Các phỏng đoán được phát biểu dựa trên nhiều loại bằng chứng khả dĩ. Sự kiểm tra nhiều trường hợp đặc biệt có thể dẫn tới một phỏng đoán cũng như có thể nhận dạng được một hình mẫu nào đó. Bằng cách thay đổi các giả thiết và kết luận của các định lí đã biết cũng có thể dẫn đến các phỏng đoán hợp lí. Cũng có lúc các phỏng đoán có thể được tạo dựng dựa vào trực giác hoặc niềm tin vào một kết quả nào đó là đúng.
Dù phỏng đoán được tạo dựng như thế nào, một khi nó đã được phát biểu thì mục tiêu đặt ra là chứng minh hoặc bác bỏ nó. Nếu tin một phỏng đoán nào đó là đúng thì phải tìm cách chứng minh nó. Nếu không tìm được chứng minh thì có thể chuyển sang tìm một phản ví dụ. Nếu phản ví dụ không tìm được thì quay về tìm cách chứng minh.
Ví dụ 1: Có tồn tại số nguyên tố dạng an1, trong đó a và n là các số nguyên dương? Sau một số khảo sát bằng số như: 26
– 1 = 63, 28 – 1 = 255, 34 – 1 = 80 và 45 – 1 = 1023 ta thấy không có số nào trong các số trên là số nguyên tố cả và không tìm thấy các số nguyên tố nào khác có dạng đó trừ các số Mersenne ( là các số 2p – 1, trong đó p là số nguyên tố: 3, 5 và 7). Chúng ta phỏng đoán rằng an – 1 là hợp số khi a > 2 hoặc khi a = 2 và n là một hợp số.
Liệu chúng ta có thể chứng minh phỏng đoán đó không?
Nếu tìm được ước số thực sự của an – 1 khi a > 2 hoặc khi a = 2 và n là một hợp số thì ta có thể chứng minh được phỏng đoán đó. Một cách tiếp cận hữu ích là dùng phép phân tích ra thừa số
an – 1 = (a – 1) (an-1 + an-2 + … + 1) Như vậy an
– 1 có một ước số là a – 1. Khi a = 2 thì a – 1 = 1, vì vậy phép phân tích này không cho một ước số thực sự của an – 1. Tuy nhiên khi a > 2, ước số a – 1 thỏa mãn 1 < a – 1 < an – 1 và điều này nói lên rằng an – 1 không phải là số nguyên tố.
Nhưng với trường hợp a = 2 thì vẫn còn đó. Khi n là hợp số thì tồn tại các số nguyên dương r và s với 1 < r < n và 1 < s < n sao cho n = r.s. Dùng phép
phân tích
an – 1 = ars – 1 = (ar – 1)(ar(s-1) + ar(s-2) + …+ ar + 1) Như vậy an
– 1 có một ước số là ar – 1. Khi đó ar > 2, ar – 1 là một số nguyên dương lớn hơn 1 và là ước số thực sự của an
– 1.
Tóm lại, ta có thể trình bày một cách chứng minh trực tiếp của phỏng đoán trên.
Chứng minh an – 1 là hợp số khi a > 2 hoặc khi a = 2 và n là một hợp số. Ta sẽ chứng minh theo từng trường hợp:
Trường hợp 1: Khi a > 2, số nguyên a – 1 là ước số thực sự của an
– 1 vì an – 1 = (a – 1) (an-1 + an-2 + … + 1) và 1 < a – 1 < an – 1. Do đó an – 1 là hợp số.
Trường hợp 2: Khi a = 2 và n là hợp số, tồn tại các số nguyên dương r và s với 1 < r ≤ s < n sao cho n = rs. Trong trường hợp đó
2n – 1 = 2rs – 1 = (2r – 1)(2r(s-1) + 2r(s-2) + …+ 2r + 1)
Nên 2r – 1 là ước thực sự của 2n – 1. Điều đó chứng tỏ 2n – 1 là một hợp số.
Ví dụ 2: Chứng minh hoặc bác bỏ khẳng định rằng không có một số hữu tỷ nào là nghiệm của phương trình x3 + x + 1 = 0.
Ta đã biết bất kì số hữu tỷ nào thỏa mãn phương trình này với hệ số nguyên đều có dạng là p/q, trong đó p là ước của số hạng tự do (1) và q là ước của hệ số lũy thừa cao nhất (1). Do đó, các nghiệm hữu tỷ duy nhất có thể là ±1. Vì hai số đó đều không là nghiệm của phương trình đã cho nên phương trình không có nghiệm hữu tỷ.