Không phải mọi phỏng đoán đều đúng cả. Để loại bỏ những phỏng đoán hóa ra là sai thì ta phải tìm ra phản ví dụ.
Ví dụ 1: Xét một hàm f(n) mà giá trị của nó là số nguyên tố đối với mọi số nguyên n. Nếu có một hàm như vậy, chúng ta dễ tìm ra các số nguyên tố lớn. Trong quá trình tìm kiếm các hàm như vậy, chúng ta sẽ phải kiểm tra các hàm
đa thức như các nhà toán học đã làm từ trước. Sau nhiều tính toán, ta thấy có đa thức
f(n) = n2 – n + 41
Đa thức này có tính chất rất lí thú là f(1) = 41 là số nguyên tố, f(2) = 43 là số nguyên tố, f(3) = 47 là số nguyên tố, f(4) = 53 cũng là số nguyên tố… Điều này dẫn tới phỏng đoán rằng f(n) là số nguyên tố với mọi số nguyên dương n. Liệu phỏng đoán này có đúng hay không?
Lấy ví dụ n = 41, khi đó f(41) = 412 – 41 + 41 = 412 là một hợp số. Như vậy điều phỏng đoán là không đúng. Chúng ta có ý định tìm một đa thức khác là số nguyên tố với mọi số nguyên dương n. Tuy nhiên không có đa thức như vậy. Người ta đã chứng minh được rằng với mọi đa thức f(n) với hệ số nguyên luôn tồn tại một số nguyên dương y sao cho f(y) là một hợp số.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi đa thức f(n) khác hằng số, với hệ số nguyên luôn tồn tại một số nguyên dương y sao cho f(y) là một hợp số.
Đa thức không phải hằng số có thể lấy cùng một giá trị chỉ một số hữu hạn lần. Như vậy f chỉ nhận giá trị 0, ±1 hữu hạn lần. Do đó nếu không có một y nào sao cho f(y) là hợp số thì cần phải có một x0 sao cho ± f(x0) là số nguyên tố, chẳng hạn là p.
Ta xét f(x0 + kp), với k là số nguyên.
Khi ta đặt x0 + kp vào đa thức thay cho x và khi triển ra, ta sẽ nhận được tất cả các số hạng chứa p trừ những số hạng tạo nên f(x0). Do đó
f(x0 + kp) = f(x0) + mp = (m + 1)p
Với một số nguyên m nào đó. Khi k biến thiên, giá trị này chỉ có thể là 0, p hoặc – p một số hữu hạn lần, do đó, nó sẽ là một hợp số đối với một giá trị nào đó của k.