một số định lý cơ bản của lý thuyết số và áp dụng

Mục lục1 Số nguyên tố và một số định lý quan trọng của lý thuyết 1.1 Định nghĩa số nguyên tố và một số tính chất... Lý do chọn đề tài Lý thuyết số là một ngành của toán học lý thuyết ngh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-LÊ VĂN DUY

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA

LÝ THUYẾT SỐ VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.01.13

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN VĂN MINH

THÁI NGUYÊN - NĂM 2014

Mục lục

1 Số nguyên tố và một số định lý quan trọng của lý thuyết

1.1 Định nghĩa số nguyên tố và một số tính chất 5

1.1.1 Định nghĩa số nguyên tố 5

1.1.2 Một vài tính chất về số nguyên tố 5

1.2 Một số định lý cơ bản của lý thuyết số 6

1.2.1 Một vài định nghĩa và kí hiệu 6

1.2.2 Các định lý cơ bản của lý thuyết số 7

2 Áp dụng giải một số bài toán sơ cấp 24 2.1 Ứng dụng Định lý Dirichlet về cấp số cộng 24

2.2 Ứng dụng Định lý Euler, Định lý Fermat nhỏ 29

2.3 Ứng dụng Định lý Wilson 33

2.4 Ứng dụng Định lý Trung Quốc về phần dư 33

Kết luận 39

Lời cảm ơn

Sau một thời gian nghiên cứu, luận văn thạc sỹ của tôi đã được hoànthành với tên đề tài Một số định lý cơ bản của lý thuyết số và ápdụng Những kết quả mà luận văn có được đó là nhờ sự hướng dẫn tậntình và nghiêm khắc của TS Nguyễn Văn Minh Tôi xin bày tỏ lòng biết

ơn chân thành và sâu sắc đến thầy

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo và KhoaToán - Tin của Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạođiều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này trong thời gian vừa qua Độingũ cán bộ của phòng đào tạo và Khoa Toán - Tin đã hết lòng ủng hộ,giúp đỡ lớp Cao học Toán K6A chúng tôi với một thái độ nhiệt tình vàthân thiện nhất Điều này sẽ mãi là ấn tượng rất tốt đẹp trong lòng mỗichúng tôi đối với nhà trường

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và những người đã quan tâm, tạo điềukiện, động viên cổ vũ để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình

Thái Nguyên, tháng 05 năm 2014

Người thực hiện

Lê Văn Duy

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết số là một ngành của toán học lý thuyết nghiên cứu về tínhchất của số nói chung và của số nguyên nói riêng, cũng như những lớprộng hơn các bài toán mà phát triển từ những nghiên cứu của nó Trong lýthuyết số, số nguyên tố là một trong những vấn đề trọng tâm của lý thuyết

số Một câu hỏi đương nhiên được đặt ra là "có bao nhiêu số nguyên tốtrong tập hợp số tự nhiên?" Nếu chỉ có một số hữu hạn các số nguyên tốthì vấn đề số nguyên tố sẽ trở nên rất đơn giản, và các vấn đề khác trong

số học cũng trở thành đơn giản Song, ngay từ thời Euclid người ta đã biếtrằng tập các số nguyên tố là vô hạn Từ đó một loạt các câu hỏi được đặt

ra Bài toán về mật độ các số nguyên tố trong dãy số tự nhiên, bài toántìm một biểu thức lấy giá trị là các số nguyên tố với mọi giá trị tự nhiêncủa biến, bài toán tìm số nguyên tố thứ n, Một vấn đề lớn của lý thuyết

số nguyên tố là nghiên cứu hàm π(x), biểu thị số các số nguyên tố khôngvượt quá x, với x là một số thực dương

Luận văn Một số định lý cơ bản của lý thuyết số và áp dụngtrình bày một số vấn đề liên quan đến mảng số nguyên tố và các định lýquan trọng của lý thuyết số

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài "Một số định lý cơ bản của lý thuyết số và áp dụng"nhằm hệ thống lại một số định lý quan trọng của lý thuyết số và áp dụngcác định lý đó vào giải toán sơ cấp

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về số nguyên tố, các định lý cơ bản của lý thuyết số, nhằm

hệ thống các định lý các bài toán liên quan đến đề tài nghiên cứu

4 Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp các tài liệu liên quan, nắm vững cốt lõi của nội dung kiếnthức từ đó sắp xếp, trình bày hệ thống và khai thác các ứng dụng theo đềtài nghiên cứu

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Có được một tài liệu phù hợp cho việc dạy học ở cấp trung học cơ sở

và trung học phổ thông

6 Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, 2 chương, kết luận và tài liệu tham khảo.Chương 1 Số nguyên tố và một số định lý quan trọng của số học

Chương 2 Áp dụng giải một số bài toán sơ cấp

Thái Nguyên, tháng 05 năm 2014

Người thực hiện

Lê Văn Duy

Chương 1

Số nguyên tố và một số định lý

quan trọng của lý thuyết số

Chương này trình bày một vài tính chất cơ bản của số nguyên tố vàmột số định lý quan trọng của lý thuyết số Nội dung của chương đượctổng hợp từ các tài liệu tham khảo [2] [3] [5]

1.1 Định nghĩa số nguyên tố và một số tính chất

1.1.1 Định nghĩa số nguyên tố

Trong toán học có nhiều định nghĩa khác nhau về số nguyên tố, sauđây tôi nêu một định nghĩa về số nguyên tố đơn giản và dễ hiểu nhất.Định nghĩa 1.1 Số nguyên tố là số nguyên dương lớn hơn 1, chỉ chia hếtcho 1 và chính nó Số nguyên dương khác 1 và không là số nguyên tố thìđược gọi là hợp số

Kí hiệu P là tập các số nguyên tố

1.1.2 Một vài tính chất về số nguyên tố

Tính chất 1.1 Ước tự nhiên khác 1nhỏ nhất của một số tự nhiên là một

số nguyên tố

Chứng minh Cho số a ∈ N, cho d là ước nhỏ nhất của a với d 6= 1 Nếu

d không nguyên tố thì d = d1.d2, trong đó 1 < d1, d2 < d suy ra d1 là ướcthực sự của a, mà d1 < d điều này mâu thuẫn với sự nhỏ nhất của d Suy

Tính chất 1.2 Cho p là một số nguyên tố, và a ∈ N, a 6= 0 khi đó

(a, p) = p ⇔ p | a,

(a, p) = 1 ⇔ p - a.

Tính chất 1.3 Nếu tích của nhiều số chia hết cho số nguyên tố p thì có

ít nhất một thừa số chia hết cho p

Tính chất 1.4 Số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất và là số nguyên tố chẵnduy nhất

Tính chất 1.5 Nếun là hợp số thì ncó ít nhất một ước nguyên tố khôngvượt quá √

n.Vậy n có ước nguyên tố không vượt quá √

Hệ quả 1.1 Nếu số tự nhiên a > 1 không có ước nguyên tố nào trongnửa khoảng (1, [√

a]] thì a là số nguyên tố

1.2 Một số định lý cơ bản của lý thuyết số

1.2.1 Một vài định nghĩa và kí hiệu

Định nghĩa 1.3 Định nghĩa hàm π(x) như sau:

Hàm π(x), với x là số thực dương, số các số nguyên tố không vượt quá x

Ví dụ 1.2 π(1) = 0, π(2) = 1, π(3) = 2

Định nghĩa 1.4 Một hệ thặng dư đầy đủ modulo m là một tập hợp các

số nguyên sao cho mỗi số nguyên tùy ý đều đồng dư modulo m với đúngmột số của tập hợp

Ví dụ 1.3 Tập hợp các số 0, 1, , m − 1 là một hệ thặng dư đầy đủ

modulo m Hệ này gọi là hệ không âm bé nhất modulo m

Định nghĩa 1.5 Giả sử m là một số nguyên dương Phi hàm Euler đượcđịnh nghĩa là số các số nguyên dương nhỏ hơn m và nguyên tố cùng nhauvới m.

Kí hiệu Phi hàm Euler qua ϕ(m)

Ví dụ 1.4 ϕ(1) = 1, ϕ(2) = 1, ϕ(3) = 2, ϕ(5) = 4

Định nghĩa 1.6 Một hệ thặng dư thu gọn modulo m là một tập hợpgồmϕ(m)số nguyên sao cho mỗi phần tử của tập hợp đều nguyên tố cùngnhau với m, và không có hai phần tử khác nhau nào đồng dư modulo m

Ví dụ 1.5 Tập hợp 1, 3, 5, 7 là một hệ thặng dư thu gọn modulo 8 Tậphợp −3, −1, 1, 3 cũng vậy

? Một số kí hiệu

Cho f (x), g(x) là các hàm số xác định trên miền D ∈ R, g(x) ≥ 0,

∀x ∈ D Ta đưa vào các kí hiệu sau đây

∗f (x) = O(g(x)), x → w, có nghĩa là ∃A ∈ R, A > 0 : | f (x) |<Ag(x), x → w

∗ f (x) = o(g(x)), x → w, có nghĩa là lim

x→w

f (x)g(x) = 0.

∗ f (x) ∼ g(x), x → w, có nghĩa là lim

x→w

f (x)g(x) = 1, hay f (x) = g(x) +o(g(x)), x → w

∗ f (x) = O(1) nghĩa là tồn tại C : | f (x) |< C, hay hàm f (x) bị chặn

1.2.2 Các định lý cơ bản của lý thuyết số

Định lý 1.1 (Định lý Cơ bản của Số học) M ọi số nguyên dương n > 1

đều biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng tích các số nguyên tố,trong đó các thừa số nguyên tố được viết theo thứ tự không giảm

Chứng minh Để chứng minh định lý, ta cần bổ đề sau

Bổ đề 1.1 Giả sử a, b, c là các số nguyên dương, đồng thời (a, b) = 1,

a | bc Khi đó a | c

Chứng minh Vì (a, b) = 1 nên tồn tại các số nguyên x, y sao cho ax +

by = 1 Nhân 2 vế của phương trình này với c, ta có acx + bcy = c Tathấy a | (acx + bcy), vì đó là tổ hợp tuyến tính của a và bc Do đó a | c 2

Hệ quả 1.2 Nếu p | a1a2 an, trong đó p là số nguyên tố và a1, a2, , an

là các số nguyên, thì tồn tại i, 1 ≤ i ≤ n sao cho p | ai

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp Trường hợp n = 1 là hiểnnhiên Giả sử mệnh đề đúng với n Xét tích n + 1 số nguyên , a1 an+1 vàgiả sửp | a1 an+1 Khi đó p | (a1 an)an+1, nên theo Bổ đề 1.1, p | a1 an

hoặcp | an+1 Nếup | a1 an theo giả thiết quy nạp thì tồn taị i, 1 ≤ i ≤ n

sao cho p | ai Do đó p | ai với i nào đó, 1 ≤ i ≤ n + 1 2

Chứng minh định lý Trước hết ta chứng tỏ rằng mọi số nguyên dương

n > 1 đều có thể viết dưới dạng tích các thừa số nguyên tố, ít nhất là bằngmột cách Giả sử ngược lại, tồn tại các số nguyên dương không có tínhchất trên Gọi n là số bé nhất trong các số đó Nếu n là số nguyên tố thìhiển nhiênn biểu diễn được dưới dạng tích các số nguyên tố (ở đây tích chỉgồm một phần tử) Như vậy, n là hợp số Đặt n = a.b, với 1 < a < n và

1 < b < n Nhưng a và b nhỏ hơn n nên chúng phải là tích các số nguyên

tố, và do đó, n cũng là tích các số nguyên tố Mâu thuẫn này chứng minhrằng số nguyên tùy ý biểu diễn được dưới dạng tích các số nguyên tố

Ta chứng minh biểu diễn nói trên là duy nhất Giả sử tồn tại số nguyêndương có hơn một cách biểu diễn Gọi n là số nguyên dương nhỏ nhấttrong các số đó, và n có hai cách biểu diễn

n = p1p2 ps = q1q2 qt,

trong đó p1, p2, , ps và q1, q2, , qt đều là các số nguyên tố, và p1 ≤ p2 ≤ ≤ ps và q1 ≤ q2 ≤ ≤ qt Trước tiên ta sẽ chỉ ra rằng p1 = q1 Giả

sử p1 6= q1 Không mất tính tổng quát, có thể giả thiết p1 < q1 Như vậy,

p1 < qi với mọi i = 1, 2, 3, , t (vì các số nguyên tố trong mỗi biểu diễnđược xếp theo thứ tự không giảm) Khi đó, p1 - qi với mọi i Theo Hệ quả1.2, p1 - q1 qt = n : vô lý Vậy p1 = q1 và n p1 = p2p3 ps = q2q3 qt

Vì n p1 là số nguyên dương nhỏ hơn n, mà n là số nguyên dương nhỏnhất có quá một biểu diễn, nên n p1 chỉ có thể biểu diễn dạng tích các

số nguyên tố theo một cách duy nhất Như vậy, s = t và qi = pi với mọi i

Định lý 1.2 (Định lý Euclid) Tồn tại vô hạn số nguyên tố.

Chứng minh

Cách 1

Xét số Qn = n! + 1, với n ≥ 1 Khi đó Qn có ít nhất một ước nguyên tố,

kí hiệu là qn Nếu qn ≤ n thì qn | n! và do đó qn | (Qn − n!) = 1 suy ramâu thuẫn Như vậy với mọi số nguyên dương n đều có số nguyên tố lớnhơn n, nên tập các số nguyên tố là vô hạn 2

Cách 2 (Chứng minh của Euclid)

Giả sử tập hợp số nguyên tố 2, 3, 5 , p là hữu hạn Ta xét số n là tích củacác số nguyên tố cộng thêm 1,

n = 2.3.5 p + 1

Rõ ràng n sẽ có một ước nguyên tố q nào đó Nhưng vì n không chia hếtcho số nguyên tố nào ở dãy trên nên ước số nguyên tố q của n sẽ khôngnằm trong dãy số trên Vậy suy ra mâu thuân với giả thiết 2

Định lý 1.3 Với mọi số nguyên dương n, tồn tại ít nhất n số liên tiếp,

mà mỗi một trong chúng đều là hợp số

−1

= X 1

n.

Trong tổng trên cho n chạy qua tất cả các số mà các thừa số của nó nhỏhơn hoăc bằng x Suy ra



= 1

p +

12p2 + 1

Hơn nữa ta cũng có

1nlnn =

n

Z

n=1

dtnlnn ≤

n

Z

n=1

dttlnt.

Do

1nlnn ≤ 1

tlnt trên [n − 1, n] nếu n ≥ 3, khi đó

(1 − 1

p) + R.

1 − 1p

1ln2 ta

2 ,

hoặc k = n − 1

2 sao cho k là một số lẻ, khi đó k ≥ 3 và n − k là số lẻ, hơn

nữan − k = 2k ± 1 ≥ k + 1 Nếu plà số nguyên tố với k < p ≤ n thìp | n!.Nhưng pkhông chia hết cho cả k!và (n − k)! bởi vậy p | Cnk = n!

k!(n − k)!.

Từ đó suy ra tích của tất cả các số nguyên tố chia hết cho Cnk và như vậy

ta có Q

k<p≤n

p ≤ Cnk DoCnk = Cnn−k và chúng đều là khai triển của nhị thức

(1 + 1)n Suy ra Cnk < 2n−1 Do k < n và theo giả thiết quy nạp ta được

Vậy suy ra điều phải chứng minh 2

Bổ đề 1.2 Cho α là một số thực dương và d là một số tự nhiên lớnhơn 0, thế thì số các bội dương của d không vượt quá α bằng

hαd

i

Chứng minh Thật vậy, ta gọi m là số các số tự nhiên khác 0, bội của d

không vượt quá α, thế thì các bội đó là d, 2d, 3d, , md và ta có



= p

"np

#



np



!.Lập luận tương tự ta có lũy thừa của p trong dạng phân tích tiêu chuẩncủa

phân tích tiêu chuẩn của n! là ep = P

(Chú ý rằng trong tổng trên chi gồm một số hữu hạn số hạng khác 0.) 2

Bổ đề 1.4 Giả sử c1, c2, c3, , cn là một dãy số cho trước Với C(t) làmột hàm số được xác định như sau

Nếu f (t) là một hàm giảm trên đoạn [a, b] thì ta có

Lấy logarit hóa 2 vế của (3) ta được

Từ đó suy ra

lnn! = X

p≤n

hnd



lnp − 2



np



lnp



− 2



np

p thì F (t) = 0 với mọi t < 2. Theo Định

lý 1.10 ta có F (t) = ln(t) + r(t), trong đó r(t) = O(1), từ đó suy ra

Z

2

r(t)t(lnt)2dt

∞

Z

x

r(t)t(lnt)2dt + O( 1

= αlnx + o(

1lnx) +

1lnx) +

x

Z

2

[ αtlnt + o(

1tlnt)]dt.

Định lý 1.14 (Định lý Wilson) Với mọi số nguyên tố p, ta có

(p − 1)! ≡ −1(modp)

Chứng minh Để chứng minh định lý ta có bổ đề sau

Bổ đề 1.5 Giả sử p là một số nguyên tố Số nguyên a là nghịch đảo

modulo p của chính nó khi và chỉ khi

a ≡ 1 (mod p) hoặc a ≡ −1 (mod p)

Chứng minh bổ đề Nếua ≡ 1 (mod p)hoặca ≡ −1 (mod p) thìa2 ≡ 1(mod p) nên a là nghịch đảo của chính nó Ngược lại, giả sử a là nghịchđảo của chính nó, tức là a2 = a.a ≡ 1 (modp) Khi đó p | (a2 − 1).Vì

a2 − 1 = (a − 1)(a + 1) mà p nguyên tố, nên p | (a − 1) hoặc p | (a + 1)

Do đó, a ≡ 1 (mod p) hoặc a ≡ −1 (mod p) 2

Chứng minh định lý Khi p = 2, ta có: (p − 1)! = 1 ≡ −1 (mod 2).Như vậy, Định lý Wilson đúng với p = 2.

Bây giờ, giả sử p là số nguyên tố lớn hơn 2 Khi đó, với mỗi số nguyên a

thì 1 ≤ a ≤ p − 1, tồn tại nghịch đảo a, 1 ≤ ¯¯ a ≤ p − 1 sao cho a¯a ≡ 1(mod p) Theo Bổ đề 1.5, các số nguyên dương mà nhỏ hơn pmà là nghịchđảo của chinh nó là 1 và p − 1 Như vậy ta có thể nhóm các số nguyên từ

(a, p) = 1 nên suy ra j ≡ k (mod p), tức là j = k, (vì 1 ≤ j, k ≤ p − 1)

Như vậy, các số nguyên a, 2a, , (p − 1)a là tập hợp (p − 1) số nguyênkhông đồng dư 0 và không có 2 số nào đồng dư nhau modulo p, nên cácthặng dư dương bé nhất của hệ đó phải là 1, 2, , p − 1 xếp theo thứ tựnào đó Từ đó suy ra

a.2a (p − 1)a ≡ 1 (p − 1) (mod p)

Định lý 1.16 (Định lý Euler) Giả sử m là số nguyên dương và a là sốnguyên tố cùng nhau với m.

Bổ đề 1.6 Giả sử r1, r2, , rϕ(m) là hệ thặng dư thu gọn modulo n, a là

số nguyên dương và (a, n) = 1 Khi đó, tập hợp ar1, ar2, , arϕ(n) cũng là

hệ thặng dư thu gọn modulo n

Chứng minh bổ đề

Trước tiên ta chứng tỏ rằng, mỗi số nguyên arj là nguyên tố cùng nhauvới n Giả sử ngược lại, (arj, n) > 1 với mọi j nào đó Khi đó tồn tại ướcnguyên tố p của (arj, n) Do đó, hoặc p | a, hoặc p | rj, tức là hoặc p | a

và p | n, hoặc p | rj và p | n Tuy nhiên, không thể có p | rj và p | n, vì rj

và n nguyên tố cùng nhau Tương tự không thể có p | a và p | n Vậy, arj

và n nguyên tố cùng nhau với mọi j = 1, 2, , ϕ(n)

Bây giờ ta chứng tỏ không có 2 số arj, ark (j 6= k) nào đồng dư nhau

modulo n Giả sử ar ≡ ark (mod n), với j 6= k và 1 ≤ j ≤ ϕ(n);

1 ≤ k ≤ ϕ(n) Vì (a, n) = 1 nên ta suy ra rj ≡ rk (mod n) Điều này mâuthuẫn vì rj, rk cùng thuộc hệ thặng dư thu gọn ban đầu modulo n 2

Chứng minh định lý

Giả sử r1, r2, , rϕ(m) là một hệ thặng dư thu gọn gồm các số nguyênkhông vượt quá m và nguyên tố cùng nhau với m Theo Bổ đề 1.6 và do

(a, m) = 1, tập hơp ar1, ar2, , arϕ(m) cũng là một hệ thặng dư thu gọn

modulo m Như vậy, các thăng dư bé nhất ar1, ar2, , arϕ(m) phải là sốnguyên r1, r2, , rϕ(m) xếp theo thứ tự nao đó Vì thế, nếu ta nhân cáchạng tử trong hệ thu gọn trên, ta được

ar1.ar2 arϕ(m) ≡ r1.r2 rϕ(m)(mod m)

mk) Do đó mk | (x0 − x1) Từ đó suy ra x0 ≡ x1 (mod M ) Vậy hệ đồng

dư đang xét có nghiệm duy nhất modulo M 2

Chương 2

Áp dụng giải một số bài toán sơ cấp

Chương này trình bày một số bài toán, ứng dụng các định lý ở chương

1 để giải Các bài toán này được tổng hợp từ tài liệu tham khảo [1] [4] [5]

Giả sử k < l ≤ m, giả sử (xk, xl) = d, ta có m > l − k = l(m!k + 1) −k(m!l + 1) d, suy ra m! d suy ra m!k d, theo trên thì m!k + 1 d,

mà (m!k, m!k + 1) = 1, suy ra 1 d, vậy d = 1 2

Bài toán 2.2 Có tồn tại hay không một dãy số vô hạn các số chínhphương lập thành một cấp số cộng

Lời giải

Giả thiết rằng tồn tại một cấp số cộng vô hạn a21, a22, a23, trong đó a1 <

a2 < a3 < là dãy vô hạn các số tự nhiên Hiển nhiên ta có a23 − a2

a22 − a2

1 ⇔ (a3 + a2)(a3 − a2) = (a2 + a1)(a2 − a1) Do a3 + a2 > a2 + a1

nên ta suy ra a3 − a2 < a2 − a1 Tiếp tục lý luận như vậy ta có dãy số

tự nhiên sau: a2 − a1, a3− a2, a4 − a3, , ak− ak−1 Đó là một dãy số tựnhiên vô hạn giảm dần, trong đó ak− ak−1 > 1 với mọi k Đây là điều vôlý

Vậy giả thiết phản chứng là sai, tức là không tồn tại dãy vô hạn các sốchính phương lập thành cấp số cộng 2