Khi cần phải chứng minh một mệnh đề, trước hết nên thay các thuật ngữ bằng định nghĩa của chúng, rồi phân tích kĩ càng giả thiết và kết luận. Sau khi đã làm như thế, ta có thể thử chứng minh kết quả bằng một trong các phương pháp đã có.
Tuy nhiên, khi đối mặt với một mệnh đề kéo theo cần phải chứng minh, bạn sẽ sử dụng phương pháp nào? Phương pháp chứng minh trực tiếp hay phương pháp chứng minh gián tiếp? Trước hết, phải nhanh chóng đánh giá xem liệu phương pháp chứng minh trực tiếp có hứa hẹn thành công không. Hãy bắt đầu bằng việc triển khai các định nghĩa trong giả thiết. Sau đó suy luận bằng cách dùng các giả thiết đó cùng với các tiên đề, các định lí đã có. Nếu chứng minh trực tiếp không đi đến đâu thì hãy thử với cách chứng minh gián tiếp. Cần phải nhớ rằng trong chứng minh gián tiếp, bạn phải giả sử kết luận của mệnh đề kéo theo là sai và dùng cách chứng minh trực tiếp để chứng tỏ rằng điều đó dẫn đến kết quả giả thiết phải là sai. Đôi khi, không có một cách rõ ràng nào để tiếp cận cách chứng minh trực tiếp, thì một cách chứng minh gián tiếp lại rất có hiệu
quả.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng, nếu n là số nguyên và n2 là một số lẻ thì n cũng là một số lẻ.
Ta thử chứng minh bằng phương pháp trực tiếp.
Giả sử rằng n là số nguyên và n2 là một số lẻ. Khi đó tồn tại một số
nguyên k sao cho n2 = 2k + 1. Liệu ta có thể dùng thông tin này để chứng minh n là một số lẻ được không? Dường như không có một cách rõ ràng nào để chứng minh n là một số lẻ, bởi vì nếu giải phương trình trên để tìm n sẽ dẫn đến kết quả n = 2k1, một biểu thức hầu như vô dụng.
Vì ý định chứng minh trực tiếp không mang lại kết quả, nên ta thử một cách chứng minh gián tiếp.
Ta giả sử rằng n không phải là số lẻ, có nghĩa n là số chẵn, tức là tồn tại một số k nguyên sao cho n = 2k. Để chứng minh định lí ta chỉ cần chứng minh rằng giả thiết trên sẽ dẫn tới kết luận n2 cũng không là số lẻ, tức n2 là số chẵn. Liệu ta có thể dùng phương trình n = 2k để đạt được điều đó hay không? Bằng cách bình phương hai vế phương trình trên ta được
n2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k2) Điều đó có nghĩa n2
là một số chẵn. Vậy ý định chứng minh đã thành công.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:”Nếu n là một số nguyên và (n3 + 5) là một số lẻ thì n là một số chẵn”.
Ta thử chứng minh bằng phương pháp trực tiếp. Giả sử rằng n là số
nguyên và n3 + 5 là một số lẻ, suy ra n3 là số chẵn. Khi đó tồn tại một số nguyên k sao cho n3 = 2k. Liệu ta có thể dùng thông tin này để chứng minh n là một số chẵn được không?
Chứng minh trực tiếp không mang lại kết quả rõ ràng nên ta thử chứng minh gián tiếp.
Giả sử kết luận của mệnh đề sai, tức là n là số lẻ. Khi đó n = 2k + 1 với k là một số nguyên.
Từ đó suy ra n3 + 5 = (2k + 1)3 + 5
= 8k3 + 12k2 + 6k + 6
= 2(4k3 + 6k2 + 3k + 3) là số chẵn.
Vậy n3 + 5 là số chẵn, tức giả thiết n3 + 5 là một số lẻ là sai. Nên mệnh đề ban đầu là đúng.