Suy luận và chứng minh trong dạy học mạch số học ở tiểu học

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài “Suy luận và chứng minh trong dạy học mạch số học ở Tiểu học” là kết quả mà tôi đã trực tiếp nghiên cứu, tìm hiểu được, thông qua các đợt kiến tập hằ

LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn, giúp đỡ của các thầy cô giáo trong khoa Giáo dục Tiểu học, các thầy cô trong khoa Toán đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình làm khóa luận này Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Năng Tâm – người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình để tôi hoàn thiện khóa luận

Trong khi thực hiện đề tài này, do thời gian và năng lực có hạn nên tôi vẫn chưa đi sâu khai thác hết được và còn nhiều hạn chế cũng như thiếu sót Vì vậy, tôi mong nhận được sự tham gia đóng góp ý kiến của các thầy cô và bạn bè

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Nguyễn Thị Sim

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài “Suy luận và chứng minh trong dạy học mạch số học ở Tiểu học” là kết quả mà tôi đã trực tiếp nghiên cứu, tìm hiểu được, thông qua các đợt kiến tập hằng năm và thực tập năm cuối Trong quá trình nghiên cứu tôi có sử dụng tài liệu của một số nhà nghiên cứu, một số tác giả khác Tuy nhiên, đó chỉ là cơ sở để tôi rút ra được những vấn đề cần tìm hiểu ở đề tài của mình Đây là kết quả của riêng cá nhân tôi, hoàn toàn không trùng với kết quả của các tác giả khác

Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Sinh viên

Nguyễn Thị Sim

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 4

Chương 1: Cơ sở lí luận 9

1.1 Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học 9

1.2 Cấu trúc nội dung mạch số học ở Tiểu học 10

1.3 Suy luận 11

1.3.1 Suy luận diễn dịch 12

1.3.2 Suy luận nghe có lí 15

1.4 Chứng minh 17

1.5 Các phương pháp chứng minh toán học thường gặp 19

1.5.1 Phương pháp chứng minh trực tiếp 19

1.5.2 Phương pháp chứng minh phản chứng 19

1.5.3 Phương pháp chứng minh quy nạp hoàn toàn 21

1.5.4 Phương pháp chứng minh quy nạp toán học 22

Chương 2: Suy luận và chứng minh trong dạy học mạch số học ở Tiểu học 25

2.1 Suy luận quy nạp 25

2.2 Suy diễn 29

2.3 Phép tương tự 31

2.4 Một số bài toán vận dụng 32

KẾT LUẬN 37

TÀI LIỆU THAM KHẢO 39

Bậc học nền tảng, đặt cơ sở ban đầu cho việc hình thành và phát triển nhân cách cho con người, đặt nền tảng vững chắc cho giáo dục phổ thông và cho toàn

bộ hệ thống giáo dục quốc dân chính là bậc học Tiểu học Vì vậy, ở Tiểu học, các em học sinh được tạo điều kiện phát triển toàn diện, tối đa với các môn học thuộc tất cả các lĩnh vực: Tự nhiên, Xã hội và Con người

Môn Toán ở Tiểu học có một ý nghĩa và vị trí đặc biệt quan trọng Với tư cách là một môn khoa học nghiên cứu một số mặt của thế giới hiện thực, nó có một hệ thống khái niệm, quy luật và có phương pháp riêng Hệ thống này luôn phát triển trong trong quá trình nhận thức thế giới và đưa ra kết quả là những tri thức Toán học để áp dụng vào cuộc sống Với đặc thù riêng của môn học, Toán học thực sự đóng vai trò chủ đạo trong việc trang bị cho học sinh hệ thống công

cụ và phương pháp riêng, là công cụ cần thiết để học sinh học các môn học khác,

và phục vụ cho các bậc học trên

Các tuyến kiến thức được đưa vào dạy ở trường Tiểu học chia làm 5 tuyến chính: số học, các yếu tố về đại số, các yếu tố về đại lượng, các yếu tố về hình học, và giải toán Các tuyến kiến thức này có quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ

và bổ sung cho nhau, góp phần phát triển toàn diện năng lực toán học cho học sinh Tiểu học Cũng như việc dạy các tính chất, quy tắc thực hành bốn phép tính không chỉ đơn thuần rèn kỹ năng tính toán, giải toán, mà quan trọng hơn là nhằm phát triển tư duy, rèn luyện phương pháp suy luận cho học sinh Hình thành phương pháp suy luận không những nâng cao năng lực suy nghĩ cho các em, mà còn là phương tiện để giáo viên truyền thụ kiến thức mới nhằm hình thành, rèn dũa các kỹ năng khác cho học sinh Chương trình và sách giáo khoa phải đảm bảo phải dạy học sinh những nguyên lí cơ bản, toàn diện về mặt đức dục, trí dục,

mỹ dục đồng thời tạo điều kiện cho các em phát triển óc thông minh, khả năng độc lập suy nghĩ sáng tạo Cái quan trọng của trí dục là rèn luyện óc thông minh

và sức suy nghĩ

Nhưng thực tế trong dạy học các tính chất, quy tắc thực hành bốn phép tính, chúng ta chỉ mới chú trọng đến việc giúp học sinh nắm vững các quy tắc, tính chất mà chưa coi trọng đúng mức đến cách thức hoạt động của thầy, trò trong quá trình chiếm lĩnh tri thức ấy Chính điều này đã dẫn đến: một mặt không phát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của người học, mặt khác không phát triển được tư duy lôgic cho học sinh

Mặc dù phép suy luận quy nạp (đặc biệt là quy nạp không hoàn toàn) không đáng tin cậy song trong việc dạy toán ở tiểu học, nhưng phép quy nạp không hoàn toàn đóng vai trò rất quan trọng Với học sinh tiểu học còn nhỏ, vốn sống còn hạn chế, tư duy trừu tượng chưa phát triển, các vấn đề giảng dạy đều phải thông qua thực nghiệm, nên đây là phương pháp chủ yếu, đơn giản nhất, dễ hiểu

nhất đối với học sinh Mặc dù nó chưa cho phép chúng ta chứng minh được chân

lí mới nhưng cũng giúp chúng ta đưa các em đến thật gần chân lí ấy; giúp giải thích ở mức độ nào đó các kiến thức mới, tránh được tình trạng bắt buộc phải thừa nhận kiến thức mới một cách hình thức, hời hợt

Đứng trước thực tiễn đó, là một giáo viên Tiểu học trong tương lai, tôi quyết định chọn đề tài “ Suy luận và chứng minh trong dạy học mạch số học

ở Tiểu học” để nghiên cứu nhằm rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh Tôi mong muốn được đóng góp một phần nhỏ của mình vào việc giúp các em học sinh có được năng lực suy luận và chứng minh khi học mạch số học, đồng thời góp phần phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh của mình sau này

Trong khóa luận này tôi đã tham khảo thêm một số tài liệu của những tác

giả khác như: Trần Diên Hiển (2012), 10 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 4 – 5, tập 1, tập 2, NXB Giáo dục Việt Nam Đỗ Đình Hoan (2002), Một

số vấn đề cơ bản của chương trình Tiểu học mới, NXB Giáo dục Đỗ Đình Hoan (chủ biên) (2006), SGK Toán 1, Toán 2, Toán 3, Toán 4, Toán 5, NXB Giáo dục Nguyễn Phụ Hy (2000), Dạy học môn Toán ở bậc Tiểu học, NXB Đại

học Quốc gia Hà Nội…

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu phương pháp suy luận và chứng minh trong dạy học mạch số học ở Tiểu học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Đặc điểm nhận thức của học sinh Tiểu học

- Tìm hiểu về suy luận và chứng minh

- Trình bày về suy luận và chứng minh trong dạy học mạch số học

4 Đối tượng – phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: suy luận và chứng minh trong dạy học mạch số học

ở Tiểu học

Nhiệm vụ nghiên cứu: học sinh Tiểu học

5 Phương pháp nghiên cứu

Để giải quyết nhiệm vụ của đề tài, tôi đã thực hiện các phương pháp sau: 5.1 Phương pháp nghiên cứu tài liệu

5.2 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

4 Phương pháp nghiên cứu

6 Cấu trúc đề tài

NỘI DUNG

Chương 1: Cơ sở lí luận

1.1 Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học 1.2 Cấu trúc nội dung mạch số học ở Tiểu học 1.3 Suy luận

1.3.1 Suy luận diễn dịch 1.3.2 Suy luận nghe có lí 1.4 Chứng minh

1.5 Các phương pháp chứng minh toán học thường gặp

1.5.1 Phương pháp chứng minh trực tiếp 1.5.2 Phương pháp chứng minh phản chứng 1.5.3 Phương pháp chứng minh quy nạp hoàn toàn 1.5.4 Phương pháp chứng minh quy nạp toán học Chương 2: Suy luận và chứng minh trong dạy học mạch số học

2.1 Suy luận quy nạp 2.2 Suy diễn

2.3 Phép tương tự 2.4 Một số bài toán vận dụng KẾT LUẬN

Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN

Chương này sẽ trình bày về những cơ sở lí luận cơ bản nhất về đặc điểm nhận thức của học sinh Tiểu học, cấu trúc nội dung mạch số học ở Tiểu học Đồng thời cũng trình bày một cách khái quát nhất về suy luận và chứng minh

1.1 Đặc điểm nhận thức của học sinh Tiểu học

Nhận thức là một trong ba mặt cơ bản của đời sống tâm lí con người (nhận thức, tình cảm và hành động) Nó là tiền đề của hai mặt kia và đồng thời có quan

hệ chặt chẽ với chúng cũng như với các hiện tượng tâm lí khác Hoạt động nhận thức là hoạt động mà trong kết quả của nó, con người có được các tri thức (hiểu biết) về thế giới xung quanh, về chính bản thân mình để tỏ thái độ và tiến hành các hoạt động khác một cách có hiệu quả Hoạt động nhận thức bao gồm nhiều quá trình phản ánh hiện thực khách quan ở những mức độ khác nhau (cảm giác, tri giác, tư duy, tưởng tượng,…) và mang lại những sản phẩm khác nhau về hiện thực khách quan (hình ảnh, biểu tượng, khái niệm) Có thể chia toàn bộ hoạt động nhận thức thành hai giai đoạn lớn: nhận thức cảm tính và nhận thức lí tính

Phát triển khả năng nhận thức là chỉ số của sự phát triển tâm lí trẻ em Vì vậy, mỗi một giai đoạn lứa tuổi có những đặc điểm phát triển riêng Trong điều kiện sống vài hoạt động mới của cuộc sống nhà trường, dựa trên nền tảng của những thành tựu phát triển về mọi mặt của các giai đoạn lứa tuổi trước, đời sống tâm lí của học sinh Tiểu học có những biến đổi và phát triển để làm nên “chất tiểu học” trong mỗi đứa trẻ Sự biến đổi, phát triển này diễn ra trên tất cả các mặt

của cấu trúc nhân cách cũng như trong mọi chức năng tâm lí của cá nhân trẻ, trong đó có nhận thức (xem [12], tr 118)

1.2 Cấu trúc nội dung mạch số học ở Tiểu học

Mạch số học trong chương trình học môn Toán ở Tiểu học gồm các nội dung sau:

Khái niệm ban đầu về số tự nhiên: số tự nhiên liền trước, liền sau, ở giữa hai số tự nhiên; các chữ số từ 0 đến 9

Cách đọc và ghi số tự nhiên: hệ ghi số thập phân

Các quan hệ bé hơn, lớn hơn, bằng (=) giữa các số tự nhiên; so sánh các số

tự nhiên; xếp thứ tự các số tự nhiên thành dãy số tự nhiên Một số đặc điểm của dãy số tự nhiên (rời rạc, xếp thứ tự tuyến tính, có phần tử đầu, không có phần tử cuối)…

Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia các số tự nhiên: ý nghĩa, bảng tính, một số tính chất cơ bản của các phép tính, tính nhẩm và tính viết (theo thuật toán), thứ tự thực hiện các phép tính trong biểu thức có nhiều phép tính, mối quan hệ giữa các phép tính (đặc biệt giữa cộng và trừ, cộng và nhân, nhân và chia)

Giới thiệu bước đầu về phân số: khái niệm ban đầu, cách đọc, cách viết, so sánh, thực hành cộng, trừ, nhân, chia trong trường hợp đơn giản

Khái niệm ban đầu về số thập phân: cách đọc, cách viết (trên cơ sở mở rộng hệ ghi số thập phân); so sánh và xếp thứ tự: cộng, trừ, nhân, chia các số thập phân (ý nghĩa, một số tính chất cơ bản của phép tính, tính nhẩm và tính viết theo thuật toán…) Một số đặc điểm của tập hợp các số thập phân (xếp thứ tự tuyến tính, giữa hai số thập phân bất kì có rất nhiều số thập phân) (xem [5], tr

22, tr 23)

1.3 Suy luận

Định nghĩa: Hiện nay vẫn còn khá nhiều ý kiến về định nghĩa phép suy

luận Qua tìm hiểu tôi có dẫn ra 2 cách phát biểu định nghĩa về suy luận như sau:

a Suy luận là quá trình suy nghĩ đi từ một hay nhiều mệnh đề rút ra một mệnh đề mới, mệnh đề mới gọi là kết luận hay hệ quả logic (xem [14], tr 38)

liên tục trên đoạn p q,  và f p f q ( ) ( ) 0

Vậy tồn tại điểm c ( , )p q sao cho f c ( ) 0

Hai kiểu suy luận thường gặp là là: suy luận diễn dịch (hay còn gọi là suy diễn)

và suy luận nghe có lí (hay suy luận có lí)

1.3.1 Suy luận diễn dịch

Suy luận diễn dịch (hay còn gọi là suy diễn) là suy luận theo những quy tắc suy luận tổng quát (của logic mệnh đề) Trong suy luận diễn dịch, nếu các tiền đề đúng thì kết luận rút ra cũng phải đúng

Mỗi chứng minh bao gồm một số hữu hạn bước suy luận đơn giản Trong mỗi bước suy luận đơn giản đó ta cần sử dụng một quy tắc suy luận để từ những mệnh đề đã được thừa nhận là đúng suy ra được một mệnh đề mới Các mệnh đề xuất phát đã được thừa nhận đúng gọi là các tiền đề, mệnh đề mới được suy ra là

hệ quả logic của các tiền đề Từ đó người ta có định nghĩa quy tắc suy luận như

sau: Giả sử A1, A2,…, An, B là những công thức Ta nói B là hệ quả logic của A1,

A2,…, An nếu mọi hệ chân trị có thể nhận của các biến mệnh đề có mặt trong các công thức đó mà A1, A2,…, An đồng thời nhận giá trị 1 đều có B nhận giá trị 1 Khi B là hệ quả logic của A1, A2,…, An thì ta cũng nói có một quy tắc suy luận

từ các tiền đề A1, A2,…, An tới hệ quả logic B của chúng (xem [1], tr 86)

Trong logic vị từ, ngoài những quy tắc suy luận của logic mệnh đề ta thường gặp và vận dụng hai quy tắc suy luận dưới đây:

- Nếu tứ giác là hình thoi thì hai đường chéo của nó vuông góc với nhau

- Tứ giác ABCD là hình thoi

Vậy ACBD

Trong ba ví dụ trên, các tiền đề đều đúng, ta đã vận dụng các quy tắc suy luận 1,

2 vừa nêu trên Vì vậy các kết luận của chúng phải đúng

Ví dụ 4:

- 672 chia hết cho 3

- 672 chia hết cho 4

Vậy 672 chia hết cho 3 và 4

Trong ví dụ này, các tiền đề đều đúng, ta đã vận dụng quy tắc suy luận:

- Nếu a chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3

- Nếu a chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3

Ta rút ra kết luận: “Nếu a chia hết cho 6 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3” Ở đây các tiền đề đều là những định lí đã được chứng minh trong toán học

Ta vận dụng quy tắc suy luận bắc cầu:

1.3.2 Suy luận nghe có lí

Suy luận nghe có lí (hay còn gọi là suy luận có lí) là suy luận không theo một quy tắc suy luận tổng quát nào Nó chỉ xuất phát từ những tiền đề đúng để rút ra một kết luận Kết luận này có thể đúng mà cũng có thể sai

Mặc dù suy luận nghe có lí có hạn chế nêu trên nhưng nó có ý nghĩa rất quan trọng trong khoa học và đời sống: giúp chúng ta từ những quan sát cụ thể

có thể rút ra những giả thuyết, phán đoán để rồi sau đó tìm cách chứng minh chặt chẽ giả thuyết đó Nó đặt cơ sở cho nhiều phát minh trong khoa học

Trong toán học, hai kiểu suy luận nghe có lí thường sử dụng là:

- Phép quy nạp không hoàn toàn

Ví dụ:

a) 116 4; 228 4; 2004 4;    và đi đến kết luận “Nếu số tạo bởi hai chữ số tận cùng bên phải chia hết cho 4 thì chia hết cho 4” Kết luận này đúng nhưng còn cần phải chứng minh (xem [1], tr 91)

b) Thiên nga ở Mĩ có lông màu trắng, thiên nga ở Nga có lông màu trắng, thiên nga ở Ca – na – đa có lông màu trắng, … và đi đến kết luận “Tất cả thiên nga đều có lông màu trắng” Kết luận này được coi là đúng khi chưa phát hiện ra

ở đâu đó có thiên nga lông không màu trắng (xem [1], tr 91]

- Phép tương tự

Ví dụ:

a) Trong hình học phẳng ta có định lí “Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau” Một cách tương tự chuyển sang hình học không gian ta có “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau” Ta đã biết kết luận này sai (xem [1], tr 91, tr 92)

b) Với mọi số nguyên a ta có “a2   ” Một cách tương tự ta có a 2

“a k  a k với mọi kN*” Vì 24 2 không chia hết cho 4 nên kết luận trên không đúng với k = 4 Vì 2 là số nguyên tố nên một cách týõng tự ta lại có

“a p  a p với một số nguyên tố p” Kết luận này đúng, đó chính là định lí Phéc – ma (xem [1], tr 91, tr 92)

Phép quy nạp không hoàn toàn và phép tương tự là hai phép suy luận có vai trò đặc biệt quan trọng trong phát minh sáng tạo, nó giúp chúng ta đưa ra những phán đoán về các kết quả mới (xem [1], tr 92)

Một số ví dụ về 2 phép suy luận trên:

Đây là phép quy nạp không hoàn toàn Trong phép suy luận này, xuất phát

từ những tiền đề đúng mà kết luận rút ra lại sai

Ví dụ 8:

Từ định lí trong hình học phẳng “Nếu hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”

Ta đưa ra một giả thuyết “Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ

ba thì chúng song song với nhau”

Đây là phép suy luận tương tự Giả thuyết nêu ra ở đây là đúng

Trong suy luận diễn dịch, tư các tiền đề A, B ta rút ra kết luận C bằng cách

vận dụng các quy tắc suy luận tổng quát Ta gọi phép suy luận dạng này là suy luận hợp logic Ở đây chúng ta chỉ quan tâm đến hình thức hay cấu trúc của suy

luận mà không quan tâm đến nội dung, ý nghĩa của các mệnh đề trong suy luận

đó

Trong toán học, nếu các tiền đề A, B của suy luận đều đúng (là những định nghĩa, tiền đề hoặc định lí đã được chứng minh trước đó) ta rút ra kết luận

C thì ta nói C là một kết luận chứng minh, còn suy luận đó là một chứng minh

Vậy chứng minh một mệnh đề X là vạch rõ rằng X là kết luận logic của các tiền đề đúng (xem [2], tr 186, tr 187)

Mỗi chứng minh toán học bao gồm một số hữu hạn bước, trong đó mỗi bước là một suy luận diễn dịch, trong đó ta đã vận dụng một quy tắc suy luận tổng quát

Trong trường hợp chứng minh chỉ gồm một bước thì đó chính là một phép suy luận diễn dịch với các tiền đề đúng

Một phép chứng minh gồm ba phần:

1 Luận đề: Là mệnh đề ta phải chứng minh

2 Luận cứ: Là những mệnh đề mà tính đúng đắn của nó đã được khẳng định (thường là các định nghĩa, tiền đề hoặc định lí đã được chứng minh trước đó,…) dùng làm tiền đề trong mỗi bước suy luận

3 Luận chứng: Là những quy tắc suy luận tổng quát được sử dụng trong mỗi bước suy luận của chứng minh đó (xem [2], tr 187)

Như vậy chứng minh từ tiền đề A dẫn đến kết luận B(AB) là:

- Thiết lập một dãy các bước suy luận diễn dịch

- Trong mỗi bước ta chỉ rõ tiền đề, kết luận và quy tắc suy luận tổng quát được áp dụng

Chẳng hạn:

- Mỗi suy luận trong các ví dụ 1 – 5 là một chứng minh (vì các tiền đề trong mỗi suy luận đều đúng và ta đều áp dụng những quy tắc suy luận tổng quát của logic mệnh đề)

- Xét các suy luận sau:

 Từ hai tiền đề:

+) Nếu tổng các chữ số của một số chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 3 +) 125 có tổng các chữ số chia hết cho 3

Rút ra kết luận 125 chia hết cho 3

Trong cả hai suy luận này, rõ ràng kết luận rút ra đều sai (vì tiền 1 đề của suy luận thứ nhất và tiền đề 2 của suy luận thứ hai đều sai) Vậy chúng là suy luận hợp logic nhưng không phải là một chứng minh

1.5 Các phương pháp chứng minh toán học thường gặp

Có nhiều phương pháp chứng minh, dưới đây là một số phương pháp chứng minh thông dụng nhất

1.5.1 Phương pháp chứng minh trực tiếp

Cơ sở của phương pháp chứng minh trực tiếp là quy tắc suy luận bắc cầu