Một số định lý cơ bản của số học

Một số định lý số học Trường đại học sư phạm hà nội Khoa Toán =====o0o===== NGÔ THỊ MINH DIỆU Một số định lý số học Khoá Luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Đại số Hà Nội – 2008 Ngô Thị Minh Diệu K30G – Sư phạm Toán Trường đại học sư phạm hà nội Khoa Tốn =====o0o===== NGƠ THỊ MINH DIỆU Một số định lý số học Khoá Luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học Th.s Nguyễn Huy Hưng Hà Nội - 2008 Lời cảm ơn Bản khoá luận tốt nghiệp bước để em làm quen với việc nghiên cứu khoa học Trước bỡ ngỡ gặp nhiều khó khăn làm quen với công tác nghiên cứu khoa học em nhận giúp đỡ, động viên thầy cô giáo bạn sinh viên khoa Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy cô tổ Đại số, thầy cô khoa Tốn, thầy trường ĐHSP Hà Nội bạn sinh viên Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới Thạc sĩ Nguyễn Huy Hưng người giúp đỡ, hướng dẫn tận tình để em hồn thành khố luận Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Tốn tạo điều kiện cho em có hội để tập dượt với việc nghiên cứu khoa học Hà Nội, tháng năm 2008 Sinh viên Ngô Thị Minh Diệu Một số định lý số học Lời cam đoan Khố luận em hồn thành hướng dẫn Thạc sỹ Nguyễn Huy Hưng với cố gắng thân Trong q trình nghiên cứu thực khố luận em có tham khảo tài liệu số tác giả có nêu mục tài liệu tham khảo Em xin cam đoan kết khoá luận kết nghiên cứu thân, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2008 Sinh viên Ngô Thị Minh Diệu Mục lục Trang Lời cảm ơn………………………………………………………… Lời cam đoan……………………………………………………… Mục lục…………………………………………………………… Lời mở đầu………………………………………………………… Chương Một số định lý số nguyên tố 1.1 Định nghĩa số nguyên tố…………………………………… 1.2 Một số định lý số nguyên tố…………………… 1.3 Một số ứng dụng…………………………………………… 10 1.4 Một số toán số nguyên tố…………………………… 11 Chương Một số định lý đồng dư 2.1 Quan hệ đồng dư………………………………………… 21 2.2 Định lý Euler Định lý Wilson…… ……………………… 25 2.3 Phương trình đồng dư……………………………………… 27 2.4 Định lý Thặng dư Trung Hoa……………………………… 31 2.5 Thặng dư toàn phương Luật thuận nghịch bình phương… 34 2.6 Một số tập áp dụng…………………………………… 40 Kết luận………………………………………………………… 49 Tài liệu tham khảo……………………………………………… 50 Lời mở đầu Toỏn học mụn khoa học bản, chỡa khoỏ mở nhiều mụn khoa học khỏc Từ thời xa xưa, yờu cầu thực tế đời sống, sản xuất, sinh hoạt, đầu kỷ thứ VII, người Ấn Độ biết dựng cỏc ký hiệu đặc biệt để viết cỏc chữ số 0, 1, 2…, ( Ngày gọi cỏc chữ số Ả Rập ) Từ kỷ II trước cụng nguyờn, người La Mó dựng hỡnh ảnh ngún tay, bàn tay để ký hiệu cỏc chữ số 1, 5… Rồi đến đời bàn tớnh đầu tiờn, đến mỏy tớnh với nhiều chức tinh vi, đại Cỏc kiến thức số học mà điểm xuất phỏt đầu tiờn số tự nhiờn chỡa khoỏ để mở cửa vào giới cỏc số Những kiến thức múng quan trọng Toỏn học núi chung số học núi riờng mang đến cho chỳng ta nhiều điều mẻ thỳ vị Ngay từ cấp học Tiểu học, học sinh làm quen cú kỹ thành thạo giải cỏc toỏn liờn quan đến cỏc phộp tớnh cộng, trừ, nhõn, chia số tự nhiờn Khi học sinh học lờn cấp học THCS, THPT bờn cạnh việc ụn tập, hệ thống hoỏ cỏc nội dung số tự nhiờn học, cỏc em cũn tỡm hiểu thờm nhiều nội dung mới: phộp nõng lờn luỹ thừa, số nguyờn tố hợp số, ước chung bội chung, quan hệ đồng dư… Trong chương trỡnh toỏn phổ thụng, lý thuyết số xem nội dung khú với toỏn phức tạp với nhiều cỏch giải thỳ vị Trong cỏc kỳ thi học sinh khiếu, học sinh giỏi cỏc cấp, nội dung số học: Số nguyờn tố, quan hệ đồng dư… chiếm tỷ lệ khỏ cao cỏc đề thi Vỡ vậy, để giỳp cỏc em học sinh cú cỏch nhỡn tổng quỏt, toàn diện hệ thống số, đặc biệt cỏc kiến thức, cỏc định lý để từ cú thể giải toỏn số nguyờn tố, toỏn quan hệ đồng dư… nờn em chọn nội dung: “ Một số định lý số học” làm luận văn nghiờn cứu Khoá luận em gồm hai chương : Chương : Một số định lý số nguyên tố Chương : Một số định lý đồng dư Mặc dù có nhiều cố gắng song khơng tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn sinh viên cho khoá luận em Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2008 Sinh viên: Ngô Thị Minh Diệu Chương Một số định lý số nguyên tố 1.1 Định nghĩa số nguyên tố : * Định nghĩa: - Một số tự nhiên lớn khơng có ước tự nhiên khác ngồi gọi số ngun tố Ký hiệu P tập hợp số nguyên tố Khi : P = { p ∈   p nguyên tố } - Số tự nhiên lớn mà không số nguyên tố gọi hợp số - Ước số tự nhiên khác khác gọi ước thực Khi định nghĩa số nguyên tố phát biểu lại sau: Số tự nhiên lớn gọi số ngun tố khơng có ước thực * Nhận xét : - Số số số nguyên tố mà hợp số ( số có ước số, số có vơ số ước số ) - Mỗi số tự nhiên n có ba khả : n = 1; ∈ * n số nguyên tố, n hợp số 1.2 Một số định lý số nguyên tố: Bổ đề 1.2.1 : Mọi số nguyên lớn chia hết cho số nguyên tố Chứng minh: Ta chứng minh quy nạp + Với n = 2, số nguyên tố nên bổ đề Ngơ Thị Minh Diệu 78 K30G – Sư phạm Tốn Giả sử p số nguyên tố lẻ m = p − Chứng minh m hợp m-1 số lẻ không chia hết cho ≡ ( mod m ) Chứng minh: p p p + Ta có m −1 −1 với a = = 3 = a.b 8= p p −1 b = + a, b số nguyên lớn nên m hợp số Mà m = p − p −1 =9 + ≡1(mod3) p −2 + + + p lẻ nên m lẻ m Theo định lý Fermat ta có − 9 p p p , (8,p) = nên − 98 p , suy 9p − m–1= p Vì m – 2 nên m – 2 p , − 3m −132 p −1 Bài : * Cho n ∈ N Tìm ( n! + 1, ( n + )! ) −1 p = m ( ĐPCM ) Giải: Đặt f(n) = ( n! + 1, ( n + )! ) Dễ thấy f(3) = ( 7, 24 ) = Nếu n + > số nguyên tố n!  n + nên f(n) = ( n! + 1, ( n + 1)!) = ( n! + 1, ( n + 1).( n! + 1) - ( n+1 )) = ( n! + 1, n + 1) = Nếu n + số nguyên tố theo định lý Wilson có n! + 1 n + Do f(n) = n +1 Vậy ( n! + 1, ( n + )! ) = n + số nguyên tố ( n! + 1, ( n + )! ) = n + n + số nguyên tố Bài : Cho p số ngun tố Khi phương trình x ≡ -1 ( mod p ) có nghiệm p = p ≡ ( mod ) Giải: Nếu p = 2, phương trình có nghiệm x = số chẵn Đặt : x = 3… p p −1 Nếu p ≡ ( mod ) −1 Ta có : 2 ) ( mod p) p ≡ - (p - 1), ≡ - (p - 2), ≡ - (p - 3),…, p −1 ≡ - ( +1 p − nên x ≡ (−1) (p – 1)(p – 2)(p – 3)… ( +1 p ) 2 ( mod p ) p số chẵn theo định lý Wilson ta có : Từ đó, −1 2 x ≡ (1 3… p −1 ) ((p - 1)(p - 2)(p - 3)… ( ) p+ ) ≡ (1 3… ≡ (p – 1)! p −1 ( p+ p+ ( p −1)) 2 2) ≡ -1 ( mod p ) Ngược lại, giả sử p số nguyên tố lẻ tồn số nguyên x cho x ≡ -1 ( mod p ), theo định lý nhỏ Fermat: xp -1 ≡ Do (−1) p − (x ) ≡ ( mod p ) suy p − 2 ≡ (−1) p − ≡ ( mod p ) p số chẵn, tức p ≡ ( mod ) −1 Bài : Chứng minh p số nguyên tố k C p p với k = 1, 2,…, p - Giải: Đặt f(x) = p − C p x = (x +1) − (x + 1) ∑ k k p k =1 Theo định lý nhỏ Fermat ta có : p p (x + 1) ≡ x + ≡ x + (mod p) với số nguyên x nên phương trình f(x) ≡ (mod p) có p nghiệm Do deg f = p - nên f khơng có bậc modulo p, tức hệ số f chia hết cho p Từ ta có điều phải chứng minh Bài 9: Cho m số nguyên dương Tìm số nghiệm phương trình x ≡ x ( mod m ) Giải: Giả sử m = α α α p p p k Ta có x ≡ x ( mod m ) k α α x ≡ x ( mod p i ) với i = 1, 2, …, k hay x( x - ) ≡ ( mod p i ) với i i α i = 1, 2, …, k Vì (x, x - 1) = nên phương trình x( x - ) ≡ ( mod pi i ) có hai nghiệm modulo α α i i pα x ≡ ( mod p ) x ≡ ( mod p ) i i i i Theo định lý Thặng dư Trung Hoa, với r1, r2,…, rk, hệ phương trình x ≡ r mod p i αi i  i = 1, 2, , k ln có nghiệm modulo m Do phương trình : α i x( x - ) ≡ (mod p ) có hai nghiệm i modulo pαi nên phương trình i k cho có nghiệm Bài 10 : Tính : 17 111  b   1151  a  71 3  c 137  Giải: a Vì 17 ≡ ( mod ) nên : 17 71 3 =   =    3−1  17 2=   =  ≡ ≡ −1(mod 3)    71 17 17 3 b Ta có :  3  = − 111  =1151 −  41  =111 −  29 = −   = −  =       1151  111 41  41 111 41 12  3  = −  = 29= −29   29       c.Ta có : 3  137   =   (do137 ≡ 1(mod 4)) 137 3  2  =   (do137 ≡ 2(mod 3)) 3  = −1 Bài 11: Chứng minh rằng:  −2   p ≡ 1(mod8) a,   = ⇔  p   p ≡ 3(mod8) 5   p ≡ 1(mod 5) b,   = ⇔   p  p ≡ 4(mod 5) Giải: a, Ta có :  1.1, p ≡ 1(mod8) −2 −1 (−1).(−1), p ≡ 3(mod8)       = =        p   p   p  1.(−1), p ≡ 5(mod8)   (−1).1, p  ≡ 7(mod8) Vậy :  −2   p ≡ 1(mod8) = ⇔    p   p ≡ 3(mod8) b, Ta có 5   p = ⇔ =  p      Nhưng:  p = 1, p ≡ ±1(mod 5)    5  −1, p ≡ ±2(mod 5) 5   p ≡ 1(mod 5) = ⇔     p  p ≡ 4(mod 5) Vậy : * Bài tập đề nghị : Bài : * Cho n ∈ N , chứng 10 n+1 22 19 minh hợp số + 34 n+1 + + Bài 2: p Tìm số nguyên tố p cho +1 p Bài 3: 2 Chứng minh : ( p!) − p  p Bài : 24 n+1 Chứng minh với số tự nhiên k ≥ có số tự nhiên n cho tổng chữ số n k n  k Bài : Chứng minh tồn dãy tăng n {a } cho với ∀k ≥ số tự nhiên n=1 dãy {k + chứa hữu hạn số nguyên tố an } Kết luận Trên luận văn em vấn đề số nguyên tố quan hệ đồng dư, coi nội dung tương đối khó chương trình số học Một lần em xin cảm ơn hướng dẫn, giúp đỡ tận tình thầy tổ Đại số, thầy khoa Tốn, thầy trường ĐHSP Hà Nội 2, đặc biệt Thạc sĩ Nguyễn Huy Hưng để em hồn thành tốt khố luận Mặc dù có nhiều cố gắng song khơng tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên cho luận văn em Em xin chân thành cảm ơn! Tài liệu tham khảo Nguyễn Vũ Lương ( chủ biên ), Nguyễn Lưu Sơn, Nguyễn Ngọc Thắng, Phạm Văn Hùng (2006), Các giảng số học tập 2, NXB ĐHQG Hà Nội Nguyễn Vũ Thanh (2004), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học sở : số học, NXBGD Nguyễn Vũ Thanh (1992), Chuyên đề bồi dưỡng chuyên toán chuyên toán cấp : số học, NXBGD Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho, Trần Hữu Nam (2004), Lý thuyết số định lý tập chọn lọc, NXBGD ... - Số số số nguyên tố mà hợp số ( số có ước số, số có vơ số ước số ) - Mỗi số tự nhiên n có ba khả : n = 1; ∈ * n số nguyên tố, n hợp số 1.2 Một số định lý số nguyên tố: Bổ đề 1.2.1 : Mọi số. .. đầu………………………………………………………… Chương Một số định lý số nguyên tố 1.1 Định nghĩa số nguyên tố…………………………………… 1.2 Một số định lý số nguyên tố…………………… 1.3 Một số ứng dụng…………………………………………… 10 1.4 Một số toán số nguyên tố……………………………... số nguyờn tố, toỏn quan hệ đồng dư… nờn em chọn nội dung: “ Một số định lý số học làm luận văn nghiờn cứu Khoá luận em gồm hai chương : Chương : Một số định lý số nguyên tố Chương : Một số định