∈ Cc∞ (0, T ) ta có: T − T T u φdt = uφ dt = lim uk φ dt k→∞ 0 T = lim k→∞ − T uk φdt =− u1 φdt Suy ra: u = u1 Như uk −→ u Lp (0, T ; X) Do uk −→ u Wp1 (0, T ; X) Định lý chứng minh Định lý 2.10 Nếu p = X khơng gian Hilbert W21 (0, T ; X) = H (0, T ; X) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng T (u, v)H (0,T ;X) = (u(t), v(t))X dt Định lý 2.11 Nếu ≤ p ≤ ∞ u ∈ Wp1 (0, T ; X) u ∈ C([0, T ; X) Hơn nữa, tồn số C = C(p, T ) cho u L∞ (0,T ;X) ≤C u Wp1 (0,T ;X) Chứng minh Theo định lý 2.8 ta có t u(t) − u(s) ≤ ut (r) dr s 44 Vì ut ∈ L1 (0, T ), tích phân liên tục tuyệt đối, nên u liên tục (0, T ) mở rộng tới hàm liên tục [0, T ] Nếu h : (0, T ) → R xác định h = u t |h(t) − h(s)| ≤ u(t) − u(s) ≤ ut (r) dr s Do h liên tục tuyệt đối |ht | ≤ ut h.k.n theo điểm (0, T ) Áp dụng định lý nhúng Sobolev cho hàm nhận giá trị thực ta có u L∞ (0,T ;X) = h L∞ (0,T ) ≤C h 45 Wp1 (0,T ) ≤C u Wp1 (0,T ;X) Kết luận Khóa luận giải vấn đề sau đây: Trình bày hệ thống số kiến thức số không gian Banach: không gian C[a, b], không gian Lp [a, b], không gian Wpm (Ω) Cung cấp thêm kiến thức như: định nghĩa đạo hàm yếu, khái niệm, tính chất vấn đề liên quan số không gian hàm phụ thuộc thời gian: không gian C([0, T ]; X), không gian Lp (0, T ; X), không gian Sobolev phụ thuộc thời gian Wp1 (0, T ; X) Tuy nhiên nhiều hạn chế chủ quan khó khăn khách quan nên khóa luận khơng tránh khỏi khiếm khuyết nội dung hình thức Rất mong nhận góp ý, bảo thầy bạn để khóa luận hồn thiện 46 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Mạnh Hùng, Phương trình đạo hàm riêng (phần II), nhà xuất đại học sư phạm Hà Nội, 2005 [2] Nguyễn Phụ Hy, Giải tích hàm, nhà xuất khoa học kỹ thuật, 2005 [3] Hồng Tụy, Hàm thực giải tích hàm, nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội, 2005 [4] R.A.Adams, Sobolev Spaces, Academic Press, 1975 47 ... tính chất, định lý vấn đề liên quan số không gian hàm phụ thuộc thời gian: không gian C([0, T ]; X), không gian Lp (0, T ; X) không gian Sobolev phụ thuộc thời gian Wp1 (0, T ; X) Mục đích, nhiệm... hàm riêng đại Đó khái niệm kiến thức như: định nghĩa đạo hàm yếu, số không gian hàm phụ thuộc thời gian - Khóa luận cung cấp thêm tính chất vấn đề liên quan số không gian hàm phụ thuộc thời gian. .. số không gian hàm phụ thuộc thời gian: không gian C([0, T ]; X), không gian Lp (0, T ; X), không gian Sobolev phụ thuộc thời gian Wp1 (0, T ; X) Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Banach