Suy luận và chứng minh trong dạy học mạch số học ở tiểu học ( Khóa luận tốt nghiệp toán )

Trang 1

LOI CAM ON

Tôi xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn, giúp đỡ của các thầy cô giáo trong khoa Giáo dục Tiểu học, các thầy cô trong khoa Toán đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình làm khóa luận này Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng

cảm ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Năng Tâm — người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ

bảo tận tinh dé tôi hoàn thiện khóa luận

Trong khi thực hiện đề tài này, do thời gian và năng lực có hạn nên tôi vẫn

chưa đi sâu khai thác hết được và còn nhiều hạn chế cũng như thiếu sót Vì vậy,

tôi mong nhận được sự tham gia đóng góp ý kiến của các thầy cô và bạn bè Tôi xin chân thành cảm on!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Trang 2

LOI CAM DOAN

Tôi xin cam đoan đề tài “Suy luận và chứng minh trong dạy học mạch số

học ở Tiểu học” là kết quả mà tôi đã trực tiếp nghiên cứu, tìm hiểu được, thông

qua các đợt kiến tập hằng năm và thực tập năm cuối Trong quá trình nghiên cứu tôi có sử dụng tải liệu của một số nhà nghiên cứu, một số tác giả khác Tuy nhiên, đó chỉ là cơ sở để tôi rút ra được những vấn để cần tìm hiểu ở đề tài của mình Đây là kết quả của riêng cá nhân tơi, hồn tồn khơng trùng với kết quả của các tác giả khác

Nêu saI tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Sinh viên

Trang 3

MUC LUC

Trang

ÿI95271001 5 4

Chương 1: Cơ sở ]Í luận cœ- <5 <5 998 0999995988999996968899996.68886996666 9

1.1 Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu hỌC - + c+tce St SESESESEsEsessrsrssea ọ 1.2 Cấu trúc nội dung mach SO NOC G Ti€U NOC cecccescsesecscsvscsssscscsssesecsesesscscseseees 10

»"`; .nnme.A11aaa 11

1.3.1 Suy luận diễn dịch - << tk SE E11 11111 H11 chưng 12

1.3.2 Suy luận nghe CĨ ÌÍ GĂ G0 0031111111 111119121 1 1111011111 88001111 ngả 15

19 ,.,.080 88a e 17

1.5 Các phương pháp chưng mình toán học thưởng ĐẶp - 19

1.5.1 Phương pháp chứng minh trực tiẾp - + - s5 +s+k+E£E+E+k£EeEexererered 19 1.5.2 Phương pháp chứng minh phản chứng . << << <<+++++ssss+ssss 19 1.5.3 Phương pháp chứng minh quy nạp hoàn toàn - << << +++<<ss+2 21 1.5.4 Phương pháp chứng minh quy nạp toán học -‹ cscc<<ss<csssss 22

Trang 4

MO DAU

1 Lido chon dé tai

Việc đối mới phương pháp dạy và học ở tất cả các cấp học, bậc học áp dụng những phương pháp dạy học hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực, tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vẫn đề đã được đề cập tới nhiều Thế nhưng, muốn có năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tư duy sáng tạo thì cần phải có năng lực tư duy lôgic Điều này đã được nhiều nhà nghiên cứu trong và ngoài

nước khăng định bởi những lợi ích mà nó mang lại Song trong thực tế, việc bồi

dưỡng tư duy lôgic ở trường phố thông nói chung, trường tiểu học nói riêng chưa

đáp ứng được yêu cầu của Đảng đặt ra đối với sự nghiệp giáo dục, cũng như

những đòi hỏi của xã hội

Bậc học nên tảng, đặt cơ sở ban đầu cho việc hình thành và phát triển nhân

cách cho con người, đặt nên tảng vững chắc cho giáo dục phố thông và cho toàn

bộ hệ thống giáo dục quốc dân chính là bậc học Tiểu học Vì vậy, Ở Tiểu học, các em học sinh được tạo điều kiện phát triển toản diện, tối đa với các môn học thuộc tất cả các lĩnh vực: Tự nhiên, Xã hội và Con nĐƯỜI

Trang 5

Các tuyến kiến thức được đưa vào dạy ở trường Tiểu học chia làm 5 tuyến

chính: số học, các yếu tố về đại số, các yếu tố về đại lượng, các yếu tố về hình học, và giải toán Các tuyến kiến thức này có quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ

và bố sung cho nhau, góp phần phát triển toàn diện năng lực toán học cho học sinh Tiểu học Cũng như việc dạy các tính chất, quy tắc thực hành bốn phép tính không chỉ đơn thuần rèn kỹ năng tính toán, giải toán, mà quan trọng hơn là nhằm

phát triển tư duy, rèn luyện phương pháp suy luận cho học sinh Hình thành

phương pháp suy luận không những nâng cao năng lực suy nghĩ cho các em, mà còn là phương tiện để giáo viên truyền thụ kiến thức mới nhằm hình thành, rèn đũa các kỹ năng khác cho học sinh Chương trình và sách giáo khoa phải đảm

bảo phải dạy học sinh những nguyên lí cơ bản, toàn diện về mặt đức dục, trí dục,

mỹ dục đồng thời tạo điều kiện cho các em phát triển óc thông minh, khả năng

độc lập suy nghĩ sáng tạo Cái quan trọng của trí dục là rèn luyện óc thông minh và sức suy nghĩ

Nhưng thực tế trong dạy học các tính chất, quy tắc thực hành bốn phép tính, chúng ta chỉ mới chú trọng đến việc giúp học sinh nắm vững các quy tắc, tính chất mà chưa coi trọng đúng mức đến cách thức hoạt động của thây, trò trong quá trình chiếm lĩnh tri thức ấy Chính điều này đã dẫn đến: một mặt không phát

huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, sảng tạo của người học, mặt khác

không phát triển được tư duy lôgic cho học sinh

Mặc dù phép suy luận quy nạp (đặc biệt là quy nạp khơng hồn tồn) khơng đáng tin cậy song trong việc dạy toán ở tiểu học, nhưng phép quy nạp khơng

hồn tồn đóng vai trị rất quan trọng Với học sinh tiểu học còn nhỏ, vốn sống

Trang 6

nhất đối với học sinh Mặc đù nó chưa cho phép chúng ta chứng minh được chân lí mới nhưng cũng giúp chúng ta đưa các em đến thật gần chân lí ấy; giúp giải

thích ở mức độ nào đó các kiến thức mới, tránh được tình trạng bắt buộc phải thừa nhận kiến thức mới một cách hình thức, hời hợt

Đứng trước thực tiễn đó, là một giáo viên Tiểu học trong tuong lai, tdi

quyết định chọn đề tài “ Suy luận và chứng minh trong dạy học mạch số học ở Tiểu học” để nghiên cứu nhằm rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh Tôi mong muốn được đóng góp một phân nhỏ của mình vào việc giúp các em học sinh có được năng lực suy luận và chứng minh khi học mạch số học, đồng thời góp phần phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh của mình sau này

Trong khóa luận này tôi đã tham khảo thêm một số tài liệu của những tác

giả khác như: Trần Diên Hiển (2012), 10 chuyên đê bối dưỡng học sinh giỏi Toản 4 — 5, tập 1, tập 2, NXB Giáo dục Việt Nam Đỗ Dinh Hoan (2002), Mot số vấn đê cơ bản của chương trình Tì yêu học mới, NXB Giáo dục Đỗ Đình

Hoan (chủ biên) (2006), SGK Toán 1, Toán 2, Toán 3, Toản 4, Toản 5, NXB Giáo dục Nguyễn Phụ Hy (2000), Dạy học mơn Tốn ở bậc Tiểu học, NXB Đại

học Quốc gia Hà Nội

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu phương pháp suy luận và chứng minh trong day học mạch số

học ở Tiểu học

3 Nhiệm vụ nghiền cứu

- Đặc điểm nhận thức của học sinh Tiểu học

- Tìm hiệu về suy luận và chứng minh

- Trình bày về suy luận và chứng minh trong dạy học mạch số học

Trang 7

Đối tượng nghiên cứu: suy luận và chứng minh trong dạy học mạch số học ở Tiểu học

Nhiệm vụ nghiên cứu: học sinh Tiểu học

5 Phương pháp nghiên cứu

Dé giải quyết nhiệm vụ của đề tải, tôi đã thực hiện các phương pháp sau:

5.1 Phương pháp nghiên cứu tải liệu 5.2 Phương pháp tông kết kinh nghiệm 5.3 Phương pháp thử nghệm 6 Cầu trúc đề tài Khóa luận này gồm có 3 phần: Mở đầu; Nội dung: Kết luận MỞ ĐẦU 1 Lí do chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

4 Phương pháp nghiên cứu

6 Câu trúc đề tài

NỘI DUNG

Chương 1: Cơ sở lí luận

1.1 Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học 1.2 Câu trúc nội dung mạch số học ở Tiểu học 1.3 Suy luận

1.3.1 Suy luận diễn dịch

1.3.2 Suy luận nghe có lí

1.4 Chứng minh

Trang 8

1.5.1 Phương pháp chứng minh trực tiếp 1.5.2 Phương pháp chứng minh phản chứng

1.5.3 Phương pháp chứng minh quy nạp hoàn toàn 1.5.4 Phương pháp chứng minh quy nạp toán học

Trang 9

Chuong 1

CO SO Li LUAN

Chương này sẽ trình bày về những cơ sở lí luận cơ bản nhất về đặc điểm nhận thức của học sinh Tiểu học, cấu trúc nội dung mạch số học ở Tiểu học

Đồng thời cũng trình bày một cách khái quát nhất về suy luận và chứng minh 1.1 Đặc điểm nhận thức của học sinh Tiểu học

Nhận thức là một trong ba mặt cơ bản của đời sống tâm lí con người (nhận thức, tình cảm và hành động) Nó là tiền đề của hai mặt kia và đồng thời có quan

hệ chặt chế với chúng cũng như với các hiện tượng tâm lí khác Hoạt động nhận

thức là hoạt động mà trong kết quả của nó, con người có được các tri thức (hiểu

biết) về thế giới xung quanh, về chính bản thân mình để tỏ thái độ và tiến hành các hoạt động khác một cách có hiệu quả Hoạt động nhận thức bao gồm nhiều

quá trình phản ánh hiện thực khách quan ở những mức độ khác nhau (cảm giác, tri giác, tư duy, tưởng tượng, ) và mang lại những sản phẩm khác nhau về hiện

thực khách quan (hình ảnh, biểu tượng, khái niệm) Có thể chia toàn bộ hoạt động nhận thức thành hai gia1 đoạn lớn: nhận thức cảm tính và nhận thức lí tính

Phát triển khả năng nhận thức là chỉ số của sự phát triển tâm lí trẻ em Vì

vậy, mỗi một giai đoạn lứa tuổi có những đặc điểm phát triển riêng Trong điều

kiện sống vài hoạt động mới của cuộc sống nhà trường, dựa trên nên tảng của những thành tựu phát triển về mọi mặt của các giai đoạn lứa tuôi trước, đời sống

tâm lí của học sinh Tiểu học có những biến đối và phát triển để làm nên “chất

Trang 10

của cấu trúc nhân cách cũng như trong mọi chức năng tâm lí của cá nhân trẻ, trong đó có nhận thức (xem [12], tr 118)

1.2 Cấu trúc nội dung mạch số học ở Tiểu học

Mạch số học trong chương trình học mơn Tốn ở Tiểu học gồm các nội

dung sau:

Khái niệm ban đầu về số tự nhiên: số tự nhiên liền trước, liền sau, ở giữa

hai số tự nhiên; các chữ số từ 0 đến 9,

Cách đọc và ghi số tự nhiên: hệ ghi số thập phân

Các quan hệ bé hơn, lớn hơn, bằng (=) giữa các số tự nhiên; so sánh các số

tự nhiên; xếp thứ tự các số tự nhiên thành day số tự nhiên Một số đặc điểm của dãy số tự nhiên (rời rạc, xếp thứ tự tuyến tính, có phần tử đầu, không có phần tử cuối)

Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia các số tự nhiên: ý nghĩa, bảng tính,

một số tính chất cơ bản của các phép tính, tính nhằm và tính viết (theo thuật toán), thứ tự thực hiện các phép tính trong biểu thức có nhiều phép tính, mối quan hệ giữa các phép tính (đặc biệt giữa cộng và trừ, cộng và nhân, nhân và

ch1a)

Giới thiệu bước đầu về phân số: khái niệm ban đầu, cách đọc, cách viết, so sánh, thực hành cộng, trừ, nhân, chia trong trường hợp đơn giản

Khái niệm ban đầu về số thập phân: cách đọc, cách viết (trên cơ sở mở

rộng hệ ghi số thập phân); so sánh và xếp thứ tự: cộng, trừ, nhân, chia các số thập phân (ý nghĩa, một số tính chất cơ bản của phép tính, tính nhằm và tính viết theo thuật toán ) Một số đặc điểm của tập hợp các số thập phân (xếp thứ tự

Trang 11

1.3 Suy luận

Định nghĩa: Hiện nay vẫn còn khá nhiều ý kiến về định nghĩa phép suy

luận Qua tìm hiểu tôi có dẫn ra 2 cách phát biểu định nghĩa về suy luận như sau: a Suy luận là quá trình suy nghĩ đi từ một hay nhiều mệnh đề rút ra một

mệnh đề mới, mệnh đề mới gọi là kết luận hay hệ quả logic (xem [14], tr 38) Ta kí hiệu: XIX¿ Xa—>Y là một suy luận rút ra mệnh đê mới Y, từ các mệnh đê X,, 1 = 1, n X,Œ=1;n) là các tiền đề; X:X¿ Xụ là tiền đề lớn; Y là kết luận

Nếu X:X¿ Xạ —Y là hằng đúng thì ta bảo suy luận đó là hợp logic, Y được gọi là kết luận logic hay hệ quả logic

Nếu tôn tại bộ giá trị của (X\, X¿, , Xạ, Y) mà : XIX¿ Xa —>Y nhận giá trị 0 thì ta bảo suy luận là không hợp logic hay suy luận sai Ví dụ: Nếu /() là hàm số liên tục trên [a, b]; f(a).f(b) < 0 thì 3c e(z,b) sao cho f(c) = 0 (xem [14], tr 38) Hàm số: #()=(x- p\(x—4)—a“(x—4)—b“(x~ pˆ) liên tục trên đoạn [ p 4 | và ƒ(?).ƒ(4)<0

Vậy tồn tại điểm e e (p,a) sao cho f(c)=0

Trang 12

> (x- p)(x—q) =a’ (x—g)+b’(x- p) _ ¢@-9¢ | Y@-p) (x—p)(x-q) (x-pXx-4) a 2 + X-p X~@q (X >Y)X >Y

Nói cách khác phương trình =Ì có nghiệm Suy luận có dạng:

Đây là suy luận hợp logic; hơn nữa mệnh đề đầu tiên là một định lí, vì vậy

kết luận của suy luận phải đúng, nghĩa là ta giải được bài toán chứng minh a 2 + x—P x-q phương trình =Ìl có nghiệm

b Suy luận là rút ra mệnh đề mới từ một hay nhiều mệnh đề đã biết Những mệnh đề đã có gọi là tiền đề, một mệnh đề nói được rút ra gọi là kết luận của suy luận (xem [2], tr 184)

Hai kiểu suy luận thường gặp là là: suy luận diễn dịch (hay còn gọi là suy diễn) và suy luận nghe có lí (hay suy luận có li)

1.3.1 Suy luận diễn dịch

Suy luận diễn dịch (hay còn gọi là suy diễn) là suy luận theo những quy

tắc suy luận tổng quát (của logic mệnh đề) Trong suy luận diễn dịch, nếu các tiền đề đúng thì kết luận rút ra cũng phải đúng

Mỗi chứng minh bao gồm một số hữu hạn bước suy luận đơn giản Trong mỗi bước suy luận đơn giản đó ta cần sử dụng một quy tắc suy luận để từ những

mệnh đề đã được thừa nhận là đúng suy ra được một mệnh đề mới Các mệnh đề xuất phát đã được thừa nhận đúng gọi là các tiền đề, mệnh đề mới được suy ra là

Trang 13

sau: Gia str A), Ao, , An, B 1a những công thức Ta nói B là hệ qua logic cua Aj, Ao, , A, néu mọi hệ chân trị có thể nhận của các biến mệnh dé có mặt trong các công thức đó mà A;, A;, , A„ đồng thời nhận giá trị 1 đều có B nhận giá tri 1 Khi B là hệ quả logic của A¡, A¿, , A„ thì ta cũng nói có một quy tắc suy luận từ các tiền đề A¡, As, , A„ tới hệ quả logic B của chúng (xem [1], tr 86)

Trong logic vị tử, ngoài những quy tắc suy luận của logic mệnh để ta thường gặp và vận dụng hai quy tắc suy luận dưới đây:

(Vxe*X)P(x),ae X P(a)

Có nghĩa là:

Nếu P(z) đúng với mọi xe X và ae X thì P(2) là mệnh đề đúng

(Vxe X)P(x)> O(x), P(a) 2 ) O(a) Co nghia la: Néu P(x) > Q(x) dung voi moi xe X va P(a) ding thi Ø@(z) cũng là mệnh đề đúng Ví dụ l: - _ Mọi số tự nhiên có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì nó chia hết cho 9 - _ Số 432135 có tổng các chữ số chia hết cho 9 Vậy 432135 chia hết cho 9 Ví dụ 2:

- _ Nếu tứ giác là hình thoi thì hai đường chéo của nó vuông góc với nhau - Tw giac ABCD la hinh thoi

Vay AC LBD

Trang 14

Vi du 3: - Với mọi xe# - sin’ x+cos*x=1 7 _ —eER 14

Vay sin’ 1a +cos” a =1

Trong ba ví dụ trên, các tiền đề đều đúng, ta đã vận dụng các quy tắc suy luận 1,

2 vừa nêu trên Vì vậy các kết luận của chúng phải đúng Vi du 4:

- 672 chia hét cho 3 - 672 chia hét cho 4

Vay 672 chia hét cho 3 va 4

Trong ví dụ này, các tiền đề đều đúng, ta đã vận dụng quy tắc suy luận: p.,q PA Vi du 5: Từ các tiền dé

- _ Nếu a chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3

- Nếu a chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3

Ta rút ra kết luận: “Nếu a chia hết cho 6 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3” Ở đây các tiền đề đều là những định lí đã được chứng minh trong toán học

Ta vận dụng quy tắc suy luận bắc cau:

P->qq->r

Trang 15

1.3.2 Suy luận nghe có li

Suy luận nghe có lí (hay còn gọi là suy luận có lí) là suy luận không theo

một quy tắc suy luận tổng quát nào Nó chỉ xuất phát từ những tiền đề đúng để

rút ra một kết luận Kết luận này có thê đúng mà cũng có thé sai

Mặc dù suy luận nghe có lí có hạn chế nêu trên nhưng nó có ý nghĩa rất quan trọng trong khoa học và đời sống: giúp chúng ta từ những quan sát cụ thể

có thể rút ra những giả thuyết, phán đoán để rồi sau đó tìm cách chứng minh chặt

chẽ giả thuyết đó Nó đặt cơ sở cho nhiều phát minh trong khoa học Trong toán học, hai kiểu suy luận nghe có lí thường sử dụng là: - _ Phép quy nạp không hoàn toàn

Vị dụ:

a) 116:4;228:4;2004:4; và đi đến kết luận “Nếu số tạo bởi hai chữ số tận

cùng bên phải chia hết cho 4 thì chia hết cho 4” Kết luận này đúng nhưng còn

cần phải chứng minh (xem [1], tr 91)

b) Thiên nga ở Mĩ có lông màu trắng, thiên nga ở Nga có lông màu trắng, thiên nga ở Ca — na — đa có lông màu trắng, và đi đến kết luận “Tất cả thiên nga đều có lông màu trắng” Kết luận này được coi là đúng khi chưa phát hiện ra ở đâu đó có thiên nga lông không màu trắng (xem [1], tr 91]

- Phép tương tự

Vi du:

a) Trong hình học phang ta có định lí “Hai đường thắng cùng vuông góc

với một đường thăng thì song song với nhau” Một cách tương tự chuyển sang hình học không gian ta có “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau” Ta đã biết kết luận này sai (xem [1], tr 91, tr 92)

Trang 16

b) Với mọi số nguyên a ta có “øˆ—:2” Một cách tương tự ta có

“g*'—ø:k với mọi ke N”” Vì 2”—2 không chia hết cho 4 nên kết luận trên

không đúng với k = 4 Vì 2 là số nguyên tố nên một cách týõng tự ta lại có “a? —a:p véi một số nguyên tô p” Kết luận này đúng, đó chính là định lí Phéc

—ma (xem [1], tr 91, tr 92)

Phép quy nạp khơng hồn tồn và phép tương tự là hai phép suy luận có vai trò đặc biệt quan trọng trong phát minh sáng tạo, nó giúp chúng ta đưa ra những phán đoán về các kết quả mới (xem [1], tr 92)

Một số ví dụ về 2 phép suy luận trên: Vi du 6: Từ các tiền dé: - 4+3=3+4 - 15+48=48+ 15 - 243 +358 =358 + 243

Ta rút ra kết luận: Tổng của hai số tự nhiên không thay đôi khi ta thay đổi thứ tự của các số hạng trong tông đó

Trang 17

Đây là phép quy nạp khơng hồn tồn Trong phép suy luận này, xuất phát

từ những tiên đề đúng mà kết luận rút ra lại sai Vi du 8:

Từ định lí trong hình học phẳng “Nếu hai đường thăng cùng song song với đường thắng thứ ba thì chúng song song với nhau”

Ta đưa ra một giả thuyết “Hai mặt phăng cùng song song với một mặt phăng thứ ba thì chúng song song với nhau”

Đây là phép suy luận tương tự Giả thuyết nêu ra ở đây là đúng Vi du 9:

Cũng từ định lí nêu trên ta đưa ra giả thuyết “Hai mặt phăng cùng song song với đường thăng thứ ba thì song song với nhau”

Giả thuyết nêu ở đây là sai 1.4 Chứng mình

Trong suy luận diễn dịch, tư các tiền đề A, B ta rút ra kết luận C bằng cách

vận dụng các quy tắc suy luận tổng quát Ta gọi phép suy luận dạng này là sy luận hợp logic Ö đây chúng ta chỉ quan tâm đến hình thức hay cấu trúc của suy luận mà không quan tâm đến nội dung, ý nghĩa của các mệnh đề trong suy luận đó

Trong toán học, nếu các tiền đề A, B của suy luận đều đúng (là những

định nghĩa, tiền đề hoặc định lí đã được chứng minh trước đó) ta rút ra kết luận C thì ta nói C là một kết luận chứng minh, còn suy luận đó là một chứng minh

Vậy chưng mình một mệnh đê X là vạch rõ rằng X là kết luận logic cua các tiên đê đúng (xem [2J, tr 186, tr 187)

Trang 18

Mỗi chứng minh toán học bao gồm một số hữu hạn bước, trong đó mỗi bước là một suy luận diễn dịch, trong đó ta đã vận dụng một quy tắc suy luận

tổng quát

Trong trường hợp chứng minh chỉ gồm một bước thì đó chính là một phép suy luận diễn dịch với các tiền đề đúng

Một phép chứng minh gồm ba phần:

1 Luận đề: Là mệnh đề ta phải chứng minh

2 Luận cứ: Là những mệnh dé mà tính đúng đắn của nó đã được

khăng định (thường là các định nghĩa, tiền đề hoặc định lí đã được chứng minh

trước đó, ) dùng làm tiền dé trong mỗi bước suy luận

3 Luận chứng: Là những quy tắc suy luận tổng quát được sử dụng trong mỗi bước suy luận của chứng minh đó (xem [2], tr 187)

Như vậy chứng minh từ tiền đề A dẫn đến kết luận ø (4 — 8) là: - _ Thiết lập một dãy các bước suy luận diễn dịch

- Trong mỗi bước ta chỉ rõ tiền đề, kết luận và quy tắc suy luận tông quát được áp dụng

Chắng hạn:

- - Mỗi suy luận trong các ví dụ 1 — 5 là một chứng minh (vì các tiền đề trong

Trang 19

e Từ hai tiền đề:

+) Nếu tông các chữ số của một số chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 3 +) 125 có tông các chữ số chia hết cho 3

Rút ra kết luận 125 chia hết cho 3

Trong cả hai suy luận này, rõ ràng kết luận rút ra đều sai (vì tiền 1 đề của

suy luận thứ nhất và tiền đề 2 của suy luận thứ hai đều sai) Vậy chúng là suy luận hợp logic nhưng không phải là một chứng minh

1.5 Các phương pháp chứng mình toán học thường gặp

Có nhiều phương pháp chứng minh, dưới đây là một số phương pháp chứng minh thông dụng nhất 1.5.1 Phương pháp chứng mình trực tiếp Cơ sở của phương pháp chứng minh trực tiếp là quy tắc suy luận bắc cầu P>q.q->r pwr

Khi chứng minh từ tiền đề A đến kết luận B bằng phương pháp chứng minh trực

Trang 20

Trong trường hợp tổng quát, muốn chứng minh từ tiền dé A dẫn đến kết

luận B bằng phương pháp phản chứng ta tiễn hành theo sơ đồ sau: - Giả sử A đúng mà B sai (G(4^ 8) =1) - AAB->CAC - Áp dụng quy tắc suy luận: AAB->CAC AB

Ta rut ra két luan A—> B 1a ding Đôi khi sơ đồ trên được thu gọn như sau: - - Giả sử A đúng mà B sai (tức ø đúng) - BoA BoA AB

- Ap dung quy tac suy luan:

Ta rut ra két luan A—> B 1a ding

Vi du 10:

Chứng minh rằng phương trình bậc nhất:

ax+b=0(1) có không quá một nghiệm (xem [2], tr 191)

Trang 21

aX; = aX, a+ 0 Ap dụng định luật giảm ước đối với phép nhân ta có:

XỊ =X¿

Như vậy x¡ vừa khác lại vừa bằng x¿ Điều này trái với luật mâu thuẫn Vậy ta có điều phải chứng minh

1.5.3 Phương pháp chứng mình quy nạp hoàn toàn

Giả sử tập hữu hạn X = {an, a¿, , an} và T(x) là hàm mệnh đề xác định trong tập

X (xem [2], tr 191)

Ta phải chứng minh mệnh đề:

Vxe X,T(x)

là đúng bằng phương pháp quy nạp hoàn toàn Ta cần chứng tỏ răng T(a¡), T(&;),

„ T(a„) đều là những mệnh dé đúng Từ đó kết luận mệnh đề trên là đúng

Ở đây ta áp dụng quy tắc suy luận tông quát:

T(a,),T(a,), ,T(a,),X ={a,,a,, ,a,}

Vx e X,T(x)

Ví dụ 11:

Chứng minh răng tích của năm số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 5

Giả sử n 1a sé tu nhién va T = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) Gọi D là tập các số dư của phép chia n cho 5 Vay D = {0, 1, 2, 3, 4}

- Nếu số dư băng 0 thì ø:5 Suy ra 7:5

- Nếu số dư bằng 1 thi (n+ 4):5 Suy ra 7:5

- Néu s6 du bang 2 thi (n+3):5 Suy ra 7:5

- Néus6 du bang 3 thi (n+2):5 Suy ra 7:5 - Nếu số dư bằng 4 thi (n+1):5 Suy ra 7:5

Trang 22

Vay T chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên

1.5.4 Phương pháp chứng mình quy nạp toán học

Dé chimg minh tinh chat Tín) đúng với mọi số tự nhiên n (hoặc với mọi số tự

nhiên 7 =n, ) tức là phải chứng minh mệnh đề tổng quát VneN,T(n) (hoac Vn2n,,T(n)) đúng

Ta tiễn hành theo các bước đưới đây:

Bước 1: Chưng minh G(T(0)) = 1 (hoặc G(T(n,) = 1) hay tính chất T(n) đúng với

n =0 (hoặc n = nạ)

Bước 2: Giả sử G(T(0)) = 1 hay tính chất T(n) đúng với n = k Ta chứng minh G(T(& + 1) = 1) hay tính chất T(n) cũng đúng với n = k + l

Trang 23

Giả sử công thức trên đúng với # = & >2, tức là: ] ] ] k —+——+ =——, với k>2 12 23 k(k+1) k+1 Ta có: 1 1 1 1 —+——+ + 12 23 k(k+1) (k+1)(k+2) k l = + k+l (k+1)(k +2) _ k(k+2)+l k+rl (k+l(k+2) k+2

Vậy công thức trên đúng với n = k + l

Từ đó suy ra công thức trên đúng với mọi 2 = 2 (xem [2], tr 193) Ví dụ 13:

Cho n điểm trong mặt phăng (ø > 2) Hỏi khi nối n điểm đó với nhau ta sẽ được bao nhiêu đoạn thăng? (xem [2], tr 193)

Ta chứng minh số đoạn thắng đếm được khi nỗi n điểm đó với nhau là: _(n-l)xn 2 S Với n =2 nối hai điểm cho trước ta được một đoạn thăng Ta co: _(2-Jx2 2 1 Vậy công thức trên đúng với n = 2

Giả sử công thức trên đúng với n = k Tức là khi nối k điểm cho trước

(k-1)xk

2 đoạn thăng trong mặt phẳng ta được

Trang 24

Giả sử trong mặt phẳng cho trước k + 1 điểm, khi nối k điểm đầu với nhau

(k-1)xk

2 đoạn thắng Bây giờ ta nối điểm (theo giả thiết ở phần trên) ta được

thứ k + 1 với k điểm còn lại ta được thêm k + 1 đoạn thắng nữa Vậy số đoạn

thăng đếm được khi nối k + 1 điểm đó với nhau là:

SO (kN) — (đoạn)

Vậy công thức trên đúng với n = k + ]

Từ đó suy ra: Nếu cho trước n điểm phân biệt trong mặt phăng thì nối

, rẻ ~ (n-1)xn 3

chúng với nhau ta sẽ được: > doan thang

Kết luận: Trong chương này tôi đã trình bày về cơ sở lí thuyết của phép suy luận

và chứng minh cùng một số ví dụ Đây cũng là tiền đề cho việc vận dụng suy

Trang 25

Chuong 2

SUY LUAN VA CHUNG MINH TRONG DAY HOC MACH SO HOC

Trong dạy học mạch số học ở Tiểu học ta vận dụng các phép suy luận quy

nạp (hoàn tồn và khơng hồn tồn), suy diễn và phép tương tự Dưới đây có

trinh bày các phép suy luận này

2.1 Suy luận quy nạp

Suy luận quy nạp được sử dụng thường xuyên và rộng rãi trong quá trình

dạy hình thành các tính chất, quy tắc thực hành bốn phép tính, các dấu hiệu chia hết và trong giải toán số học

Ví dụ l:

Khi đạy tính chất giao hốn của phép cộng, thơng qua ví dụ so sánh gia trị của biểu thức a + b và b + a trong bảng sau: a 20 250 1208 b 30 350 2764 a+b 20 + 30 = 50 250 + 350 = 600 1208 + 2764 = 3972 b+a 30+20=50 350 + 250 = 600 2764 + 1208 = 3972

Từ bảng trên hoc sinh rút ra nhan xet “gia tri cua a + b và b + a luôn bằng nhau”

Rồi rút ra tính chất giao hoán của phép cộng: khi đôi chỗ các số hạng trong một tổng thì tông đó không thay đổi

a+b=b+ta

Trang 26

Quá trình phân tích tổng hợp để rút ra kết luận trên đây, ta vận dụng phép suy luận quy nạp khơng hồn tồn, mà trong đó tiền đề là các ví dụ trong bảng

còn kết luận là tính chất giao hoán nêu trên (xem [2], tr 198)

Tương tự như trên, suy luận quy nạp cũng được vận dụng để dạy quy tắc

nhân một số với một tổng Ví dụ 2:

Thông qua vi dụ so sánh giá trị của biểu thức ax(+c) và axb và aXC trong bang sau: (xem [2], tr 199) b 15 14 Cc 12 37 ax(b+c) 7x (15 +12) =189 23x(14+37) =1173 axb+axc 7x15+7x12=189 23x144+23x37=1173

Hoc sinh rit ra nhan xét “gid tri cha ax(b+c) va axb+axc luôn bằng nhau” roi rut ra quy tắc nhân một số với một tổng: Khi nhân một số với một tổng, ta có

thể nhân số đó với từng số hạng của tông rồi cộng kết quả lại: ax(b+c)=axb+axc Ví dụ 3: Khi dạy quy tắc so sánh các số tự nhiên trong phạm vi 10000 a) Thông qua các ví dụ: 999 < 1000 10000 > 9999

Cho học sinh nhận xét rồi rút ra quy tắc

Trang 27

- _ Số nào ít chữ số hơn thì bé hơn - _ Số nào nhiều chữ số hơn thì lớn hơn b) Thông qua các ví dụ: 9000 > 8999 6579 < 6580 Cho học sinh nhận xét rồi rút ra quy tắc: - Nếu hai số có cùng số chữ số thì so sánh từng cặp chữ số ở cùng một hàng, kế từ trái sang phải, số nào có chữ số đầu tiên lớn hơn thì lớn hơn c) Thông qua các ví dụ: 2345 = 2345 469 = 469 Cho học sinh phân tích rồi rút ra kết luận:

- Nếu hai số có cùng số chữ số và từng cặp chữ số ở cùng một hàng đều

giống nhau th hai số đó bằng nhau

Trong mỗi bước trên đây, chúng ta đã vận dụng suy luận quy nạp khơng hồn

tồn, trong đó tiền dé là các ví dụ được xét và kết luận là quy tắc so sánh được

rút ra (xem [2], tr 199)

Vi du 4:

Trang 28

- Muén tim sé hang thir hai, ta lay tông trừ đi số hạng thứ nhất

Từ hai nhận xét trên, hướng dẫn học sinh rút ra quy tắc: Muốn tìm số hạng chưa biết, ta lây tông trừ đi số hạng kia

Quy trình suy luận trên đây ta đã vận dụng phép quy nạp khơng hồn toàn, trong

đó tiền đề là các ví đụ được xét và kết luận là quy tắc nêu trên (xem [2], tr 200) Ví dụ 5:

Khi dạy dẫu hiệu chia hết cho 5, ta tiến hành như sau

a) Trong bảng chia cho 5, các số bị chia đều chia hết cho 5

Đó là: 5; 15; 25; 35; 45; 10; 20; 30; 40; 50

Các số này có tận cùng bằng 0 hoặc 5

b) Lay bat kì số nào có tận cùng bằng 0 hoặc 5 ta thấy số đó chia hết cho 5 Ví dụ: 1990 : 5 = 390; 1995 : 5 = 399,

c) Vậy: các số có tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5

Trang 29

Vậy quy luật của dãy số đã cho là: Kế từ số hạng thứ ba, mỗi số hạng bằng tổng của hai số hạng đứng liền trước nó

Áp dụng quy luật trên ta có:

- Số hạng thứ sáu là: 5 + 8 = 13 - _ Số hạng thứ bảy là: 8 + 13 = 21 Vậy dãy số cần tìm là: 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21

Ở đây ta đã dùng quy nạp khơng hồn tồn để tìm ra quy luật của dãy số

(với tiền đề là các nhận xét phân tích ở trên) (xem [2], tr 200, tr 201) Ví dụ 7:

Thay a bởi chữ số thích hợp để nhận được số tự nhiên ø = 27a chia hết cho 3 Vì n chia hết cho 3 nên 2 + 7 + a = 9 + a chia hết cho 3 Bằng phương pháp thử chọn ta tìm được a = 0; 3; 6; 9 Vậy các số cần tìm là 270; 273; 276 và 279 Trong ví dụ này ta đã dùng phép quy nạp hoàn toàn để tìm ra các giá trị thích hợp của a (xem [2], tr 201) 2.2 Suy diễn

Phép suy diễn được sử dụng trong các tiết luyện tập: vận dụng một quy tắc

đã được thiết lập để giải bài tập (xem [2], tr 201) Cấu trúc của các phép suy luận ở đây thường là:

Tiên đê 1: Là quy tắc hoặc tính chất, đã được thiết lập

Tiên đê 2: Một tình huống cụ thể phù hợp với quy tắc trên

Kết luận: Vận dụng quy tắc trên để xử lí tình huống của bài toán

Vi du 8:

Tinh gia tri biéu thitc bang cach thuan tién nhat:

Trang 30

47x 2344 234x53 = 234x 474+ 23453 = 234x (47+53) = 234x100 = 23400

Ở đây ta đã hai lần áp dụng phép suy diễn:

- _ Vận dụng tính chất giao hoán của phép nhân; - _ Vận dụng quy tắc nhân một số với một tông Vi du 9: Tim x x:25+12=60 x :25 = 60-12 x: 25 = 48 X = 48 x 25 x = 1200 Ở đây ta đã hai lần áp dụng phép suy diễn: - _ Vận dụng quy tắc tìm một số hạng trong phép cộng; - _ Vận dụng quy tắc tìm số bị chia Vi du 10: Khoanh tròn vào chữ đặt trước trước số chia hết cho 5: A 13450 B 12408 C 7945 D 7954

Trang 31

Vidu 11:

Cho sé 354x9 tim x sao cho số đã cho chia hết cho 3

Ở đây ta vận dụng phép suy diễn, trong đó tiền đề 1 là dẫu hiệu chia hết

cho 3 và tiên đê 2 là sô mà đê bài cho

Vận dụng dẫu hiệu chia hết cho 3 ta có: Để số 354x9 chia hết cho 3 thì tong cac

chữ số của số đó phải chia hết co 3 Tức là: (3 + 5 + 4 + x + 9) chia hết cho 3

Lại có 3 + 5 + 4+9 =21 (chia hết cho 3) nên x cần tìm phải là số chia hết cho 3; (x < 10) Từ đó ta có: x = 0, 3, 6, 9 2.3 Phép tương tự Phép tương tự được sử dụng thường xuyên trong dạy học mạch số học ở tiểu học Chắng hạn: - _ Từ quy tắc cộng các số có hai chữ số, dùng phép tương tự ta xây đựng quy tắc cộng các số có ba, bốn và nhiều chữ số

Cũng tương tự đối với các phép tính:

- _ Từ quy tắc so sánh các số có bốn chữ số, dùng phép tương tự ta xây dựng quy tắc so sánh các số có nhiều chữ số

- _ Từ quy tắc tìm số hạng trong phép cộng, dùng phép tương tự ta xây dựng

quy tặc tìm thừa số trong phép nhân (xem [2], tr 202)

Cụ thể: Khi dạy học phép cộng ta đưa ra được cách dạy học phép cộng các số có

nhiều chữ số như sau:

+ Tách cấu tạo thập phân của các sỐ hạng; + Cộng các chữ số cùng hàng:

+ Khi cộng hai số cùng hàng mà không vượt 9 thì ghi kết quả vào hàng

tương ứng: khi cộng hai số cùng hàng mà vượt 9 thì nhớ 1 sang hàng kế tiếp bên trải

Trang 32

Vi du: Thực hiện phép cộng sau: 457 + 183 Ta phải hướng dẫn học sinh thực hiện các bước: Đặt tính Tach cau tao thập phân cuả các số hạng: 457 = 400 + 50 +7 = 4 trăm + 5 chục + 7 đơn vị; 183 = 100 + 80 +3 = 1 tram + 8 chuc + 3 don vi Cộng các chữ sô cùng hàng:

4 tram + 1 tram = 5 tram

5 chuc + 8 chuc = 13 chuc 7 don vi+ 3 don vi = 10 don vi

Tach

10=10+0=1 chuc+ 0 don vi;

Chuyén 1 chuc sang hang ké tiép bén trai:

13 chuc + 1 chuc = 14 chuc = 1 tram + 4 chuc;

Chuyén 1 trim sang hang ké tiếp bên trái:

Trang 33

a) x + 4,32 = 8,67 c) x — 3,64 = 5,86 X = 8,67 — 4,32 X = 5,86 + 3,64 X =4,35 X = 9,5 b) 6,85 + x = 10,29 d)7,9—x=2,5 x = 10,29 — 6,85 x = 7,9 —2,5 x = 3,44 x=5,4 Trong bài tập trên ta đã áp dụng phép suy diễn: - _ Vận dụng quy tắc tìm số hạng trong một tổng - _ Vận dụng quy tắc tìm số trừ và số bị trừ Các quy tắc này chính là tiền để 1, các phép tính trong bài là tiền đề 2 của phép suy diễn Bài 2: Viết các số sau theo thứ tự từ bé đến lớn 6,375; 9,01; 8,72; 6,735; 7,19 Gidi - _ Xét 6,375 và 6,735 có cùng phần nguyên: ở hàng phần mười có 3 < 7 nên 6,375 < 6,735

Trang 34

- §6 hang thir chin cia day sé 1a: 27 =9 x 3

- _ Số hạng thứ tám của dãy số là: 24 = 8 x 3

Vận dụng quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng băng số chỉ thứ tự của nó nhân với 3

Áp dụng quy tắc này, ta có:

Số hạng đầu tiên của dãy số là: 1 x 3 =3

Trang 35

45x128-90x 64 = 45x (2x 64) —90x 64 = (45x 2)x 64-90 x 64 = 90x 64-90 64 =0 Trong một tích có một thừa số bằng 0 thì tích đó bằng 0 Vậy (45x46+47x48)x(45x128—90x64)=0

Bài tập trên đã vận dụng phép suy diễn bằng việc áp dụng linh hoạt các

tính chất của phép nhân và phép cộng, như: tính chất giao hoán, tính chất kết hợp, nhân với 0 Bài 5: Cho ba chữ số 2, 3, 5 Từ ba chữ số đã cho, hãy viết tất cả các số có ba chữ số: a) Chia hết cho 2; b) Chia hết cho 5 Giải

a) Số viết được từ ba chữ số đã cho chia hết cho 2 phải có tận cùng bằng 2 Các

sô việt được là:

222 232 252

322 332 352

522 532 552

b) Số viết được từ ba chữ số đã cho chia hết cho 5 phải có tận cùng bằng 5 Các sô việt được là:

225 235 255

325 335 355

525 535 555

Trang 36

Trong bài tập này đã vận dụng phép suy diễn với tiền đề 1 là quy tắc chia hết cho 2 và quy tắc chia hết cho 5, tiền đề 2 là yêu cầu của bài toán là viết các

số có ba chữ số từ ba chữ số đã cho

Kết luận: Ở chương 2 này đã trình bày về việc vận dụng các phép suy luận quy nạp (hồn tồn và khơng hoàn toàn), suy diễn và phép tương tự trong dạy học

mạch số học ở Tiểu học, củng với một số ví dụ, bài toán vận dụng Việc vận

Trang 37

KET LUAN

Trong các môn học ở Tiểu học, cùng với môn Tiếng Việt, môn Toán có vị

trí rất quan trọng Nó có khả năng phát triển tư duy - suy luận logic, rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp giải quyết vấn đề góp phần phát triển trí thông minh, cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt sáng tạo Nó đóng góp vào việc hình thành các phẩm chất cần thiết và quan trọng của người lao động Với vai trò

to lớn của môn Toán như vậy, giáo viên cần dạy học sinh năm được khả năng giáo dục của mơn Tốn thơng qua các biện pháp sư phạm cụ thể, góp phần vào việc thực hiện mục tiêu phát triển nhân cách toàn diện cho học sinh

Trong dạy học mơn Tốn ở tiểu học, bên cạnh việc dạy các tính chất, quy

tắc thực hành bốn phép tính, rèn kỹ năng tính toán, giải toán, thì quan trọng hơn hăn là phát triển tư duy, rèn luyện phương pháp suy luận cho học sinh Đề thực

hiện được điều này có hiệu quả nhất cần tới sự nỗ lực không ngừng của các nhà

nghiên cứu cùng với sự phối kết hợp với hoạt động giảng dạy tại trường Tiêu học Quá trình nghiên cứu của tôi được tiến hành trên cơ sở : Lý thuyết về tập

hợp và logic toán, khả năng học toán của học sinh Tiểu học, sự cần thiết của

công tác bồi dưỡng khả năng, phương pháp suy luận cho học sinh Tiểu học Trên cơ sở lý luận làm nền tảng cho nội dung bồi dưỡng tư duy logic và

khả năng suy luận, chứng minh cho học sinh tiểu học, khóa luận đã đưa ra được

những kiến thức cần lưu ý về dạy và học suy luận và chứng minh và các dạng bài có vận dụng tính chất suy luận và chứng minh để góp phân nâng cao chất lượng

dạy học mạch số học ở Tiểu học

Đề hình thành và rèn luyện khả năng và phương pháp suy luận, chứng minh trong dạy học mạch số học ở Tiểu học đạt hiệu quả, chất lượng tốt hơn tôi

Trang 38

điều kiện khách quan khác còn hạn chế nên không thê tránh khỏi những thiếu sót