Phần 3 : ĐỘNG LỰC HỌCChương 9 : CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC HỌC VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM Động lực học là một phần của cơ học, nghiên cứu các quy luật chuyể
Trang 1Phần 3 : ĐỘNG LỰC HỌC
Chương 9 : CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC HỌC VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM
Động lực học là một phần của cơ học, nghiên cứu các quy luật chuyển động cơ học của vật thể dưới tác dụng của các lực
9.1 Các khái niệm cơ bản
9.1.1 Chất điểm
- Chất điểm: Một vật có khối lượng nhưng kích thước không đáng kể hay rất nhỏ so
với quãng đường mà nó di chuyển được thì gọi là chất điểm
Ví dụ: ô tô chạy trên quãng đường dài có thể xem là chất điểm
- Hệ chất điểm: Là tập hợp của các chất điểm liên hệ với nhau bởi một dạng liên kết
nào đó
9.1.2 Khối lượng
- Quán tính: Là tính chất của vật thể làm biến đổi vận tốc nhiều hay ít khi có lực tác dụng
VD: Hai vật chịu tác dụng của cùng một lực, nếu vận tốc của vật thứ nhất ít biến đổi hơn vật thứ hai thì vật thứ nhất có quán tính lớn hơn vật thứ hai
- Khối lượng: Là đại lượng vật lý dùng để đo lượng quán tính của vật thể
9.1.3 Lực
Lực là đại lượng đặc trưng cho tác dụng cơ học giữa các vật thể
Là đại lượng thay đổi theo thời gian, vị trí của vật, vào vận tốc của chuyển động
9.1.4 Hệ quy chiếu quán tính
Là hệ quy chiếu mà trong đó các tiên đề Niutơn được thoã mãn (còn gọi là hệ quy chiếu cố định)
Trong thực tế kỹ thuật,người ta có thể chọn hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu gắn chặt với trái đất
9.2 Các định luật cơ bản của động lực học
9.2.1.Định luật quán tính
Chất điểm không chịu tác dụng của lực nào thì đứng yên hoặc chuyển động
thẳng đều.
Chuyển động thẳng đều của chất điểm gọi là chuyển động theo quán tính
F = 0 W = 0 k
Nếu không có lực tác dụng lên chất điểm (hoặc hợp lực của các lực tác dụng lên chất điểm bằng 0) gọi là chất điểm cô lập, thì nó bảo toàn trạng thái đứng yên hoặc
Trang 2chuyển động thẳng đều (trạng thái quán tính) Khi có lực tác dụng, trạng thái quán tính của chất điểm mới thay đổi, vì vậy lực là nguyên nhân làm thay đổi trạng thái chuyển động của chất điểm
9.2.2 Định luật cơ bản của động lực học
Trong hệ quy chiếu quán tính, dưới tác dụng của lực, chất điểm chuyển động
với gia tốc có hướng trùng với hướng của lực và tích giữa khối lượng của chất điểm
và trị số của gia tốc bằng trị số của lực đó.
F = m.W
Trong đó m: khối lượng của chất điểm
W : gia tốc của chất điểm
F : lực tác dụng lên chất điểm
Biểu thức trên còn gọi là phương trình cơ bản của động lực học
- Nếu lực tác dụng không đổi, khi m càng lớn thì W càng giảm và ngược lại, nên m
là đại lượng đo quán tính của chất điểm, còn gọi là khối lượng quán tính
- Đối với một chất điểm có khối lượng đã cho, nếu biết lực tác dụng lên nó, ta có thể tìm được chuyển động của điểm và ngược lại, nếu biết chuyển động của điểm ta có thể tìm được lực Do đó định luật này còn biểu thị quy luật cơ bản, liên hệ giữa chuyển động và nguyên nhân gây ra chuyển động đó
9.2.3 Định luật tác dụng và phản tác dụng
Hai chất điểm tác dụng với nhau những lực có trị số bằng nhau, có cùng đường tác dụng là đường thẳng nối hai chất điểm và ngược chiều.
F12 -F 21
(F và 12 F không phải là hai lực cân bằng vì chúng có điểm đặt thuộc hai chất điểm21
khác nhau)
9.2.4 Định luật độc lập tác dụng của lực
Dưới tác dụng đồng thời của một số lực, chất điểm có gia tốc bằng tổng hình
học của các gia tốc mà chất điểm nhận được khi chịu tác dụng của từng lực riêng biệt.
W = W k
m.W = F (phương trình cơ bản của động lực học) k
9.3 Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
Xét một chất điểm tự do có khối lượng m, chuyển động trong hệ quy chiếu quán tính dưới tác dụng của các lực F Ta có phương trình vi phân chuyển động của chất k
điểm trong các hệ toạ độ khác nhau:
9.3.1 Dạng toạ độ Đề các:
Chọn hệ trục toạ độ Đề các Oxyz
Trang 3y z
x
M(x,y,z)
F(x,y,z)
v o
Mo
O
Chiếu 2 vế của phương trình cơ bản động lực học: F = m.W lên 3 trục toạ độ ta k
được:
z m W
m
Z
y m W
m
Y
x m W
m
X
z k
y k
x k
Trong đó:
X ; k Y ; k Z : tổng hình chiếu của các lực k F lên 3 trục toạ độ k
x
W ; W ; y W : hình chiếu của gia tốc W lên 3 trục toạ độ z
* Các trường hợp đặc biệt:
- Nếu chất điểm chuyển động trong một mặt phẳng Chọn mặt phẳng đó là mặt phẳng chứa hệ trục toạ độ xoy Ta có các phương trình:
y m W
m
Y
x m W
m
X
y k
x k
- Nếu chất điểm chuyển động trên một đường thẳng Chọn đường thẳng đó làm trục
Ox, chiều dương trùng với chiều chuyển động Ta có phương trình:
.W m x
m
9.3.2 Dạng toạ độ tự nhiên (toạ độ cong):
Chiếu 2 vế của phương trình cơ bản động lực học: F = m.W lên các trục của hệ k
toạ độ tự nhiên Mnb ta được:
Trang 4
0
2
b kb
n kn
k
W
m
F
v m W
m
F
dt
dv m W
m
F
Trong đó: F ; k F ; kn F : Là tổng hình chiếu của các lực kb F lên các trục ; k
n; b (trục tiếp tuyến, trục pháp tuyến và trục trùng pháp tuyến)
b
n W
W
W; ; : Là hình chiếu của véc tơ gia tốc W lên các trục đó.
9.4 Hai bài toán cơ bản của động lực học
9.4.1.Bài toán thuận:
- Nội dung: Biết khối lượng của chất điểm và quy luật chuyển động của nó Tìm lực
tác dụng lên chất điểm đó
- Cách giải :
Giả sử chất điểm có khối lượng m, chuyển động theo quy luật:
) (
) (
) (
t z z
t y y
t x x
Tìm lực tác dụng lên chất điểm
- Tính x ; y ; z là hình chiếu véc tơ gia tốc của chất điểm lên 3 trục toạ độ
Ox ;Oy ;Oz
- Thay vào phương trình vi phân chuyển động của chất điểm ta được :
z m Z
y m Y
x m X
k k k
( X ; k Y ; k Z : tổng hình chiếu của các lực lên 3 trục toạ độ) k
- Lực tác dụng lên chất điểm F có:
+ Trị số: F = (X k)2 (Y k)2 (Z k)2 + Phương, chiều xác định bởi:
b
n
M
F
O
s
+
Trang 5-cos =
F
X k
; cos =
F
Y k
; cos =
F
Z k
(; ; là góc hợp bởi F với 3 trục toạ độ Ox ;Oy ;Oz)
Ví dụ 1: Người ta nâng một vật nặng A trọng lượng P lên nhanh dần đều nhờ một
trục kéo Hãy xác định sức căng dây
Giải:
Xét chuyển động của vật A
Các lực tác dụng: Trọng lực P, lực căng T của dây
Phương trình chuyển động của vật A:
mW P T
Chọn trục y thẳng đứng hướng lên trên, chiếu phương
trình trên lên trục y:
W P
T P m W
g
(1 W)
g
Khi hạ vật xuống thì gia tốc W có chiều ngược lại nên ta có T P(1 W) P
g
Khi vật chuyển động thẳng đều thì W = 0 nên T = P
Ví dụ 2: Một xe ôtô trọng lượng P chạy qua một chiếc cầu (vồng lên) với vận tốc v=
const Bán kính cong của cầu ở giữa nhịp là Tìm áp lực của ôtô lên đỉnh cầu Cho
P =1000kN; v=10m/s; =50m
n P
N
F ms
v A
Hình 12-4
Giải:
Coi ôtô như một chất điểm chuyển động đều ( v=const)
Tại vị trí M, các lực tác dụng lên ôtô là: trọng lượng P , phản lực do mặt cầu tác dụng lên ôtô N
Phương trình cơ bản của ĐLH : mW P N
Chiếu 2 vế lên phương pháp tuyến chính tại M ta được :
P A y
T
Trang 6m.Wn= P- N mà Wn =
2
v
m
2
v
= P- N
N = P- m
2
v
= P(1-
2
g
v
) Vì P = m.g Gọi N’ là áp lực của ôtô lên đỉnh cầu N'= -N
N’ = N = P(1-
2
g
v
)
Thay số: N’ =1000 (1- )
50 8 , 9
102
= 98 (kN)
9.4.2.Bài toán ngược:
- Nội dung: Biết khối lượng của chất điểm và lực tác dụng lên nó Tìm quy luật
chuyển động
- Cách giải:
Giả sử chất điểm có khối lượng m; có các lực tác dụng lên nó là
(F ,1 F ,2 F …3 F ) Tìm quy luật chuyển động của chất điểm n
- Biết (F ,1 F ,2 F …3 F ) n X ; k Y ; k Z k
- Thay vào phương trình vi phân chuyển động của chất điểm ta được:
k k k
Z m z
Y m y
X m x
1 1 1
- Tích phân 2 vế hệ 3 phương trình vi phân cấp 2 trên ta được:
)
;
;
;
;
; , (
)
;
;
;
;
;
; (
)
;
;
;
;
; , (
6 5 4 3 2 1
6 5 4 3 2 1
6 5 4 3 2 1
C C C C C C t z z
C C C C C C t y y
C C C C C C t x x
Trong đó : C1; C2; C3; C4; C5; C6 : Là các hằng số tích phân
- Xác định các hằng số tích phân theo điều kiện biên ban đầu, nghĩa là khi t=0 ta có x(0) = xo ; y(0) = yo ; z(0) = zo;
)
0
(
x ; y( 0 )=
y ; z( 0 )=
z
Trang 7Thay vào để xác định chính xác quy luật chuyển động của chất điểm.
Ví dụ: Một vật có trọng lượng P bắt đầu chuyển động từ trạng thái đứng yên trên mặt
phẳng nhẵn, nằm ngang dưới tác dụng của lực F Lực F có giá trị tỷ lệ với thời
gian theo quy luật F=kt Tìm quy luật chuyển động của vật
Giải:
Chọn vị trí vật bắt đầu chuyển động làm gốc toạ độ, chiều dương trùng với chiều chuyển động của vật
- Điều kiện ban đầu: t =0 x(0) =0 và x. 0 v 0
- Xét cân bằng của vật tại vị trí có toạ độ x bất kỳ
Các lực tác dụng lên vật là: trọng lượng P , phản lực pháp tuyến N ; lực tác dụng
F
Phương trình cơ bản của ĐLH : mW P N F
(1) Chiếu PT (1) lên trục x: m Wx = F = kt
Thay Wx x m x kt
Mà dv x dv dv
x m kt mdv ktdt
dt dt dt
2 1
2
t mdv ktdt mv k c
(2) Thay
v m k C mdx k C dt
dt dt
mdx C dt m x C t C
(3)
Theo điều kiện biên ban đầu:
t=0, v=0 Thay vào (2) C1 = 0
t=0, x=0 Thay vào (3) C2 = 0
Vậy quy luật chuyển động của vật là x =
m
kt
6 3