đề kéo theo là đúng vì mệnh đề có hai dạng S → S hoặc S → Đ và do đó nó là đúng. Do vậy, nếu có thể chỉ ra p là sai thì khi đó mệnh đề kéo theo p → q được chứng minh. Một chứng minh như vậy gọi là chứng minh rỗng. Nó thường được dùng để thiết lập trong các trường hợp đặc biệt cuả các định lí phát biểu rằng mệnh đề kéo theo là đúng cho tất cả các số nguyên dương tức là định lí có dạng
n P(n), trong đó P(n) là một hàm mệnh đề.
Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng mệnh đề P(0) là đúng, trong đó P(n) là hàm mệnh đề “Nếu n > 1 thì n2
> n”.
Dễ thấy P(0) là mệnh đề kéo theo “Nếu 0 > 1 thì 02 > 0”. Vì giả thiết 0 > 1 là sai nên mệnh đề kéo theo P(0) tự đúng.
Giả sử rằng kết luận q của mệnh đề kéo theo p → q là đúng. Khi đó p →q là đúng vì mệnh đề có dạng Đ → Đ và S → Đ đều đúng cả. Do vậy, nếu có thể chứng tỏ được là q đúng thì mệnh đề p → q được chứng minh.
Đó là cách chứng minh tầm thường. Những chứng minh tầm thường lại rất quan trọng khi cần chứng minh các trường hợp đặc biệt của các định lí và trong quy nạp toán học.
Ví dụ 2: Gọi P(n) là mệnh đề “Nếu a và b là hai số nguyên dương và a ≥ b thì an ≥ bn”. Hãy chỉ ra rằng mệnh đề P(0) là đúng.
Mệnh đề P(0) là “Nếu a ≥ b thì a0 ≥ b0”. Vì a0
= b0 = 1 nên kết luận của P(0) là đúng. Do đó P(0) là đúng.