Suy luận và chứng minh trong việc dạy mạch hình học ở tiểu học

Đứng trước thực tiễn đó với mong muốn góp một phần nhỏ vào việc để nâng cao chất lượng dạy học môn Toán nói chung, mạch kiến thức hình học ở tiểu học nói riêng, nhằm rèn luyện tư duy lôg

Môn toán ở tiểu học, cũng như việc dạy các tính chất, quy tắc thực hành bốn phép tính không chỉ đơn thuần rèn kỹ năng tính toán, giải toán, mà quan trọng hơn là nhằm phát triển tư duy, rèn luyện phương pháp suy luận cho học sinh Hình thành phương pháp suy luận không những nâng cao năng lực suy nghĩ cho các em, mà còn là phương tiện để giáo viên truyền thụ kiến thức mới nhằm hình thành, rèn giũa các kỹ năng khác cho học sinh Chương trình và sách giáo khoa phải đảm bảo phải dạy học sinh những nguyên lí cơ bản, toàn diện về mặt đức dục, trí dục, mỹ dục; đồng thời tạo điều kiện cho các em phát triển óc thông minh, khả năng độc lập suy nghĩ sáng tạo Cái quan trọng của trí dục là rèn luyện óc thông minh và sức suy nghĩ

Nhưng thực tế trong dạy học các tính chất, quy tắc thực hành bốn phép tính, chúng ta chỉ mới chú trọng đến việc giúp học sinh nắm vững các quy tắc, tính chất mà chưa coi trọng đúng mức đến cách thức hoạt động của thầy, trò trong quá trình chiếm lĩnh tri thức ấy Chính điều này đã dẫn đến một mặt

không phát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của người học, mặt khác không phát triển được tư duy lôgic cho học sinh

Mặc dù phép suy luận quy nạp (đặc biệt là quy nạp không hoàn toàn) không đáng tin cậy song trong việc dạy toán ở tiểu học, phép quy nạp không hoàn toàn đóng vai trò rất quan trọng Với học sinh tiểu học còn nhỏ, vốn sống còn hạn chế, tư duy trừu tượng chưa phát triển, các vấn đề giảng dạy đều phải thông qua thực nghiệm, nên đây là phương pháp chủ yếu, đơn giản nhất,

dễ hiểu nhất đối với học sinh Mặc dù nó chưa cho phép chúng ta chứng minh được chân lí mới nhưng cũng giúp chúng ta đưa các em thật đến gần chân lí

ấy, giúp giải thích ở mức độ nào đó các kiến thức mới, tránh được tình trạng bắt buộc phải thừa nhận kiến thức mới một cách hình thức, hời hợt

Đứng trước thực tiễn đó với mong muốn góp một phần nhỏ vào việc để nâng cao chất lượng dạy học môn Toán nói chung, mạch kiến thức hình học ở tiểu học nói riêng, nhằm rèn luyện tư duy lôgic và phương pháp chứng minh cho học sinh và trau dồi kiến thức cho bản thân sau khi ra trường tôi đã quyết định chọn và nghiên cứu đề tài: “Suy luận và chứng minh trong việc dạy học mạch hình học toán tiểu học” Qua điều tra tôi thấy chưa có ai nghiên cứu đề tài này

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là tìm hiểu nội dung, tính chất của suy luận và chứng minh và các dạng bài tập có vận dụng các tính chất đó vào để giải Qua đó góp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả của việc dạy học về suy luận và chứng minh trong mạch hình học cho học sinh tiểu học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu cơ sở lý luận và thực tiễn của việc dạy học chứng minh và suy luận

- Nghiên cứu nội dung về chứng minh và suy luận trong việc dạy học toán ở tiểu học nói chung và dạy học mạch hình học nói riêng

- Nghiên cứu và hướng dẫn học sinh phương pháp giải các dạng toán có liên quan đến việc vận dụng phương pháp chứng minh và suy luận trong giải toán

- Đề xuất một số dạng bài tập có vận dụng phương pháp suy luận và chứng minh

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu :

Các bài toán có sử dụng phương pháp suy luận và chứng minh

- Phạm vi nghiên cứu :

Các bài toán có nội dung hình học có vận dụng suy luận và chứng minh ở lớp 2, 3, 4, 5 và các sách tham khảo

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp điều tra

- Phương pháp quan sát

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

6 Cấu trúc khoá luận

2.2 Chứng minh

2.2.1 Phương pháp chứng minh trực tiếp

2.2.2 Phương pháp chứng minh quy nạp hoàn toàn

2.2.3 Phương pháp chứng minh quy nạp toán học

Chương 3: Suy luận và chứng minh trong việc dạy học mạch hình học toán tiểu học

3.1 Các phương pháp suy luận trong dạy học mạch hình học ở tiểu học

3.1.1 Phương pháp suy luận quy nạp

3.1.2 Phương pháp suy diễn

3.2 Vấn đề suy luận với dạy học mạch hình học ở toán tiểu học

3.3 Các dạng toán có liên quan đến vận dụng suy luận và chứng minh

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Ở chương 1 chúng tôi trình bày về cơ sở lý luận đó là đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học và cấu trúc mạch hình học ở tiểu học, đồng thời nêu ra cơ sở thực tiễn là những thuận lợi và khó khăn khi dạy và học suy luận

và chứng minh

1.1 Cơ sở lý luận

1.1.1 Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học

Nhìn chung, ở học sinh tiểu học hệ thống tín hiệu thứ nhất còn chiếm ưu thế, các em rất nhạy cảm với các động tác bên ngoài, điều này phản ánh những hoạt động nhận thức của học sinh tiểu học Tuy nhiên, ở giai đoạn cuối bậc tiểu học hệ thống tín hiệu thứ hai đã phát triển nhưng còn ở mức độ thấp Khả năng phân tích của học sinh tiểu học còn hạn chế, các em thường tri giác trên tổng thể So với học sinh ở đầu bậc tiểu học, các em học sinh ở lớp cuối tiểu học có các hoạt động tri giác đã phát triển và được hướng dẫn bởi các hoạt động nhận thức khác nên chính xác dần

Sự chú ý không phủ định còn chiếm ưu thế ở học sinh tiểu học Sự chú ý này không bền vững nhất là đối với các đối tượng ít thay đổi Do thiếu khả năng tổng hợp, sự chú ý của học sinh còn phân tán, lại thiếu khả năng phân tích nên dễ bị lôi cuốn vào hình ảnh trực quan, gợi cảm Sự chú ý của học sinh tiểu học thường hướng ra bên ngoài hành động chứ chưa có khả năng hướng vào bên trong, vào tư duy

Trí nhớ trực quan hình tượng và trí nhớ máy móc phát triển hơn trí nhớ lôgic Hình tượng, hình ảnh cụ thể dễ nhớ hơn là các câu chữ hình tượng khô khan Ở giai đoạn cuối tiểu học, trí tưởng tượng có phát triển hơn nhưng còn

tản mạn, ít có tổ chức và chịu nhiều ảnh hưởng của hứng thí, của kinh nghiệm sống và các mẫu hình đã biết

Với đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học như đã nêu, ta phải dẫn dắt cho học sinh các bước để giải một bài toán bằng cách sử dụng phương pháp suy luận, từng bước để chứng minh được một mệnh đề trong quá trình giải các bài toán có nội dung hình học để đạt hiệu quả cao, làm thế nào để thu hút

sự chú ý của học sinh tiểu học, giúp học sinh hiểu được bản chất của bài toán, biết giải các bài toán một cách khoa học lôgic đồng thời phát triển khả năng

tư duy của học sinh tiểu học

Chính vì thế, đối với các bài toán có nội dung hình học, cần sử dụng cách dẫn dắt, cách tóm tắt hợp lí để diễn đạt một cách trực quan các điều kiện của bài toán Giúp học sinh loại bỏ được cái không bản chất để tập trung vào cái bản chất toán học, nhờ đó có cái nhìn bao quát, tìm ra được mối liên hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm để tìm ra cách giải quyết bài toán

1.1.2 Cấu trúc mạch hình học ở tiểu học

Mạch hình học trong chương trình môn Toán ở tiểu học gồm các nội dung sau:

- Nhận dạng các hình vuông, tam giác, tròn, …

- Giới thiệu về điểm, đoạn thẳng Thực hành vẽ đoạn thẳng, vẽ hình trên giấy ô vuông, gấp, cắt hình

- Đường thẳng, ba điểm thẳng hàng Đường gấp khúc, tính độ dài đường gấp khúc

- Hình tứ giác, hình chữ nhật Vẽ hình trên giấy ô vuông

- Giới thiệu khái niệm ban đầu về chu vi của một hình đơn giản, tính chu

vi của hình tam giác, tứ giác

- Giới thiệu góc vuông và góc không vuông Giới thiệu êke Vẽ góc bằng thước thẳng và êke

- Giới thiệu đỉnh, góc, cạnh của hình đã học

1.2.3 Vịêc dạy học mạch hình học ở tiểu học

Trong môn Toán, những kiến thức hình học có rất nhiều ứng dụng trong đời sống hàng ngày Vì vậy chương trình toán tiểu học, mạch kiến thức số học

là trọng tâm, là hạt nhân của chương trình song các kiến thức về hình học cũng gắn bó rất chặt chẽ với kiến thức số học và đại lượng

Ở tiểu học thì các kiến thức về hình học không mang ý nghĩa thực của nó

mà mới được coi là bước chuẩn bị cho việc học hình học Việc dạy học các yếu tố hình học cho học sinh tiểu học là nhằm trang bị cho học sinh những biểu tượng chính xác về một số hình học đơn giản và một số đại lượng hình học thông dụng, đồng thời cũng nhằm rèn luyện cho học sinh một số kĩ năng

kẻ, sử dụng êke, compa để vẽ, đo các hình học đơn giản Từ đó giúp các em nắm được các đặc điểm cơ bản của các hình học để nhận dạng hình một cách nhanh chóng, chính xác, biết so sánh, phân biệt hình này với hình kia, tạo cho học sinh tính tích cực, hứng thú học tập trên cơ sở đó phát triển các năng lực trí tuệ, phát triển trí tưởng tượng không gian (thông qua các bài tập vẽ hình, ghép hình, tổng hợp hình,…)

Mặc dù vẫn khẳng định và chuẩn bị cho việc học hình học một cách có

hệ thống nhưng việc dạy hình học ở tiểu học vẫn thể hiện được hai phương diện của việc dạy hình học như sau:

+ Quan sát và hành động trên các đồ vật, thu thập các thông tin có liên quan nhằm hình thành một số kĩ năng thao tác với các đối tượng hình: Vẽ hình, cắt ghép hình, đo đạc, biến hình

+ Bước đầu trừu tượng hóa dẫn tới mô hình toán học đồng thời làm quen với ngôn ngữ hình học

Việc dạy học mạch hình học ở tiểu học không chỉ dừng lại ở việc dạy về các yếu tố hình học mà bên cạnh đó còn dạy cho học sinh áp dụng các tính chất của hình học để suy luận và chứng minh (đặc biệt đối với các bài toán nâng cao lớp 4, 5) Áp dụng suy luận và chứng minh vào giải các bài toán hình học ở tiểu học có vài trò rất quan trọng trong việc giải quyết các vấn đề hình học đặt ra và đóng góp rất lớn vào công tác bồi dưỡng học sinh giỏi toán Dựa vào những đặc điểm, tính chất, quy tắc hình học ta có thể chứng minh được các hình bằng nhau, tìm được diện tích các hình, chứng minh trung điểm, tìm được tỉ số các đoạn thẳng,… Qua đó chúng ta có thể chứng minh được những kiến thức mà lên bậc trung học cơ sở mới được chính thức đề cập đến như: đường trung bình của hình thang, đường trung tuyến của tam giác, trọng tâm của tam giác, định lí Pytago trong tam giác vuông,… chỉ với kiến

thức hình học của bậc tiểu học Từ đó phát triển được năng lực tư duy, khả năng suy luận, chứng minh của học sinh

1.2 Cơ sở thực tiễn

Để tìm hiểu thực trạng về công tác dạy học suy luận và chứng minh mạch

số học (chủ yếu là ở lớp 2,3,4, 5) ở trường tiểu học, trong thời gian thực tập tại trường tiểu học theo sự phân công của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Tôi đã có điều kiện tìm hiểu thực trạng ở hai trường trên khu vực Thị trấn Đông Anh đó là: Trường Tiểu học Tiên Dương và Trường Tiểu học Uy Nỗ

Để thu thập thông tin tôi tiến hành điều tra các đối tượng là giáo viên phụ trách các khối lớp 2, 3, 4, 5 đồng thời tiến hành tổng kết các kinh nghiệm dạy toán Sau quá trình tìm hiểu tôi thu được các thông tin sau:

- Một là về khả năng của học sinh

Đối với Trường Tiểu học Tiên Dương và Trường Tiểu học Uy Nỗ thì đây là trường đạt chuẩn quốc gia chất lượng học sinh tương đối tốt và đều có học sinh đạt giải cấp thành phố và quốc gia

Bên cạnh đó, do đây là khu vực đông dân cư và nằm ở vùng ngoại thành

Hà Nội nên còn khá nhiều học sinh có điều kiện khó khăn, chưa được quan tâm, chăm sóc nhiều về vấn đề học tập Do đó mà nhiều học sinh tiếp thu kiến thức còn rất chậm, không nắm vững kiến thức cơ bản

- Hai là những khó khăn của giáo viên trong công tác dạy học suy luận

và chứng minh mạch hình học

Có rất nhiều khó khăn mà giáo viên gặp phải trong quá trình dạy học về suy luận và chứng minh, ở đây tôi xin đưa ra những khó khăn chính, thường gặp của giáo viên khi dạy học về suy luận và chứng minh trong mạch hình học như sau:

+ Khả năng tưởng tượng, suy luận của học sinh tiểu học còn hạn chế + HS chưa có hứng thú học tập

+ Nhiều học sinh chưa nắm chắc về các tính chất, quy tắc, công thức cơ bản của hình học

+ Khả năng tư duy trừu tượng còn hạn chế và các em chỉ quen với tư duy

Suy luận là rút ra một mệnh đề mới từ một hay nhiều mệnh đề đã biết

2.1.2 Cấu trúc lôgic của suy luận

Mỗi phép suy luận gồm ba thành phần:

Tiền đề: là các mệnh đề đã cho

Cơ sở lôgic: là tổng hợp các quy luật, quy tắc

Kết luận: là mệnh đề mới được rút ra

2.1.3 Quy tắc suy luận

Định nghĩa quy tắc suy luận: Giả sử A1, A2,…,An, B là những công thức Ta

nói B là hệ quả lôgic (kết luận) của A1,A2,…,An nếu mọi hệ chân trị có thể nhận của các biến mệnh đề có mặt trong các công thức đó mà A1,A2,…,An đồng thời nhận giá trị 1 đều có B nhận giá trị 1

Ngược lại, khi B là hệ quả lôgic của A1,A2,…,An thì ta cũng nói có một quy tắc suy luận từ tiền đề A1,A2,…,An tới hệ quả lôgic B của chúng

Quy tắc suy luận nói trên được kí hiệu là: A1,A2,…,An hay A1,A2,…,An B

B

Từ định ngĩa trên ta thấy rằng, để chứng minh một quy tắc suy luận có thể dùng phương pháp lập bảng chân trị

Bảng một số quy tắc suy luận trong toán học (Xem [5], tr.89)

r

p

s r

r

p

s r

r q p r q

p

r q

p ,

4,

r p

r q q p

p ,

8,

r q p

r p q p

s r q p

s r q p

p

;

18,

q p

q p





20,

r p

r q p

24,

p

q q

p

26,

q p

p q p q

p

r r q p

a P x Q x P X



2.1.4 Phân loại suy luận

Căn cứ vào tính chất của các tri thức được chứa trong các tiền đề và kết luận, căn cứ vào cơ sở của phép suy luận, người ta chia suy luận ra làm hai loại: suy luận diễn dịch (hay còn gọi là suy diễn) và suy luận nghe có lí (hay suy luận có lí)

2.1.4.1 Suy luận diễn dịch

Suy luận diễn dịch ( hay còn gọi là suy diễn) là suy luận theo những quy tắc suy luận tổng quát (của lôgic mệnh đề) Trong suy luận diễn dịch, nếu các tiền đề đúng thì kết luận rút ra cũng phải đúng (Xem [11], tr.184)

Trong lôgic vị từ, ngoài những quy tắc suy luận của lôgic mệnh đề ta thường gặp và vận dụng hai quy tắc dưới đây:

1,

) (

), ( ) (

a P

X a x P X

), ( ) (

a Q

X a x P X



Vậy 672 chia hết cho cả 3 và 4

Trong ví dụ này, các tiền đề đều đúng, ta đã vận dụng các quy tắc suy luận :

r p

r q q p





 ,

2.1.4.2 Suy luận nghe có lí

Suy luận nghe có lí (hay còn gọi là suy luận có lí) là suy luận không theo một quy tắc suy luận tổng quát nào Nó chỉ xuất phát từ những tiền đề đúng để rút ra một kết luận Kết luận này có thể đúng, có thể sai

(Xem [11], tr.185]

Mặc dầu suy luận nghe có lí có hạn chế nêu trên nhưng nó có ý nghĩa rất quan trọng trong khoa học và đời sống: giúp chúng ta từ những quan sát cụ thể rút ra những giả thuyết, phán đoán để rồi sau đó tìm cách chứng minh chặt chẽ giả thuyết đó Nó đặt cơ sở cho nhiều phát minh trong khoa học

Trong toán học, hai kiểu suy luận nghe có lí thường sử dụng là: Phép suy luận quy nạp và phép tương tự

2.1.4.2.1 Suy luận quy nạp

Theo từ điển toán học thông dụng, phương pháp quy nạp là phương pháp suy luận dựa trên quan sát và thí nghiệm, xuất phát từ những trường hợp riêng lẻ, rồi mở rộng các kết quả có tính chất quy luật ra cho trường hợp tổng quát

Polya khẳng định suy luận quy nạp là trường hợp riêng của suy luận có

lí hay còn được giáo sư Hoàng Chúng gọi là “Suy luận nghe có lí” Suy luận quy nạp là kiểu suy luận trong đó lập luận đi từ cái riêng đến cái chung, đi từ

bộ phận đến toàn thể

Trong bất kì một lĩnh vực khoa học và thực tiễn nào, nhận thức bao giờ cũng bắt đầu từ kinh nghiệm Qua thực nghiệm con người phát hiện ra bản chất, các thuộc tính riêng lẻ của các sự vật và hiện tượng riêng lẻ con người muốn khái quát hóa và rút ra các tri thức chung, có tính quy luật về các lớp sự vật giống nhau

Cơ sở lập luận của phép quy nạp là: thừa nhận quy luật phát triển của thế giới khách quan, cái riêng tồn tại trong cái chung, cái chung tồn tại trong cái riêng, qua cái riêng Nhưng để rút ra cái chung, con người không cần phải nghiên cứu tất cả mà chỉ nghiên cứu một phần, từ đó khái quát hóa

Sơ đồ khái tổng quát là A.B.C.D…… có thuộc tính P

ta dự đoán kết quả tổng quát sau khi mới chỉ xem xét một số trường hợp riêng

mà thôi

Đặc điểm của suy luận quy nạp là ở chỗ không có quy tắc tổng quát như đối với suy luận diễn dịch Từ tiền đề có cấu trúc xác định nào đó, được thừa nhận là đúng, thì kết luận rút ra bằng quy nạp không chắc chắn đúng, có thể đúng, cũng có thể sai

Căn cứ vào đặc điểm của tiền đề trong các phép suy luận quy nạp, người ta chia các suy luận quy nạp ra làm hai loại: Quy nạp hoàn toàn và quy nạp không hoàn toàn

a Quy nạp hoàn toàn:

Phép quy nạp hoàn toàn là phép suy luận đi từ việc khảo sát tất cả các trường hợp riêng, rồi nhận xét để nêu kết luận chung cho tất cả các trường hợp riêng đó và chỉ cho những trường hợp riêng ấy mà thôi

b Quy nạp không hoàn toàn

Phép quy nạp không hoàn toàn là phép suy luận đi từ một vài trường hợp riêng để rút ra nhận xét rồi rút ra kết luận chung

Ví dụ 1

20 chia hết cho 5

30 chia hết cho 5

40 chia hết cho 5

Kết luận: Các số có tận cùng là 0 thì chia hết cho 5

Đây là phép suy luận không hoàn toàn Trong phép suy luận này, xuất phát từ những tiền đề đúng và cũng rút ra kết luận đúng

Ví dụ 1

Tiền đề: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng các số tự nhiên thì tổng

không thay đổi

Kết luận: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng các phân số thì tổng không đổi

Đây là phép suy luận tương tự Giả thuyết nêu ra ở đây là đúng

Toán học là một khoa học suy diễn Những vấn đề toán học, được trình bày dưới hình thức hoàn chỉnh, chỉ bao gồm những suy luận diễn dịch Nhưng trong quá trình quy nạp và phát minh, sáng tạo toán học, suy diễn được gắn chặt với quy nạp và tương tự Thường phải dùng quy nạp và tương tự để đề ra giả thuyết, dự đoán về một định lí, về ý của chứng minh trước khi tiến hành chứng minh chi tiết Phép suy luận quy nạp không hoàn toàn và phép suy luận tương tự là hai phép suy luận có vai trò đặc biệt quan trọng, có giá trị to lớn trong hoạt động thực tiễn, là giai đoạn đầu cho phép đưa ra các giả thuyết, nó

là thủ thuật dẫn nhà nghiên cứu tới dự đoán và phát hiện ra tri thức mới

2.2 Chứng minh

2.2.1 Khái niệm

Chứng minh là thao tác lôgic dùng để lập luận tính chân thực của phán đoán nào đó nhờ các phán đoán chân thực khác có mối liên hệ hữu cơ với phán đoán ấy (Xem [12], tr.95)

Trong suy luận diễn dịch, từ các tiền đề A, B ta rút ra kết luận C bằng cách vận dụng các quy tắc suy luận tổng quát Ta gọi phép suy luận dạng này

là suy luận hợp lôgic Ở đây chúng ta chỉ quan tâm đến hình thức hay cấu trúc

của suy luận mà không quan tâm đến nội dung, ý nghĩa của các mệnh đề trong suy luận đó

Trong toán học, nếu các tiền đề A, B của suy luận đều đúng (là những định nghĩa, tiền đề hoặc định lí đã được chứng minh trước đó) ta rút ra kết

luận C thì ta nói C là một kết luận chứng minh, còn suy luận đó là một chứng

minh

Vậy chứng minh một mệnh đề X là kết luận lôgic của các tiền đề đúng

(Xem [11], tr.186,187)

2.2.2 Cấu tạo của một phép chứng minh

Mỗi chứng minh toán học bao gồm một số hữu hạn bước, trong đó mỗi bước là một suy luận diễn dịch, trong đó ta đã vận dụng một quy tắc suy luận tổng quát (Xem [5], tr.93)

Trong trường hợp chứng minh chỉ gồm một bước là suy luận diễn dịch với các tiền đề đúng

Một phép chứng minh gồm ba phần: Luận đề, luận cứ, luận chứng

Luận đề: là mệnh đề ta phải chứng minh

Trả lời cho câu hỏi: “Chứng minh là gì?”

Biểu hiện dưới các dạng:

- Các luận điểm lí luận khoa học như các định lí

- Có thể là kết quả khái quát các dữ kiện cụ thể

- Xác định căn bệnh cụ thể của bệnh nhân

- Sự kiện lịch sử nào đó

Luận cứ: là những mệnh đề mà tính đúng đắn của nó đã được khẳng

định (thường là các định nghĩa, tiền đề hoặc định lí đã được chứng minh trước đó,…) dùng làm tiền đề trong mỗi bước suy luận

Luận cứ chính là vật liệu để xây dựng nên phép chứng minh

Trả lời cho câu hỏi: “Chứng minh bằng cái gì?”

Biểu hiện dưới các dạng:

- Các luận điểm tin cậy về các sự kiện: các kết quả thực nghiệm, các dấu vết của vụ án còn để lại Các định nghĩa, các khái niệm

- Các tiền đề và định đề: là các phán đoán chân thực đã được thừa nhận

mà không cần chứng minh

- Các định lí và định luật khoa học đã được chứng minh

Luận chứng: là những quy tắc suy luận tổng quát được sử dụng trong

mỗi bước suy luận của chứng minh đó

Như vậy chứng minh từ tiền đề A dẫn đến kết luận B (AB) là:

- Thiết lập một dãy các bước suy luận diễn dịch

- Trong mỗi bước ta chỉ rõ tiền đề, kết luận và quy tắc suy luận tổng quát được áp dụng

2.2.3 Các phương pháp chứng minh trong toán học thường gặp

Có nhiều phương pháp chứng minh, dưới đây ta trình bày một số

phương pháp chứng minh thông dụng nhất

2.2.3.1 Phương pháp chứng minh trực tiếp

Là chứng minh trong đó tính chân thực của luận đề được trực tiếp rút ra

từ các luận cứ

Cơ sở của phương pháp chứng minh trực tiếp là quy tắc suy luận bắc cầu

r p

r q q p

Định lí được tóm tắt như sau (Luận đề):

Giả thiết ABCD là hình bình hành

AC cắt BD tại O Kết luận OA = OC và OB = OD

p ,

AB // CD ; AD // BC

Suy luận 2: A1 A2

+ Hai góc so le trong của hai đường thẳng song song bị cắt

bởi một cát tuyến thì bằng nhau (định lí)

p ,

cạnh đó bằng nhau đôi một thì bằng nhau (định lí)

+ BD chung,

D B

^

^

1 1

 và

D B

^

^

2 2

r q q p





 ,

AB

Qua phân tích trên đây ta thấy:

- Giả thiết và kết luận của định lí là luận đề của chứng minh

- Chứng minh của định lí trên có bảy bước, trong mỗi bước đều dùng các định nghĩa hoặc định lí đã được chứng minh làm luận cứ và ngầm sử dụng một suy luận tổng quát làm luận chứng

Ví dụ 2:

Trong tam giác vuông, chứng minh trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền (Xem [5], tr.94)

Bài giải Giả sử tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC Ta cần

Gọi I là trung điểm của AB

Vì M là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra MI // CA Vì CA 

Suy luận 1: A1: AM là trung tuyến

A2: MB = MC

Suy luận 2: A2: MB = MC

A3: IA = IB

A4: MI là đường trung bình  ABC

Suy luận 3: A4: MI là đường trung bình  ABC

A8: MAB cân tại M

Suy luận 6: A8: MAB cân tại M

- Ở phổ thông, trong các chứng minh toán học người ta thường bỏ đi nhiều tiền đề trong mỗi bước suy luận Vì vậy chứng minh được thực hiện theo sơ đồ thu gọn:

A A1 A2 … An - 1 An B

- Trong phép chứng minh này (và nhiều phép chứng minh trực tiếp khác)

ta thường sử dụng quy tắc suy luận kết luận bắc cầu Vì vậy hai phép suy luận này có vai trò đặc biệt quan trọng trong chứng minh trực tiếp

C C B A

A B

Định lí trên được tóm tắt như sau (luận đề)

Giả thiết ac và bc (a ≠ b

Kết luận a // b

Giả sử a không song song với b Suy ra a cắt b tại M Như vậy từ M ta

kẻ được hai đường vuông góc với đường thẳng c

Mệnh đề này sai vì nó mâu thuẫn với mệnh đề đúng đã biết trước “từ một điểm ở ngoài một đường thẳng ta chỉ kẻ được một và chỉ một đường thẳng vuông góc tới đường thẳng đó”

Vậy mệnh đề “Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì cắt nhau” là sai Điều đó chứng tỏ rằng mệnh đề phải chứng minh là đúng

2.2.3.3 Phương pháp chứng minh quy nạp hoàn toàn

Giả sử tập hữu hạn X = {a1, a2,…, an} và T(x) là hàm mệnh đề xác định trong tập X

} , , , { ),

( ), , ( ),

x T X x

X T

số dư của phép chia n cho 5 Vậy D = {0,1,2,3,4}

- Nếu số dư bằng 0 thì n5 Suy ra T5

- Nếu số dư bằng 1 thì (n+4) 5 Suy ra T 5

- Nếu số dư bằng 2 thì (n+3) 5 Suy ra T 5

- Nếu số dư bằng 3 thì (n+2) 5 Suy ra T 5

- Nếu số dư bằng 4 thì (n+1) 5 Suy ra T 5

Vậy T chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên

2.2.3.4 Phương pháp chứng minh quy nạp toán học

Để chứng minh tính chất T(n) đúng với mọi số tự nhiên n (hoặc với mọi số

tự nhiên nn0) tức là phải chứng minh mệnh đề tổng quát

Ta tiến hành theo các bước dưới đây:

Bước 1: Chứng minh G(T(0)) = 1 hay tính chất T(n) đúng với n = 0 (hoặc n

= n0)

Bước 2: Giả sử G(T(k)) = 1 hay tính chất T(n) đúng với n = k Ta chứng

minh G(T(k+1) = 1) hay tính chất T(n) cũng đúng với n = k+1

Từ đó ta rút ra kết luận: tính chất T(n) đúng với mọi số tự nhiên n (hoặc với mọi số tự nhiên n n0 hay

)) 1 ( ) ( ( , ),

0 (

n T N n

k T k T N k T

Với n = 2 nối hai điểm cho trước ta được một đoạn thẳng Ta có:

2

2 ) 1 2 (  

Vậy công thức trên đúng với n = 2

Giả sử công thức trên đúng với n = k Tức là khi nối k điểm cho trước

trong mặt phẳng ta được

2

) 1 (k  k

đoạn thẳng

Giả sử trong mặt phẳng cho trước k+1 điểm, khi nối k điểm đầu với nhau

(theo giả thiết ở phần trên) ta được:

2

) 1 (k  k

đoạn thẳng Bây giờ ta nối điểm thứ k+1 với k điểm còn lại ta được thêm k+1 đoạn thẳng nữa Vậy số đoạn

thẳng đếm được khi nối k+1 điểm đó với nhau là:

2

) 1 ( ) 1 ( 2

) 1

(đoạn)

Vậy công thức trên đúng với n = k+1

Từ đó suy ra: Nếu cho trước n điểm phân biệt trong mặt phẳng thì nối

chúng với nhau ta sẽ được

2

) 1 (n  n

- Quy tắc 2: Cho luận cứ: luận cứ phải bao gồm các phán đoán chân thực

đã được xác minh hoặc chứng minh

- Quy tắc 3: Cho luận chứng: luận chứng phải tuân theo các quy tắc của phép suy luận, đảm bảo tính hệ thống, nhất quán, không mâu thuẫn

Kết luận

Trên đây chính là cơ sở toán học của phép suy luận và chứng minh Đây chính kiến thức quan trọng mà giáo viên cần nắm chắc, hiểu sâu để áp dụng vào dạy học môn toán ở tiểu học nói chung và mạch hình học nói riêng