một số định lý cơ bản của lý thuyết số và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - - - - - - - - - - - - - - - - - - LÊ VĂN DUY MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT SỐ VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN MINH THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 1 Mục lục Lời cảm ơn 2 Mở đầu 3 1 Số nguyên tố và một số định lý quan trọng của lý thuyết số 5 1.1 Định nghĩa số nguyên tố và một số tính chất . . . . . . . . 5 1.1.1 Định nghĩa số nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Một vài tính chất về số nguyên tố . . . . . . . . . . 5 1.2 Một số định lý cơ bản của lý thuyết số . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Một vài định nghĩa và kí hiệu . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Các định lý cơ bản của lý thuyết số . . . . . . . . . 7 2 Áp dụng giải một số bài toán sơ cấp 24 2.1 Ứng dụng Định lý Dirichlet về cấp số cộng . . . . . . . . . 24 2.2 Ứng dụng Định lý Euler, Định lý Fermat nhỏ. . . . . . . . 29 2.3 Ứng dụng Định lý Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4 Ứng dụng Định lý Trung Quốc về phần dư . . . . . . . . . 33 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Tài liệu tham khảo 40 2 Lời cảm ơn Sau một thời gian nghiên cứu, luận văn thạc sỹ của tôi đã được hoàn thành với tên đề tài Một số định lý cơ bản của lý thuyết số và áp dụng. Những kết quả mà luận văn có được đó là nhờ sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của TS. Nguyễn Văn Minh. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo và Khoa Toán - Tin của Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này trong thời gian vừa qua. Đội ngũ cán bộ của phòng đào tạo và Khoa Toán - Tin đã hết lòng ủng hộ, giúp đỡ lớp Cao học Toán K6A chúng tôi với một thái độ nhiệt tình và thân thiện nhất. Điều này sẽ mãi là ấn tượng rất tốt đẹp trong lòng mỗi chúng tôi đối với nhà trường. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và những người đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình. Thái Nguyên, tháng 05 năm 2014 Người thực hiện Lê Văn Duy 3 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết số là một ngành của toán học lý thuyết nghiên cứu về tính chất của số nói chung và của số nguyên nói riêng, cũng như những lớp rộng hơn các bài toán mà phát triển từ những nghiên cứu của nó. Trong lý thuyết số, số nguyên tố là một trong những vấn đề trọng tâm của lý thuyết số. Một câu hỏi đương nhiên được đặt ra là "có bao nhiêu số nguyên tố trong tập hợp số tự nhiên?". Nếu chỉ có một số hữu hạn các số nguyên tố thì vấn đề số nguyên tố sẽ trở nên rất đơn giản, và các vấn đề khác trong số học cũng trở thành đơn giản. Song, ngay từ thời Euclid người ta đã biết rằng tập các số nguyên tố là vô hạn. Từ đó một loạt các câu hỏi được đặt ra. Bài toán về mật độ các số nguyên tố trong dãy số tự nhiên, bài toán tìm một biểu thức lấy giá trị là các số nguyên tố với mọi giá trị tự nhiên của biến, bài toán tìm số nguyên tố thứ n, Một vấn đề lớn của lý thuyết số nguyên tố là nghiên cứu hàm π(x), biểu thị số các số nguyên tố không vượt quá x, với x là một số thực dương. Luận văn Một số định lý cơ bản của lý thuyết số và áp dụng trình bày một số vấn đề liên quan đến mảng số nguyên tố và các định lý quan trọng của lý thuyết số. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài "Một số định lý cơ bản của lý thuyết số và áp dụng" nhằm hệ thống lại một số định lý quan trọng của lý thuyết số và áp dụng các định lý đó vào giải toán sơ cấp. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về số nguyên tố, các định lý cơ bản của lý thuyết số, nhằm hệ thống các định lý các bài toán liên quan đến đề tài nghiên cứu. 4 4. Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp các tài liệu liên quan, nắm vững cốt lõi của nội dung kiến thức từ đó sắp xếp, trình bày hệ thống và khai thác các ứng dụng theo đề tài nghiên cứu. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Có được một tài liệu phù hợp cho việc dạy học ở cấp trung học cơ sở và trung học phổ thông. 6. Cấu trúc của luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, 2 chương, kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1. Số nguyên tố và một số định lý quan trọng của số học Chương 2. Áp dụng giải một số bài toán sơ cấp Thái Nguyên, tháng 05 năm 2014 Người thực hiện Lê Văn Duy 5 Chương 1 Số nguyên tố và một số định lý quan trọng của lý thuyết số Chương này trình bày một vài tính chất cơ bản của số nguyên tố và một số định lý quan trọng của lý thuyết số. Nội dung của chương được tổng hợp từ các tài liệu tham khảo [2] [3] [5]. 1.1 Định nghĩa số nguyên tố và một số tính chất 1.1.1 Định nghĩa số nguyên tố Trong toán học có nhiều định nghĩa khác nhau về số nguyên tố, sau đây tôi nêu một định nghĩa về số nguyên tố đơn giản và dễ hiểu nhất. Định nghĩa 1.1. Số nguyên tố là số nguyên dương lớn hơn 1, chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Số nguyên dương khác 1 và không là số nguyên tố thì được gọi là hợp số. Kí hiệu P là tập các số nguyên tố. 1.1.2 Một vài tính chất về số nguyên tố Tính chất 1.1. Ước tự nhiên khác 1 nhỏ nhất của một số tự nhiên là một số nguyên tố. Chứng minh. Cho số a ∈ N, cho d là ước nhỏ nhất của a với d = 1. Nếu d không nguyên tố thì d = d 1 .d 2 , trong đó 1 < d 1 , d 2 < d. suy ra d 1 là ước thực sự của a, mà d 1 < d điều này mâu thuẫn với sự nhỏ nhất của d. Suy ra điều phải chứng minh. ✷ Tính chất 1.2. Cho p là một số nguyên tố, và a ∈ N, a = 0 khi đó (a, p) = p ⇔ p | a, 6 (a, p) = 1 ⇔ p  a. Tính chất 1.3. Nếu tích của nhiều số chia hết cho số nguyên tố p thì có ít nhất một thừa số chia hết cho p. Tính chất 1.4. Số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất và là số nguyên tố chẵn duy nhất. Tính chất 1.5. Nếu n là hợp số thì n có ít nhất một ước nguyên tố không vượt quá √ n. Chứng minh. Giả sử n là hợp số n = a.b, trong đó a, b ∈ Z và 1 < a ≤ b < n, ta có hoặc a ≤ √ n hoặc b ≤ √ n. Giả sử a ≤ √ n, vì a có ước nguyên tố, giả sử đó là p nên p cũng là ước của n và p ≤ √ n. Vậy n có ước nguyên tố không vượt quá √ n. ✷ Hệ quả 1.1. Nếu số tự nhiên a > 1 không có ước nguyên tố nào trong nửa khoảng (1, [ √ a]] thì a là số nguyên tố. 1.2 Một số định lý cơ bản của lý thuyết số 1.2.1 Một vài định nghĩa và kí hiệu  Một số định nghĩa Định nghĩa 1.2. Định nghĩa hàm Chebyshev ϑ(x) như sau: ϑ(x) =  p≤x lnp, x ∈ R, x > 1. Ví dụ 1.1. ϑ(10) = ln2 + ln3 + ln5 + ln7. Định nghĩa 1.3. Định nghĩa hàm π(x) như sau: Hàm π(x), với x là số thực dương, số các số nguyên tố không vượt quá x. Ví dụ 1.2. π(1) = 0, π(2) = 1, π(3) = 2. Định nghĩa 1.4. Một hệ thặng dư đầy đủ modulo m là một tập hợp các số nguyên sao cho mỗi số nguyên tùy ý đều đồng dư modulo m với đúng một số của tập hợp. Ví dụ 1.3. Tập hợp các số 0, 1, , m − 1 là một hệ thặng dư đầy đủ modulo m. Hệ này gọi là hệ không âm bé nhất modulo m. 7 Định nghĩa 1.5. Giả sử m là một số nguyên dương. Phi hàm Euler được định nghĩa là số các số nguyên dương nhỏ hơn m và nguyên tố cùng nhau với m. Kí hiệu Phi hàm Euler qua ϕ(m). Ví dụ 1.4. ϕ(1) = 1, ϕ(2) = 1, ϕ(3) = 2, ϕ(5) = 4. Định nghĩa 1.6. Một hệ thặng dư thu gọn modulo m là một tập hợp gồm ϕ(m) số nguyên sao cho mỗi phần tử của tập hợp đều nguyên tố cùng nhau với m, và không có hai phần tử khác nhau nào đồng dư modulo m. Ví dụ 1.5. Tập hợp 1, 3, 5, 7 là một hệ thặng dư thu gọn modulo 8. Tập hợp −3, −1, 1, 3 cũng vậy.  Một số kí hiệu Cho f (x), g(x) là các hàm số xác định trên miền D ∈ R, g(x) ≥ 0, ∀x ∈ D. Ta đưa vào các kí hiệu sau đây. ∗f(x) = O(g(x)), x → w, có nghĩa là ∃A ∈ R, A > 0 : | f (x) |< Ag(x), x → w. ∗ f(x) = o(g(x)), x → w, có nghĩa là lim x→w f(x) g(x) = 0. ∗ f(x) ∼ g(x), x → w, có nghĩa là lim x→w f(x) g(x) = 1, hay f(x) = g(x) + o(g(x)), x → w. ∗ f(x) = O(1) nghĩa là tồn tại C : | f(x) |< C, hay hàm f (x) bị chặn. Ví dụ: Khi x → +∞ ta có: 10x = O(x); sinx = O(1) x = o(x 2 ); x + 1 ∼ x Khi x → 0 ta có: x 2 = o(x); 1 + x ∼ 1 sinx ∼ x. 1.2.2 Các định lý cơ bản của lý thuyết số Định lý 1.1 (Định lý Cơ bản của Số học). M ọi số nguyên dương n > 1 đều biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng tích các số nguyên tố, trong đó các thừa số nguyên tố được viết theo thứ tự không giảm. Chứng minh. Để chứng minh định lý, ta cần bổ đề sau. 8 Bổ đề 1.1. Giả sử a, b, c là các số nguyên dương, đồng thời (a, b) = 1, a | bc. Khi đó a | c. Chứng minh. Vì (a, b) = 1 nên tồn tại các số nguyên x, y sao cho ax + by = 1. Nhân 2 vế của phương trình này với c, ta có acx + bcy = c. Ta thấy a | (acx + bcy), vì đó là tổ hợp tuyến tính của a và bc. Do đó a | c. ✷ Hệ quả 1.2. Nếu p | a 1 a 2 a n , trong đó p là số nguyên tố và a 1 , a 2 , , a n là các số nguyên, thì tồn tại i, 1 ≤ i ≤ n sao cho p | a i . Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp. Trường hợp n = 1 là hiển nhiên. Giả sử mệnh đề đúng với n. Xét tích n + 1 số nguyên , a 1 a n+1 và giả sử p | a 1 a n+1 . Khi đó p | (a 1 a n )a n+1 , nên theo Bổ đề 1.1, p | a 1 a n hoặc p | a n+1 . Nếu p | a 1 a n theo giả thiết quy nạp thì tồn taị i, 1 ≤ i ≤ n sao cho p | a i . Do đó p | a i với i nào đó, 1 ≤ i ≤ n + 1 ✷ Chứng minh định lý. Trước hết ta chứng tỏ rằng mọi số nguyên dương n > 1 đều có thể viết dưới dạng tích các thừa số nguyên tố, ít nhất là bằng một cách. Giả sử ngược lại, tồn tại các số nguyên dương không có tính chất trên. Gọi n là số bé nhất trong các số đó. Nếu n là số nguyên tố thì hiển nhiên n biểu diễn được dưới dạng tích các số nguyên tố (ở đây tích chỉ gồm một phần tử). Như vậy, n là hợp số. Đặt n = a.b, với 1 < a < n và 1 < b < n. Nhưng a và b nhỏ hơn n nên chúng phải là tích các số nguyên tố, và do đó, n cũng là tích các số nguyên tố. Mâu thuẫn này chứng minh rằng số nguyên tùy ý biểu diễn được dưới dạng tích các số nguyên tố. Ta chứng minh biểu diễn nói trên là duy nhất. Giả sử tồn tại số nguyên dương có hơn một cách biểu diễn. Gọi n là số nguyên dương nhỏ nhất trong các số đó, và n có hai cách biểu diễn. n = p 1 p 2 p s = q 1 q 2 q t , trong đó p 1 , p 2 , , p s và q 1 , q 2 , , q t đều là các số nguyên tố, và p 1 ≤ p 2 ≤ ≤ p s và q 1 ≤ q 2 ≤ ≤ q t . Trước tiên ta sẽ chỉ ra rằng p 1 = q 1 . Giả sử p 1 = q 1 . Không mất tính tổng quát, có thể giả thiết p 1 < q 1 . Như vậy, p 1 < q i với mọi i = 1, 2, 3, , t (vì các số nguyên tố trong mỗi biểu diễn được xếp theo thứ tự không giảm). Khi đó, p 1  q i với mọi i. Theo Hệ quả 1.2, p 1  q 1 q t = n : vô lý. Vậy p 1 = q 1 và n . . . p 1 = p 2 p 3 p s = q 2 q 3 q t . Vì n . . . p 1 là số nguyên dương nhỏ hơn n, mà n là số nguyên dương nhỏ nhất có quá một biểu diễn, nên n . . . p 1 chỉ có thể biểu diễn dạng tích các số nguyên tố theo một cách duy nhất. Như vậy, s = t và q i = p i với mọi i. Vậy định lý được chứng minh. ✷ 9 Định lý 1.2 (Định lý Euclid). Tồn tại vô hạn số nguyên tố. Chứng minh. Cách 1. Xét số Q n = n! + 1, với n ≥ 1 . Khi đó Q n có ít nhất một ước nguyên tố, kí hiệu là q n . Nếu q n ≤ n thì q n | n! và do đó q n | (Q n − n!) = 1 suy ra mâu thuẫn. Như vậy với mọi số nguyên dương n đều có số nguyên tố lớn hơn n, nên tập các số nguyên tố là vô hạn. ✷ Cách 2 (Chứng minh của Euclid). Giả sử tập hợp số nguyên tố 2, 3, 5 , p là hữu hạn. Ta xét số n là tích của các số nguyên tố cộng thêm 1, n = 2.3.5 p + 1. Rõ ràng n sẽ có một ước nguyên tố q nào đó. Nhưng vì n không chia hết cho số nguyên tố nào ở dãy trên nên ước số nguyên tố q của n sẽ không nằm trong dãy số trên. Vậy suy ra mâu thuân với giả thiết. ✷ Định lý 1.3. Với mọi số nguyên dương n, tồn tại ít nhất n số liên tiếp, mà mỗi một trong chúng đều là hợp số. Chứng minh. Xét dãy các số nguyên liên tiếp (n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, , (n + 1)! + (n + 1). Khi 2 ≤ j ≤ (n + 1), j | (n + 1)! + j. Vậy các số trong dãy nói trên đều lá hợp số. ✷ Định lý 1.4. Chuỗi số  p∈P 1 p là chuỗi số phân kì. Chứng minh. Xét n  i=1  1 − 1 p i  −1 = n  i=1  1 + 1 p i + 1 p i 2 +  =  1 n . Trong tổng trên ta cho n chạy qua tất cả các số tự nhiên là tích của tất cả các thừa số nguyên tố, p 1 , p 2 , , p n , kể cả 1. Ta có  p≤x  1 − 1 p  −1 =  1 n . [...]... tồn tại vô hạn số hợp số trong dãy số dã cho Ta xét bài toán sau Bài toán 2.11 Cho n là một số tự nhiên n ≥ 2 Chứng minh rằng, tồn tại một cấp số cộng gồm n số hạng u1 , u2 , , un sao cho mọi số hang của nó đều là hợp số, và các số hạng của cấp số cộng này đôi một nguyên tố cùng nhau Lời giải Gọi p là số nguyên tố lớn hơn n và q là một số tự nhiên sao cho q > p + (n − 1)n! Ta xây dựng dãy số sau đây u1... o(lnlnx) p≤x p Theo Định lý 1.11 ta suy ra α = 1 Vậy 2 Định lý 1.13 (Định lý Dirichlet về cấp số cộng) Cho a, b là 2 số nguyên dương và nguyên tố cùng nhau, thế thì sẽ có vô hạn số nguyên tố có dạng ax + b với x > 0 Việc chứng minh Định lý Dirichlet về cấp số cộng rất phức tạp, vượt ra ngoài khuôn khổ của bài viết nên tác giả không chứng minh Định lý 1.14 (Định lý Wilson) Với mọi số nguyên tố p, ta... x < 3 Giả sử định lý đúng với số tự nhiên n lẻ với n ≥ 3 Khi đó định lý đúng với n ≤ x < n + 2 vì p < 4n < 4x p= p≤x p≤n Như vậy ta chỉ cần chứng minh định lý đúng với số nguyên lẻ n Ta sử dụng phương pháp quy nap Định lý đúng với n = 3, ta giả sử định lý n+1 đúng với mọi số tự nhiên lẻ nhỏ hơn hoặc bằng n (n ≥ 5) Đặt k = , 2 n−1 hoặc k = sao cho k là một số lẻ, khi đó k ≥ 3 và n − k là số lẻ, hơn 2... xét có nghiệm duy nhất modulo M 2 24 Chương 2 Áp dụng giải một số bài toán sơ cấp Chương này trình bày một số bài toán, ứng dụng các định lý ở chương 1 để giải Các bài toán này được tổng hợp từ tài liệu tham khảo [1] [4] [5] 2.1 Ứng dụng Định lý Dirichlet về cấp số cộng Bài toán 2.1 Chứng minh rằng, tồn tại cấp số cộng với độ dài bất kỳ, thành lập từ các số nguyên tố cùng nhau từng đôi Lời giải Giả... là điều vô lý Vậy giả thiết phản chứng là sai, tức là không tồn tại dãy vô hạn các số chính phương lập thành cấp số cộng 2 25 Bài toán 2.3 Cho dãy số tự nhiên vô hạn 1, 2, 3, và k là một số tự nhiên cho trước Hỏi có thể trích ra từ dãy trên một dãy con gồm k số hạng, sao cho chúng là k số tự nhiên liên tiếp và mọi số của dãy con đều không phải là số nguyên tố được không? Lời giải Xét k số sau đây... chi gồm một số hữu hạn số hạng khác 0.) 2 phân tích tiêu chuẩn của n! là ep = Bổ đề 1.4 Giả sử c1 , c2 , c3 , , cn là một dãy số cho trước Với C(t) là một hàm số được xác định như sau C(t) = cn , n≤t n1 là số nguyên thỏa mãn cj = 0, với mọi j < n1 , f (t) là một hàm số có đạo hàm liên tục, với mọi t ≥ n1 Khi đó ta có x cn f (n) = C(x)f (x) − n≤x C(t)f (t)dt n1 Định lý 1.8 Giả sử a, b là các số nguyên... 2.2 Ứng dụng Định lý Euler, Định lý Fermat nhỏ Sử dụng Định lý Euler để tìm số dư Ta xét bài toán sau Bài toán 2.12 Hãy tim số dư khi chia 17761492! cho 2000 Lời giải Theo Định lý Euler cho a100 ≡ 1 (mod 125) với mọi a sao cho (a, 125) = 1 Có 16 | 1776 nên 17761492! ≡ 0 (mod 16) Xét số dư của 17761492! khi chia cho 125 Ta có (125, 1776) = 1 và 100 | 1492! nên theo Định lý Euler ta có 17761492! ≡ 1... phải chứng minh 2 2.4 Ứng dụng Định lý Trung Quốc về phần dư Ta sử dụng Định lý Trung Quốc về phần dư giải lại Bài toán 2.3 Bài toán 2.23 Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n, tồn tại n số tự nhiên mà n số đó đều là hợp số Lời giải Giả sử p1 , p2 , , pn là n số nguyên tố khác nhau từng đôi một Xét hệ phương trình đồng dư x ≡ −k (mod p2 ) với (k = 1, 2, 3, , n) k Theo Định lý Trung Quốc về phần dư,... (2k , 2m + 1) = 1 nên theo Định lý Trung Quốc về phần dư, tồn tại số nguyên x là nghiêm của hệ x ≡ −a (mod 2k ) x ≡ −b (mod (2m + 1)) Suy ra P (x) = (3x + 1)(2x + 1) n 2 Bài toán 2.25 (BÀI DỰ TUYỂN IMO 1998) Xác định tất cả số nguyên dương n sao cho với số n này sẽ tồn tại một số nguyên m để cho 2n − 1 là ước số của m2 + 9 Lời giải Bổ đề 2.2 Nếu các số nguyên x, y và số nguyên tố p ≡ 3 (mod 4) thỏa... vô số nguyên tố dạng 3x − 1 Bài toán 2.5 Cho dãy số un được xác định như sau: un = 4n + 3, n = 1, 2, 26 Chứng minh rằng, trong dãy số trên có số hạng của dãy số là số nguyên tố Lời giải Trước hết ta xét bổ đề sau đây Bổ đề 2.1 Mọi số nguyên dương n có dạng 4k + 3, k ∈ N, đều có ít nhất một ước số nguyên tố cũng có dạng 4p + 3, p ∈ N Chứng minh Chỉ có hai khả năng xảy ra: i) Nếu n = 4k + 3 là một số . " ;Một số định lý cơ bản của lý thuyết số và áp dụng& quot; nhằm hệ thống lại một số định lý quan trọng của lý thuyết số và áp dụng các định lý đó vào giải toán sơ cấp. 3. Đối tượng và phạm vi. Một số định lý cơ bản của lý thuyết số và áp dụng trình bày một số vấn đề liên quan đến mảng số nguyên tố và các định lý quan trọng của lý thuyết số. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài " ;Một số. Các định lý cơ bản của lý thuyết số . . . . . . . . . 7 2 Áp dụng giải một số bài toán sơ cấp 24 2.1 Ứng dụng Định lý Dirichlet về cấp số cộng . . . . . . . . . 24 2.2 Ứng dụng Định lý Euler, Định