CHIẾN LƯỢC CHỨNG MINH TRONG SUY LUẬN TOÁN HỌC ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Thành phố

MỤC LỤC Mục lục .......................................................................................................... 2 Chương 1: Mở đầu ....................................................................................... 4 1.1. Lý do chọn đề tài ............................................................................... 4 1.2. Mục đích của đề tài ........................................................................... 4 1.3. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn .......................................................... 4 1.4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu .................................................... 5 1.5. Phương pháp nghiên cứu .................................................................. 5 1.6. Bố cục của đề tài ................................................................................ 5 Chương 2: Cơ sở lý luận .............................................................................. 6 2.1. Cơ sở lí thuyết .................................................................................... 6 2.2. Cơ sở lý luận đề tài ............................................................................ 6 2.3. Vai trò và vị trí .................................................................................. 6 2.4. Kinh nghiệm nghiên cứu trong nước .............................................. 6 2.5. Kinh nghiệm nghiên cứu ở nước ngoài ........................................... 7 Chương 3: Thực trạng và phương pháp nghiên cứu ................................ 8 3.1. Quá trình hình thành và phát triển toán học ................................. 8 3.2. Phương pháp và mô hình nghiên cứu ............................................ 10 Chương 4: Kết quả nghiên cứu .................................................................. 11 4.1. Các phương pháp chứng minh trong toán học .............................. 11 4.1.1. Chứng minh trực tiếp ............................................................... 11 4.1.2. Chứng minh gián tiếp ............................................................... 12 4.1.3. Chứng minh phản chứng .......................................................... 13 4.1.4. Chứng minh bằng quy nạp toán học ....................................... 15 4.1.5. Chứng minh xây dựng .............................................................. 19 4.1.6. Chứng minh không xây dựng................................................... 20 4.1.7. Chứng minh bằng hình ảnh ..................................................... 20 4.1.8. Chứng minh vét cạn .................................................................. 21 4.1.9. Chứng minh xác suất ................................................................ 22 3 4.1.10. Chứng minh tính duy nhất ..................................................... 23 4.1.11. Chứng minh hai cột ................................................................. 25 4.1.12. Chứng minh rỗng và chứng minh tầm thường .................... 25 4.1.13. Chứng minh với sự hỗ trợ của máy tính ............................... 26 4.2. Chiến lược chứng minh.................................................................... 27 4.2.1. Chứng minh mệnh đề kéo theo ................................................ 27 4.2.2. Suy luận tiến và suy luận lùi .................................................... 29 4.2.3. Đầu tư cho chứng minh vét cạn ............................................... 30 4.2.4. Mô phỏng các chứng minh đã có ............................................. 32 4.2.5. Phỏng đoán và chứng minh ...................................................... 35 4.2.6. Phỏng đoán và các ví dụ ........................................................... 36 4.2.7. Bài toán halting ......................................................................... 37 Chương 5: Kết luận ..................................................................................... 40 Tài liệu tham khảo ....................................................................................... 41

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG CAO ĐẲNG KINH TẾ ĐỐI NGOẠI NGUYỄN XUÂN PHƯƠNG CHIẾN LƯỢC CHỨNG MINH TRONG SUY LUẬN TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số Mã ngành: 604605 ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2014 MỤC LỤC Mục lục Chương 1: Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích đề tài 1.3 Ý nghĩa khoa học thực tiễn 1.4 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 1.5 Phương pháp nghiên cứu 1.6 Bố cục đề tài Chương 2: Cơ sở lý luận 2.1 Cơ sở lí thuyết 2.2 Cơ sở lý luận đề tài 2.3 Vai trị vị trí 2.4 Kinh nghiệm nghiên cứu nước 2.5 Kinh nghiệm nghiên cứu nước Chương 3: Thực trạng phương pháp nghiên cứu 3.1 Quá trình hình thành phát triển toán học 3.2 Phương pháp mơ hình nghiên cứu 10 Chương 4: Kết nghiên cứu 11 4.1 Các phương pháp chứng minh toán học 11 4.1.1 Chứng minh trực tiếp 11 4.1.2 Chứng minh gián tiếp 12 4.1.3 Chứng minh phản chứng 13 4.1.4 Chứng minh quy nạp toán học 15 4.1.5 Chứng minh xây dựng 19 4.1.6 Chứng minh không xây dựng 20 4.1.7 Chứng minh hình ảnh 20 4.1.8 Chứng minh vét cạn 21 4.1.9 Chứng minh xác suất 22 4.1.10 Chứng minh tính 23 4.1.11 Chứng minh hai cột 25 4.1.12 Chứng minh rỗng chứng minh tầm thường 25 4.1.13 Chứng minh với hỗ trợ máy tính 26 4.2 Chiến lược chứng minh 27 4.2.1 Chứng minh mệnh đề kéo theo 27 4.2.2 Suy luận tiến suy luận lùi 29 4.2.3 Đầu tư cho chứng minh vét cạn 30 4.2.4 Mơ chứng minh có 32 4.2.5 Phỏng đoán chứng minh 35 4.2.6 Phỏng đốn ví dụ 36 4.2.7 Bài toán halting 37 Chương 5: Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Ngày đa số học sinh, sinh viên đến cách xếp suy luận để chứng minh định lý, toán hay vấn đề Một vấn đề cụ thể có cách chứng minh, cách chứng minh tiếp cận vấn đề dễ dàng nhanh chóng? Các em biết kết cụ thể kiến thức, khơng biết nguồn gốc hình thành ý nghĩa kết kiến thức Do khó sử dụng kiến thức biết để chứng minh cho vấn đề Phương pháp chứng minh có liên quan đến nhiều lĩnh vực khoa học xã hội nay: toán học, văn học, vật lí, tài chính, quản trị, địa chất, luật … Do đó, tơi thực đề tài: chiến lược chứng minh suy luận tốn học 1.2 Mục đích đề tài Mục đích đề tài nhằm cung cấp cho sinh viên kiến thức tư logic, suy luận toán học, phương pháp chứng minh cách kết hợp phương pháp chứng minh để giải toán, vấn đề cần chứng minh, chọn phương pháp thích hợp cho cơng việc Ngày nay, có nhiều phương pháp chứng minh tốn học Trong đề tài trình bày phương pháp bản, có số phương pháp thơng dụng nhiều hữu ích Nhằm giúp cho học sinh, sinh viên mau chóng tiếp cận thong hiểu vấn đề mà quan tâm 1.3 Ý nghĩa khoa học thực tiễn Về mặt lý thuyết đề tài nghiên cứu số khía cạnh bổ trợ nghệ thuật khoa học chứng minh: bao gồm cách chứng minh ngược, tức thay chứng minh từ giả thuyết đến kết luận, ta chứng minh từ kết luận, cải tiến chứng minh có lợi dụng ưu điểm phương pháp chứng minh Thông qua việc tiếp cận phương pháp chứng minh nghiên cứu cách kết hợp chứng minh, sinh viên mơn học khác chun ngành dễ dàng hơn, vận dụng để giải số toán, vấn đề lĩnh vực tài chính, kiểm tốn, quản lí, tiếp thị Từ trau dồi tư logic rèn luyện kỹ suy đốn, tính tốn sinh viên 1.4 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đại số lý thuyết số Thời gian nghiên cứu tháng Quy mô nghiên cứu: tài liệu toán ứng dụng, chuyên đề internet Đề tài trình bày vấn đề phạm vi sau: - Các phương pháp chứng minh toán học - Chiến lược chứng minh suy luận toán học: Sự lựa chọn kết hợp phương pháp chứng minh 1.5 Phương pháp nghiên cứu Đề tài thực sở phương pháp nghiên cứu thu thập lý thuyết liên quan đến phương pháp chứng minh, dựa tư logic thực nghiệm giảng dạy môn toán 1.6 Bố cục đề tài Đề tài gồm chương: Chương 1: Mở đầu Chương 2: Cơ sở lý luận Chương 3: Thực trạng phương pháp nghiên cứu Chương 4: Kết nghiên cứu Chương 5: Kết luận CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ LUẬN 2.1 Cơ sở lí thuyết  Lý thuyết hệ thống tri thức khoa học, cung cấp quan niệm hoàn chỉnh chất vật mối liên hệ vật với giới thực Lý thuyết gồm khái niệm, phạm trù qui luật vật Khái niệm hiểu hình thức tư người thuộc tính, chất vật mối liên hệ đặc tính với nhau, hình thành khái niệm để tìm hiểu mối quan hệ khái niệm với nhau, để phân biệt vật với vật khác để đo lường thuộc tính chất vật hay hình thành khái niệm nhằm mục đích xây dựng sở lý luận 2.2 Cơ sở lý luận đề tài Đó cở lý thuyết sở thực tiễn Cơ sở lý thuyết bao gồm lý thuyết, luận điểm khoa học, tiên đề, định lí, định luật, qui luật làm luận cho chứng minh Cơ sở thực tiễn bao gồm số liệu thu thập được, phân tích tổng hợp 2.3 Vai trị vị trí Vai trị toán học ngày quan trọng tăng lên không ngừng thể tiến nhiều lĩnh vực khác khoa học, công nghệ, sản xuất đời sống xã hội, đặc biệt với máy tính điện tử, tốn học thúc đẩy mạnh mẽ q trình tự động hố sản xuất trở thành công cụ thiết yếu khoa học Tốn học có vai trị quan trọng khơng phải ngẫu nhiên mà liên hệ thường xuyên với thực tiễn, lấy thực tiễn làm động lực phát triển mục tiêu phục vụ cuối Để đáp ứng phát triển kinh tế, khoa học khác, kỹ thuật sản xuất địi hỏi phải có người lao động có hiểu biết có kỹ ý thức vận dụng suy luận hợp lí, phương pháp chứng minh toán học điều kiện cụ thể để mang lại hiệu lao động thiết thực 2.4 Kinh nghiệm nghiên cứu nước Trong chương trình giảng dạy khoa Toán trường đại học trường đại học Khoa học Tự nhiên, trường đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh có chương sở logic, phương pháp đếm, phương pháp quy nạp, thuật tốn đệ quy…Qua đó, sinh viên học làm quen nhiều cách chứng minh Nhưng chưa có phần tổng hợp phương pháp chứng minh cách thức kết hợp để xây dựng phương pháp chứng minh 2.5 Kinh nghiệm nghiên cứu nước ngồi Nhiều nhà tốn học nước ngồi tập trung nghiên cứu ứng dụng tốn học Đã có nhiều nghiên cứu viết thành sách, có tập hợp số phương pháp chứng minh, số phương pháp khác trình bày phần ứng dụng riêng Hơn cịn có phần ưu điểm phương pháp chứng minh CHƯƠNG 3: THỰC TRẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 3.1 Quá trình hình thành phát triển toán học Toán học ngành nghiên cứu trừu tượng chủ đề như: lượng, cấu trúc, khơng gian, thay đổi Tốn học ngành khoa học nghiên cứu không gian, số, số lượng xếp, bao gồm hình học, số học, đại số giải tích, phương pháp toán học liên quan đến suy luận logic thường sử dụng ký hiệu tượng trưng Các nhà tốn học tìm kiếm mơ thức sử dụng chúng để tạo giả thuyết Họ lý giải tính đắn hay sai lầm giả thuyết chứng minh toán học Khi cấu trúc tốn học mơ hình tốt cho thực, lúc suy luận tốn học cung cấp hiểu biết sâu sắc hay tiên đoán tự nhiên Thông qua việc sử dụng phương pháp trừu tượng lơgic, tốn học phát triển từ việc đếm, tính tốn, đo lường nghiên cứu có hệ thống hình dạng chuyển động đối tượng vật lý Con người ứng dụng toán học đời sống từ xa xưa Việc tìm lời giải cho tốn hàng năm, hay chí hàng kỷ Những lập luận chặt chẽ xuất trước tiên toán học Hy Lạp cổ đại, đáng ý tác phẩm Cơ sở Euclid Kể từ cơng trình tiên phong Giuseppe Peano (1858–1932), David Hilbert (1862– 1943) nhà toán học khác kỷ 19 hệ thống tiên đề, nghiên cứu toán học trở thành việc thiết lập chân lý thông qua suy luận lôgic chặt chẽ từ tiên đề định nghĩa thích hợp Tốn học phát triển tương đối chậm thời Phục hưng, tương tác phát minh toán học với phát kiến khoa học dẫn đến gia tăng nhanh chóng phát minh tốn học tiếp tục ngày Toán học sử dụng khắp giới công cụ thiết yếu nhiều lĩnh vực, bao gồm khoa học, kỹ thuật, y học tài Tốn học ứng dụng, nhánh tốn học liên quan đến việc ứng dụng kiến thức toán học vào lĩnh vực khác, thúc đẩy sử dụng phát minh tốn học mới, từ dẫn đến việc phát triển nên ngành toán hoàn toàn mới, chẳng hạn thống kê lý thuyết trị chơi Các nhà tốn học dành thời gian cho toán học túy, hay toán học vị tốn học Khơng có biên giới rõ ràng tốn học túy toán học ứng dụng, ứng dụng thực tiễn thường khám phá từ ban đầu xem toán học túy Từ "mathematics" tiếng Anh bắt nguồn từ μάθημα (máthēma) tiếng Hy Lạp cổ, có nghĩa "thứ học được", "những người ta cần biết," có nghĩa "học" "khoa học"; cịn tiếng Hy Lạp đại có nghĩa "bài học" Trong tiếng Việt, "tốn" có nghĩa tính; "tốn học" mơn học tốn số Sự tiến hóa tốn học nhận thấy qua loạt gia tăng không ngừng phép trừu tượng, hay qua mở rộng nội dung ngành học Phép trừu tượng đầu tiên, mà nhiều lồi động vật có được, có lẽ số, với nhận thức rằng, chẳng hạn, nhóm hai táo nhóm hai cam có chung, số lượng nhóm Các chứng khảo cổ học cho thấy, việc biết đếm vật thể vật lý, người thời tiền sử biết đếm những đại lượng trừu tượng thời gian, ngày, mùa năm Đến khoảng năm 3000 trước Cơng ngun tốn học phức tạp xuất hiện, người Babylon người Ai Cập bắt đầu sử dụng số học, đại số, hình học việc tính thuế tính tốn tài khác, xây dựng quan sát thiên văn Toán học sử dụng sớm thương mại, đo đạc đất đai, hội họa, dệt việc ghi nhớ thời gian Các phép tính số học tốn học Babylon (cộng, trừ, nhân chia) xuất tài liệu khảo cổ Giữa năm 600 đến 300 trước Công nguyên, người Hy Lạp cổ bắt đầu nghiên cứu cách có hệ thống tốn học ngành học riêng, hình thành nên tốn học Hy Lạp Kể từ tốn học phát triển vượt bậc; tương tác toán học khoa học đem lại nhiều thành lợi ích cho hai Ngày nay, phát minh toán học tiếp tục xuất 3.2 Phương pháp mơ hình nghiên cứu Tổng hợp phương pháp chứng minh từ sách giáo khoa, chuyên đề, tài liệu, tư liệu internet, phân tích ưu điểm phương pháp chứng minh Quan sát, đặt vấn đề lập giả thuyết xác định tiền đề chính, sau phân tích kiến thức có từ suy luận suy diễn cách logic để kết luận giả thuyết Qua ví dụ, phân tích rút nhận xét thuộc tính, chất vật mối liên hệ chúng, từ đưa phương pháp chứng minh thích hợp 10 Trên thực tế, hội xảy lỗi để bác bỏ chứng minh máy tính giảm thiểu cách đưa vào trùng lặp tự kiểm tra tính tốn, cách phát triển nhiều cách tiếp cận chương trình độc lập 4.2 Chiến lược chứng minh Chúng ta giới thiệu số phương pháp chứng minh quan trọng minh họa cách sử dụng phương pháp Tuy nhiên, thảo luận ngắn gọn chiến lược đằng sau việc xây dựng chứng minh Chiến lược bao gồm việc lựa chọn phương pháp chứng minh sau xây dựng thành công lập luận bước dựa phương pháp Ta nghiên cứu số khía cạnh bổ trợ nghệ thuật khoa học chứng minh, đồng thời tư vấn cách tìm chứng minh cho định lí Đặc biệt cải tiến chứng minh có lợi dụng ưu điểm phương pháp chứng minh theo trường hợp 4.2.1 Chứng minh mệnh đề kéo theo Khi cần phải chứng minh mệnh đề, trước hết nên thay thuật ngữ định nghĩa chúng, phân tích kĩ giả thiết kết luận Sau làm thế, ta thử chứng minh kết phương pháp có Tuy nhiên, đối mặt với mệnh đề kéo theo cần phải chứng minh, bạn sử dụng phương pháp nào? Phương pháp chứng minh trực tiếp hay phương pháp chứng minh gián tiếp? Trước hết, phải nhanh chóng đánh giá xem liệu phương pháp chứng minh trực tiếp có hứa hẹn thành cơng khơng Hãy bắt đầu việc triển khai định nghĩa giả thiết Sau suy luận cách dùng giả thiết với tiên đề, định lí có Nếu chứng minh trực tiếp khơng đến đâu thử với cách chứng minh gián tiếp Cần phải nhớ chứng minh gián tiếp, bạn phải giả sử kết luận mệnh đề kéo theo sai dùng cách chứng minh trực tiếp để chứng tỏ điều dẫn đến kết giả thiết phải sai Đơi khi, khơng có cách rõ ràng để tiếp cận cách chứng minh trực tiếp, cách chứng minh gián tiếp lại có hiệu 27 Ví dụ 1: Chứng minh rằng, n số nguyên n2 số lẻ n số lẻ Ta thử chứng minh phương pháp trực tiếp Giả sử n số nguyên n2 số lẻ Khi tồn số nguyên k cho n2 = 2k + Liệu ta dùng thông tin để chứng minh n số lẻ khơng? Dường khơng có cách rõ ràng để chứng minh n số lẻ, giải phương trình để tìm n dẫn đến kết n =  2k  , biểu thức vô dụng Vì ý định chứng minh trực tiếp khơng mang lại kết quả, nên ta thử cách chứng minh gián tiếp Ta giả sử n số lẻ, có nghĩa n số chẵn, tức tồn số k nguyên cho n = 2k Để chứng minh định lí ta cần chứng minh giả thiết dẫn tới kết luận n2 không số lẻ, tức n2 số chẵn Liệu ta dùng phương trình n = 2k để đạt điều hay khơng? Bằng cách bình phương hai vế phương trình ta n2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k2) Điều có nghĩa n2 số chẵn Vậy ý định chứng minh thành cơng Ví dụ 2: Chứng minh rằng:”Nếu n số nguyên (n3 + 5) số lẻ n số chẵn” Ta thử chứng minh phương pháp trực tiếp Giả sử n số nguyên n3 + số lẻ, suy n3 số chẵn Khi tồn số nguyên k cho n3 = 2k Liệu ta dùng thơng tin để chứng minh n số chẵn không? Chứng minh trực tiếp không mang lại kết rõ ràng nên ta thử chứng minh gián tiếp Giả sử kết luận mệnh đề sai, tức n số lẻ Khi n = 2k + với k số nguyên 28 Từ suy n3 + = (2k + 1)3 + = 8k3 + 12k2 + 6k + = 2(4k3 + 6k2 + 3k + 3) số chẵn Vậy n3 + số chẵn, tức giả thiết n3 + số lẻ sai Nên mệnh đề ban đầu 4.2.2 Suy luận tiến suy luận lùi: Dù chọn phương pháp ta cần phải có điểm xuất pháp cho chứng minh Để bắt đầu chứng minh trực tiếp cho mệnh đề kéo theo, xuất phát từ giả thiết Dựa vào giả thiết đó, với tiên đề, định lí biết có mối liên hệ đến giả thiết, mối liên hệ có thiết lập mơ hình hay khơng? Ta xây dựng chứng minh với dãy bước suy luận dẫn tới kết luận Loại suy luận gọi suy luận tiến, loại suy luận phổ biến dùng để chứng minh kết tương đối đơn giản Tương tự, với suy luận gián tiếp, ta xuất phát từ phủ định kết luận, dùng dãy bước suy luận dẫn tới phủ định giả thiết Tuy nhiên, suy luận tiến thường khó sử dụng để chứng minh kết phức tạp, suy luận cần thiết để đạt đến kết luận không rõ rang Trong trường hợp vậy, dùng suy luận lùi lại hữu ích Để suy luận lùi nhằm chứng minh mệnh đề q, ta tìm mệnh đề p mà chứng minh với tính chất p → q Ví dụ 1: Cho hai số thực dương a b, trung bình cộng chúng (a+b)/2 trung bình nhân chúng ab Khi so sánh trung bình cộng trung bình nhân hai số thực dương phân biệt, ta thấy trung bình cộng ln lớn trung bình nhân Như a = 4, b = 8, ta có (4 + 8)/2 = > 4.8  Liệu chứng minh bất đẳng thức luôn không? Để chứng minh bất đẳng thức (a + b)/2 > ab a b hai số thực dương phân biệt, ta suy luận giật lùi Ta xây dựng dãy bất đẳng thức tương sau: 29 ab  ab  a  b  ab  a  b  ab  2  a  ab  b   Vì  a b   a b  0  a ≠ b suy bất đẳng thức cuối bất đẳng thức tương đương, nên (a + b)/2 > ab a ≠ b Một xây dựng chứng minh này, ta dễ dàng xây dựng chứng minh theo suy luận tiến, cách xây dựng biến đổi tương đương theo trình tự ngược lại Ví dụ 2: Giả sử có hai người chơi chuyển dời 1, tảng đá lần từ chồng đá ban đầu có 15 tảng Người dời cục đá cuối người thắng Chứng minh người thắng người thứ hai chơi Để chứng minh người luôn thắng, ta suy luận theo cách giật lùi Ở bước cuối cùng, người thắng, số tảng đá lại cho lượt 1, tảng Người chơi thứ hai buộc phải để lại 1, tảng chuyển dời đống lại tảng Do vậy, nước áp chót người thứ phải để lại tảng cho người thứ hai Điều làm lại 5, tảng, mà điều xảy người thứ hai phải chuyển dời đống đá gồm tảng Do đó, nước liền trước áp cuối người thứ phải để lại cho người thứ hai tảng đá Điều có nghĩa trước người thứ bước này, đống đá có 9, 10 11 tảng Do , người thứ phải để lại 12 tảng đá sau nước Đảo ngược lại suy luận để chứng minh người ln bước vậy, thắng người thứ hai 30 Những bước liên tiếp để lại 12, tảng đá cho người thứ hai 4.2.3 Đầu tư cho chứng minh vét cạn Khi xem xét tất trường hợp lúc, nên xét đến phương pháp chứng minh trường hợp Vậy dùng đến phương pháp chứng minh này? Nói chung, mà ta khơng có cách rõ ràng để bắt đầu chứng minh, thông tin có thêm trường hợp lại giúp cho chứng minh tiến triển Ví dụ, để chứng minh kết số nguyên, việc xét riêng trường hợp số chẵn trường hợp số lẻ, trường hợp số không âm trường hợp số âm đơi lại có hiệu Nên ý đầu tư cho tất trường hợp Sai lầm thường gặp chứng minh quên xét tất trường hợp khiến cho chứng minh đưa không xác lập kết với giá giá trị Ví dụ 1: Chứng minh rằng, n số nguyên không chia hết cho n2 – chia hết cho 24 Giả sử chứng minh không xét trường hợp, trước hết ta nhận thấy n2 – = (n – 1)(n + 1), khơng có cách rõ ràng để chứng minh số chia hết cho 24 n không chia hết cho mà không xét trường hợp khác Chứng minh theo trường hợp cách tiếp cận hợp lí mà ta nghĩ tới, phải xét theo trường hợp nào? Vì ta muốn chứng minh kết số nguyên không chia hết cho 3, nên có ích ta xét riêng trường hợp, n có dạng (6k +j) với j = 0, 1, 2, 3, 4, Nhưng n khơng chia hết cho nên loại trường hợp n = {6k, 6k + 2, 6k + 3, 6k + 4} với số nguyên k Như cịn lại hai trường hợp, n = {6k + 1, 6k + 5} Bây ta xét riêng trường hợp Giả sử n = 6k + 1, với k số nguyên tùy ý Khi n2 – = (n – 1)(n + 1) = 6k(6k + 2) = 12k(3k + 1) Chú ý k(3k + 1) số nguyên chẵn Thật vậy, k số chẵn 31 điều hiển nhiên Nếu k số lẻ (3k + 1) số chẵn k(3k + 1) số chẵn Vì k(3k + 1) số chẵn nên tồn số nguyên q cho k(3k + 1) = 2q Từ ta có: n2 – = 24q, tức n2 – chia hết cho 24 Tiếp theo, giả sử n = 6k + 5, với k số nguyên tùy ý Khi n2 – = (n – 1)(n + 1) = (6k + 4)(6k + 6) = 12(3k + 2)(k + 1) Chú ý (k + 1)(3k + 2) số nguyên chẵn Thật vậy, k số chẵn (3k + 2) số chẵn, k số lẻ (k + 1) số chẵn (k + 1)(3k + 2) số chẵn Vì (k + 1)(3k + 2) số chẵn nên tồn số nguyên q cho (k +1)(3k + 2) = 2q Từ ta có: n2 – = 24q, tức n2 – chia hết cho 24 Vậy kết luận chứng minh hoàn toàn Một lỗi suy luận thường gặp rút kết luận từ ví dụ Cho dù xem xét ví dụ nữa, định lí chưa chứng minh chừng chưa đề cập tới trường hợp Vấn đề chứng minh định lí tương tự chương trình máy tính ln ln tạo đầu mong muốn Bất kể thử nghiệm đầu vào nữa, chừng chưa kiểm tra tất đầu vào khơng thể kết luận chương trình tạo đầu Tuy nhiên, ta gặp chứng minh định lí cách xét vài trường hợp đặc biệt Ví dụ 2: Chứng tỏ phương trình x2 + 3y2 = khơng có nghiệm nguyên Vì x2 ≤ |x| < 3, 3y2 ≤ |y| < nên cần xét trường hợp x lấy giá trị: -2, -1, 0, 1, y lấy giá trị: -1, 0, Lưu ý trường hợp x2 0, 1, giá trị 3y2 0, 3, đồng thời giá trị lớn x2 + 3y2 Do khơng thể có x2 + 3y2 = 8, với x y số nguyên 4.2.4 Mô chứng minh có Cách tiếp cận dùng để chứng minh mệnh đề lợi dụng 32 chứng minh có Một chứng minh có mơ để chứng minh kết Thậm chí điều khơng làm được, số ý tưởng dùng chứng minh có trợ giúp nhiều Vì chứng minh có cung cấp đầu mối cho chứng minh mới, nên ta cần đọc hiểu chứng minh trình học tập Ví dụ sau minh họa cách mơ chứng minh biết để chứng minh kết Ví dụ 1: Chứng minh có số vơ hạn số nguyên tố có dạng 4k + 3, với k số nguyên không âm Chứng minh mà ta mơ cho mục 3.1.3, nói có vơ hạn số ngun tố Cách chứng minh giả sử có số hữu hạn số nguyên tố, cụ thể p1, p2,…, pn lập số Q = p1.p2…pn + Số số nguyên tố có ước số nguyên tố khác với p1, p2,…, pn Chứng minh điều đó, tức chứng minh có số vơ hạn số ngun tố Bây giả thiết có số hữu hạn số nguyên tố có dạng 4k + 3, với k số nguyên khơng âm, cụ thể p1, p2,…, pn, p1 = 3, p2 = 7,… Có thể lập số không chia hết cho số nguyên tố lại chia hết cho số nguyên tố có dạng 4k + khơng? Xét số Q = 4p1.p2…pn + 3, số số nguyên tố chia hết cho Thay vào đó, ta xét số Q = 4p1.p2…pn – Chú ý rằng, số Q có dạng 4k + (với k = p1.p2…pn – 1) Nếu Q số nguyên tố, tức ta có số nguyên tố mong muốn mà khác với tất số nguyên tố liệt kê Nếu Q không số nguyên tố có ước số ngun tố khơng thuộc danh sách p1, p2,…, pn, số dư chia Q cho pi pi – Mà pi – ≠ 0, suy Q không chia hết cho pi, với i = 1, 2,…, n Vì tất số nguyên tố lẻ có dạng 4k + 4k + tích 33 số nguyên tố có dạng 4k + có dạng Do Q có phải có ước số nguyên tố có dạng 4k + khác với số nguyên tố liệt kê Mâu thuẫn với giả thiết ta đưa Đó điều cần chứng minh Như vậy, mơ chứng minh có, cách làm số thay đổi nhỏ để chứng minh kết Chúng ta tìm hiểu xem chứng minh vừa xây dựng ví dụ mơ để chứng tỏ có số vơ hạn số nguyên tố có dạng ak + b cặp số a, b khác với trường hợp xét a = b = ví dụ Ví dụ 2: Chứng minh tồn vơ số số ngun tố có dạng 6k + 5, với k số nguyên không âm Giả sử có số hữu hạn số nguyên tố có dạng 6k + 5, với k số nguyên không âm, cụ thể p1, p2,…, pn p1 = 5, p2 = 11, … lập số Q = 6p1.p2…pn + 5, số khơng phải số ngun tố chia hết cho Thay vào đó, ta xét số Q = 6p1.p2…pn – Chú ý rằng, số Q có dạng 6k + (với k = p1.p2…pn – 1) Nếu Q số nguyên tố, tức ta có số nguyên tố mong muốn mà khác với tất số nguyên tố liệt kê Nếu Q không số ngun tố có ước số nguyên tố không thuộc danh sách p1, p2,…, pn, số dư chia Q cho 1, cho 2, cho pi pi – Mà pi – ≠ 0, suy Q không chia hết cho pi, với i = 1, 2,…, n Vì tất số nguyên lẻ khác có dạng 6k + 6k + tích số ngun tố có dạng 6k + có dạng Do Q có phải có ước số ngun tố có dạng 6k + khác với số nguyên tố liệt kê Mâu thuẫn với giả thiết ta đưa Đó điều cần chứng minh 34 4.2.5 Phỏng đoán chứng minh Các đoán phát biểu dựa nhiều loại chứng Sự kiểm tra nhiều trường hợp đặc biệt dẫn tới đốn nhận dạng hình mẫu Bằng cách thay đổi giả thiết kết luận định lí biết dẫn đến đốn hợp lí Cũng có lúc đốn tạo dựng dựa vào trực giác niềm tin vào kết Dù đốn tạo dựng nào, phát biểu mục tiêu đặt chứng minh bác bỏ Nếu tin đốn phải tìm cách chứng minh Nếu khơng tìm chứng minh chuyển sang tìm phản ví dụ Nếu phản ví dụ khơng tìm quay tìm cách chứng minh Ví dụ 1: Có tồn số ngun tố dạng a n  , a n số nguyên dương? Sau số khảo sát số như: 26 – = 63, 28 – = 255, 34 – = 80 45 – = 1023 ta thấy khơng có số số số nguyên tố khơng tìm thấy số ngun tố khác có dạng trừ số Mersenne ( số 2p – 1, p số nguyên tố: 3, 7) Chúng ta đoán an – hợp số a > a = n hợp số Liệu chứng minh đốn khơng? Nếu tìm ước số thực an – a > a = n hợp số ta chứng minh đốn Một cách tiếp cận hữu ích dùng phép phân tích thừa số an – = (a – 1) (an-1 + an-2 + … + 1) Như an – có ước số a – Khi a = a – = 1, phép phân tích khơng cho ước số thực an – Tuy nhiên a > 2, ước số a – thỏa mãn < a – < an – điều nói lên an – khơng phải số nguyên tố Nhưng với trường hợp a = cịn Khi n hợp số tồn số nguyên dương r s với < r < n < s < n cho n = r.s Dùng phép 35 phân tích an – = ars – = (ar – 1)(ar(s-1) + ar(s-2) + …+ ar + 1) Như an – có ước số ar – Khi ar > 2, ar – số nguyên dương lớn ước số thực an – Tóm lại, ta trình bày cách chứng minh trực tiếp đoán Chứng minh an – hợp số a > a = n hợp số Ta chứng minh theo trường hợp: Trường hợp 1: Khi a > 2, số nguyên a – ước số thực an – an – = (a – 1) (an-1 + an-2 + … + 1) < a – < an – Do an – hợp số Trường hợp 2: Khi a = n hợp số, tồn số nguyên dương r s với < r ≤ s < n cho n = rs Trong trường hợp 2n – = 2rs – = (2r – 1)(2r(s-1) + 2r(s-2) + …+ 2r + 1) Nên 2r – ước thực 2n – Điều chứng tỏ 2n – hợp số Ví dụ 2: Chứng minh bác bỏ khẳng định khơng có số hữu tỷ nghiệm phương trình x3 + x + = Ta biết số hữu tỷ thỏa mãn phương trình với hệ số ngun có dạng p/q, p ước số hạng tự (1) q ước hệ số lũy thừa cao (1) Do đó, nghiệm hữu tỷ ±1 Vì hai số khơng nghiệm phương trình phương trình khơng có nghiệm hữu tỷ 4.2.6 Phỏng đốn ví dụ Khơng phải đốn Để loại bỏ đốn hóa sai ta phải tìm phản ví dụ Ví dụ 1: Xét hàm f(n) mà giá trị số nguyên tố số nguyên n Nếu có hàm vậy, dễ tìm số nguyên tố lớn Trong trình tìm kiếm hàm vậy, phải kiểm tra hàm 36 đa thức nhà toán học làm từ trước Sau nhiều tính tốn, ta thấy có đa thức f(n) = n2 – n + 41 Đa thức có tính chất lí thú f(1) = 41 số nguyên tố, f(2) = 43 số nguyên tố, f(3) = 47 số nguyên tố, f(4) = 53 số nguyên tố… Điều dẫn tới đoán f(n) số nguyên tố với số nguyên dương n Liệu đốn có hay khơng? Lấy ví dụ n = 41, f(41) = 412 – 41 + 41 = 412 hợp số Như điều đốn khơng Chúng ta có ý định tìm đa thức khác số nguyên tố với số nguyên dương n Tuy nhiên khơng có đa thức Người ta chứng minh với đa thức f(n) với hệ số nguyên tồn số nguyên dương y cho f(y) hợp số Ví dụ 2: Chứng minh với đa thức f(n) khác số, với hệ số nguyên tồn số nguyên dương y cho f(y) hợp số Đa thức khơng phải số lấy giá trị số hữu hạn lần Như f nhận giá trị 0, ±1 hữu hạn lần Do khơng có y cho f(y) hợp số cần phải có x0 cho ± f(x0) số nguyên tố, chẳng hạn p Ta xét f(x0 + kp), với k số nguyên Khi ta đặt x0 + kp vào đa thức thay cho x triển ra, ta nhận tất số hạng chứa p trừ số hạng tạo nên f(x0) Do f(x0 + kp) = f(x0) + mp = (m + 1)p Với số nguyên m Khi k biến thiên, giá trị 0, p – p số hữu hạn lần, đó, hợp số giá trị k 4.2.7 Bài tốn halting Một số tốn tồn chứng minh không tồn thuật giải để giải chúng Những tốn gọi tốn khơng giải Chứng minh có tồn tốn khơng giải 37 Alan Turing, nhà toán học, tin học vĩ đại người Anh Bài tốn mà ơng chứng minh khơng giải tốn halting Bây mơ tả lại chứng minh định lí tiếng tin học Chúng ta chứng minh tồn tốn khơng thể giải cách dùng chương trình Đó tốn halting Bài tốn đặt câu hỏi, liệu có chương trình làm điều khơng: lấy chương trình máy tính đầu vào chương trình làm đầu vào xác định xem chương trình cuối có dừng lại khơng chạy với đầu vào Có chương trình vậy, tồn tại, thuận tiện Chắc hẳn kiểm tra chương trình bước vào vịng lặp vơ hạn có trợ giúp cho viết sữa lỗi chương trình hay khơng Tuy nhiên, vào năm 1936, Alan Turing chứng tỏ chương trình không tồn Trước hết cần lưu ý khơng thể đơn giản chạy chương trình quan sát điều mà xác định có dừng lại hay khơng với đầu vào cho Nếu chương trình dừng lại có câu trả lời, tiếp tục chạy sau khoảng thời gian cố định đó, ta khơng thể biết khơng dừng lại đợi chưa đủ lâu để thấy kết thúc Xét đến việc thiết kế chương trình mà dừng lại sau chạy kỷ khơng khó Chúng ta mơ tả chứng minh Turing, chứng minh phản chứng Giả sử tốn halting có lời giải, chương trình kí hiệu H(P, I) Chương trình H(P, I) có hai đầu vào, đầu vào chương trình P đầu vào khác I, đầu vào chương trình P H(P, I) phát xâu “halt” (dừng) đầu H xác định P dừng cho I đầu vào Ngược lại, phát xâu “loop forever” (lặp vĩnh viễn) đầu Chúng ta chứng minh điều dẫn tới mâu thuẫn Khi chương trình mã hóa, biểu diễn xâu kí 38 tự, xâu phiên dịch dãy bit Điều có nghĩa tự thân chương trình dùng liệu Do chương trình coi đầu vào chương trình khác đầu vào Suy ra, H lấy chương trình P hai đầu vào nó: chương trình đầu vào chương trình Như H xác định P dừng hay khơng cho đầu vào Để chứng tỏ khơng tồn chương trình H giải toán halting, xây dựng chương trình đơn giản kí hiệu K(P) làm việc sau, có sử dụng đầu H(P, P) Nếu đầu H(P, P) “loop forever”, mà điều có nghĩa lặp vĩnh viễn cho đầu vào, K(P) dừng lại Còn đầu H(P, P) “halt”, mà điều có nghĩa dừng lại cho đầu vào, K(P) lặp vĩnh viễn Điều có nghĩa K(P) làm ngược với mà đầu H(P, P) định Bây giả sử cung cấp cho K đầu vào lại K Khi đến đầu H(K, K) “loop forever”, theo định nghĩa K, K(K) phải dừng Ngược lại, đầu H(K, K) “halt”, theo định nghĩa K, K(K) phải lặp vĩnh viễn, điều trái với mà H đưa Như vậy, hai trường hợp gặp mâu thuẫn Tóm lại, H khơng thể ln ln cho ta câu trả lời Do đó, khơng có chương trình giải tốn halting 39 CHƯƠNG 4: KẾT LUẬN Chúng ta cần nắm vững số phương pháp chứng minh quan trọng cách sử dụng phương pháp Đằng sau phương pháp việc xây dựng chứng minh Đó chiến lược chứng minh, bao gồm việc lựa chọn phương pháp chứng minh cho thích hợp dựa suy luận toán học, mối liên quan vấn đề sau xây dựng bước lập luận theo phương pháp suy luận Chiến lược áp dụng rộng rãi khơng tốn học, tin học nhiều lĩnh vực khác Chiến lược chứng minh suy luận toán học cịn nhiều Đây phần mà tơi tìm hiểu, nghiên cứu, phân tích tổng hợp kết hợp với kinh nghiệm thân ý kiến trao đổi đồng nghiệp, nhằm góp cho học sinh, sinh viên biết thêm suy luận logic, cách chứng minh toán học áp dụng vào việc học tập, cơng việc 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO - Nguyễn Hữu Anh Toán Rời Rạc TP.HCM: NXB Giáo Dục, 1999 - Trần Ngọc Danh Toán Rời Rạc Nâng Cao TP.HCM: NXB Đại Học Quốc Gia TPHCM, 2004 - Kenneth H Rosen Discrete Mathematics and Its Applications TP.HCM: NXB Giáo Dục, 2007 41 ... NGHIÊN CỨU 4.1 Các phương pháp chứng minh toán học Trong nghiên cứu toán học xuất hai vấn đề quan trọng: Khi suy luận toán học dùng phương pháp chứng minh để xây dựng suy luận toán học? Một chứng minh. .. Đề tài trình bày vấn đề phạm vi sau: - Các phương pháp chứng minh toán học - Chiến lược chứng minh suy luận toán học: Sự lựa chọn kết hợp phương pháp chứng minh 1.5 Phương pháp nghiên cứu Đề tài. .. lược chứng minh suy luận tốn học 1.2 Mục đích đề tài Mục đích đề tài nhằm cung cấp cho sinh viên kiến thức tư logic, suy luận toán học, phương pháp chứng minh cách kết hợp phương pháp chứng minh