MỞ ĐẦU
1 Lí do chọn đề tài
Nghị quyết hội nghị lần thứ IV ban chấp hành Trung ương Đảng cộng sản Việt Nam khoá VII đã khẳng định: Đôi mới phương pháp dạy và học ở tất cả các cấp học, bậc học áp dụng những phương pháp dạy học hiện đại để bồi đưỡng cho học sinh năng lực, tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vẫn đề Thế nhưng, muốn có năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tư đuy sáng tạo thì cần phải có năng lực tư duy lôgic Điều này đã được nhiều nhà nghiên cứu trong và ngoài nước khăng định bởi những lợi ích mà nó mang lại Song trong thực tế, việc bồi dưỡng tư duy lôgic ở trường phố thông nói chung, trường tiểu học nói riêng chưa đáp ứng được yêu cầu của Đảng đặt ra đối với sự nghiệp giáo dục, cũng như những đòi hỏi của xã hội
Mơn tốn ở tiểu học, cũng như việc dạy các tính chất, quy tắc thực hành bốn phép tính không chỉ đơn thuần rèn kỹ năng tính toán, giải toán, mà quan trọng hơn là nhằm phát triển tư duy, rèn luyện phương pháp suy luận cho học sinh Hình thành phương pháp suy luận không những nâng cao năng lực suy nghĩ cho các em, mà còn là phương tiện để giáo viên truyền thụ kiến thức mới nhằm hình thành, rèn giữa các kỹ năng khác cho học sinh Chương trình và sách giáo khoa phải đảm bảo phải dạy học sinh những nguyên lí cơ bản, toàn diện về mặt đức dục, trí dục, mỹ dục; đồng thời tạo điều kiện cho các em phát triển óc thông minh, khả năng độc lập suy nghĩ sáng tạo Cái quan trọng của trí dục là rèn luyện óc thông minh và sức suy nghĩ
Trang 2không phát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của người học, mặt khác không phát triển được tư duy lôgic cho học sinh
Mặc dù phép suy luận quy nạp (đặc biệt là quy nạp khơng hồn tồn) khơng đáng tin cậy song trong việc dạy toán ở tiểu học, phép quy nạp khơng hồn toàn đóng vai trò rất quan trọng Với học sinh tiểu học còn nhỏ, vốn sống còn hạn chế, tư duy trừu tượng chưa phát triển, các vẫn đề giảng dạy đều phải thông qua thực nghiệm, nên đây là phương pháp chủ yếu, đơn giản nhất,
đễ hiểu nhất đối với học sinh Mặc dù nó chưa cho phép chúng ta chứng minh
được chân lí mới nhưng cũng giúp chúng ta đưa các em thật đến gần chân lí ay, giúp giải thích ở mức độ nào đó các kiến thức mới, tránh được tình trạng bắt buộc phải thừa nhận kiến thức mới một cách hình thức, hời hợt
Đứng trước thực tiễn đó với mong muốn góp một phần nhỏ vào việc để nâng cao chất lượng dạy học môn Toán nói chung, mạch kiến thức hình học ở tiểu học nói riêng, nhằm rèn luyện tư duy lôgic và phương pháp chứng minh cho hoc sinh và trau dồi kiến thức cho bản thân sau khi ra trường tôi đã quyết định chọn và nghiên cứu đề tài: “Suy luận và chứng minh trong việc dạy học mạch hình học toán tiểu học” Qua điều tra tôi thấy chưa có ai nghiên cứu đề tài này
2 Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là tìm hiểu nội dung, tính chất của suy luận và chứng minh và các dạng bài tập có vận dụng các tính chất đó vào để giải Qua đó góp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả của việc dạy học về suy luận và chứng minh trong mạch hình học cho học sinh tiểu học
3 Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tim hiéu co sé lý luận và thực tiễn của việc dạy học chứng minh và suy luận
Trang 34
Nghiên cứu và hướng dẫn học sinh phương pháp giải các dạng toán có liên quan đến việc vận dụng phương pháp chứng minh và suy luận trong giải toán
Đề xuất một số dạng bài tập có vận dụng phương pháp suy luận và chứng minh
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đôi tượng nghiên cứu :
Các bài toán có sử dụng phương pháp suy luận và chứng minh Phạm vỉ nghiên cứu :
Các bài toán có nội dung hình học có vận dụng suy luận và chứng minh ở lớp 2, 3, 4, 5 và các sách tham khảo
5 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận Phương pháp điều tra
Phương pháp quan sắt
Phương pháp tông kết kinh nghiệm Câu trúc khoá luận
Phần mở đầu
Phần nội dung
Phần kết luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, phần nội dung của
khoả luận có câu trúc gôm những phân như sau:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1 Cơ sở lý luận 1.2 Cơ sở thực tiễn
Trang 42.2 Chứng minh
2.2.1 Phương pháp chứng minh trực tiếp
2.2.2 Phương pháp chứng minh quy nạp hoàn toàn 2.2.3 Phuong pháp chứng minh quy nạp toán học
Chương 3: Suy luận và chứng minh trong việc dạy học mạch hình học toán tiểu học
3.1 Các phương pháp suy luận trong dạy học mạch hình học ở tiêu học 3.1.1 Phương pháp suy luận quy nạp
3.1.2 Phương pháp suy diễn
3.2 Vấn đề suy luận với dạy học mạch hình học ở toán tiêu học
Trang 5CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIẾN
Ở chương 1 chúng tôi trình bày về cơ sở lý luận đó là đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học và cấu trúc mạch hình học ở tiểu học, đồng thời nêu ra cơ sở thực tiễn là những thuận lợi và khó khăn khi dạy và học suy luận và chứng minh
1.1 Cơ sở lý luận
1.1.1 Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học
Nhìn chung, ở học sinh tiêu học hệ thống tín hiệu thứ nhất còn chiễm ưu thế, các em rất nhạy cảm với các động tác bên ngoài, điều này phản ánh những hoạt động nhận thức của học sinh tiểu học Tuy nhiên, ở giai đoạn cuối bậc tiểu học hệ thống tín hiệu thứ hai đã phát triển nhưng còn ở mức độ thấp
Khả năng phân tích của học sinh tiểu học còn hạn chế, các em thường tri giác trên tong thể So với học sinh ở đầu bậc tiểu học, các em học sinh ở lớp cuối tiểu học có các hoạt động tri giác đã phát triển và được hướng dẫn bởi các hoạt động nhận thức khác nên chính xác dân
Sự chú ý không phủ định còn chiếm ưu thế ở học sinh tiểu học Sự chú ý này không bền vững nhất là đối với các đối tượng ít thay đổi Do thiếu khả
năng tổng hợp, sự chú ý của học sinh còn phân tán, lại thiếu khả năng phân tích nên đễ bị lôi cuốn vào hình ảnh trực quan, gợi cảm Sự chú ý của học sinh tiểu học thường hướng ra bên ngoài hành động chứ chưa có khả năng hướng vào bên trong, vào tư duy
Trí nhớ trực quan hình tượng và trí nhớ máy móc phát triển hơn trí nhớ
lôgic Hình tượng, hình ảnh cụ thể để nhớ hơn là các câu chữ hình tượng khô
Trang 6tản mạn, ít có tổ chức và chịu nhiều ảnh hưởng của hứng thí, của kinh nghiệm sống và các mẫu hình đã biết
Với đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học như đã nêu, ta phải dẫn dắt cho học sinh các bước để giải một bài toán bằng cách sử dụng phương pháp suy luận, từng bước dé chứng minh được một mệnh đề trong quá trình giải
các bài toán có nội dung hình học để đạt hiệu quả cao, làm thế nào để thu hút
sự chú ý của học sinh tiểu học, giúp học sinh hiểu được bản chất của bài toán, biết giải các bài toán một cách khoa học lôgic đồng thời phát triển khả năng tư duy của học sinh tiểu học
Chính vì thế, đối với các bài toán có nội dung hình học, cần sử dụng cách dẫn dắt, cách tóm tắt hợp lí đề diễn đạt một cách trực quan các điều kiện của bài toán Giúp học sinh loại bỏ được cái không bản chất để tập trung vào cái bản chất toán học, nhờ đó có cái nhìn bao quát, tìm ra được mối liên hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm để tìm ra cách giải quyết bài toán
1.1.2 Cầu trúc mạch hình học ở tiêu học
Mạch hình học trong chương trình mơn Tốn ở tiểu học gồm các nội dung sau:
Nhận dạng các hình vuông, tam giác, tròn,
Giới thiệu về điểm, đoạn thắng Thực hành vẽ đoạn thắng, vẽ hình trên
giẫy ô vuông, gấp, cắt hình
- Đường thắng, ba điểm thắng hàng Đường gấp khúc, tính độ dài đường gấp khúc
- — Hinh tứ giác, hình chữ nhật Vẽ hình trên giấy ô vuông
- _ Giới thiệu khái niệm ban đầu về chu vi của một hình đơn giản, tính chu
vi cua hình tam giác, tứ giác
Trang 7Giới thiệu đỉnh, góc, cạnh của hình đã học - _ Tính chu vi hình chữ nhật, hình vuông
- GIới thiệu compa Giới thiệu tâm và bản kính, đường kính của hình tròn Vẽ đường tròn băng compa Thực hành vẽ trang trí hình tròn - - Giới thiệu diện tích của một hình Tính diện tích hình chữ nhật và diện
tích hình vuông
- _ Góc tủ, góc nhọn, góc bẹt Nhận dạng góc trong các hình đã học
- Giới thiệu hai đường thăng cắt nhau, hai đường thẳng vuông góc, hai đường thắng song song với nhau
- Hinh bình hành và hình thoi Giới thiệu công thức tính diện tích hình
bình hành (đáy, chiều cao), hình thoi
- _ Thực hành vẽ hình bằng thước và êke, cắt, ghép, gấp hình
- - Diện tích hình tam giác, hình thang, hình thoi Chu vi và diện tích hình tròn
- _ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hình trụ, hình cầu Diện tích xung
quanh, diện tích toàn phân, thể tích của hình hộp chữ nhật, hình lập
phương, hình trụ
1.2.3 Vịiêc dạy học mạch hình học ở tiểu học
Trong mơn Tốn, những kiến thức hình học có rất nhiều ứng dụng trong đời sông hàng ngày Vì vậy chương trình toán tiểu học, mạch kiến thức số học là trọng tâm, là hạt nhân của chương trỉnh song các kiến thức về hình học cũng gan bó rất chặt chẽ với kiến thức số học và đại lượng
Ở tiểu học thì các kiến thức về hình học không mang ý nghĩa thực của nó mà mới được coi là bước chuẩn bị cho việc học hình học Việc dạy học các yếu tố hình học cho học sinh tiểu học là nhằm trang bị cho học sinh những biểu tượng chính xác về một số hình học đơn giản và một số đại lượng hình
Trang 8kẻ, sử dụng êke, compa để vẽ, đo các hình học đơn giản Từ đó giúp các em năm được các đặc điểm cơ bản của các hình học để nhận dạng hình một cách nhanh chóng, chính xác, biết so sánh, phân biệt hình này với hình kia, tạo cho học sinh tính tích cực, hứng thú học tập trên cơ sở đó phát triển các năng lực trí tuệ, phát triển trí tưởng tượng không gian (thông qua các bài tập vẽ hình,
ghép hình, tổng hợp hình, )
Mặc dù vẫn khẳng định và chuẩn bị cho việc học hình học một cách có hệ thống nhưng việc dạy hình học ở tiêu học vẫn thể hiện được hai phương điện của việc dạy hình học như sau:
+ Quan sát và hành động trên các đồ vật, thu thập các thông tin có liên quan nhằm hình thành một số kĩ năng thao tác với các đối tượng hình: Vẽ
hình, cắt ghép hình, đo đạc, biến hình
+ Bước đầu trừu tượng hóa dẫn tới mơ hình tốn học đồng thời làm quen với ngôn ngữ hình học
Trang 9thức hình học của bậc tiêu học Từ đó phát triển được năng lực tư duy, khả
năng suy luận, chứng minh của học sinh
12 Cơ sở thực tiễn
Đề tìm hiểu thực trạng về công tác dạy học suy luận và chứng minh mạch số học (chủ yếu là ở lớp 2,3,4, 5) ở trường tiểu học, trong thời gian thực tập tại trường tiểu học theo sự phân công của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Tôi đã có điều kiện tìm hiểu thực trạng ở hai trường trên khu vực Thị trần Đông Anh đó là: Trường Tiểu học Tiên Dương và Trường Tiểu học Uy Nỗ
Đề thu thập thông tin tôi tiến hành điều tra các đối tượng là giáo viên phụ trách các khối lớp 2, 3, 4, 5 đồng thời tiễn hành tổng kết các kinh nghiệm
dạy toán Sau quá trình tìm hiểu tôi thu được các thông tin sau: - _ Một là về khả năng của học sinh
Đối với Trường Tiểu học Tiên Dương và Trường Tiểu học Uy Nỗ thì
đây là trường đạt chuẩn quốc gia chất lượng học sinh tương đối tốt và đều có học sinh đạt giải cấp thành phố và quốc gia
Bên cạnh đó, do đây là khu vực đông dân cư và nằm ở vùng ngoại thành
Hà Nội nên còn khá nhiều học sinh có điều kiện khó khăn, chưa được quan
tâm, chăm sóc nhiều về van đề học tập Do đó mà nhiều học sinh tiếp thu kiến thức còn rất chậm, không nắm vững kiến thức cơ bản
- - Hai là những khó khăn của giáo viên trong công tác dạy học suy luận và chứng minh mạch hình học
Có rất nhiều khó khăn mà giáo viên gặp phải trong quá trình dạy học về suy luận và chứng minh, ở đây tôi xin đưa ra những khó khăn chính, thường gặp của giáo viên khi dạy học về suy luận và chứng minh trong mạch hình học như sau:
Trang 10+ Nhiều học sinh chưa nắm chắc về các tính chất, quy tắc, công thức cơ bản của hình học + Khả năng tư duy trừu tượng còn hạn chế và các em chỉ quen với tư duy cu thé + Học sinh chưa có kĩ năng tóm tắt, phân tích một dé toán của học sinh chưa cao Kết luận
Trang 11CHƯƠNG 2
CHUNG MINH VA SUY LUAN
2.1 Suy luan 2.1.1 Khai niém
Suy luận là một hình thức tư duy, nó là một thao tác lôgic, trong đó xuất phát từ một, hai hay nhiều mệnh đề đã cho ta thu được mệnh đề mới
( Xem [12], tr.80)
Suy luận là một trong cách cơ bản để con người làm tăng trưởng các sự hiểu biết về các sự vật và hiện tượng trong thế giới khách quan
Suy luận là rút ra một mệnh đề mới từ một hay nhiều mệnh đề đã biết
2.1.2 Cấu trúc lôgic của suy luận
Mỗi phép suy luận gồm ba thành phân:
Tiên đề: là các mệnh đề đã cho
Cơ sở lôgic: là tông hợp các quy luật, quy tắc Kết luận: là mệnh đề mới được rút ra
2.1.3 Quy tắc suy luận
Định nghĩa quy tốc suy luận: Giả sử Ai, A¿, ,Aa, B là những công thức Ta nói B là hệ quả lôg¡c (kết luận) của A¡„A;, ,A„ nếu mọi hệ chân trị có thể nhận
của các biễn mệnh đề có mặt trong các công thức đó mà A¡,A¿, ,Án đồng thời
nhận giá trị 1 đều có B nhận giá trị l
Ngược lại, khi B là hệ quả lôg1c của A¡,Aa, ,Aa thì ta cũng nói có một quy tặc suy luận từ tiền đề A,A¿, ,A„ tới hệ qua légic B cua chung
Quy tắc suy luận nói trên được kí hiệu là: A,A¿, ,A„ hay A¡,As, ,A„|B
B
Trang 13Vi dul: - Khi đôi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi - 20 +30 = 50 Vậy 30 + 20 = 50 hay 20 + 30 = 30 + 20 Vi du 2:
- Khi nhân một sô tự nhiên với 10, ta chỉ việc việt thêm một chữ sô 0 vào bên phải của số đó
-35x 10
Vay 35 x 10 = 350
2.1.4 Phân loại suy luận
Căn cứ vào tính chất của các tri thức được chứa trong các tiền đề và kết luận, căn cứ vào cơ sở của phép suy luận, người ta chia suy luận ra làm hai loại: suy luận diễn dịch (hay còn gọi là suy diễn) và suy luận nghe có lí (hay suy luận có lí) 2.141 Suy luận diễn dịch
Suy luận diễn dịch ( hay còn gọi là suy diễn) là suy luận theo những quy tắc suy luận tổng quát (của lôgic mệnh đề) Trong suy luận diễn dịch, nếu các tiền đề
đúng thì kết luận rút ra cũng phải đúng (Xem [11], tr.184)
Trang 14Có nghĩa là:
Nếu P(x)—> Q(x) đúng với mọi x eX và P(a) đúng thì Q(a) cũng là mệnh
đề đúng
Ví dụ 1
- Nếu tứ giác là hình thoi thì hai đường chéo của nó vuông góc với nhau -Tu giac ABCD 1a hinh thoi
Vay ACL BD Vi du 2
- 672 chia hét cho 3 - 672 chia hét cho 4
Vậy 672 chia hết cho cả 3 và 4
Trong ví dụ này, các tiền đề đều đúng, ta đã vận dụng các quy tắc suy luận : P->q.q-›r
por 2.142 Suy luận nghe có li
Suy luận nghe có lí (hay còn gọi là suy luận có lí) là suy luận không theo một quy tắc suy luận tổng quát nào Nó chỉ xuất phát từ những tiền đề đúng để rút ra một kết luận Kết luận này có thể đúng, có thể sai
(Xem [11], tr.185]
Mặc dầu suy luận nghe có lí có hạn chế nêu trên nhưng nó có ý nghĩa rất quan trọng trong khoa học và đời sống: giúp chúng ta từ những quan sát cụ thể rút ra những giả thuyết, phán đoán để rồi sau đó tìm cách chứng minh chặt chẽ giả thuyết đó Nó đặt cơ sở cho nhiều phát minh trong khoa học
Trong toán học, hai kiểu suy luận nghe có lí thường sử dụng là: Phép suy luận quy nạp và phép tương tự
Trang 15Theo từ điển tốn học thơng dụng, phương pháp quy nạp là phương pháp suy luận dựa trên quan sát và thí nghiệm, xuất phát từ những trường hợp riêng lẻ, rồi mở rộng các kết quả có tính chất quy luật ra cho trường hợp tổng quát
Polya khẳng định suy luận quy nạp là trường hợp riêng của suy luận có lí hay còn được giáo sư Hoàng Chúng gọi là “Suy luận nghe có lí” Suy luận quy nạp là kiểu suy luận trong đó lập luận đi từ cái riêng đến cái chung, đi từ bộ phận đến toàn thê
Trong bất kì một lĩnh vực khoa học và thực tiễn nào, nhận thức bao gid cũng bắt đầu từ kinh nghiệm Qua thực nghiệm con người phát hiện ra bản chất, các thuộc tính riêng lẻ của các sự vật và hiện tượng riêng lẻ con người muốn khái quát hóa và rút ra các tri thức chung, có tính quy luật về các lớp sự vật giống nhau
Cơ sở lập luận của phép quy nạp là: thừa nhận quy luật phát triển của thế giới khách quan, cái riêng tồn tại trong cái chung, cái chung tỒn tại trong cái riêng, qua cái riêng Nhưng để rút ra cái chung, con người không cần phải
nghiên cứu tất cả mà chỉ nghiên cứu một phần, từ đó khái quát hóa Sơ đồ khái tổng quátlà A.B.C.D có thuộc tính P
A.B.C.D thuộc lớp S
KL: Tất cả S có thuộc tính P (Xem [12], tr.91)
Trang 16ta dự đoán kết quả tổng quát sau khi mới chỉ xem xét một số trường hợp riêng mà thôi
Đặc điểm của suy luận quy nạp là ở chỗ không có quy tắc tổng
quát như đối với suy luận diễn dịch Từ tiền đề có cẫu trúc xác định nào đó, được thừa nhận là đúng, thì kết luận rút ra bằng quy nạp không chắc chắn đúng, có thê đúng, cũng có thể sai
Căn cứ vào đặc điểm của tiền đề trong các phép suy luận quy nạp, người ta chia các suy luận quy nạp ra làm hai loại: Quy nạp hoàn toàn và quy nạp khơng hồn tồn
a _ Quy nạp hoàn toàn:
Phép quy nạp hoàn toàn là phép suy luận đi từ việc khảo sát tất cả các trường hợp riêng, rồi nhận xét để nêu kết luận chung cho tất cả các trường hợp riêng đó và chỉ cho những trường hợp riêng ấy mà thôi Vi du 5 chia hết cho 5 15 chia hết cho 5 25 chia hết cho 5 35 chia hết cho 5 45 chia hết cho 5
Kết luận: Trong phạm v1 50 số tự nhiên đầu tiên, các số có tận củng là 5
đều chia hết cho 5
b._ Quy nạp khơng hồn tồn
Phép quy nạp khơng hồn tồn là phép suy luận di tir mot vài trường hợp riêng để rút ra nhận xét rồi rút ra kết luận chung
Ví dụ 1
20 chia hết cho 5
Trang 1740 chia hết cho 5
Kết luận: Các số có tận củng là 0 thì chia hết cho 5
Đây là phép suy luận không hoàn toàn Trong phép suy luận này, xuất phát từ những tiền đề đúng và cũng rút ra kết luận đúng Vi du 2 Từ các tiền đề: - 42 chia hết cho 3 - 72 chia hết cho 3 - 132 chia hết cho 3 Ta rút ra kết luận: Những số có chữ số hàng đơn vị bằng 2 thì nó chia hết cho 3
Đây là phép suy luận khơng hồn tồn Trong phép suy luận này, xuất phát từ những tiền đề đúng mà rút ra kết luận sai
2.1.4.2.2 Phép tương tự
Phép tương tự là phép suy luận đi từ một số sự giống nhau của một số thuộc tính nào đó của hai đối tượng để rót ra kết luận về sự giống nhau của các thuộc tính khác của hai đối tượng đó Tuy nhiên, kết luận của phép tương tự có thê đúng cũng có thé sai
Ta có sơ đồ sau: A và B có chung các thuộc tính: a, b, c, đ, e, f B có thêm các thuộc tính: m, n
Kết luận: Có thể A có các thuộc tính: m, n
Khi kết luận có thể A có các thuộc tính: m, n không phải tùy tiện vì sự vật nào đó có dấu hiệu xác định không phải tự nhiên mà nó có nguyên nhân của nó, do đó đối tượng AÁ có một số thuộc tính giỗng B thì rất có thể có chung với B một vài thuộc tính khác nữa (Xem [12], tr 93,94)
Trang 18Tiền đề: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tông các số tự nhiên thì tổng
không thay đôi
Kết luận: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng các phân số thì tổng
không đổi
Vi du 2
Từ định lí trong hình học phẳng “ nếu hai đường thắng cùng song song với đường thắng thứ ba thì chúng song song với nhau”
Ta đưa ra một giả thuyết “Hai mặt phăng cùng song song với một mặt phắng thứ ba thì chúng song song với nhau”
Đây là phép suy luận tương tự Giả thuyết nêu ra ở đây là đúng
Toán học là một khoa học suy diễn Những van đề toán học, được trình bày dưới hình thức hoàn chỉnh, chỉ bao gồm những suy luận diễn dịch Nhưng trong quá trình quy nạp và phát minh, sáng tạo toán học, suy diễn được gắn chặt với quy nạp và tương tự Thường phải dùng quy nạp và tương tự để đề ra
giả thuyết, đự đoán về một định lí, về ý của chứng minh trước khi tiễn hành
chứng minh chỉ tiết Phép suy luận quy nạp khơng hồn tồn và phép suy luận tương tự là hai phép suy luận có vai trò đặc biệt quan trọng, có gia tri to lớn trong hoạt động thực tiễn, là giai đoạn đầu cho phép đưa ra các giả thuyết, nó là thủ thuật dẫn nhà nghiên cứu tới dự đoán và phát hiện ra tri thức mới
2.2 Chứng minh 2.2.1 Khải niệm
Chứng minh là thao tác lôgic dùng để lập luận tính chân thực của phán đoán nào đó nhờ các phán đoán chân thực khác có mối liên hệ hữu cơ với phán đoán ấy (Xem [12], tr.95)
Trang 19của suy luận mà không quan tâm đến nội dung, ý nghĩa của các mệnh đề trong suy luận đó
Trong toán học, nếu các tiền đề A, B của suy luận đều đúng (là những định nghĩa, tiền đề hoặc định lí đã được chứng minh trước đó) ta rút ra kết luận C thì ta nói C là một kế: luận chứng mỉnh, còn suy luận đó là một chứng minh
Vậy chứng mình một ménh dé X Ia két luận lôgic của các tiên đê đúng (Xem [11], tr.186,187)
2.2.2 Câu tạo của một phép chứng mình
Mỗi chứng minh toán học bao gồm một số hữu hạn bước, trong đó mỗi bước là một suy luận diễn dịch, trong đó ta đã vận dụng một quy tắc suy luận tông quát (Xem [5], tr.93)
Trong trường hợp chứng minh chỉ gồm một bước là suy luận diễn dịch với các tiền đề đúng
Một phép chứng minh gồm ba phan: Luận đề, luận cứ, luận chứng Luận đề: là mệnh đề ta phải chứng minh
Trả lời cho câu hỏi: “Chứng minh là gì?” Biểu hiện đưới các đạng:
- _ Các luận điểm lí luận khoa học như các định lí
- _ Có thể là kết quả khái quát các dữ kiện cụ thẻ - _ Xác định căn bệnh cụ thể của bệnh nhân - Su kién lịch sử nào đó
Luận cứ: là những mệnh đề mà tính đúng đắn của nó đã được khẳng định (thường là các định nghĩa, tiên đề hoặc định lí đã được chứng minh trước đó, ) dùng làm tiền đề trong mỗi bước suy luận
Trang 20Biểu hiện đưới các đạng:
- _ Các luận điểm tin cậy về các sự kiện: các kết quả thực nghiệm, các dau vết của vụ án còn để lại Các định nghĩa, các khái niệm
- Các tiền đề và định đề: là các phán đoán chân thực đã được thừa nhận
mà không cần chứng minh
- Cac dinh lí và định luật khoa học đã được chứng minh
Luận chứng: là những quy tắc suy luận tổng quát được sử dụng trong mỗi bước suy luận của chứng minh đó
Như vậy chứng minh từ tiền đề A dẫn đến kết luận B (A-›>B) là: - Thiết lập một dãy các bước suy luận diễn dịch
- Trong mỗi bước ta chỉ rõ tiền đề, kết luận và quy tắc suy luận tông quát được áp dụng
2.2.3 Các phương pháp chứng mình trong toán học thường gặp
Có nhiều phương pháp chứng minh, dưới đây ta trình bày một số phương pháp chứng minh thông dụng nhất 2.2.3.1 Phương pháp chứng mình trực tiếp Là chứng minh trong đó tính chân thực của luận đề được trực tiếp rút ra từ các luận cứ Cơ sở của phương pháp chứng minh trực tiếp là quy tắc suy luận bắc P->q,q-›>T por
Khi chứng minh từ tiền đề A đến kết luận B bằng phương pháp chứng minh trực tiếp, ta tiễn hành theo sơ đồ sau:
A >A,
Trang 21An-i> An A, > B Áp dụng quy tắc suy luận bắc cầu ta nhận được điều phải chứng minh (Xem [11], tr.188) Vidul
Ta phân tích chứng minh định lí “ Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường”
Định lí được tóm tắt như sau (Luận đề): Giả thiết ABCD là hình bình hành AC cat BD tai O Kết luận | OA = OC va OB = OD
Suy lu@n 1: A > Ai Luận chứng
+ Hình bình hành có các cặp cạnh đối song song (định p->q,P
nghĩa) 1
+ ABCD là hình bình hành AB //CD ; AD // BC Suy ludn 2: Ay -» Ay
+ Hai góc so le trong của hai đường thắng song song bị cắt p>q,p
bởi một cát tuyến thì bằng nhau (định li) 1 + AB // CD va BD cắt AB, CD; AD // BC và BD cắt AD,
BC; AC cắt AD, BC
B.=BVà B,= B, POdP q
Suy luận 3: Ay -»Az3
+ Hai đa giác có một cặp cạnh bằng nhau và các góc kề
Trang 22
cạnh đó băng nhau đôi một thì băng nhau (định lí) + BD chung, `=m VÀ fF © B,D," B: D; AABD = ACDB p>q,P Suy luận 4: A3 > Ag 1 + Hai tam giác bằng nhau có các cạnh bằng nhau và các cặp góc kề cạnh đó bằng nhau thì bằng nhau (định lí) + AABD = ACDB AB=CD;AD=CB p-›q,P Suy luận 5: Aa > As q + Hai tam giác có một cạnh bang nhau và các cặp góc kề cạnh đó bằng nhau thì bằng nhau (định lí) AB =CD, A 1=C, và B, =D, A AOB = ACOD P>qP q
Suy luận 6: As» Ag
Trang 23A->B
Qua phân tích trên đây ta thấy:
- Giả thiết và kết luận của định lí là luận đề của chứng minh
- Chứng minh của định lí trên có bảy bước, trong mỗi bước đều dùng các định nghĩa hoặc định lí đã được chứng minh làm luận cứ và ngầm sử dụng một suy luận tông quát làm luận chứng
Ví dụ 2:
Trong tam giác vuông, chứng minh trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyễn (Xem [5], tr.94) Bài giải Giả sử tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC Ta cần chứng minh AM = BC B A C
Gọi I là trung điểm của AB
Vì M là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra MI //CA Vì CA L AB suy ra MIL AB
Tam giác MAB có M vừa là trung tuyến, vừa là đường cao nên tam giác MAB cân tại M
Từ đó MA = MB = > BC
Trang 24Suy luận I: A;: AM là trung tuyến A»: MB = MC
Suy ludn 2: Ay: MB=MC A;: IA =IB
Ay: MI là đường trung bình A ABC Swy luận 3: — A¿: MI là đường trung bình A ABC A;: MI//CA Suy lu@n 4: As: MI//CA Ab: CA 1 AB A;: MI | AB Suy luadn 5: A;:IA=IB A;:MI L AB
Trang 25- Ở phô thông, trong các chứng minh toán học người ta thường bỏ đi nhiều tiền đề trong mỗi bước suy luận Vì vậy chứng minh được thực hiện theo sơ đồ thu gọn:
A >A; 9A) > => An _¡ 9A, 3B
- Trong phép chứng minh này (và nhiều phép chứng minh trực tiếp khác) ta thường sử dụng quy tắc suy luận kết luận bắc cầu Vì vậy hai phép suy luận này có vai trò đặc biệt quan trọng trong chứng minh trực tiếp
2.2.3.2 Phương pháp chứng minh phản chứng
Trong trường hợp tổng quát, muốn chứng minh từ tiền đề A dẫn đến kết luận B bằng phương pháp phản chứng ta tiễn hành theo sơ đồ sau:
- Giả sử A đúng mà B sai (Gla A BÌ= 1)
- 4A PB Ằ+> CAC
- Áp dụng quy tắc suy luận
AAB->CAC AB
Ta rút ra kết luan A> B 1a ding Đôi khi sơ đồ trên được thu gọn như sau: - Giả sử A đúng mà B sai (tức Ð đúng) -BoA BoA A>B Ta rút ra kết luận A ->B là đúng (Xem [11], tr.190) - Áp dụng công thức suy luận: Vi du:
Ta phân tích chứng minh định lí trong hình học phẳng “Nếu hai đường thăng cùng vuông góc với đường thăng thứ ba thì chúng song song với nhau” (Xem [11], tr.190)
Trang 26Giả thiết | alcvablc(a#b
Kết luận | a//b
Giả sử a không song song với b Suy ra a cắt b tại M Như vậy từ M ta kẻ được hai đường vuông góc với đường thắng c
Mệnh đề này sai vì nó mâu thuẫn với mệnh đề đúng đã biết trước “từ
một điểm ở ngoài một đường thắng ta chỉ kẻ được một và chỉ một đường thắng vuông góc tới đường thắng đó”
Vậy mệnh đề “Hai đường thắng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì cắt nhau” là sai Điều đó chứng tỏ răng mệnh để phải chứng minh là đúng 2.2.3.3 Phương pháp chứng mình quy nạp hoàn toàn
Giả sử tập hữu hạn X = {ai, a;, , an} và T(x) là hàm mệnh đề xác định trong tap X
Ta phải chứng minh mệnh đề:
Vx €X,T(x)
là đúng bang phương pháp quy nạp hoàn toàn Ta cần chứng tỏ rằng T(¡),
T(a;), , T(a„) đều là mệnh đề đúng
Ở đây ta áp dụng quy tắc suy luận tổng quát: Tứy,.TŒ,)- T(q,),X=_ tq›d,›-›q,„}
Vx € X,T(x)
(Xem [11],tr.191)
Vi du:
Chứng minh rằng tích của năm số tự nhiên liên tiếp thi chia hết cho 5 Giả sử n là số tự nhiên và T= n (n+1) (n+2) (n+3) (n+4) Gọi D là tập các số dư của phép chia n cho 5 Vậy D = {0,1,2,3,4}
Trang 27- Nếu số dư bằng 2 thì (n+3) :5 Suy ra T :5 - Nếu số đư bằng 3 thì (n+2) :5 Suy ra T :5
- Nếu số đư bằng 4 thì (n+1) :5 Suy ra T :5 Vậy T chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên
2.2.3.4 Phương pháp chung minh quy nap toan hoc
Dé ching minh tinh chat T(n) ding véi moi sé tự nhiên n (hoặc với mọi số
tự nhiên n>nạ) tức là phải chứng minh mệnh đề tổng quát vneN,70) (hoặc Vn > no, T(n)) đúng
Ta tiến hành theo các bước dưới đây:
Bước 1: Chứng minh G(T(0)) = 1 hay tính chất T(n) đúng với n = 0 (hoặc n = No)
Bước 2: Giả sit G(T(k)) = 1 hay tinh chat T(n) ding véi n = k Ta chứng
minh G(T(k+1) = 1) hay tính chất T(n) cũng đúng với n = k+1
Từ đó ta rút ra kết luận: tính chất T(n) đúng với mọi số tự nhiên n (hoặc với mọi số tự nhiên n >nạ hay VneN,T() (hoặc vn > nạ, T(n)) là mệnh đề đúng Cơ sở lôgic của phương pháp chứng minh này là quy tắc suy luận tổng quát sau: T(0), Vk € N,(T(k) > T(k +1)) Vne N,T(n) (Xem [11], tr.192) Vi du:
Cho n điểm trong mặt phẳng (n>2) Hỏi khi nối n điểm đó với nhau ta sẽ được bao nhiêu đoạn thăng? (Xem [11], tr.193)
Ta chứng minh số đoạn thắng đếm được khi nối n điểm đó với nhau là: S= (n-1)xn
2
Trang 28¡=(@-=Dx2 2
Vậy công thức trên đúng với n = 2
Giả sử công thức trên đúng với n = k Tức là khi nối k điểm cho trước trong mặt phắng ta được — đoạn thăng
Giả sử trong mặt phẳng cho trước k+1 điểm, khi nối k điểm đầu với nhau
@& =Ù
(theo giả thiết ở phần trên) ta được: k đoạn thắng Bây giờ ta nối điểm thir k+1 với k điểm còn lại ta được thêm k+l đoạn thang nữa Vậy số đoạn
(k —1)k k(k +1)
thăng đếm được khi nối k+l điểm đó với nhau là: +(k+l)= 5 (đoạn)
Vậy công thức trên đúng với n = kr]
Từ đó suy ra: Nếu cho trước n điểm phân biệt trong mặt phẳng thì nối chúng với nhau ta sẽ được _— đoạn thẳng
Khi chứng minh một mệnh đề nào đó ta cần chú ý đến các quy tắc của phép chứng minh như sau:
- Quy tắc 1: Cho luận đề: luận đề phải chân thực, phải được phát biểu rõ ràng, phải được giữ nguyên trong suốt quá trình chứng minh
- - Quy tắc 2: Cho luận cứ: luận cứ phải bao gồm các phán đoán chân thực đã được xác minh hoặc chứng minh
- Quy tắc 3: Cho luận chứng: luận chứng phải tuân theo các quy tắc của phép suy luận, đảm bảo tính hệ thống, nhất quán, không mâu thuẫn
Kết luận
Trang 29CHƯƠNG 3
SUY LUẬN VÀ CHỨNG MINH TRONG VIỆC DẠY HỌC
MẠCH HÌNH HỌC Ở TIỂU HỌC
Ở chương này chúng tôi trình bày về các phương pháp suy luận trong day hoc mạch hình học ở tiểu học Mỗi quan hệ giữa các phương pháp và vai trò của chúng trong việc dạy và học mạch hình học Bên cạnh đó chúng tôi đã đưa ra một số giải pháp và các dạng bài tập liên quan
3.1 Các phương pháp suy luận trong dạy học mạch hình học ở tiểu học Trong việc dạy học toán ở tiểu học, thì suy luận và chứng minh được dạy ở cả hai mạch kiến thức số học và hình học, nhưng trong phạm vi nghiên cứu của đề tài này, chúng tôi chỉ đề cập tới việc dạy học suy luận và chứng minh trong mạch kiến thức về hình học Trong dạy học các yếu tố hình học ta thường vận dụng các phép suy luận quy nạp (hồn tồn và khơng hoàn toàn), suy diễn và phép tương tự Dưới đây chúng tôi trình bày về các phép suy luận này
3.1.1 Phương pháp suy luận quy nạp
Phương pháp quy nạp là phép suy luận đi từ cái cụ thể để rút ra kết luận tổng quát, từ những cái riêng đến cái chung
Có hai loại quy nạp
+ Quy nạp khơng hồn toàn là phép suy luận trong đó kết luận tổng quát được rút ra chỉ dựa trên một số trường hợp riêng
Phép suy luận quy nạp khơng hồn tồn mặc dù trong một vài trường hợp không cho ta kết luận đáng tin cậy song trong dạy học Toán ở tiểu học nó có vai trò rất quan trọng
Trang 30các kiến thức mới, tránh được tình trạng bắt buộc phải thừa nhận kiến thức
một cách hình thức, hời hợt
Quy nạp hoàn toàn là phép suy luận quy nạp ổi từ việc khảo sát tất cả những trường hợp riêng rồi nhận xét để đưa ra kết luận chung cho những trường hợp riêng đó và chỉ cho các trường hợp đó mà thôi
Suy luận quy nạp được sử dụng rộng rãi trong quá trình dạy học xây dựng
công thức tính chu vi, điện tích và thê tích các hình ở tiểu học Trong giải toán
có nội dung hình học đôi khi ta cũng sử dụng phép quy nạp Vĩ dụ 1
Khi xây dựng công thức tính chu vi hình chữ nhật, thông qua bài toán
“Tính chu vi hình chữ nhật ABCD có chiều dài 4dm và chiều rộng 3dm”
Bằng cách quan sát trên hình vẽ và một số phép biến đổi, học sinh tính được chu vi hình chữ nhật là (4 + 3) x 2 = 14 (dm)
Từ đó ta rút ra quy tắc: “Muốn tính chu vi hình chữ nhật, ta lẫy chiều dài cộng với chiều rộng rồi nhân với 2”
P=(a+b)x2 Ở đây ta sử dụng phép quy nạp khơng hồn toản
Tiên đê 1: Hình chữ nhật có chiều dài 4dm và chiều rộng 3dm thì có chu vi bằng (4 + 3) x 2 = 14 (dm)
Kết luận: Hình chữ nhật có chiều dài a và chiều rộng b thì có chu vi là
(a +b) x 2 (Xem [11], tr.203) Vi du 2
Khi xây dựng công thức tính diện tích hình chữ nhật, thơng qua bài tốn
“ Tinh diện tích hình chữ nhật ABCD có chiều dài 4cm, chiều rộng 3cm”
Trang 31Từ đó rút ra quy tắc : “ Muốn tính diện tích hình chữ nhật ta lẫy chiều dài
nhân với chiều rộng (với cùng một đơn vị đo) S=axb Ở đây ta sử dụng suy luận khơng hồn tồn
Tiên đề I: Hình chữ nhật ABCD có chiều dài là 4cm, chiều rộng là 3cm thì
có diện tích bằng: 4 x 3 = 12 (cm?)
Kết luận: Hình chữ nhật có chiều dài a và chiều rộng b thì có diện tích là:
axb Vi du 3
Cho 9 điểm phân biệt Khi nối tất cả các điểm với nhau ta được bao nhiêu
Trang 32- Lần thứ hai ta rút ra được tổng trên bằng: n x (n-1):2
Vai trò và tác dụng của phương pháp quy nạp trong dạy học toán
“ Chúng ta cần chú ý rằng toán học có thể xét theo hai phương diện Nếu chỉ trình bày lại những kết quả toán học đã đạt được thì nó là một khoa học suy diễn và tính lôgic nỗi bật lên Nhưng nếu nhìn toán học trong quá trình hình thành và phát triển, trong quá trình tìm tòi phát minh thì trong phương
pháp của nó vẫn có mò mẫm, dự đoán, vẫn có “thực nghiệm” và quy nạp
Phải chú ý cả hai phương diện đó mới có thể hướng dẫn học toán, mới khai thác được đây đủ tiềm năng mơn tốn để thực hiện giáo dục toàn diện” (Xem [7], tr.25)
Các tác dụng to lớn của việc rèn luyện và phát triển quy nạp với kết quả học toán của học sinh được thể hiện cụ thể như sau:
- Nhờ quy nạp, chúng ta có thê rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy như phân tích, tong hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa, trừu tượng hóa Không những cần thiết cho việc học mà còn cần thiết cho các môn khoa học khác, cho công tác và hoạt động của con người
- Nhờ quy nạp, học sinh thấy được nguồn sốc, xuất cứ của khái niệm, định lí, con đường hình thành, chứng minh định lí, tại sao phải có khái niệm, định lí đó, Học sinh thấy được toán học bắt nguồn từ thực tế, chang han trong xây dựng, ta cần đo chiều cao của một cái cây mà yêu cầu không được chặt cây xuông Việc này người ta không thể làm trực tiếp được mà phải mở rộng, nghiên cứu hình học, giải tam giác và sau đó tiến hành đo đạc, tính toán trên thực tế Đồng thời thấy được toán học bắt nguồn từ nhu cầu phát triển của nội bộ toán học với thực tế và các ngành khoa học khắc, thay duoc mối liên hệ giữa toán học với thực tế và các ngành khoa học như vật lí, hóa
Trang 33- Không những thế, bằng quy nạp, tự bản thân học sinh, với khả năng của mình có thể phát hiện ra các tri thức mới đối với bản thân, tập luyện “sáng tạo” toán học ở mức độ người học sinh phô thông Vừa làm cho học sinh tiếp thu kiến thức một cách chủ động, không còn áp đặt như trước, học sinh vận dụng đúng các kiến thức toán hơn, vừa làm cho học sinh tự tin hơn trong học toán cũng như trong học tập từ đó mà khuyến khích học sinh học toán, học tìm tòi và phát hiện — bước đầu tiên để trở thành một nhà toán học, nhà khoa học vĩ đại trong tương lai
Nói tóm lại, phương pháp quy nạp có ý nghĩa quan trọng trong dạy học toán nói chung và dạy mạch hình học nói riêng Bởi thế mà giáo sư Hoàng Chúng đã nói: “Do ý nghĩa to lớn của suy luận quy nạp, trong dạy học hình học cần khai thác mọi cơ hội để hướng dẫn học sinh tìm tòi, phát hiện, dự đoán các tính chất, các quan hệ Những bài tập về tìm tòi và đự đoán bằng quy nạp có nhiều tác dụng rèn luyện tư duy và gây hứng thú học tập cho học sinh”
3.1.2 Phương pháp suy diễn
Suy diễn được sử dụng rộng rãi trong quá trình giải các bài tập hình học
Chắng hạn khi giải toán về tính chu vi và diện tích, thé tích các hình
Ví dụ 1: (Bài 2, trang 87 SGK Toán 3)
Trang 34Tiên đê 1: Hình chữ nhật có chiều dài bằng a, chiều rộng bằng b thì chu vi bằng (a+b) x 2
Tiên để 2: Mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài bằng 35m, chiều rộng bằng
20m
Kết luận: Chu vi của mảnh đất đó băng (35+20) x 2 (m) 3.1.3 Mỗi quan hệ giữa phép quy nạp và phép suy diễn
Trong toán học, hai phép suy luận này có mối quan hệ chặt chẽ với nhau Người ta dung phép quy nạp để dự đoán một quy luật toán học hoặc phát hiện ra các chân lí toán học mới, sau đó dùng phép suy điễn để kiểm tra, chứng minh, trình bày
Ở tiểu học ta thường dùng quy nạp để dạy cho học sinh kiến thức mới, các
quy tắc mới Sau đó dùng phép suy diễn để hướng dẫn học sinh luyện tập (áp
dụng các quy tắc và kiến thức mới vào giải các bài tập cụ thể) Hai phép suy luận này ứng với hai bước lên lớp quan trọng nhất là dạy bài mới và luyện tập rèn kĩ năng
Hai phép suy luận này còn được kết hợp trong quá trình dạy kiến thức mới 3.2 Vấn đề suy luận với dạy học mạch hình học toán tiểu học
Đối với chương trình mơn Tốn ở tiêu học, vẫn đề phát triển năng lực tư duy, trong đó việc tăng cường khả năng suy luận và diễn đạt suy luận là một nhiệm vụ chủ yếu của mơn Tốn ở tiêu học Do đó quá trình dạy học sẽ đạt kết quả tốt hơn nếu giáo viên chú ý đến rèn luyện tư duy, bồi dưỡng phương pháp suy luận cho học sinh, từng bước hình thành và phát triển một số khả năng trí tuệ và thao tác tư duy quan trọng như khả năng phân tích, tổng hợp, suy luận có căn cứ dẫn đến học sinh biết chứng minh, bác bỏ trong một SỐ
trường hợp dễ
Trang 35học sinh trong toàn cấp học Tuy nhiên, các kiến thức đó được thể hiện thông qua quả trình học sinh lĩnh hội các khái niệm, các mệnh đề toán học và thể
hiện rõ nhất khi học sinh thực hành giải các bài toán có lời văn Có thể nói sau
quá trình tích lũy các kiến thức, những kĩ năng cơ bản của học sinh chúng được tông hợp và khái quát cao hơn Điều đó khắng định khả năng tiếp thu tốt của học sinh Do đó việc vận dụng phương pháp suy luận vào dạy học và dạy
toán sẽ giúp học sinh nằm được các kiến thức trừu tượng, khái quát hóa, kích thích sự ham thích và sự tự giác học toán của học sinh
Một mặt việc rèn luyện tư duy, bồi dưỡng phương pháp suy luận cho học sinh còn là sự chuẩn bị ban đầu về kiến thức ngôn ngữ lôgic hình thức cho học sinh khi học ở các bậc học sau
Quá trình hình thành và phát triển khả năng suy luận là một quá trình tích lũy những hiểu biết ban đầu về dự đốn thơng qua quan sát, học sinh từ việc năm vững các khái niệm toán học qua thực hành giải toán Mặt khác học sinh được học và sử dụng các kí hiệu toán học, các thuật ngữ toán học, quá trình này sẽ giúp học sinh sử dụng đúng thuật ngữ, biểu thị đúng một mệnh đề toán học Điều này cũng góp phần phát triển năng lực tư duy và phương pháp suy luận cho học sinh Vì vậy vấn đề dạy học toán có sử dụng các yếu tô suy luận phải trên cơ sở hiểu rõ mục đích, giới hạn và yêu cầu của chương trình toán, từ đó có kế hoạch phủ hợp, thiết thực nhằm khai thác một cách đúng mức, có hiệu quả trong quá trình lựa chọn các phương pháp và hình thức tô chức đạy học với việc phát triển tư duy và bồi đưỡng phương pháp suy luận
Trang 36các trường hợp cụ thể trong quá trình hình thành khái niệm, mệnh đề toán
học, trừu tượng hóa, khái quát hóa Mặt khác, về bản chất lời giải của một bài
toán là đấy các suy luận liên tiếp cho phép rút ra phần cần tìm từ phần đã cho Tuy nhiên với mức độ yêu cầu trình bày suy luận ở tiểu học, thay vì trình bày đầy đủ một suy luận, giáo viên chỉ yêu cầu học sinh viết phần kết luận mà không cân viết phân tiền đề của suy luận đó Chính vì vậy, trong một số bài tập, giáo viên thường không chú trọng lắm đến hướng dẫn học sinh các bước
suy luận cần thiết để đi tới lời giải của bài toán
Ví dụ T: Hình tam giác ABC có cạnh AB dài 3dm, cạnh BC và cạnh CA đài bằng nhau và dài gấp đôi cạnh AB Tính chu vi của tam giác ABC?
Với bài toán trên, giáo viên chỉ yêu cầu học sinh giải văn tắt như sau: Bài giải Cạnh BC dài là: 3x2=6(dm) Chu vi của hình tam giác ABC là: 3+6+6=15 (dm) Đáp số: 15dm
Tuy nhiên, để học sinh tập làm quen với phương pháp suy luận thì trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bài tập, giáo viên nên phân tích bài toán theo hai suy luận sau:
- _ Vì cạnh BC dài bằng cạnh CA và cùng dài gấp đôi cạnh AB nên cạnh BC và cạnh CA đài là: 3 x 2 = 6(dm)
- - Vì tam giác ABC có cạnh AB dài 3dm, cạnh BC và cạnh CA dài 6dm nên chu vi của tam giác ABC là: 3 + 6 + 6 = 15 (dm)
Trang 37đầu tư và kế hoạch cụ thể Thực tế đây là điều còn nhiều bất cập và hạn chế
nhất định
Chẳng hạn, hướng dẫn học sinh làm bài tập: “7rong các loại góc: góc vuông, góc nhọn, góc tù, góc nào lớn nhất? ” Học sinh chỉ cần nêu: góc tù lớn nhất Song nếu giáo viên biết quan tâm đến việc rèn luyện tư duy và khả năng suy luận cho học sinh, cần hướng dẫn học sinh suy luận, đảm bảo sự chặt chẽ của toán học như sau: Góc tù lớn nhất vì: góc tù lớn hơn góc nhọn, góc tù lớn hơn góc vuông
Một vấn đề quan trọng trong dạy học toán là khả năng hình thành kiến thức của học sinh và kĩ năng thực hành giải toán, nhất là các bài tập có lời văn Nhìn chung đối với nhiều bài tập các lớp cuối cấp học, học sinh vẫn còn lúng túng trong việc tóm tắt bài toán, lời giải chưa rõ ràng, mạch lạc Nguyên nhân tình trạng này bắt nguồn từ những kiến thức, kĩ năng ở mơn Tốn chưa vững vàng, chưa có hệ thống và năng lực tư duy khái quát và phương pháp suy luận của học sinh còn hạn chế
Vĩ dụ 2: Hình vẽ dưới đây có bao nhiêu tứ giác? [7 | \ a) b)
Với bài tập này, đại đa số học sinh được khảo sát đều nêu đủ số hình
Trang 38hình thường khó đối với học sinh vì nó luôn đòi hỏi tính linh hoạt, sáng tạo trong lời giải Ở một số mức độ nào đó, người dạy cần chú ý phân tích, tổng hợp trên cơ sở của phương pháp trực quan, điều đó giúp ích rất nhiều cho học
sinh kĩ năng cắt, ghép và vẽ hình
Ví dụ 3: Hãy cắt hình vuông thành 4 mảnh và ghép thành hình tam giác?
Trong thời gian nhất định khi khảo sát, một số học sinh đã không thể thực hiện đúng yêu cầu của bài toán (Xem bảng 2, tr.61) Từ đó có thể thấy: một phần do đặc điểm của phần hình học, một phần vì khả năng linh hoạt, sáng tạo của học sinh còn hạn chế Điều đó cho thấy, trong quá trình dạy học cần giúp học sinh thói quen tư duy quy nạp, rút ra kết luận dần dần phát triển kha năng tư duy suy diễn dựa vào các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp,
so sánh, đối chiếu, trừu tượng hóa
Tóm lại, trong chương trình tốn tiểu học, ngồi việc giúp học sinh biết được các kiến thức kĩ năng cơ bản của môn học, cần rèn luyện cho học sinh kĩ năng suy luận có căn cứ, biết phân tích, tổng hợp trừu tượng khái quát hóa nhằm giải quyết một vẫn đề đặt ra Đó cũng chính là nguyên nhân hạn chế của học sinh khi giải toán cần các yêu tố suy luận Điều đó quy định về vấn đề năng lực và khả năng sư phạm của giáo viên nhằm phát huy tính tích cực học tập và khả năng tư duy phương pháp suy luận của học sinh
Các giải pháp đề xuất
Qua nghiên cứu thực tế vẫn dé day hoc toán ở một SỐ trường tiêu học trên huyện Đông Anh và nhận xét từ thực trạng từ các nguyên nhân kê trên, chúng tôi nhận thấy cần đề xuất một số giải pháp nhằm góp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả của dạy học toán mà yếu tô suy luận góp một phần vào chất lượng hiệu quả trên
Trang 39mỗi quan hệ giữa nội dung đó với các kiến thức lôgic hình thức liên
quan Từ đó có kế hoạch phù hợp, khai thác đúng mức trong quá trình tô chức các hoạt động dạy học toán tiểu học
- Dạy học tốn khơng phải là cung cấp một lời giải sẵn, đầy đủ, chính xác cho học sinh thụ động đọc và ghi chép Mà dạy toán là dạy học sinh biết “suy nghĩ”, biết nhận thức đúng các yếu tố của bài toán từ đó có
thể giải đúng bài toán đòi hỏi tư duy độc lập, linh hoạt Từ đó có khả năng phán đoán, lập luận loại bỏ các yếu tố thừa trong giải toán
- _ Trong chương trình toán, phân lí thuyết được gắn liền với hệ thống bài tập theo từng chủ đề, chương cụ thể Vì vậy, các bài tập thường đa dạng, phong phú và ở nhiều mức độ khác nhau, đòi hỏi người giáo viên cần lựa chọn xây dựng một hệ thống các bài tập vận đụng phương pháp suy luận vào giải toán Điều này một phần nâng cao chất lượng hiệu quả dạy học theo mục tiêu đào tạo của giáo dục hiện nay
3.3 Các dạng toán có liên đến vận dụng phương pháp suy luận và chứng minh trong mạch hình học ở tiểu học
Trên đây, chúng tôi đã trình bày những khó khăn, hạn chế khi dạy và học phương pháp suy luận và chứng minh; đồng thời đã nêu ra một số giải pháp nhằm góp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả của dạy học mạch hình học Dưới đây chúng tôi đưa ra những dạng toán hình học thường được sử dụng các yếu tố suy luận và chứng minh khi giải toán Đây là những dạng toán cơ bản trong mạch hình học, tuy nhiên không phải học sinh nào cũng hiểu và làm được tốt các bài tập thuộc các dạng toán này
Khi nêu ra các dạng tốn, chúng tơi đã nêu những kiến thức cơ bản mà học sinh cần nắm được Đó là những kiến thức rất cần thiết, phục vụ đắc lực dé hoc sinh 4p dụng để suy luận và chứng minh các yêu cầu đặt ra của một bài
Trang 403.3.1 Dạng 1: Nhận dạng hình học
3.3.1.1 Những kiến thức cân lưu ý (Xem [10], tr.96)
1, Nỗi hai điểm A, B ta được đoạn thẳng AB A B Các điểm A và B gọi là các đầu mút của đoạn thẳng đó Hình tam giác có 3 đỉnh, 3 cạnh và 3 góc Hình tam giác ABC co 3 dinh la A, B, C; có 3 cạnh là 1B, BC, CÁ; có 3 góc là góc Á, góc B, góc C Hình tứ giác có 4 đỉnh, 4 cạnh và 4 góc A ZN A Hình tứ giác ABCD co 4 dinh la A, B, C, D; có 4 cạnh là AB, BC, CD, AD D 6 có 4 góc là góc A, goc B, goc C, goc D C Hình chữ nhật 1BCD có 4 góc vuông A B
Số đo của hai cạnh 4B và CD là
Chiếu dài; số đo của hai cạnh 4D va BC là chiếu rộng D C > wD Hình vuông là hình chữ nhật có 4 cạnh bằng nhau Mỗi hình vuông là một hình chữ nhật =, ©)
Hình thang ABCD co hai day AB va CD A B
song song voi nhau
Day bé là AB, day lon la CD D C
Hình bình hành ABCD co hai canh A B
AB va CD song song voi nhau va / /
bang nhau, hai canh AD va BC D C