Một số định lý cơ bản của số học

Một số định lý số học Trường đại học sư phạm hà nội Khoa Toán =====o0o===== NGÔ THỊ MINH DIỆU Một số định lý số học Khoá Luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Đại số Hà Nội – 2008 Ngô Thị Minh Diệu K30G – Sư phạm Toán Một số định lý số học Trường đại học sư phạm hà nội Khoa Toán =====o0o===== NGÔ THỊ MINH DIỆU Một số định lý số học Khoá Luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học Th.s Nguyễn Huy Hưng Hà Nội - 2008 Ngô Thị Minh Diệu K30G – Sư phạm Toán Một số định lý số học Lời cảm ơn Bản khoá luận tốt nghiệp bước để em làm quen với việc nghiên cứu khoa học Trước bỡ ngỡ gặp nhiều khó khăn làm quen với công tác nghiên cứu khoa học em nhận giúp đỡ, động viên thầy cô giáo bạn sinh viên khoa Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy cô tổ Đại số, thầy cô khoa Toán, thầy cô trường ĐHSP Hà Nội bạn sinh viên Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới Thạc sĩ Nguyễn Huy Hưng người giúp đỡ, hướng dẫn tận tình để em hoàn thành khoá luận Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho em có hội để tập dượt với việc nghiên cứu khoa học Hà Nội, tháng năm 2008 Sinh viên Ngô Thị Minh Diệu Ngô Thị Minh Diệu K30G – Sư phạm Toán Một số định lý số học Lời cam đoan Khoá luận em hoàn thành hướng dẫn Thạc sỹ Nguyễn Huy Hưng với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu thực khoá luận em có tham khảo tài liệu số tác giả có nêu mục tài liệu tham khảo Em xin cam đoan kết khoá luận kết nghiên cứu thân, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2008 Sinh viên Ngô Thị Minh Diệu Ngô Thị Minh Diệu K30G – Sư phạm Toán Một số định lý số học Mục lục Trang Lời cảm ơn………………………………………………………… Lời cam đoan……………………………………………………… Mục lục…………………………………………………………… Lời mở đầu………………………………………………………… Chương Một số định lý số nguyên tố 1.1 Định nghĩa số nguyên tố…………………………………… 1.2 Một số định lý số nguyên tố…………………… 1.3 Một số ứng dụng…………………………………………… 10 1.4 Một số toán số nguyên tố…………………………… 11 Chương Một số định lý đồng dư 2.1 Quan hệ đồng dư………………………………………… 21 2.2 Định lý Euler Định lý Wilson…… ……………………… 25 2.3 Phương trình đồng dư……………………………………… 27 2.4 Định lý Thặng dư Trung Hoa……………………………… 31 2.5 Thặng dư toàn phương Luật thuận nghịch bình phương… 34 2.6 Một số tập áp dụng…………………………………… 40 Kết luận………………………………………………………… 49 Tài liệu tham khảo……………………………………………… 50 Ngô Thị Minh Diệu K30G – Sư phạm Toán Một số định lý số học Lời mở đầu Toỏn học mụn khoa học bản, chỡa khoỏ mở nhiều mụn khoa học khỏc Từ thời xa xưa, yờu cầu thực tế đời sống, sản xuất, sinh hoạt, đầu kỷ thứ VII, người Ấn Độ biết dựng cỏc ký hiệu đặc biệt để viết cỏc chữ số 0, 1, 2…, ( Ngày gọi cỏc chữ số Ả Rập ) Từ kỷ II trước cụng nguyờn, người La Mó dựng hỡnh ảnh ngún tay, bàn tay để ký hiệu cỏc chữ số 1, 5… Rồi đến đời bàn tớnh đầu tiờn, đến mỏy tớnh với nhiều chức tinh vi, đại Cỏc kiến thức số học mà điểm xuất phỏt đầu tiờn số tự nhiờn chỡa khoỏ để mở cửa vào giới cỏc số Những kiến thức múng quan trọng Toỏn học núi chung số học núi riờng mang đến cho chỳng ta nhiều điều mẻ thỳ vị Ngay từ cấp học Tiểu học, học sinh làm quen cú kỹ thành thạo giải cỏc toỏn liờn quan đến cỏc phộp tớnh cộng, trừ, nhõn, chia số tự nhiờn Khi học sinh học lờn cấp học THCS, THPT bờn cạnh việc ụn tập, hệ thống hoỏ cỏc nội dung số tự nhiờn học, cỏc em cũn tỡm hiểu thờm nhiều nội dung mới: phộp nõng lờn luỹ thừa, số nguyờn tố hợp số, ước chung bội chung, quan hệ đồng dư… Trong chương trỡnh toỏn phổ thụng, lý thuyết số xem nội dung khú với toỏn phức tạp với nhiều cỏch giải thỳ vị Trong cỏc kỳ thi học sinh khiếu, học sinh giỏi cỏc cấp, nội dung số học: Số nguyờn tố, quan hệ đồng dư… chiếm tỷ lệ khỏ cao cỏc đề thi Vỡ vậy, để giỳp cỏc em học sinh cú cỏch nhỡn tổng quỏt, toàn diện hệ thống số, đặc biệt cỏc kiến thức, cỏc định lý để từ cú thể giải toỏn số nguyờn tố, toỏn quan hệ đồng dư… nờn em chọn nội dung: “ Một số định lý số học” làm luận văn nghiờn cứu Khoá luận em gồm hai chương : Ngô Thị Minh Diệu K30G – Sư phạm Toán Một số định lý số học Chương : Một số định lý số nguyên tố Chương : Một số định lý đồng dư Mặc dù có nhiều cố gắng song không tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn sinh viên cho khoá luận em Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2008 Sinh viên: Ngô Thị Minh Diệu Ngô Thị Minh Diệu K30G – Sư phạm Toán Một số định lý số học Chương Một số định lý số nguyên tố 1.1 Định nghĩa số nguyên tố : * Định nghĩa: - Một số tự nhiên lớn ước tự nhiên khác gọi số nguyên tố Ký hiệu P tập hợp số nguyên tố Khi : P = { p    p nguyên tố } - Số tự nhiên lớn mà không số nguyên tố gọi hợp số - Ước số tự nhiên khác khác gọi ước thực Khi định nghĩa số nguyên tố phát biểu lại sau: Số tự nhiên lớn gọi số nguyên tố ước thực * Nhận xét : - Số số số nguyên tố mà hợp số ( số có ước số, số có vô số ước số ) - Mỗi số tự nhiên n   * có ba khả : n = 1; n số nguyên tố, n hợp số 1.2 Một số định lý số nguyên tố: Bổ đề 1.2.1 : Mọi số nguyên lớn chia hết cho số nguyên tố Chứng minh: Ta chứng minh quy nạp + Với n = 2, số nguyên tố nên bổ đề + Xét n > giả sử bổ đề với số nguyên lớn nhỏ n Ta chứng minh bổ đề với n Nếu n số nguyên tố n  n bổ đề Nếu n hợp số n có ước dương a với a ≠ 1, a ≠ n Giả sử n = a.b Ngô Thị Minh Diệu K30G – Sư phạm Toán Một số định lý số học Nếu a > n từ b ≥ ta có n = a.b > n.1 = n, mâu thuẫn Vậy < a < n Theo giả thiết quy nạp, a có ước nguyên tố p Từ p | a, a | n suy p | n Vậy bổ đề với n > Định lý 1.2.2 ( Định lý Euclid ) Tồn vô hạn số nguyên tố Chứng minh: Giả sử có hữu hạn số nguyên tố p1, p2,…, pn Khi đặt N = p1.p2…pn + 1, theo bổ đề (1.2.1), N chia hết cho số nguyên tố p ( N > ) Số nguyên tố p bắt buộc phải số pi, có n số nguyên tố p1, p2,…, pn mà Tuy nhiên, theo định nghĩa N, N chia hết cho số pi Mâu thuẫn cho ta điều phải chứng minh Định lý 1.2.3 : Cho số tự nhiên a số nguyên tố p Khi p | a (a,p)=1 Chứng minh : Gọi d = (a,p)  d | p với p số nguyên tố Từ d = d = p + Nếu d = (a, p) = + Nếu d = p p | a Định lý 1.2.4 : ( Bổ đề số nguyên tố - Bổ đề Euclid) : Nếu số nguyên tố p chia hết tích ab hai số nguyên a b p phải chia hết hai số a b Chứng minh : Giả sử p | ab p không chia hết a không chia hết b Khi theo định lý (1.2.3) ta có (a,p) =1 (b,p) = 1, từ ta có (ab,p) =1 ( trái giả thiết p | ab) Từ đó, ta có điều phải chứng minh Ngô Thị Minh Diệu K30G – Sư phạm Toán Một số định lý số học Nhận xét : Bằng quy nạp, mở rộng kết cho nhiều số định lý (1.2.4) mở rộng sau: Nếu số nguyên tố p chia hết tích a1.a2 … an p chia hết ai, với i thuộc { 1, 2,…, n } Ví dụ : Giả sử p số nguyên tố a Chứng minh p | a3 p | a b Chứng minh p | b p | ( a2 + b2 ) p | a Giải: a Giả sử p | a3 = a.a.a Khi theo bổ đề Euclid ta có p | a hay p | a hay p | a, tức p | a b Giả sử p | b p | ( a2 + b2 ) Khi ta có : p | [( a2 + b2 ) - b.b] = a.a Từ từ bổ đề Euclid ta có p | a Hệ 1.2.5: Nếu số nguyên tố p chia hết tích nhiều số nguyên tố phải trùng với số nguyên tố Bổ đề 1.2.6 : Mọi hợp số có ước thực nhỏ bậc hai Chứng minh: Cho n hợp số Khi ta viết n = a.b với < a, b < n Nếu đồng thời a, b > n n = n n < ab = n < mâu thuẫn > Vậy có hai số a, b phải nhỏ n Từ bổ đề ta có nhận xét sau : Mỗi hợp số phải có ước nguyên tố nhỏ bậc hai Dựa vào nhận xét ta kiểm tra xem số nguyên dương cho trước số nguyên tố hay không? Ngô Thị Minh Diệu 10 K30G – Sư phạm Toán Một số định lý số học  (-1)n ( p  (p-1)/2 p 1 )! a ≡( )! ( mod p ) 2 a  Từ suy (-1)n ≡ a(p-1)/2 =   ( mod p )  p Định lý chứng minh Định lý 2.5.5 : Cho a số nguyên lẻ, p số nguyên tố lẻ thoả mãn ( a, 2p ) = Khi : a  t  p  = (-1) , với t =   ( p 1)/2  j 1  ja   p    Chứng minh : Sử dụng ký hiệu định lý 2.5.4 Vì :  ja   ja  ja ≡ ja – p   ( mod p ) ,  ja – p    p –  p  p  ja  Nên ja – p   số dư phép chia ja cho p  p Do ( p 1)/2  j 1 ja  ( p 1)/2  j 1 k  ja  n p     rj   s j j 1  p  j 1 Mặt khác từ chứng minh định lý 2.5.4 ta có : { p - r1, p - r2,…, p - rn, s1, s2,…, sk } = { 1, 2, …, ( p 1)/2 nên  j 1 n k n k j 1 j 1 j 1 j 1 p 1 } j   ( p  rj )   s j  np   rj   s j Trừ vế với vế hai đẳng thức ta thu được: Ngô Thị Minh Diệu 40 K30G – Sư phạm Toán Một số định lý số học (a  1) ( p 1)/2  j  p( j 1 ( p 1)/2  j 1 n  ja   p   n )  2 r j j 1   Do a lẻ : ( p 1)/2  j 1 p2  j nên (a  1) p  ( p1)/2  ja       n  0(mod 2) j 1  p  Suy n ( p 1)/2  j 1  ja   p   t (mod 2)   Từ định lý 2.5.4 ta có điều phải chứng minh Định lý 2.5.6 ( Luật thuận nghịch bình phương Gauss) : Cho p, q hai số nguyên tố lẻ khác Khi đó: p 1 q 1  p  q  2  (  1) q   p     Chứng minh : Từ định lý (2.5.5) định lý chứng minh ta chứng minh rằng: ( p 1)/2  j 1 Đặt S = {( x, y ) :  x  Khi đó, S có  qj  ( q 1)/2  pj  p  q   p   q  j 1     p 1 q 1 ,1y } 2  p    q   phần tử phần tử ( x , y )  S thoả mãn qx = py Xét phân hoạch S = S  S2 với : Ngô Thị Minh Diệu 41 K30G – Sư phạm Toán Một số định lý số học S1 = { ( x, y )  S : py < qx } , S2 = { ( x, y )  S : qx < py } Ta có : qx p 1 ,1y } p S1 = { ( x, y ) :  x  = { ( x, y ) :  x   qx  p 1 ,1y   }  p S2 = { ( x, y ) :  y  = { ( x, y ) :  y  q 1 py ,1x< } q  py  q 1 ,  x    }  q  Do : S1 = ( p 1)/2  x 1  qx   p  , S2 =   ( q 1)/2  y 1  py   q ,   Vì S  = S1 + S2  nên ta có : p 1 q 1 S  = = S1 + S2 = 2 ( p 1)/2  j 1  qj  ( q1)/2  pj   p   q  j 1     Tức ta có điều phải chứng minh Nhận xét : Từ định lý ta thấy : p 1 q 1  p  q  2  (  1) q   p     Từ  p  q   q   p  = p  1(mod 4) q  1(mod 4)    Và Ngô Thị Minh Diệu 42 K30G – Sư phạm Toán Một số định lý số học  p  q   q   p  = -1 p  3(mod 4) q  3(mod 4)    Tuy nhiên  p  q   p  q    q   p   q    p           p  q   q    p   1      p  q   q   p   1  số     p  q   q  ,  p  1, số -1     Do định lý ( luật thuận nghịch bình phương ) phát biểu dạng đầy đủ sau: Cho phương trình đồng dư : x2 ≡ p ( mod q ) x2 ≡ q ( mod p) với p, q số nguyên tố lẻ phân biệt Khi : Nếu hai số p, q đồng dư modulo 4, hai phương trình có nghiệm hai phương trình vô nghiệm Nếu p q đồng dư modulo hai phương trình có nghiệm, phương trình vô nghiệm Hệ 2.5.7 : Cho p, q số nguyên tố lẻ phân biệt Khi đó:  p  q  i Nếu hai số p, q ≡ ( mod 4) :      q   p   p q  ii Nếu p q ≡ ( mod 4)       q   p 2.6 Một số tập áp dụng: Bài 1: Tìm dư phép chia 32005 chia cho 100 Giải: Ngô Thị Minh Diệu 43 K30G – Sư phạm Toán Một số định lý số học Vì ( 3, 100 ) =1 nên theo định lý Euler ta có : 3(100) ≡ ( mod 100 ) 1 Mà 100 = 22.52 , : (100) = 100(1  ).(1  )  40 Suy 340 ≡ ( mod 100 ) Vậy 32005 = 340.50 + ≡ 35 ( mod 100 ) ≡ 43 ( mod 100 ) Do 32005 chia cho 100 dư 43 Bài 2: Cho a, b số nguyên dương nguyên tố Chứng minh tồn số nguyên dương m, n cho : am + bn -  ab Chứng minh : Lấy m = (b), n = (a), Vì ( a, b ) = nên theo định lý Euler ta có : am - = a(b) -  b bn  b nên ta có : am + bn -  b Theo định lý Euler : bn - = b(a) -  a ta có : am  a nên am + bn -  a Từ suy : am + bn -  ab Bài 3: Một số có 6n chữ số chia hết cho Chứng minh chuyển chữ số tận lên đầu số số chia hết cho Giải: Gọi số ban đầu N = 10x + a với a chữ số tận N x có 6n – chữ số Sau chuyển a lên đầu ta số M = a.106n-1 + x Ngô Thị Minh Diệu 44 K30G – Sư phạm Toán Một số định lý số học Ta chứng minh : N – 3M  Thật có N – 3M = 7x – a ( 106n-1 – ) (1) Do (10,7) = nên áp dụng định lý Fermat ta có : 106  ( mod ) suy 106n  ( mod ) Vậy 106n   10 ( mod ) Vì (10,7) =1 nên 3.106n-1  ( mod ) hay 3.106n-1 –  (2) Từ (1) (2) ta N – 3M  Mà theo giả thiết N  (3,7) = nên M  Bài : Cho hai số nguyên tố khác p q Chứng minh : pq-1 + qp-1 -  pq Chứng minh : Vì p, q nguyên tố p ≠ q nên ( p, q ) = áp dụng định lý Fermat ta có : pq-1 ≡ ( mod q ) => pq-1 -  q mà qp-1  q suy pq-1 + qp-1 -  q (1) áp dụng định lý Fermat ta lại có : qp-1 ≡ ( mod p ) => qp-1 -  p mà pq-1  p suy pq-1 + qp-1 -  p (2) Mặt khác ( p , q ) = nên kết hợp (1) (2) ta : pq-1 + qp-1 -  pq Bài 5: Ngô Thị Minh Diệu 45 K30G – Sư phạm Toán Một số định lý số học 9p 1 Giả sử p số nguyên tố lẻ m  Chứng minh m hợp số lẻ không chia hết cho 3m-1 ≡ ( mod m ) Chứng minh: Ta có m  p 1 3p 1 3p  3p  3p    a.b với a = b = 4 a, b số nguyên lớn nên m hợp số 9p 1 Mà m  = p 1  p 2    p lẻ nên m lẻ m  1(mod3) Theo định lý Fermat ta có p  9 p , (8,p) = nên p  98 p , suy 9p  m–1=  p m 1 Vì m –  nên m –  p , 9p 1  13  1  m ( ĐPCM ) 2p Bài : Cho n  N* Tìm ( n! + 1, ( n + )! ) Giải: Đặt f(n) = ( n! + 1, ( n + )! ) Dễ thấy f(3) = ( 7, 24 ) = Nếu n + > số nguyên tố n!  n + nên f(n) = ( n! + 1, ( n + 1)!) Ngô Thị Minh Diệu 46 K30G – Sư phạm Toán Một số định lý số học = ( n! + 1, ( n + 1).( n! + 1) - ( n+1 )) = ( n! + 1, n + 1) = Nếu n + số nguyên tố theo định lý Wilson có n! +  n + Do f(n) = n +1 Vậy ( n! + 1, ( n + )! ) = n + số nguyên tố ( n! + 1, ( n + )! ) = n + n + số nguyên tố Bài : Cho p số nguyên tố Khi phương trình x2 ≡ -1 ( mod p ) có nghiệm p = p ≡ ( mod ) Giải: Nếu p = 2, phương trình có nghiệm x = Nếu p ≡ ( mod ) p 1 p 1 số chẵn Đặt : x = 3… 2 Ta có : ≡ - (p - 1), ≡ - (p - 2), ≡ - (p - 3),…, nên x ≡ (1) Từ đó, p1 (p – 1)(p – 2)(p – 3)… ( p 1 p 1 ) ( mod p) ≡ -( 2 p 1 ) ( mod p ) p 1 số chẵn theo định lý Wilson ta có : x2 ≡ (1 3… ≡ (1 3… p 1 p 1 )) ) ((p - 1)(p - 2)(p - 3)… ( 2 p 1 p 1 p  ( p  1)) )( 2 ≡ (p – 1)! ≡ -1 ( mod p ) Ngược lại, giả sử p số nguyên tố lẻ tồn số nguyên x cho x2 ≡ -1 ( mod p ), theo định lý nhỏ Fermat: Ngô Thị Minh Diệu 47 K30G – Sư phạm Toán Một số định lý số học x Do (1) p1 p -1 ≡ (x ) ≡ ( mod p ) suy p1 ≡ (1) p1 ≡ ( mod p ) p 1 số chẵn, tức p ≡ ( mod ) Bài : Chứng minh p số nguyên tố C pk  p với k = 1, 2,…, p - Giải: p 1 Đặt f(x) = C k 1 k p x k  ( x  1) p  ( x p  1) Theo định lý nhỏ Fermat ta có : (x + 1)p ≡ x + ≡ xp + (mod p) với số nguyên x nên phương trình f(x) ≡ (mod p) có p nghiệm Do deg f = p - nên f bậc modulo p, tức hệ số f chia hết cho p Từ ta có điều phải chứng minh Bài 9: Cho m số nguyên dương Tìm số nghiệm phương trình x2 ≡ x ( mod m ) Giải: Giả sử m = p11 p22 pkk Ta có x2 ≡ x ( mod m ) Ngô Thị Minh Diệu 48 K30G – Sư phạm Toán Một số định lý số học   x2 ≡ x ( mod pi i ) với i = 1, 2, …, k hay x( x - ) ≡ ( mod pi i ) với i = 1, 2, …, k Vì (x, x - 1) = nên phương trình x( x - ) ≡ ( mod pii ) có hai nghiệm modulo pii x ≡ ( mod pii ) x ≡ ( mod pii ) Theo định lý Thặng dư Trung Hoa, với r1, r2,…, rk, hệ phương trình  x  ri mod pii  i  1,2, , k có nghiệm modulo m Do phương trình : x( x - ) ≡ (mod pii ) có hai nghiệm modulo pii nên phương trình cho có 2k nghiệm Bài 10 : Tính : 17  a    71 111  b   1151 3  c   137  Giải: a Vì 17 ≡ ( mod ) nên : 31 17  71 3  17   2 71  17   17   3   3    1(mod3)           b Ta có : Ngô Thị Minh Diệu 49 K30G – Sư phạm Toán Một số định lý số học 111  1151  41  111  29         1151 111  111  41   41             41 12  3           1  29  29  29 c Ta có : 3  137  137   3  (do137  1(mod 4))     2    (do137  2(mod3)) 3   1 Bài 11: Chứng minh rằng:  2  p  1(mod8) a,      p   p  3(mod8) 5   p  1(mod5) b,       p  p  4(mod5) Giải: a, Ta có : 1.1, p  1(mod8)   2  1   (1).(1), p  3(mod8)  p    p   p   1.(1), p  5(mod8)       (1).1, p  7(mod8) Ngô Thị Minh Diệu 50 K30G – Sư phạm Toán Một số định lý số học Vậy :  2  p  1(mod8)   p   p  3(mod8)    b, Ta có 5   p    p 5       Nhưng:  p  1, p  1(mod5) 5   1, p  2(mod5)    5   p  1(mod5)  p     p  4(mod5)    Vậy : * Bài tập đề nghị : Bài : Cho n  N , chứng minh 22 * 10 n1 n 1  19 23  32 n 1  hợp số Bài 2: Tìm số nguyên tố p cho p  1 p Bài 3: Chứng minh : ( p!)2  p  p3 Bài : Ngô Thị Minh Diệu 51 K30G – Sư phạm Toán Một số định lý số học Chứng minh với số tự nhiên k ≥ có số tự nhiên n cho tổng chữ số n k n  k Bài : Chứng minh tồn dãy tăng an n1 số tự nhiên  cho với k  dãy k  an  chứa hữu hạn số nguyên tố Ngô Thị Minh Diệu 52 K30G – Sư phạm Toán Một số định lý số học Kết luận Trên luận văn em vấn đề số nguyên tố quan hệ đồng dư, coi nội dung tương đối khó chương trình số học Một lần em xin cảm ơn hướng dẫn, giúp đỡ tận tình thầy cô tổ Đại số, thầy cô khoa Toán, thầy cô trường ĐHSP Hà Nội 2, đặc biệt Thạc sĩ Nguyễn Huy Hưng để em hoàn thành tốt khoá luận Mặc dù có nhiều cố gắng song không tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên cho luận văn em Em xin chân thành cảm ơn! Ngô Thị Minh Diệu 53 K30G – Sư phạm Toán Một số định lý số học Tài liệu tham khảo Nguyễn Vũ Lương ( chủ biên ), Nguyễn Lưu Sơn, Nguyễn Ngọc Thắng, Phạm Văn Hùng (2006), Các giảng số học tập 2, NXB ĐHQG Hà Nội Nguyễn Vũ Thanh (2004), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học sở : số học, NXBGD Nguyễn Vũ Thanh (1992), Chuyên đề bồi dưỡng chuyên toán chuyên toán cấp : số học, NXBGD Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho, Trần Hữu Nam (2004), Lý thuyết số định lý tập chọn lọc, NXBGD Ngô Thị Minh Diệu 54 K30G – Sư phạm Toán [...]... ) Định lý 2.2.2 ( Định lý nhỏ của Fermat ) : Cho p là một số nguyên tố và a là một số nguyên không chia hết cho p Khi đó ta có ap–1 ≡ 1 (mod p ) Chứng minh : Theo giả thiết ta có (p) = p - 1 và a nguyên tố với p nên theo định lý Euler ta có ap–1 ≡ 1 (mod p ) * Hệ quả : Cho p là một số nguyên tố và a là một số nguyên tuỳ ý Khi đó ta có Ngô Thị Minh Diệu 28 K30G – Sư phạm Toán Một số định lý cơ bản của. .. Một số định lý cơ bản của số học b 22 2 n1  3 Bài 3 : Chứng minh rằng với m > 2 ta có (m) > 1, từ đó suy ra có vô số số nguyên tố Bài 4: Hai số 2n  1 và 2n  1 ( n > 2 ) có thể đồng thời là số nguyên tố hay đồng thời là hợp số được hay không? Bài 5 : Chứng minh rằng với số nguyên tố bất kỳ p > 2, tử số m của phân số m 1 1 1  1     ( với m , n  N ) chia hết cho p n 2 3 p 1 Chương 2 Một số. .. xác định tất cả các ước của a ta cho các õ i lần lượt chạy từ 0 đến i Vậy số các ước của a là (1 + 1) (2 + 1 )… (n + 1 ) +) Cho ( a, b) =1 Khi đó : d | ab  d = xy với x | a, y | b và (x , y) = 1 Ngô Thị Minh Diệu 12 K30G – Sư phạm Toán Một số định lý cơ bản của số học 1.3.2 Ước chung lớn nhất ( ƯCLN ): - Một số nguyên c được gọi là ước chung của các số nguyên a1, a2,…, an khi c là ước của từng số. .. dư : Định nghĩa 2.3.1 : Ngô Thị Minh Diệu 29 K30G – Sư phạm Toán Một số định lý cơ bản của số học Giả sử f(x) = an xn + an-1 xn-1 +…+ a0 là một đa thức ( với các hệ số nguyên ) Số nguyên x0 được gọi là nghiệm của phương trình đồng dư f(x) ≡ 0 (mod m ) nếu f(x0) ≡ 0 ( mod m ) Định nghĩa 2.3.2 : Cho r1, r2, …, rm là một hệ thặng dư đầy đủ modulo m Số nghiệm của phương trình f(x) ≡ 0 ( mod m ) được định. .. Định lý được chứng minh Trong định lý (2.3.4), ta có số nghiệm của phương trình đồng dư f(x) ≡ 0 ( mod p ) luôn nhỏ hơn hoặc bằng số bậc Vậy với điều kiện nào thì số nghiệm bằng số bậc? Vấn đề đó sẽ được giải quyết trong định lý 2.3.6 : Nhận xét: Từ định lý ( 2.3.5 ) ta chỉ cần xét các đa thức f(x) có bậc bé hơn p và có hệ số cao nhất bằng 1 Ngô Thị Minh Diệu 32 K30G – Sư phạm Toán Một số định lý cơ. . .Một số định lý cơ bản của số học Ví dụ : Để xác định a = 89 có là số nguyên tố không ta chỉ cần xem nó có ước nguyên tố bé hơn hoặc bằng 89 không? Ta có 89 = 9,43 và các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng 9,43 là 2; 3; 5; 7 đều không là ước của 89 Vậy 89 là số nguyên tố Cho một số tự nhiên a > 1 bất kỳ Vấn đề đặt ra là liệu có thể biểu thị a dưới dạng tích của các thừa số nguyên tố được... số nguyên tố là 2, 3, 5, 7 +) k = 1 ta có dãy 2, 3, …, 11 chứa 5 số nguyên tố là 2, 3, 5, 7, 11 +) k = 2 ta có dãy 3, 4, 5, …, 12 chứa 4 số nguyên tố là 3, 5, 7, 11 Ngô Thị Minh Diệu 21 K30G – Sư phạm Toán Một số định lý cơ bản của số học +) k  3 dãy k + 1, k + 2,…, k + 10 chứa 5 số lẻ liên tiếp, các số lẻ này đều lớn hơn 3 nên có một số chia hết cho 3, mà 5 số chẵn trong dãy hiển nhiên không là số. .. là sự phân tích của a thành tích những thừa số nguyên tố b Sự duy nhất: Giả sử ta có a = p1.p2…pn = q1.q2…qm là hai dạng phân tích của a thành tích của những thừa số nguyên tố Đẳng thức trên chứng tỏ p 1 là ước của q1.q2…qm nên p1 phải trùng với một qj nào đó ( 1 ≤ j ≤ m ) Vì không kể đến Ngô Thị Minh Diệu 11 K30G – Sư phạm Toán Một số định lý cơ bản của số học thứ tự của các thừa số nên có thể coi... với mọi số nguyên tố p Do đó, với đa thức f(x) = ( xp - x ) q(x) + r(x) trong đó deg r < p hai phương trình f(x) ≡ 0 ( mod p ) và r(x) ≡ 0 ( mod p ) có cùng một tập hợp nghiệm Từ lý do đó, ta có định lý sau : Định lý 2.3.5 : Ngô Thị Minh Diệu 31 K30G – Sư phạm Toán Một số định lý cơ bản của số học Cho phương trình đồng dư f(x) ≡ 0 ( mod p ) có bậc n ≥ p Khi đó chỉ có hai khả năng sau : a) Mọi số nguyên... phạm Toán Một số định lý cơ bản của số học 1000 = 23 53 Vậy ( 720, 225, 1000 ) = 20 30 5 = 5 [ 720, 225, 1000 ] = 24 32 53 = 18000 1.4 Một số bài toán về số nguyên tố: 1.4.1 Dạng 1: Dùng phương pháp phân tích để: i Tìm điều kiện để một số là số nguyên tố ii Chứng minh một số là hợp số Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên n để: a, n4 + 4 là số nguyên tố b, n1991 + n1990 + 1 là số nguyên tố Giải:  a ... phạm Toán Một số định lý số học Chương Một số định lý số nguyên tố 1.1 Định nghĩa số nguyên tố : * Định nghĩa: - Một số tự nhiên lớn ước tự nhiên khác gọi số nguyên tố Ký hiệu P tập hợp số nguyên... - Số số số nguyên tố mà hợp số ( số có ước số, số có vô số ước số ) - Mỗi số tự nhiên n   * có ba khả : n = 1; n số nguyên tố, n hợp số 1.2 Một số định lý số nguyên tố: Bổ đề 1.2.1 : Mọi số. . .Một số định lý số học Trường đại học sư phạm hà nội Khoa Toán =====o0o===== NGÔ THỊ MINH DIỆU Một số định lý số học Khoá Luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học