Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học "Suy luận và chứng minh trong Hình học: một nghiên cứu so sánh sách giáo khoa Trung học cơ sở ở Pháp và Việt Nam"

Mục tiêu Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học Suy luận và chứng minh trong Hình học: một nghiên cứu so sánh sách giáo khoa Trung học cơ sở ở Pháp và Việt Nam phân tích các đặc trưng khác nhau về bản chất, hình thức và chức năng của chứng minh trong các sách giáo khoa hình học ở bậc THCS ở Việt Nam và Pháp; phân tích các cơ hội cho học sinh phát triển suy luận và chứng minh trong sách giáo khoa Hình học THCS ở Việt Nam và Pháp.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ UYÊN NHI

SUY LUẬN VÀ CHỨNG MINH TRONG HÌNH HỌC: MỘT NGHIÊN CỨU SO SÁNH SÁCH GIÁO KHOA TRUNG HỌC CƠ SỞ Ở PHÁP VÀ VIỆT NAM

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, đƣợc các đồng tác giả cho phép sử dụng và chƣa từng đƣợc công bố trong bất kỳ một công trình nào khác

Tác giả

Nguyễn Thị Uyên Nhi

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành đến cô Lê Thị Hoài Châu, thầy Trần Kiêm Minh đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Huế, Phòng đào tạo sau đại học, các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy

cô thuộc chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán đã tận tình giảng dạy và truyền thụ cho tôi nhiều kiến thức, kinh nghiệm quý báu trong hai năm học vừa qua

Tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu, các thầy cô trong tổ chuyên môn trường THPT Trần Hưng Đạo-Thành phố Huế đã tạo điều kiện cho tôi đi học

Sau cùng tôi xin chân thành cám ơn gia đình và bạn bè đã luôn ủng hộ, quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi mọi mặt để tôi hoàn thành luận văn này

Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong nhận được sự hướng dẫn và góp ý

Chân thành cám ơn!

Huế, tháng 04 năm 2015

Nguyễn Thị Uyên Nhi

DANH MỤC BẢNG

Bảng 2.1 Khung nội dung suy luận và chứng minh trong các sách giáo khoa hình

học của Otten và cộng sự 21

Bảng 3.1 Phân phối chương trình Hình học cấp THCS ở Việt Nam 25

Bảng 3.2 Phân phối chương trình Hình học cấp THCS ở Pháp 26

Bảng 3.3 Số liệu về các chương, bài, bài tập trong SGK Hình học Việt Nam 37

Bảng 3.4 Số liệu về các chương, bài, bài tập, bài tập trong SGK Hình học Pháp 38

Bảng 3.5 So sánh định lý tổng ba góc trong tam giác của SGK hai nước 42

Bảng 3.6 So sánh định lý Pythagore của SGK hai nước 46

Bảng 3.7 So sánh định lý Thalès của SGK hai nước 59

DANH MỤC HÌNH

Hình 3.1 Ví dụ chứng minh trong sách giáo khoa lớp 7 Triangle của Pháp 28 Hình 3.2 Ví dụ chứng minh trong sách giáo khoa lớp 8 Triangle của Pháp 29 Hình 3.3 Ví dụ làm quen chứng minh Hình học trong SGK lớp 6 Transmath 30 Hình 3.4 Ví dụ kiểu chứng minh điền vào chỗ trống trong SGK lớp 7 Transmath 31 Hình 3.5 Ví dụ về lập luận trong chứng minh SGK lớp 7 Transmath 32 Hình 3.6 Ví dụ điển hình về bài toán chứng minh trong SGK Việt Nam 34

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

MỤC LỤC

i

LỜI CAM ĐOAN ii

LỜI CẢM ƠN iii

DANH MỤC BẢNG iv

DANH MỤC HÌNH v

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT vi

MỤC LỤC 1

LỜI GIỚI THIỆU 3

Chương 1 ĐẶT VẤN ĐỀ 7

1.1 Tổng quan hệ thống giáo dục phổ thông ở Việt Nam và Pháp 7

1.1.1 Hệ thống giáo dục phổ thông ở Việt Nam 7

1.1.2 Hệ thống giáo dục phổ thông ở Pháp 8

1.2.Vai trò của sách giáo khoa trong hệ thống dạy học 10

1.2.1 Vai trò của sách giáo khoa trong hệ thống dạy học ở Việt Nam 10

1.2.2 Vai trò của sách giáo khoa trong hệ thống dạy học ở Pháp 10

1.3 Phân môn Hình học trong chương trình và sách giáo khoa THCS ở Việt Nam và Pháp 11

1.4 Suy luận và chứng minh toán học 12

1.4.1 Khái niệm chứng minh 12

1.4.2 Phân loại chứng minh 14

1.4.3 Chức năng của chứng minh 15

1.4.4 Dạy và học chứng minh trong Hình học ở THCS 16

1.5 Ghi nhận và đặt vấn đề 17

Chương 2 KHUNG LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP LUẬN NGHIÊN CỨU 19

2.1 Sơ lược Thuyết nhân chủng didactic và Tiếp cận sinh thái học trong nghiên cứu chứng minh 19

2.2 Mô hình phân tích bản chất chứng minh trong sách giáo khoa hình học 20

2.3 Khung lý thuyết phân tích hoạt động suy luận và chứng minh trong sách giáo khoa hình học 20

2.4 Câu hỏi nghiên cứu 22

2.5 Phương pháp nghiên cứu 23

2.5.1 Lựa chọn sách giáo khoa 23

2.5.2 Mô hình phân tích 23

Chương 3 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 24

3.1 Định hướng phân tích kết quả 24

3.2 Bản chất, hình thức, chức năng của chứng minh trong sách giáo khoa hình học THCS ở Việt Nam và Pháp 24

3.2.1 Phân phối và trình tự nội dung phần hình học 24

3.2.1.1 Sách giáo khoa Việt Nam 24

3.2.1.2 Sách giáo khoa Pháp 26

3.2.1.3 Nhận xét 26

3.2.2 Các hình thức khác nhau của chứng minh 27

3.2.2.1 Sách giáo khoa Pháp 27

3.2.2.2 Sách giáo khoa Việt Nam 33

3.2.3 Mối tương quan giữa các đối tượng hình học 35

3.2.4 Chức năng của chứng minh 36

3.3 Hoạt động và cơ hội phát triển suy luận và chứng minh cho học sinh trong sách giáo khoa hình học ở Việt Nam và Pháp 37

3.3.1 Bảng số liệu về các chương, bài, bài tập trong sách giáo khoa hình học Việt Nam và Pháp 37

3.3.2 Các ví dụ về chứng minh định lý ở hai sách giáo khoa Pháp và Việt Nam 38

3.3.2.1 Định lý về tổng ba góc trong một tam giác 38

3.3.2.2 Định lý Pythagore 43

3.3.2.3 Định lý Thalès 47

Chương 4 KẾT LUẬN 62

4.1 Kết luận 62

4.2 Đóng góp của nghiên cứu và hướng phát triển của đề tài 63

TÀI LIỆU THAM KHẢO 65

LỜI GIỚI THIỆU

Nghiên cứu về dạy và học chứng minh (proof) hay cơ hội suy luận và chứng minh (reasoning-and-proving opportunities) là một chủ đề lớn của giáo dục toán trong những năm gần đây Điều này được thể hiện qua một số lượng lớn các công trình nghiên cứu về lĩnh vực này (De Villiers, 1990, [12]; Herbst, 2002, [20]; Mariotti, 2006, [25]; Stylianides & Stylianides, 2008, [34]; Stylianides, 2009, [33]; Reid & Knipping, 2010, [31]; Hanna & de Villiers, 2012, [14]; Miyakawa, 2012, [27]; Thompson, Senk & Johnson, 2012, [35]; Otten, Gilbertson, Males & Clark,

2014, [29]; Otten, Males & Gilbertson, 2014), [30]

Balacheff (2008, [5]) nhấn mạnh rằng có nhiều quan niệm khác nhau về nghĩa của từ ―chứng minh toán học‖ trong cộng đồng các nhà nghiên cứu giáo dục toán, tùy theo quan điểm tri thức luận của mỗi tác giả Reid và Knipping (2010, [31]) cũng mô tả nhiều cách sử dụng khác nhau của thuật ngữ ―chứng minh‖ (proof and proving) và những cách tiếp cận khác nhau về dạy và học chứng minh trong nhà trường Tính đa dạng này còn được thể hiện trong bản chất và hình thức của chứng minh trong các sách giáo khoa hình học như: dạng của chứng minh (dạng chứng minh theo 2 cột trong sách giáo khoa ở Mỹ), chức năng của chứng minh, tính chất

và đối tượng hình học liên quan đến chứng minh…

Từ quan điểm của thuyết nhân học didactic (Anthropological Theory of Didactics, ATD) và đặc biệt là tiếp cận có tính sinh thái học (Chevallard, 1994; Artaud, 1998, [11]), tính đa dạng của các tiếp cận dạy học chứng minh trong nhà trường có thể được xem như là một hệ quả tự nhiên Theo ATD, tri thức luôn tồn tại gắn liền với thể chế, và trong những thể chế dạy học khác nhau, tri thức được dạy

và cần dạy có thể khác nhau Một đối tượng toán học không tồn tại một cách đơn lẻ,

mà luôn tồn tại trong các mối liên hệ và ràng buộc với các đối tượng toán học khác, với những chức năng đặc biệt nào đó (điều này giống với ý tưởng của sinh thái học, trong đó một loài sống trong một nơi nào đó của hệ sinh thái, với một vài chức năng đặc biệt liên quan đến các loài khác) Trên quan điểm sinh thái học này, chứng minh được dạy trong các hệ thống dạy học khác nhau giữa các nước có thể có bản chất, hình thức và chức năng khác nhau

Từ quan điểm của ATD và cách tiếp cận có tinh sinh thái học như trên, Miyakawa (2012), [27], đã đề xuất một mô hình gồm bốn bước để phân tích các khái cạnh liên quan đến bản chất của chứng minh trong các SGK hình học ở Pháp

và Nhật Bản Bốn bước này bao gồm:

Nhận dạng và làm rõ khái niệm ―chứng minh‖ được sử dụng trong SGK thông qua việc tìm hiểu các thuật ngữ như minh chứng (justify), giải thích (explain)…

Nhận ra các đặc trưng chủ yếu của hình thức của chứng minh (the form of proof)

Nhận ra các mối quan hệ qua lại giữa các đối tượng hay tính chất hình học được hình thành qua chứng minh

Nhận ra chức năng của chứng minh trong các SGK

Miyakawa (2012), [27], sử dụng mô hình bốn bước trên để rút ra những điểm khác biệt liên quan đến bản chất, hình thức và chức năng của chứng minh trong SGK hình học THCS ở Pháp và Nhật Bản

Stylianides (2009), [33], cho rằng sự phát triển của chứng minh trong chương trình toán học phổ thông thường được xem như một quá trình mang tính hình thức và tách biệt với các hoạt động toán học có liên quan đến chứng minh như nhận ra quy luật, hình thành giả thuyết, kiểm chứng giả thuyết Những hoạt động toán học như vậy tạo nên nền tảng của sự phát triển chứng minh toán học Stylianides (2009), [33], sử dụng thuật ngữ hoạt động suy luận và chứng minh (reasoning-and-proving activity) để chỉ các hoạt động liên quan và hỗ trợ trong quá trình chứng minh như nhận ra quy luật, hình thành giả thuyết, kiểm chứng giả thuyết, đưa ra các lập luận không có chứng cứ, và chứng minh

Dựa trên khái niệm về hoạt động suy luận và chứng minh của Stylianides (2009), [33], với mục tiêu tập trung vào các hoạt động và cơ hội cho học sinh phát triển suy luận và chứng minh hơn là bản chất của chứng minh, Otten et al (2014), [29], đã phát triển một khung lý thuyết cho phép phân tích các hoạt động và cơ hội cho học sinh suy luận và chứng minh trong các SGK hình học

Dựa trên hai cách tiếp cận về chứng minh trong các SGK hình học của Miyakawa (2012), [27], và Otten et al (2014), [29], chúng tôi sẽ nghiên cứu các đặc trưng liên quan đến bản chất của chứng minh và phân tích các cơ hội cho học sinh phát triển suy luận và chứng minh trong các SGK hình học THCS ở Việt Nam và Pháp Chúng tôi sẽ vận dụng các mô hình phân tích của Miyakawa (2012), [27], và Otten et al (2014), [29], để phân tích những đặc trưng khác nhau liên quan đến bản chất của chứng minh và cơ hội cho học sinh chứng minh trong SGK hình học ở Việt Nam và Pháp

Mục tiêu của nghiên cứu này là :

Phân tích các đặc trưng khác nhau về bản chất, hình thức và chức năng của chứng minh trong các sách giáo khoa hình học ở bậc THCS ở Việt Nam và Pháp

Phân tích các cơ hội cho học sinh phát triển suy luận và chứng minh trong sách giáo khoa hình học THCS ở Việt Nam và Pháp

Luận văn này bao gồm 4 chương :

Chương 1 : Đặt vấn đề

Trong chương này chúng tôi giới thiệu tổng quan về : hệ thống dạy học ở Việt Nam và Pháp; vai trò của sách giáo khoa trong hệ thống dạy học; phân môn Hình học trong chương trình và sách giáo khoa THCS ở Việt Nam và Pháp; suy luận và chứng minh toán học : khái niệm chứng minh, phân loại chứng minh, chức năng của chứng minh, dạy và học chứng minh trong Hình học ở THCS

Chương 2 : Khung lý thuyết và phương pháp luận nghiên cứu

Trong chương này chúng tôi giới thiệu sơ lược Thuyết nhân chủng didactic (ATD); ATD và Tiếp cận sinh thái học trong nghiên cứu chứng minh; mô hình phân tích bản chất chứng minh trong SGK hình học Ở đây chúng tôi sử dụng mô hình bốn bước của Miyakawa (2012), [27], để phân tích các đặc trưng khác nhau về bản chất, hình thức và chức năng của chứng minh trong các sách giáo khoa hình học ở bậc THCS ở Việt Nam và Pháp; Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu và phân tích khung

lý thuyết đề xuất bởi Otten et al (2014), [29], để phân tích các hoạt động và cơ hội cho học sinh suy luận và chứng minh trong các sách giáo khoa hình học THCS ở Việt Nam và Pháp Từ đó đưa ra hai câu hỏi nghiên cứu

Chương 3 : Kết quả nghiên cứu

Chương này trình bày các kết quả của nghiên cứu Trong phần đầu tiên, chúng tôi điểm qua phần phân phối nội dung, trình tự chương trình hình học trong mỗi lớp ở sách giáo khoa Pháp và Việt Nam Điều này nhằm làm rõ về trình tự và nội dung hình học ở Pháp và Việt Nam Phần này cũng đưa ra các ví dụ để so sánh bản chất, hình thức, chức năng của chứng minh trong sách giáo khoa hình học ở Pháp và Việt Nam

Trong phần thứ hai, chúng tôi nêu những phát hiện quan trọng về cơ hội phát triển suy luận và chứng minh cho học sinh được thể hiện trong SGK hình học ở Việt Nam và Pháp Những phát hiện này được xác định dựa vào khung lý thuyết phân tích Phần này cũng đưa ra ba so sánh về cách tiếp cận, chứng minh, vận dụng của các tính chất, định lý ở sách giáo khoa của hai nước Từ đó, góp phần so sánh

cơ hội phát triển suy luận và chứng minh cho học sinh của hai nước

Chương 1 ĐẶT VẤN ĐỀ

1.1 Tổng quan hệ thống giáo dục phổ thông ở Việt Nam và Pháp

1.1.1 Hệ thống giáo dục phổ thông ở Việt Nam

Hệ thống giáo dục phổ thông ở Việt Nam gồm các cấp :

Cấp nhà trẻ - mẫu giáo :

Là nơi giữ trẻ không bắt buộc dành cho trẻ dưới độ tuổi đi học chính thức (dưới 6 tuổi) Nhà trẻ và mẫu giáo dành cho trẻ dưới 6 tuổi (thậm chí trẻ mới sinh vài tháng đã vào nhà trẻ) nhằm mục đích hình thành tư duy cho trẻ : tạo những thói quen, tập tính ngay trong giai đoạn này hay là nơi giúp trẻ vui chơi để ba mẹ đi làm

Cấp tiểu học:

Cấp tiểu học hay còn được gọi là cấp I, bắt đầu năm 6 tuổi đến hết năm 11 tuổi Cấp I gồm có 5 trình độ, từ lớp 1 đến lớp 5 Đây là cấp học bắt buộc đối với mọi công dân Học sinh phải học các môn sau: Toán, Tiếng Việt, Tự nhiên và Xã hội (lớp 1, 2, và 3), Khoa học (lớp 4 và 5), Lịch sử (lớp 4 và 5), Địa lý (lớp 4 và 5),

Âm nhạc, Mỹ thuật, Đạo đức, Thể dục, Tin học (tự chọn), Tiếng Anh (lớp 3, 4, và 5 một số trường cho học sinh học tiếng Anh bắt đầu từ năm lớp 1, lớp 2) Để kết thúc bậc tiểu học, học sinh phải trải qua kỳ thi tốt nghiệp tiểu học Từ 2005, kỳ thi này

đã chính thức bãi bỏ

Cấp trung học cơ sở:

Cấp II gồm có 4 trình độ, từ lớp 6 đến lớp 9, bắt đầu từ 11 đến 15 tuổi Đây

là một cấp học bắt buộc để công dân có thể có một nghề nghiệp nhất định (tốt nghiệp cấp |IIcó thể học nghề hay trung cấp chuyên nghiệp mà không cần học tiếp bậc Trung học phổ thông)

Học sinh đến trường phải học các môn sau: Toán, Vật lý, Hoá học (lớp 8 và 9), Sinh học, Công nghệ, Ngữ văn, Lịch sử, Địa lý, Giáo dục Công dân, Ngoại ngữ (Anh, Pháp, Nga, Trung, Nhật), Thể dục, Âm nhạc, Mỹ thuật, Tin học (máy vi tính hoặc điện toán)

Ngoài ra học sinh có thêm một số tiết bắt buộc như: giáo dục ngoài giờ lên lớp, giáo dục hướng nghiệp (lớp 9), sử ca học đường

Hết cấp trung học cơ sở, học sinh được xét tốt nghiệp dựa trên thành tích học tập tích lũy trong bốn năm Trước đây hết cấp Trung học cơ sở học sinh phải trải qua kỳ thi tốt nghiệp, nhưng từ năm 2006 đến nay đã chính thức được bãi bỏ Muốn theo học tiếp trình độ cao hơn (cấp III) học sinh phải tham dự các kỳ thi tuyển sinh

Giáo dục tiểu học và giáo dục trung học cơ sở là các cấp học phổ cập

Cấp trung học phổ thông:

Cấp III gồm 3 trình độ, từ lớp 10 đến lớp 12, bắt đầu từ 15 đến 18 tuổi Để tốt nghiệp cấp III, học sinh phải tham gia kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông tại Việt Nam của Bộ Giáo dục và Đào tạo Việt Nam

là những công chức Ngay cả giáo sư đại học và những nhà nghiên cứu cũng được nhà nước thâu nhận và trả lương

Ở cấp tiểu học và trung học, nhà nước Pháp cho ra một chương trình giáo dục đồng đều cho mọi học sinh, mọi cấp lớp như nhau Các chương trình giáo dục này được áp dụng cho các trường công lập, bán công hay những cơ sở giáo dục hoàn toàn được cấp ngân sách của nhà nước Tuy vậy, có tất cả 6 phân bộ chuyên biệt mà các học sinh có thể chọn lựa Các nhà giáo dục Pháp phải theo dõi và áp

dụng những chương trình học trong Bộ Bulletin officiel de l’education nationale, de

l’enseignement supérieur et de la recherche để tuân thủ

- Bậc Tiểu Học:

Bậc tiểu học bao gồm các trường Mầm non và Tiểu học Việc học ở nước Pháp là bắt buộc bắt đầu từ 6 tuổi, năm đầu tiên của bậc tiểu học Nhiều phụ huynh cho con học sớm hơn lúc 3 tuổi và sau đó đưa lên học mẫu giáo trong vùng phụ cận Nhiều gia đình còn gởi các em sớm một năm, tức là lúc mới 2 tuổi, mà thực tế là những trường giữ trẻ (day care) Dù vậy khi các em học năm cuối trong trường tiền

mẫu giáo này, các em đã được đọc hiểu Sau những lớp tiền mẫu giáo, các em tiến lên học tiểu học, chính ở năm đầu tiên học này là các em sẽ học những năng khiếu

cơ bản về đọc và viết Cũng giống như đa phần các hệ thống giáo dục khác, các học sinh học tiểu học chỉ có một thầy cô đứng lớp, hay chỉ là hai Giáo viên này sẽ dạy toàn bộ chương trình cấp lớp cho các em như Pháp Văn, Toán, khoa học và khoa học nhân bản…

Các trường công lập không dạy về tôn giáo Ý niệm dân sự là những điều cần phải có trong nền giáo dục công, vì thế học sinh còn có những lớp về công dân giáo dục về nền Cộng Hòa Pháp, vai trò của đất nước, tổ chức và ba điều quan yếu trong đời sống tinh thần dân tộc Pháp: Tự Do, Bình Đẳng và Bác Ái Vào năm 2004, chính phủ Pháp ra đạo luật cấm mọi hình tượng tôn giáo ở trường học và những nơi công cộng với dụng ý là để tạo một tinh thần khoan thứ và chấp nhận giữa những sắc dân sống trên nước Pháp

- Bậc Trung Học:

Các trường trung học của Pháp được chia ra hai loại trường:

 Trường collège là cấp trung học cơ sở, với thời gian học là bốn năm ngay sau khi rời tiểu học

 Trường lycée, hay là trường trung học phổ thông, kéo dài ba năm sau trung học cơ sở

Khi hoàn tất học trình sẽ hướng đến lấy bằng Tú tài (Baccalauréat)

Bằng tiểu học là bằng chính thức đầu tiên mà học sinh sẽ thi Nhưng không nhất thiết phải đậu bằng này mới vào được trung học Để được vào trung học, bắt đầu từ 2007, điểm học bạ của năm thứ ba sẽ được xem xét để học sinh được vào trung học Những kỳ thi sát hạch cho học sinh là các môn Pháp văn, Lịch Sử, Địa

Dư, Công dân giáo dục Từ 2011, học sinh được sát hạch thêm Lịch Sử của Nghệ Thuật, và một kỳ thi khẩu vấn

Bằng Trung Học phổ thông được cấp sau khi học sinh vượt qua kỳ thi Tú tài Thường là học sinh thi kỳ thi này năm 18 tuổi nếu trước đó chưa từng bị ở lại lớp

Kỳ thi Tú tài là một kỳ thi sát hạch ba ban ngành Ban Khoa Học tập chú vào các ngành khoa học tự nhiên, khoa học vật lý, và toán học Ban Kinh Tế và Xã Hội tập chú kinh tế học, khoa học xã hội và toán Ban Văn Chương tập chú vào Pháp

Văn, ngoại ngữ, triết học, sử địa và nghệ thuật (tùy lựa chọn) Mặc dầu học sinh thi

ba ngành khác nhau, sự chuyên biệt trong bằng cấp không hạn chế quyền lựa chọn ban ngành trên đại học Ở giáo dục bậc đại học, sinh viên có quyền lựa chọn ban nhiệm ý nào ở đại học thích hợp với sở nguyện của họ

Ngoài ra còn có những bằng tú tài kỹ thuật và tú tài hướng nghiệp Trong khi

tú tài kỹ thuật kết hợp huấn luyện thực hành và lý thuyết về ngành nghề để chuẩn bị cho sinh viên lên học cao hơn thì tú tài hướng nghiệp tập trung vào huấn nghệ và chuẩn bị cho học sinh đi thẳng vào thi trường lao động

1.2.Vai trò của sách giáo khoa trong hệ thống dạy học

1.2.1 Vai trò của sách giáo khoa trong hệ thống dạy học ở Việt Nam

Sách giáo khoa là tài liệu quan trọng trong dạy và học Có một thời, trong các nhà trường luôn tuyệt đối hóa vai trò của sách giáo khoa, với quan niệm không được lệch sách, dù chỉ một dấu phẩy Tuy nhiên, trong thời đại bùng nổ thông tin như hiện nay, quan niệm về sách giáo khoa đã có nhiều thay đổi

Trong giáo dục phổ thông, chương trình là văn bản mang tính pháp lý, còn sách giáo khoa là tài liệu chính được sử dụng trong dạy học, chỉ có tính hướng dẫn Những người tham gia xây dựng chương trình sách giáo khoa cho rằng không nên

―nặng nề‖ quá với sách giáo khoa mà nên coi sách giáo khoa là tài liệu soạn bài của giáo viên, tài liệu học của học sinh, vì bên cạnh đó còn có nhiều nguồn tham khảo khác Sách giáo khoa là tài liệu giáo khoa được sử dụng chính thức, thống nhất, ổn định trong giảng dạy, học tập và chỉ là một kênh cung cấp thông tin có tính chuẩn mực cho mọi đánh giá và thi cử trong các nhà trường Từ quan niệm thay đổi đó sẽ dẫn đến thay đổi cách nhìn nhận, đánh giá về sách giáo khoa Vì vậy, không tuyệt đối hóa vai trò của sách giáo khoa trong dạy và học, càng không nên có quan niệm sai lầm coi sách giáo khoa là ―pháp lệnh‖

1.2.2 Vai trò của sách giáo khoa trong hệ thống dạy học ở Pháp

Ở Pháp, chương trình phổ thông được công bố trên trang web của Bộ Giáo dục quốc gia, các vùng giáo dục (Académie) và nhiều tổ chức liên quan khác

Riêng đối với môn toán THPT, phần chính của chương trình là một bảng gồm ba cột: nội dung cần giảng dạy (cột 1), phương thức đưa nội dung tương ứng

vào giảng dạy (cột 2) và chú thích (cột 3) Trong trường hợp một khái niệm toán học có nhiều cách tiếp cận hoặc định nghĩa khác nhau, cột thứ hai chỉ ra cách tiếp cận hoặc định nghĩa cần sử dụng Điều này giúp tất cả sách giáo khoa về cơ bản đều

có nội dung thống nhất và phù hợp với tinh thần chương trình dù được nhiều nhóm tác giả khác nhau biên soạn Cột thứ ba quy định một số điều được phép hoặc không được phép, giúp tác giả sách giáo khoa loại bỏ những trường hợp gây tranh cãi về dạng bài tập hoặc kỹ thuật giải

Bộ Giáo dục quốc gia Pháp không quy định đối tượng được viết sách giáo khoa Trên thực tế, tác giả sách giáo khoa trung học thường là giáo viên trung học cao cấp, thanh tra sư phạm vùng, hoặc các nhà nghiên cứu sư phạm

Sách giáo khoa Pháp không chỉ trình bày phần bài học mà còn giới thiệu các hoạt động tiếp cận bài học và hệ thống hóa bài tập theo chủ đề lẫn cấp độ khó Theo nghĩa của nước ta hiện nay, nó không chỉ đơn thuần là sách giáo khoa mà còn là một quyển sách bài tập và tham khảo đáng tin cậy Điều này là một trong những nguyên nhân khiến học sinh Pháp không phải tham gia học thêm vì sợ không giải được bài tập Một môn học ở một khối lớp có nhiều bộ sách giáo khoa của nhiều nhóm tác giả khác nhau Giáo viên bộ môn là người quyết định học sinh của mình nên chọn bộ sách nào Giáo viên bộ môn nào sử dụng hai bộ sách giáo khoa cho một khối lớp thì học sinh phải mua hai bộ sách giáo khoa tương ứng để có thể theo dõi bài giảng của thầy Do được toàn quyền quyết định tiến độ giảng dạy các nội dung của sách giáo khoa miễn sao kết thúc nội dung quy định trong thời hạn năm học, giáo viên Pháp không bị ràng buộc bởi phân phối chương trình như ở ta (quy định số tiết dạy dành cho từng bài và thời điểm kiểm tra viết)

1.3 Phân môn Hình học trong chương trình và sách giáo khoa THCS ở Việt Nam và Pháp

Chương trình toán THCS nước Cộng hòa Pháp có đặc điểm sau:

- Toán học gắn với nhu cầu cuộc sống

- Xây dựng tinh thần học tích hợp: kết hợp giữa hình, đại số, hàm số, xử lý số liệu thống kê một cách hợp lí theo từng lớp Hình học phẳng và hình học không gian được học rải rác từ lớp 6 đến lớp 9

- Coi trọng thao tác thực hành, tính toán, nhiều định lý toán học được công nhận

- Thể hiện tính hiện đại

- Làm rõ nét phương pháp dạy học toán là tổ chức hoạt động cho học sinh

Ở Việt Nam, chương trình cũng nhằm phát triển tư duy cho học sinh theo các hướng:

Phát triển khả năng suy luận

Kích thích trí tưởng tượng

Tạo thói quen diễn đạt rõ ràng

Tạo tính thứ tự, cẩn thận

Mục tiêu môn Toán ở trường THCS :

- Cung cấp cho học sinh những kiến thức phương pháp toán học phổ thông

cơ bản thiết thực : những kiến thức ban đầu về hình học phẳng, quan hệ bằng nhau, quan hệ đồng dạng giữa hai hình phẳng, một số yếu tố về lượng giác, một số vật thể trong không gian

- Hình thành và rèn luyện kĩ năng : Vẽ hình, đo đạc, ước lượng

- Bước đầu hình thành khả năng vận dụng các kiến thức toán học vào đời sống và các môn học khác

- Rèn luyện khả năng suy luận hợp lí và lôgic, khả năng quan sát dự đoán, phát triển trí tưởng tượng không gian Rèn luyện khả năng sử dụng ngôn ngữ chính xác, bồi dưỡng các phẩm chất của tư duy như: linh hoạt, độc lập, sáng tạo Bước đầu hình thành thói quen tự học, diễn đạt chính xác và sáng sủa ý tưởng của mình

và hiểu được ý tưởng của người khác Góp phần hình thành các phẩm chất lao động khoa học cần thiết của người lao động mới

1.4 Suy luận và chứng minh toán học

1.4.1 Khái niệm chứng minh

Trong toán học, một chứng minh là một cách trình bày nhằm thuyết phục (sử dụng những chuẩn mực đã được chấp nhận trong lĩnh vực đó) rằng một phát biểu toán học là đúng đắn Chứng minh có được từ lập luận suy diễn, chứ không phải là lập luận kiểu quy nạp hoặc theo kinh nghiệm Có nghĩa là, một chứng minh phải

cho thấy một phát biểu là đúng với mọi trường hợp, không có ngoại lệ Một mệnh đề chưa được chứng minh nhưng được chấp nhận đúng được gọi là một phỏng đoán

Phát biểu đã được chứng minh thường được gọi là định lý Một khi định lý

đã được chứng minh, nó có thể được dùng làm nền tảng để chứng minh các phát biểu khác Một định lý cũng có thể được gọi là bổ đề, đặc biệt nếu nó được dự định dùng làm bước đệm để chứng minh một định lý khác

Các tranh luận về sự hợp lý bằng cách sử dụng các vật dụng có sẵn như hình ảnh hay vật tương tự là tiền đề cho các chứng minh toán học chính xác Sự phát triển của chứng minh toán học chủ yếu là sản phẩm của nền văn minh Hy Lạp Thales (624–546 TCN) đã chứng minh một số định lý trong hình học Eudoxus (408–355 TCN) và Theaetetus (417–369 TCN) đã công thức hóa các định lý nhưng không chứng minh Aristoteles (384–322 TCN) nói rằng các định nghĩa cần được

mô tả bằng những khái niệm đã biết Euclid (300 TCN) đã bắt đầu từ những thuật ngữ chưa được định nghĩa là các tiên đề (các mệnh đề sử dụng những thuật ngữ chưa định nghĩa được giả thiết là hiển nhiên đúng, nguyên từ Hy Lạp là "axios" có nghĩa là "một thứ giá trị") và đã dùng những thứ này để chứng minh các định lý bằng luận lý suy diễn Lý thuyết chứng minh hiện đại xem các chứng minh là những cấu trúc dữ liệu được định nghĩa một cách quy nạp Người ta không còn giả thiết rằng các tiên đề lúc nào cũng "đúng đắn"; điều này cho phép các lý thuyết toán học được xây dựng song song nhau dựa trên những tập tiên đề khác nhau (Lý thuyết tập hợp tiên đề và Hình học phi Euclid là các ví dụ)

Để thực hiện một chứng minh toán học, việc xem xét một trường hợp cụ thể

là không đủ Thậm chí việc chứng minh còn nhằm đưa ra các luận cứ cho các phát biểu (cf Jaffe & Quinn, 1993; Thurston, 1994) Ở trường học, sự chặt chẽ của các chứng minh toán học không nhất thiết phải nghiêm ngặt như đối với các nhà toán học Mặc dù có một số người ủng hộ sự chặt chẽ của toán học, nó có thể khác nhau tùy thuộc vào đối tượng (ví dụ, các nhà toán học và học sinh) hoặc các ngữ cảnh Chứng minh hợp lệ thường được kết hợp với ý tưởng của sự chặt chẽ Trong nhiều lớp học, có một định nghĩa không chính thức rằng : một chứng minh là nghiêm ngặt nếu từng bước suy luận đều có căn cứ Tuy nhiên, đối với các nhà toán học, sự chặt

chẽ thay đổi tùy theo thời gian và hoàn cảnh, và vài suy luận trong các tạp chí toán học đáp ứng các tiêu chí của các giáo viên dạy hình học trung học cơ sở Thông thường, tính nghiêm ngặt đòi hỏi phải tăng lên khi kết quả có vẻ không được chính xác (Usiskin, 1987, p 25, [36])

1.4.2 Phân loại chứng minh

Balacheff (1988, [5]) phân thành bốn loại chứng minh khác nhau của học sinh trong hai nhóm :

Chứng minh võ đoán, bao gồm :

(1) dựa vào kinh nghiệm đơn thuần, trong đó bao gồm việc khẳng định tính đúng đắn của một phát biểu sau khi kiểm tra một số trường hợp

(2) dựa vào kinh nghiệm để khẳng định nếu một phát biểu đúng trong mẫu nghiên cứu thì sẽ đúng trong các trường hợp còn lại

Chứng minh dựa trên khái niệm, bao gồm :

(3) từ ví dụ chung nhằm mở rộng để làm rõ tính đúng đắn của khẳng định hay phép biến đổi gián tiếp bằng chính khả năng của mình

(4) tách ra khỏi một trường hợp đặc biệt

Theo định nghĩa của Balacheff, chứng minh thực tiễn là những chứng minh dựa vào các hành động thực tế, trong khi chứng minh khái niệm là những chứng minh không liên quan đến hành động và dựa vào công thức, các tính chất trong câu hỏi và mối quan hệ giữa chúng

Harel và Sowder (1998, [16]) đưa ra ba mức khác nhau của một chứng minh : dựa vào các yếu tố bên ngoài, chứng minh thực nghiệm, và các chứng minh suy diễn Phụ thuộc các yếu tố bên ngoài như giáo viên hoặc sách giáo khoa; các lập luận (ví dụ, một định dạng hai cột trong chứng minh hình học); hoặc trên các thao tác biểu tượng Chứng minh thực nghiệm dựa vào hoặc là các ví dụ của các phép đo trực tiếp về số lượng, thay thế cho con số cụ thể trong các biểu thức đại số hay nhận thức Các chứng minh suy diễn liên quan đến các quá trình tính tổng quát, suy nghĩ vận hành, và suy luận logic

Stylianides (2009, [33]) phân biệt lập luận không chứng minh từ chứng minh

toán học Ông đã sử dụng hai tiêu chí, lập luận thực nghiệm để xác định chúng như

là lập luận không chứng minh Ông định nghĩa khái niệm về một lập luận thực

nghiệm trình bày cách học sinh tham gia lập luận thực nghiệm như sau : một lập luận thực nghiệm ngụ ý cho thấy tính đúng đắn của một phát biểu toán học bằng cách kiểm tra tất cả các trường hợp có thể xảy ra theo kinh nghiệm của học sinh, điều đó là không hợp lệ, có khả năng củng cố các quan niệm sai lầm phổ biến : một

ví dụ cụ thể có thể chứng minh cho một phát biểu toán học (Stylianides, 2009, p

266, [33])

1.4.3 Chức năng của chứng minh

Các nghiên cứu trong giáo dục toán đã nhận ra và xác định được vai trò của chứng minh trong các hoạt động toán học (de Villiers, 1990, [12] ; Miyakawa,

2012, [27]) Chứng minh trong toán học không chỉ nhằm mục đích xác minh một phát biểu là đúng, mà còn để giải thích tại sao phát biểu đó lại đúng, để trao đổi các

ý tưởng toán học, để hệ thống hóa các kiến thức khác nhau… Các nhà nghiên cứu giáo dục toán (de Villiers, 1990, [12]) đã phân loại vai trò và chức năng của chứng minh như sau :

Chức năng xác minh : xác minh (thuyết phục và biện minh) tính đúng đắn

của một phát biểu (mệnh đề)

Chức năng giải thích : giải thích tính chất được khẳng định ; cho thấy tính

gắn kết của tính chất đó với các tính chất toán học khác liên quan ; cho thấy chứng minh có thể giúp học sinh hiểu hơn ý nghĩa của các nội dung toán học

Chức năng khám phá, phát hiện : tham gia vào một chứng minh có thể

giúp học sinh khám phá, phát hiện thêm các tính chất mới, mệnh đề mới

Chức năng hệ thống hóa kiến thức : vì chứng minh liên quan đến việc rút

ra một kết luận từ một tập hợp các tiên đề, định nghĩa, định lý… nên chứng minh cũng đóng vai trò hệ thống hóa và kết nối các kiến thức đó với nhau

Xem xét sự khác nhau về bản chất, vai trò và chức năng của chứng minh trong chương trình và sách giáo khoa ở các nước khác nhau là một vấn đề được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm Sự khác nhau này có thể được thể hiện qua dạng trình bày chứng minh (chứng minh dạng 2 cột, 3 cột…), các mệnh đề cần phải chứng minh, các tính chất được sử dụng (định nghĩa, định lý…)

1.4.4 Dạy và học chứng minh trong Hình học ở THCS

Toán học là một môn khoa học chứng minh, và điều này phân biệt toán học với tất cả các ngành khác Chứng minh cũng là một phần cơ bản trong các lớp học toán học (Heinze & Reiss, 2007, [19]) Tuy nhiên, nhiều nghiên cứu thực nghiệm cho thấy rằng học sinh ở tất cả các nước có những khó khăn đáng kể trong việc biểu diễn chứng minh toán học, (ví dụ, Healy & Hoyles, 2000, [17]; Heinze, 2004, [18]; Lin và Cheng, 2003, [23]; Lin, Yang, và Chen, 2004, [24]; Reiss, Hellmich, & Thomas, 2002, [32])

Các cơ hội để học sinh học suy luận và chứng minh toán học là khác nhau giữa các quốc gia, liên quan đến tài liệu giảng dạy (ví dụ, sách giáo khoa), các lĩnh vực toán học khác nhau (ví dụ, hình học, đại số) và phương pháp giảng dạy Tất cả những yếu tố ảnh hưởng đến việc học tập của học sinh phụ thuộc lẫn nhau Làm sách giáo khoa chủ yếu là phản ánh các chương trình dự định, ngoài ra cũng phản ánh các cơ hội cho học sinh học chứng minh toán học Thật vậy, Mayer (1989, [26]) tìm thấy rằng các tài liệu học tập là một trong những thành phần quan trọng nhất ảnh hưởng đến giảng dạy và học tập Đặc biệt, sách giáo khoa thường được các giáo viên mới vào nghề sử dụng (Ball & Feiman-Nemser, 1988, [7]) Begle (1973, [8]) cũng nhận thấy rằng sách giáo khoa có một ảnh hưởng mạnh mẽ đến những nội dung học sinh sẽ tìm hiểu : học sinh sẽ tìm hiểu nếu một chủ đề xuất hiện trong sách giáo khoa, còn nếu các chủ đề không có trong sách giáo khoa thì đa số học sinh không tìm hiểu nó

Mặc dù đã có sự đồng thuận về tầm quan trọng của suy luận và chứng minh toán học giữa nghiên cứu học thuật và chương trình giảng dạy, các lập luận về những loại suy luận/chứng minh toán học cần được cung cấp trong các trường học

đã được thảo luận sâu hơn những năm gần đây (ví dụ, Balacheff, 1988, [5]; Ball & Bass, 2003, [6]; Chazan, 1993, [10]; Moore, 1994, [28]) Những loại nội dung và các suy luận toán học được coi là thích hợp cho học sinh cũng có thể phụ thuộc vào truyền thống giảng dạy hoặc các nền văn hóa của mỗi một quốc gia

Dạy và học chứng minh toán học là những hoạt động phức tạp Có nhiều khía cạnh khác nhau cần được xem xét Ví dụ, những khó khăn trong việc học

chứng minh toán học của học sinh (như việc xây dựng bài toán chứng minh, các yếu

tố đã cho và các yếu tố còn thiếu trong bài toán chứng minh, Boero, Garuti, Lemut,

& Mariotti, 2006, [25]; Chazan, 1993, [10]; Weber, năm 2001, [37]; Zaslavsky, Nickerson, Stylianides, Kidron, & Wincki-Landman, 2012, [18]), cũng như kiến thức của giáo viên về chứng minh toán học được thảo luận rộng rãi

Hơn nữa, có rất nhiều chức năng khác nhau mà chứng minh toán học và có nhiều cách khác nhau để trình bày chứng minh toán học Tuy nhiên, các nguyên tắc cần thiết cho chứng minh toán học là "xác định rõ các giả thiết và lý giải hợp lý để rút ra kết luận cần thiết "(Hanna & de Villiers, 2012, p 329, [14])

Ngoài ra, hình học được xem như là một lĩnh vực then chốt để giới thiệu cho học sinh nội dung suy luận và chứng minh trong nhà trường Hình học không chỉ liên quan đến trực giác (sự hiểu biết trực quan), chịu ảnh hưởng bởi thị giác về các con số, mà còn liên quan đến các lập luận logic (trừu tượng), sử dụng các quy tắc và nguyên tắc để chứng minh một loạt các tính chất của các định lý khác nhau Mặc dù hình học không phải là chủ đề duy nhất cung cấp cơ hội cho học sinh học hỏi chứng minh toán học, nhưng nó là cách đặc biệt để tìm hiểu cách thức học sinh phát triển khả năng chứng minh toán học từ giai đoạn bắt đầu chứng minh hình thức Ngoài

ra, hình học ở cấp Trung học cơ sở có thể xem là bước chuyển tiếp giữa hình học tự nhiên và mang tính thực nghiệm ở Tiểu học sang hình học tiên đề Vì vậy, hầu hết chương trình hình học cấp Trung học cơ sở ở các nước đều chú trọng giới thiệu một cách ngầm ẩn hoặc tường minh khái niệm chứng minh, thế nào là một chứng minh trong hình học… nhằm giúp học sinh dần dần làm quen với một cách lập luận xác minh chân lý mới trong hình học mà không cần đến trực giác hay đo đạc Vì vậy, nghiên cứu đối tượng tri thức « chứng minh » trong hình học ở cấp Trung học cơ sở

là hợp lý và thu hút nhiều nhà nghiên cứu quan tâm

1.5 Ghi nhận và đặt vấn đề

Chứng minh là hoạt động toán học quan trọng và thường gặp trong dạy học toán Nghiên cứu sự khác nhau về bản chất, vai trò và chức năng của chứng minh trong hình học là vấn đề đã và đang được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm (Miyakawa, 2012, [27]; Otten, 2014, [29] ; Stylianides, 2009, [33] ; Jones & Fujita,

2013, [40]) Nhiều nghiên cứu về so sánh bản chất và vai trò của chứng minh trong sách giáo khoa ở các nước đã được tiến hành Chẳng hạn, Miyakawa (2012 ; 2014, [27]) đã bước đầu tìm hiểu sự khác nhau về bản chất và vai trò của chứng minh trong sách giáo khoa hình học Trung học cơ sở ở Pháp và Nhật Bản Chang (2013, [9]) nghiên cứu so sánh các cơ hội cho việc học chứng minh trong sách giáo khoa hình học ở Đức và Đài Loan Jones & Fujita (2013, [40]) tập trung phân tích so sánh việc dạy và học suy luận và chứng minh trong sách giáo khoa hình học ở Anh

và Nhật Bản… Tuy nhiên, các nghiên cứu so sánh về chủ đề chứng minh trong hình học ở Pháp và Việt Nam hầu như chưa có tác giả nào thực hiện Đây là một khía cạnh mới và cần được nhiều nhà nghiên cứu giáo dục toán quan tâm tìm hiểu

Một trong những vấn đề quan trọng khi tiếp cận chủ đề phân tích so sánh suy luận và chứng minh giữa các sách giáo khoa là phương pháp luận hay khung nội dung phân tích Trong chương 2, chúng tôi sẽ trình bày và làm rõ khung nội dung phân tích so sánh chủ đề chứng minh trong sách giáo khoa mà chúng tôi lựa chọn Khung nội dung phân tích này cũng đóng vai trò phương pháp luận đính hướng cách chúng tôi phân tích so sánh khía cạnh suy luận và chứng minh trong sách giáo khoa ở Pháp và Việt Nam trong chương Kết quả nghiên cứu

Chương 2 KHUNG LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP LUẬN NGHIÊN CỨU

2.1 Sơ lược Thuyết nhân chủng didactic và Tiếp cận sinh thái học trong nghiên cứu chứng minh

Theo Thuyết nhân chủng học didactic (ATD) khởi xướng bởi Chevallard (1994, [11]), tri thức luôn tồn tại gắn liền với thể chế, và trong những thể chế dạy học khác nhau, tri thức được dạy và cần dạy có thể khác nhau Một đối tượng toán học không tồn tại một cách đơn lẻ, mà luôn tồn tại trong các mối liên hệ và ràng buộc với các đối tượng toán học khác, với những chức năng đặc biệt nào đó (điều này giống với ý tưởng của sinh thái học, trong đó một loài sống trong một nơi nào

đó của hệ sinh thái, với một vài chức năng đặc biệt liên quan đến các loài khác) Trên quan điểm sinh thái học này, chứng minh được dạy trong các hệ thống dạy học khác nhau giữa các nước có thể có bản chất, hình thức và chức năng khác nhau

Lý do của việc tập trung nghiên cứu chức năng của chứng minh xuất phát từ

sự thừa nhận rằng các chức năng của chứng minh là những yếu tố chủ yếu lập nên bản chất của chứng minh Theo một tiếp cận sinh thái học đề xuất trong Thuyết nhân học didactic (Chevallard, 1994, [11]), hệ thống các tri thức toán học được dạy trong nhà trường được hình thành dưới những điều kiện cho phép chúng tồn tại, và

cả những ràng buộc cản trở sự tồn tại đó trong một thể chế hoặc một hệ thống giáo dục Chúng tôi cũng đồng ý với quan điểm này khi vận dụng vào xem xét đối tượng tri thức ―chứng minh‖ trình bày trong các sách giáo khoa Các bản chất khác nhau của chứng minh tìm thấy trong các thể chế dạy học (chương trình, sách giáo khoa) ở các nước khác nhau được hình thành từ ảnh hưởng của một hệ thống các điều kiện

và ràng buộc Chứng minh được dạy trong các nước khác nhau có thể có bản chất khác nhau Những gì học sinh sẽ được học, những gì học sinh thực sự được học, những khó khăn học sinh gặp phải… có thể khác nhau giữa các nước

Trong giáo dục toán, một số tác giả cũng đã tìm hiểu nghiên cứu sự khác nhau về bản chất của chứng minh được giảng dạy trong toán học nhà trường Chẳng hạn, Knipping (2002, [22]) thấy rằng trong trường hợp định lý Pythagore, các quá

trình chứng minh có các chức năng khác nhau trong sách giáo khoa lớp 8 ở Đức và

ở Pháp Trong sách giáo khoa lớp 8 ở Đức, chứng minh nghĩa là làm cho rõ nghĩa của định lý, trong khi đó ở Pháp đòi hỏi phải giải thích tại sao Yu-Ping Chang (2005, [41]) nhận xét rằng chứng minh là một đối tượng dạy học được trình bày một cách tường minh trong các trường phổ thông ở Pháp và các trường phổ thông chất lượng cao ở Đức (German Gymnasium), trong khi đó chứng minh không phải đối tượng dạy học được trình bày rõ ràng trong các trường phổ thông chất lượng thấp hơn ở Đức (German Realschule and Hauptschule)

2.2 Mô hình phân tích bản chất chứng minh trong sách giáo khoa hình học

Từ quan điểm của ATD và cách tiếp cận có tính sinh thái học như trên, Miyakawa (2012, [27]) đã đề xuất một mô hình gồm bốn bước để phân tích các khía cạnh liên quan đến bản chất của chứng minh trong các sách giáo khoa hình học ở Pháp và Nhật Bản Bốn bước này bao gồm:

Nhận dạng và làm rõ khái niệm ―chứng minh‖ được sử dụng trong sách giáo khoa thông qua việc tìm hiểu các thuật ngữ như minh chứng (justify), giải thích (explain)…

Nhận ra các đặc trưng chủ yếu về dạng chứng minh (the form of proof) Nhận ra các mối quan hệ qua lại giữa các đối tượng hay tính chất hình học được hình thành qua chứng minh

Nhận ra chức năng của chứng minh trong các sách giáo khoa

Miyakawa (2012, [27]) sử dụng mô hình bốn bước trên để rút ra những điểm khác biệt liên quan đến bản chất, hình thức và chức năng của chứng minh trong sách giáo khoa hình học THCS ở Pháp và Nhật Bản

2.3 Khung lý thuyết phân tích hoạt động suy luận và chứng minh trong sách giáo khoa hình học

Stylianides (2009, [33]) cho rằng sự phát triển của chứng minh trong chương trình toán học phổ thông thường được xem như một quá trình mang tính hình thức

và tách biệt với các hoạt động toán học có liên quan đến chứng minh như nhận ra quy luật, hình thành giả thuyết, kiểm chứng giả thuyết Những hoạt động toán học như vậy tạo nên nền tảng của sự phát triển chứng minh toán học Stylianides (2009,

[33]) sử dụng thuật ngữ hoạt động suy luận và chứng minh (reasoning-and-proving

activity) để chỉ các hoạt động liên quan và hỗ trợ trong quá trình chứng minh như nhận ra quy luật, hình thành giả thuyết, kiểm chứng giả thuyết, đưa ra các lập luận không có chứng cứ, và chứng minh

Dựa trên khái niệm về hoạt động suy luận và chứng minh của Stylianides (2009, [33]), với mục tiêu tập trung vào các hoạt động và cơ hội cho học sinh phát triển suy luận và chứng minh hơn là bản chất của chứng minh, Otten et al (2014, [29]) đã phát triển một khung lý thuyết cho phép phân tích các hoạt động và cơ hội cho học sinh suy luận và chứng minh trong các sách giáo khoa hình học như trong bảng dưới đây:

Bảng 2.1 Khung nội dung suy luận và chứng minh trong các sách giáo khoa hình

học của Otten và cộng sự

Phần trình bày Phần bài tập

Tính chất, định lý, mệnh đề

mệnh đề toán học

Liên quan đến lập luận toán học

Phát biểu hoặc

tình huống toán

học

Dạng tổng quát Dạng đặc biệt

Dạng tổng quát Dạng đặc biệt Dạng tổng quát với một trường hợp

cụ thể được minh họa

Dạng tổng quát Dạng đặc biệt Dạng tổng quát hóa với một trường hợp cụ thể được minh họa

Hoạt động của

học sinh được

mong đợi

Đưa ra một giả thuyết, chắt lọc thành một phát biểu, hoặc đưa ra kết luận

Điền vào chỗ trống của một giả thuyết cho trước Khảo sát, khám

Xây dựng một chứng minh

Phát triển một lý

lẽ hoặc một lập luận không có chứng minh

Phác thảo chứng minh hoặc xây dựng chứng minh

phá một giả thuyết dựa vào một phác

thảo cho trước Điền vào các chỗ trống của một lập luận hoặc chứng minh

Đánh giá hoặc sửa chữa một chứng minh cho trước Tìm một phản ví

Dạng phác thảo Dành cho học sinh

Không có

Kiểu suy diễn (tường minh)

Mang tính kinh nghiệm, thực nghiệm (tường minh)

Ngầm ẩn

Kiểu suy diễn (tường minh)

Mang tính kinh nghiệm, thực nghiệm (tường minh)

Ngầm ẩn

Phát biểu về suy luận và chứng minh Bài tập về suy luận và chứng minh Dựa trên hai cách tiếp cận về chứng minh trong các sách giáo khoa hình học của Miyakawa (2012, [27]) và Otten et al (2014, [29]), chúng tôi sẽ nghiên cứu các đặc trưng liên quan đến bản chất của chứng minh và phân tích các cơ hội cho học sinh phát triển suy luận và chứng minh trong các sách giáo khoa hình học THCS ở Việt Nam và Pháp

2.4 Câu hỏi nghiên cứu

Mục tiêu của nghiên cứu này là xem xét các bản chất và chứng năng khác nhau của chứng minh có thể có trong các sách giáo khoa hình học bậc Trung học cơ

sở ở Pháp và Việt Nam, cũng như phân tích cơ hội phát triển suy luận và chứng

minh cho học sinh được trình bày trong các sách giáo khoa này Từ đó, chúng tôi đặt ra các câu hỏi nghiên cứu sau đây:

Câu hỏi 1 Đặc trưng khác nhau về hình thức, bản chất, và chức năng của

chứng minh trong các sách giáo khoa hình học ở bậc THCS ở Việt Nam và Pháp được thể hiện như thế nào?

Câu hỏi 2 Các cơ hội cho học sinh phát triển suy luận và chứng minh trong

sách giáo khoa hình học THCS ở Việt Nam và Pháp được trình bày như thế nào? Các đặc điểm giống nhau và khác nhau như thế nào?

2.5 Phương pháp nghiên cứu

Để làm rõ những khác nhau có thể có về bản chất và chức năng của chứng minh, chúng tôi tiến hành so sánh các sách giáo khoa bậc Trung học cơ sở ở Pháp

và Việt Nam Đối tượng nghiên cứu của chúng tôi là vấn đề chứng minh được trình bày trong các sách giáo khoa ở Pháp và Việt Nam, chứ không phải đối tương tri thức chứng minh được thực sự dạy học trên lớp

2.5.1 Lựa chọn sách giáo khoa

Pháp và Việt Nam đều có chung đặc điểm là bậc Trung học cơ sở kéo dài 4 năm Ở Việt Nam, chỉ có duy nhất một bộ sách giáo khoa được sử dụng, trong khi ở Pháp có nhiều bộ sách giáo khoa khác nhau Trong phần phân tích đối tượng tri thức chứng minh trong sách giáo khoa Pháp, chúng tôi sử dụng các sách giáo khoa phổ biến sau: Transmath (lớp 6), Transmath, Triangle (lớp 7), Transmath, Triangle (lớp 8), Sésamath (lớp 9) Sách giáo khoa Việt Nam được lựa chọn là các sách giáo khoa hiện hành

2.5.2 Mô hình phân tích

Dựa trên mô hình bốn bước của Miyakawa (2012, [27]) để phân tích các đặc trưng khác nhau về bản chất, hình thức và chức năng của chứng minh trong các sách giáo khoa hình học ở bậc THCS ở Việt Nam và Pháp

Sử dụng khung lý thuyết đề xuất bởi Otten et al (2014, [29]) để phân tích các hoạt động và cơ hội cho học sinh suy luận và chứng minh trong các sách giáo khoa hình học THCS ở Việt Nam và Pháp

Chương 3 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

3.1 Định hướng phân tích kết quả

Chương này trình bày các kết quả nghiên cứu trong hai phần khác nhau Trong phần đầu tiên, chúng tôi điểm qua phân phối nội dung, trình tự chương trình hình học trong mỗi lớp ở sách giáo khoa Pháp và Việt Nam Điều này nhằm thể hiện quan điểm về trình tự và nội dung hình học ở Pháp và Việt Nam Phần này cũng đưa ra các ví dụ để so sánh bản chất, hình thức, chức năng của chứng minh trong sách giáo khoa hình học ở Pháp và Việt Nam

Trong phần thứ hai, chúng tôi nêu những phát hiện quan trọng về cơ hội phát triển suy luận và chứng minh cho học sinh trong sách giáo khoa hình học ở Việt Nam và Pháp Những phát hiện này căn cứ vào khung phân tích chúng tôi đã giới thiệu Cuối cùng, phần thứ ba đưa ra một số kết luận tổng quan về suy luận và chứng minh trong hình học trung học cơ sở ở Việt Nam và Pháp

3.2 Bản chất, hình thức, chức năng của chứng minh trong sách giáo khoa hình học THCS ở Việt Nam và Pháp

3.2.1 Phân phối và trình tự nội dung phần hình học

3.2.1.1 Sách giáo khoa Việt Nam

Bảng 3.1 Phân phối chương trình Hình học cấp THCS ở Việt Nam

3.2.1.2 Sách giáo khoa Pháp

Bảng 3.2 Phân phối chương trình Hình học cấp THCS ở Pháp

Tam giác và các đường thẳng song song 10

Bảng trên cho thấy sự phân bố các nội dung Hình học ở sách giáo khoa Pháp

và Việt Nam là khác nhau Cùng một nội dung nhưng có thể được phân bố ở các lớp khác nhau Ví dụ, phần đối xứng trục và đối xứng tâm được trình bày trong năm lớp

8 ở Việt Nam trong khi vào năm lớp 6 và 7 ở Pháp; phần tứ giác được trình bày trong năm lớp 8 ở Việt Nam trong khi vào năm lớp 7 ở Pháp; định lý Pythagore và định lý Talet được trình bày trong năm lớp 7 và 8 ở Việt Nam trong khi ở Pháp là vào năm lớp 8, 9 Ở Việt Nam, hình không gian được đưa vào học kỳ II năm lớp 8,

9 trong khi nó rải đều từ lớp 6 đến lớp 9 ở Pháp

Đặc biệt phần đường tròn được trình bày sâu hơn ở Việt Nam, nó gồm 2 chương : ―Đường tròn‖ ở học kỳ I lớp 9 và ―Góc với đường tròn‖ ở học kỳ II lớp 9 Còn ở Pháp, chủ đề đường tròn không phải là một chủ đề độc lập Các khái niệm, tính chất liên quan của đường tròn được trình bày rải rác trong phần ―tam giác vuông‖ ở lớp 8 và phần ―góc và đa giác‖ ở cuối năm lớp 9

Ở Pháp, không có phần riêng lẻ hoặc chương giới thiệu chứng minh toán học Còn ở Việt Nam, thông qua bài ―Định lý‖ năm lớp 7, khái niệm chứng minh và định hướng chứng minh phần nào được giới thiệu một cách tường minh Từ sau bài này, chương trình bắt đầu đi vào chứng minh các định lý có trong bài học và từng bước chứng minh các bài tập trong sách giáo khoa

3.2.2 Các hình thức khác nhau của chứng minh

3.2.2.1 Sách giáo khoa Pháp

Các hình thức khác nhau của chứng minh trong sách giáo khoa Pháp : Trong phần Tam giác, ta có thể xác định ít nhất hai yếu tố trong biện minh của một phát biểu : ―chứng minh‖ và ―biểu diễn chứng minh Toán học‖ Những thuật ngữ này có thể tìm thấy trong sách giáo khoa của năm đầu tiên cấp trung học, năm lớp 6 Tuy nhiên, ở lớp 7 và 8, những thuật ngữ này được giới thiệu một cách rõ ràng hơn Trong Chương 9 (Chương ―Tam giác‖) ở sách lớp 7 trong phần "Giới thiệu lập luận suy diễn ", thuật ngữ ―chứng minh‖ được giới thiệu Chương này cũng giới thiệu bốn quy tắc của ―lập luận toán học‖ để xem xét tính đúng sai của một phát biểu toán học Đó là: (1) một phát biểu toán học là đúng hoặc sai ; (2) những phát hiện từ đo đạc trên hình vẽ không thể dùng để chứng minh rằng một phát biểu hình học là đúng ; (3) từ kiểm tra một vài trường hợp cụ thể không dẫn đến kết luận tính đúng đắn của phát biểu ; (4) nếu phát biểu không đúng trong một trường hợp cụ thể thì kết luận ngay được phát biểu đó là sai Trường hợp cụ thể đó được gọi là ―phản

ví dụ‖

Chứng minh sau đó là kết quả của cuộc ―tranh luận toán học‖ Hình 3.1 cho thấy một chứng minh được đưa ra như một ví dụ điển hình trong sách giáo khoa Vì nó là một phát biểu đơn giản, chỉ có một bước suy luận duy nhất, nên cấu trúc của chứng minh cũng đơn giản Kết luận được theo sau bởi một dấu hai chấm

và tính chất được dùng để suy ra nó Phát biểu dưới dạng : "nếu thì " Hầu hết các chứng minh khác có thể được tìm thấy trong phần ―Tam giác‖ ở lớp 7, đặc biệt

là trong các phương pháp giải bài tập ở phần cuối của sách giáo khoa

Bài tập: (d) là đường trung trực của đoạn thẳng [EF] Đường thẳng (d) cắt

đường thẳng (EF) tại I Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng [EF]

Lời giải : Điểm I là trung điểm của đoạn [EF] theo tính chất : « Nếu một đường

thẳng là đường trung trực của một đoạn thẳng, thì đường thẳng đó vuông góc với đoạn thẳng này và đi qua trung điểm của nó »

Hình 3.1 Ví dụ chứng minh trong sách giáo khoa lớp 7 Triangle của Pháp

Trong Chương 8 "Hình học và Giới thiệu chứng minh toán học" của sách Triangle, thuật ngữ "chứng minh toán học" được giới thiệu một cách rõ ràng Định nghĩa của nó là: "Một chứng minh toán học trong hình học là một chuỗi suy luận

mà bắt đầu từ giả thiết cho trước nhằm đi đến kết luận "

Một chuỗi suy luận bao gồm ba yếu tố : giả thiết cho trước, tính chất sử dụng

và kết luận của chuỗi Cách viết các yếu tố này được nhấn mạnh trong sách giáo khoa Đầu tiên, bắt đầu bằng cụm từ ―Ta có‖ theo sau một giả thiết cho trước Thứ hai là một câu điều kiện có hình thức "Nếu thì " như trong các chứng minh ở lớp 7 Và thứ ba bắt đầu với một sự liên kết "Vì vậy " theo sau là một kết luận của chuỗi suy luận này Các sách giáo khoa cũng đề cập rằng các tính chất đôi khi bị bỏ sót theo mức độ quen thuộc và nhu cầu của giáo viên

Hình 3.2 dưới đây cho thấy một chứng minh toán học được đưa ra như một

ví dụ điển hình trong sách giáo khoa, ở đó ba yếu tố của một chuỗi suy luận có thể được tìm thấy dễ dàng Ta cũng có thể nhận thấy rằng các chứng minh toán học được viết như một đoạn văn, mà không có nhiều ký hiệu toán học Hầu hết các chứng minh toán học được coi là ví dụ trong sách giáo khoa hoặc các phương pháp giải bài tập ở phần cuối của sách giáo khoa đều áp dụng hình thức này

Bài tập : ABCD là một hình thoi tâm O Gọi (d) là đường thẳng song song với

đường thẳng (AC) và đi qua D Chứng minh rằng đường thẳng (d) và đường thẳng (BD) vuông góc nhau

Lời giải : Chúng ta biết rằng ABCD là một hình thoi Nếu một tứ giác là hình thoi

thì các đường chéo của nó vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Vì vậy hai đường thẳng (AC) và (BD) vuông góc nhau

Chúng ta cũng biết rằng (AC) và (BD) là vuông góc nhau và rằng (d) và (AC) là song song Nếu hai đường thẳng song song với nhau và một đường thẳng thứ ba vuông góc với đường thẳng này thì nó sẽ vuông góc với đường thẳng kia

Vì vậy (d) và (BD) vuông góc nhau

Hình 3.2 Ví dụ chứng minh trong sách giáo khoa lớp 8 Triangle của Pháp

Để giúp học sinh bắt đầu làm quen thế nào là một chứng minh trong hình học, sách giáo khoa lớp 6 Transmath đƣa ra ví dụ sau đây nhằm dẫn dắt học sinh chuyển từ một khẳng định trong hình học tự nhiên mang tính đo đạc và thực nghiệm sang một khẳng định dựa vào tính chất hình học Học sinh bắt đầu làm quen (một cách ngầm ẩn) rằng để biết chắc chắn một khẳng định nào đó thì ta cần phải lập luận dựa vào các tính chất, định nghĩa chứ không phải dựa vào trực quan hay đo đạc :

c Kẻ đường tròn tâm A và đi qua B

2 Quan sát, rồi chứng minh

Dường như đường tròn này cũng đi qua điểm K, nhưng ta không biết chắc chắn điều đó Có thể rằng điểm K ở gần đường tròn nhưng không thuộc đường tròn đó Để biết được thực sự điều đó, hãy trả lời các câu hỏi sau :

a Tính độ dài AK với các dữ liệu đã cho trong đề bài

b Ta có thể nói gì về độ dài AK và

AB ?

c Viết lại và hoàn thành câu sau : « Mọi điểm nằm cách đều điểm A thì… »

d Điểm K có thuộc đường tròn không ?

Hình 3.3 Ví dụ làm quen chứng minh Hình học trong SGK lớp 6 Transmath

Sách giáo khoa cũng đưa ra những ví dụ còn chỗ trống để học sinh hoàn thành cũng như dẫn dắt học sinh đi đến các giải thích Ví dụ sau đây đưa ra trong sách giáo khoa lớp 7 Transmath :

7 Một chứng minh

Trên hình bên, các đường trung trực của các đoạn thẳng

[AB] và [AC] cắt nhau tại O

a Viết lại và hoàn thành các câu sau bằng cách bổ sung

thêm các biện minh :

- O thuộc đường trung trực của đoạn [AB] nên OA = …

- O thuộc đương trung trực của đoạn [AC] nên …

b Giải thích tại sao :

- Đường tròn (C) têm O và đi qua A thì cũng đi qua B và

C ;

- Điểm O thuộc đương trung trực của đoạn [BC]

Hình 3.4 Ví dụ kiểu chứng minh điền vào chỗ trống trong SGK lớp 7 Transmath

Để dẫn dắt học sinh làm quen với chứng minh trong hình học, sách giáo khoa đưa ra các ví dụ mẫu về trình bày một chứng minh Chứng minh được trình bày chủ yếu như một đoạn văn với ít ký hiệu logic Điều này giúp học sinh lớp 7 dễ dàng làm quen với cách lập luận trong một chứng minh Ngoài ra, sách giáo khoa còn chỉ

rõ các căn cứ của mỗi khẳng định trong quá trình chứng minh Sau đây là một ví dụ minh họa điều này, được trình bày trong sách giáo khoa Toán lớp 7 Transmath :

2 Nhận ra một hình bình hành

Đề bài :

(C) và (C‘) là hai đường tròn có tâm O như hình bên

Đoạn [JI] là một đường kính của (C)

Đoạn [UN] là một đường kính của (C‘)

Chứng minh rằng tứ giác JUIN là một hình bình hành

Lời giải :

[JI] và [UN] là hai đường kính của các đường tròn tâm O nên

chứng có cùng trung điểm O

Như vậy hai đường chéo [JI] và [UN] của tứ giác JUIN cắt nhau

tại trung điểm O của chúng

Mà nếu một tứ giác có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm

Ta giải thích tại sao chúng ta có thể áp dụng tính chất phát biểu ngay sau đây

Ta đi đến kết luận

3.2.2.2 Sách giáo khoa Việt Nam

Thuật ngữ ―Chứng minh‖ được tìm thấy trong sách giáo khoa lớp 8 và 9 Trong sách giáo khoa lớp 7, bài tập chứng minh ở dạng yêu cầu giải thích hoặc mô

tả trình tự các bước của bài toán chứng minh Các bài tập loại này nhằm rèn luyện cho học sinh trình bày một bài toán chứng minh hình học : điền vào chỗ trống để hoàn thành bài chứng minh (Bài 52, 53 trang 101, 102 SGK Toán 7 tập 1); sắp xếp các lập luận cho sẵn để có bài chứng minh hoàn chỉnh (Bài 18 trang 114 SGK Toán

7 tập 1) Đa số các bài tập chứng minh trong sách giáo khoa lớp 8 và 9 đều yêu cầu lời giải thích cho sự biện minh (―giải thích lý do vì sao ‖) Các lời giải thích có thể xuất hiện trước khi kết luận hoặc sau lời khẳng định Tuy nhiên, cách thức giải thích

là ngầm ẩn trong sách giáo khoa Thuật ngữ ―định lý‖, ―giả thiết-kết luận‖, ―chứng minh‖ được giới thiệu khá rõ ràng trong bài ―Định lý‖, Sách giáo khoa Toán 7, tập

1, trang 99, 100

Định lý là một khẳng định suy ra từ những khẳng định được coi là đúng Khi định lý được phát biểu dưới dạng “Nếu thì ”, phần nằm giữa từ

“Nếu” và từ “thì” là phần giả thiết, phần sau từ “thì” là phần kết luận

Chứng minh định lý là dùng lập luận để từ giả thiết suy ra kết luận

Hình 3.6 Ví dụ điển hình về bài toán chứng minh trong SGK Việt Nam

(Sách giáo khoa Toán 7, tập I, trang 100)

Đôi khi trong chứng minh, phần giả thiết đề cho là ngầm hiểu, không cần phải chỉ ra cụ thể Ví dụ, chứng minh trường hợp bằng nhau về cạnh huyền và cạnh góc vuông (Sách giáo khoa Toán 7, tập 1, trang 136), giả thiết BC = EF, AC = DF không cần phải nêu ra Trong các bài chứng minh, sách giáo khoa luôn chú trọng