Khi không thể xem xét tất cả các trường hợp cùng một lúc, thì nên xét đến phương pháp chứng minh từng trường hợp. Vậy thì khi nào dùng đến phương pháp chứng minh này? Nói chung, khi mà ta không có cách rõ ràng để bắt đầu một chứng minh, nhưng khi những thông tin có thêm trong mỗi trường hợp lại có thể giúp cho chứng minh tiến triển được.
Ví dụ, để chứng minh những kết quả về những số nguyên, việc xét riêng trường hợp số chẵn và trường hợp số lẻ, hoặc trường hợp số không âm và trường hợp số âm đôi khi lại có hiệu quả. Nên chú ý đầu tư cho tất cả các trường hợp. Sai lầm thường gặp trong chứng minh này là quên xét tất cả các trường hợp khiến cho chứng minh đưa ra không xác lập được kết quả với mọi giá giá trị khả dĩ.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng, nếu n là một số nguyên không chia hết cho 2 hoặc 3 thì n2 – 1 chia hết cho 24.
Giả sử chứng minh không xét từng trường hợp, trước hết ta nhận thấy rằng n2 – 1 = (n – 1)(n + 1), không có cách rõ ràng nào để chứng minh số này chia hết cho 24 khi n không chia hết cho 2 hoặc 3 mà không xét những trường hợp khác nhau. Chứng minh theo từng trường hợp là cách tiếp cận hợp lí mà ta nghĩ tới, nhưng phải xét theo những trường hợp nào? Vì ta muốn chứng minh một kết quả về các số nguyên không chia hết cho 2 hoặc 3, nên rất có ích nếu ta xét riêng từng trường hợp, trong đó n có dạng (6k +j) với j = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Nhưng vì n không chia hết cho 2 hoặc 3 nên loại ngay các trường hợp n = {6k, 6k + 2, 6k + 3, 6k + 4} với mọi số nguyên k. Như vậy chỉ còn lại hai trường hợp, đó là n = {6k + 1, 6k + 5}. Bây giờ ta xét riêng từng trường hợp đó.
Giả sử n = 6k + 1, với k là một số nguyên tùy ý. Khi đó n2 – 1 = (n – 1)(n + 1) = 6k(6k + 2) = 12k(3k + 1).
điều đó là hiển nhiên. Nếu k là số lẻ thì (3k + 1) là số chẵn và khi đó k(3k + 1) là số chẵn. Vì k(3k + 1) là số chẵn nên tồn tại số nguyên q sao cho k(3k + 1) = 2q. Từ đó ta có: n2 – 1 = 24q, tức n2 – 1 chia hết cho 24.
Tiếp theo, giả sử n = 6k + 5, với k là một số nguyên tùy ý. Khi đó
n2 – 1 = (n – 1)(n + 1) = (6k + 4)(6k + 6) = 12(3k + 2)(k + 1). Chú ý (k + 1)(3k + 2) luôn là số nguyên chẵn.
Thật vậy, nếu k là số chẵn thì (3k + 2) là số chẵn, nếu k là số lẻ thì (k + 1) là số chẵn và khi đó (k + 1)(3k + 2) là số chẵn. Vì (k + 1)(3k + 2) là số chẵn nên tồn tại số nguyên q sao cho (k +1)(3k + 2) = 2q. Từ đó ta có: n2 – 1 = 24q, tức n2 – 1 chia hết cho 24.
Vậy kết luận đã được chứng minh hoàn toàn. Một lỗi suy luận thường gặp ở đây là rút ra một kết luận từ các ví dụ. Cho dù xem xét bao nhiêu ví dụ đi nữa, định lí vẫn chưa được chứng minh chừng nào chưa đề cập tới mọi trường hợp khả dĩ. Vấn đề chứng minh một định lí cũng tương tự một chương trình máy tính luôn luôn tạo được đầu ra mong muốn. Bất kể thử nghiệm bao nhiêu đầu vào đi nữa, chừng nào chưa kiểm tra được tất cả các đầu vào thì không thể kết luận rằng chương trình tạo được đầu ra đúng.
Tuy nhiên, đôi khi ta gặp một chứng minh được định lí bằng cách chỉ xét một vài trường hợp đặc biệt.
Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng phương trình x2 + 3y2 = 8 không có nghiệm nguyên.
Vì x2 ≤ 8 khi |x| < 3, 3y2≤ 8 khi |y| < 2 nên chỉ cần xét các trường hợp x lấy giá trị: -2, -1, 0, 1, 2 và y lấy các giá trị: -1, 0, 1.
Lưu ý các trường hợp khả dĩ của x2
là 0, 1, 4 và các giá trị khả dĩ của 3y2 là 0, 3, đồng thời giá trị khả dĩ lớn nhất của x2
+ 3y2 là 7. Do đó không thể có x2 + 3y2 = 8, với x và y là các số nguyên.