CHƯƠNG 9 CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC HỌC VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA CHẤT ĐIỂM

Phần : ĐỘNG LỰC HỌC Chương 9: CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC HỌC VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM Động lực học phần học, nghiên cứu quy luật chuyển động học vật thể tác dụng lực 9.1 Các khái niệm 9.1.1 Chất điểm - Chất điểm: Một vật có khối lượng kích thước không đáng kể hay nhỏ so với quãng đường mà di chuyển gọi chất điểm Ví dụ: ô tô chạy quãng đường dài xem chất điểm - Hệ chất điểm: Là tập hợp chất điểm liên hệ với dạng liên kết 9.1.2 Khối lượng - Quán tính: Là tính chất vật thể làm biến đổi vận tốc nhiều hay có lực tác dụng VD: Hai vật chịu tác dụng lực, vận tốc vật thứ biến đổi vật thứ hai vật thứ có quán tính lớn vật thứ hai - Khối lượng: Là đại lượng vật lý dùng để đo lượng quán tính vật thể 9.1.3 Lực Lực đại lượng đặc trưng cho tác dụng học vật thể Là đại lượng thay đổi theo thời gian, vị trí vật, vào vận tốc chuyển động 9.1.4 Hệ quy chiếu quán tính Là hệ quy chiếu mà tiên đề Niutơn thoã mãn (còn gọi hệ quy chiếu cố định) Trong thực tế kỹ thuật,người ta chọn hệ quy chiếu quán tính hệ quy chiếu gắn chặt với trái đất 9.2 Các định luật động lực học 9.2.1.Định luật quán tính Chất điểm không chịu tác dụng lực đứng yên chuyển động thẳng Chuyển động thẳng chất điểm gọi chuyển động theo quán tính ∑ Fk = ⇔ W = Nếu lực tác dụng lên chất điểm (hoặc hợp lực lực tác dụng lên chất điểm 0) gọi chất điểm cô lập, bảo toàn trạng thái đứng yên chuyển động thẳng (trạng thái quán tính) Khi có lực tác dụng, trạng thái quán tính chất điểm thay đổi, lực nguyên nhân làm thay đổi trạng thái chuyển động chất điểm 9.2.2 Định luật động lực học Trong hệ quy chiếu quán tính, tác dụng lực, chất điểm chuyển động với gia tốc có hướng trùng với hướng lực tích khối lượng chất điểm trị số gia tốc trị số lực F = m W Trong m: khối lượng chất điểm W : gia tốc chất điểm F : lực tác dụng lên chất điểm Biểu thức gọi phương trình động lực học - Nếu lực tác dụng không đổi, m lớn W giảm ngược lại, nên m đại lượng đo quán tính chất điểm, gọi khối lượng quán tính - Đối với chất điểm có khối lượng cho, biết lực tác dụng lên nó, ta tìm chuyển động điểm ngược lại, biết chuyển động điểm ta tìm lực Do định luật biểu thị quy luật bản, liên hệ chuyển động nguyên nhân gây chuyển động 9.2.3 Định luật tác dụng phản tác dụng Hai chất điểm tác dụng với lực có trị số nhau, có đường tác dụng đường thẳng nối hai chất điểm ngược chiều F12 = - F21 ( F12 F21 hai lực cân chúng có điểm đặt thuộc hai chất điểm khác nhau) 9.2.4 Định luật độc lập tác dụng lực Dưới tác dụng đồng thời số lực, chất điểm có gia tốc tổng hình học gia tốc mà chất điểm nhận chịu tác dụng lực riêng biệt W = ∑ Wk ⇒ m W = ∑ Fk (phương trình động lực học) 9.3 Phương trình vi phân chuyển động chất điểm Xét chất điểm tự có khối lượng m, chuyển động hệ quy chiếu quán tính tác dụng lực Fk Ta có phương trình vi phân chuyển động chất điểm hệ toạ độ khác nhau: 9.3.1 Dạng toạ độ Đề các: Chọn hệ trục toạ độ Đề Oxyz z M(x,y,z) vo O y Mo F(x,y,z) x Chiếu vế phương trình động lực học: ∑ Fk = m W lên trục toạ độ ta được:  Σ X = m W = m x x  k  Σ Y = m W = m y  k y  ΣZ k = m.Wz = m z  Trong đó: ∑ X k ; ∑ Yk ; ∑ Z k : tổng hình chiếu lực ∑ Fk lên trục toạ độ Wx ; W y ; Wz : hình chiếu gia tốc W lên trục toạ độ * Các trường hợp đặc biệt: - Nếu chất điểm chuyển động mặt phẳng Chọn mặt phẳng mặt phẳng chứa hệ trục toạ độ xoy Ta có phương trình:  Σ X = m W = m x  k x  ΣYk = m.W y = m y  - Nếu chất điểm chuyển động đường thẳng Chọn đường thẳng làm trục Ox, chiều dương trùng với chiều chuyển động Ta có phương trình: ΣX k = m.Wx = m x 9.3.2 Dạng toạ độ tự nhiên (toạ độ cong): Chiếu vế phương trình động lực học: ∑ Fk = m W lên trục hệ toạ độ tự nhiên Mτnb ta được: dv  Σ F = m W = m k τ τ  dt  v2  ΣFkn = m.Wn = m ρ  ΣFkb = m.Wb =   - O + b M τ s n F Trong đó: ∑ Fkτ ; ∑ Fkn ; ∑ Fkb : Là tổng hình chiếu lực ∑ Fk lên trục τ ; n; b (trục tiếp tuyến, trục pháp tuyến trục trùng pháp tuyến) Wτ ;Wn ;Wb : Là hình chiếu véc tơ gia tốc W lên trục 9.4 Hai toán động lực học 9.4.1.Bài toán thuận: - Nội dung: Biết khối lượng chất điểm quy luật chuyển động Tìm lực tác dụng lên chất điểm - Cách giải : Giả sử chất điểm có khối lượng m, chuyển động theo quy luật:  x = x(t )   y = y (t )  z = z (t )  Tìm lực tác dụng lên chất điểm - Tính x ; y ; z hình chiếu véc tơ gia tốc chất điểm lên trục toạ độ - Ox ;Oy ;Oz Thay vào phương trình vi phân chuyển động chất điểm ta :  Σ X = m x k   ΣYk = m y  ΣZ k = m z  ( ∑ X k ; ∑ Yk ; ∑ Z k : tổng hình chiếu lực lên trục toạ độ) - Lực tác dụng lên chất điểm F có: + Trị số: F = (∑ X k ) + (∑Yk ) + (∑ Z k ) + Phương, chiều xác định bởi: cosα = ∑Xk ∑Yk ∑Zk ; cosβ = ; cosγ = F F F (α; β; γ góc hợp F với trục toạ độ Ox ;Oy ;Oz) Ví dụ 1: Người ta nâng vật nặng A trọng lượng P lên nhanh dần nhờ trục kéo Hãy xác định sức căng dây Giải: Xét chuyển động vật A y Các lực tác dụng: Trọng lực P , lực căng T dây Phương trình chuyển động vật A: T A uu r ur ur mW = P + T P Chọn trục y thẳng đứng hướng lên trên, chiếu phương trình lên trục y: T − P = mW = T = P(1 + P W g W )> P g W Khi hạ vật xuống gia tốc W có chiều ngược lại nên ta có T = P(1 − ) < P g Khi vật chuyển động thẳng W = nên T = P Ví dụ 2: Một xe ôtô trọng lượng P chạy qua cầu (vồng lên) với vận tốc v= const Bán kính cong cầu nhịp ρ Tìm áp lực ôtô lên đỉnh cầu Cho P =1000kN; v=10m/s; ρ=50m N v Fms A P n Hình 12-4 Giải: Coi ôtô chất điểm chuyển động ( v=const) Tại vị trí M, lực tác dụng lên ôtô là: trọng lượng P , phản lực mặt cầu tác dụng lên ôtô N uur ur uu r Phương trình ĐLH : m W = P + N Chiếu vế lên phương pháp tuyến M ta : m.Wn= P- N ⇒ m v2 mà Wn = ρ v2 = P- N ρ ⇒ N = P- m v2 v2 = P(1) Vì P = m.g ρ g ρ Gọi N’ áp lực ôtô lên đỉnh cầu ⇒ N ' = - N v2 N’ = N = P(1) g ρ 10 ) = 98 (kN) Thay số: N’ =1000 (19,8.50 9.4.2.Bài toán ngược: - Nội dung: Biết khối lượng chất điểm lực tác dụng lên Tìm quy luật chuyển động - Cách giải: Giả sử chất điểm có khối lượng m; có lực tác dụng lên ( F1 , F2 , F3 … Fn ) Tìm quy luật chuyển động chất điểm - Biết ( F1 , F2 , F3 … Fn ) ⇒ ∑ X k ; ∑ Yk ; ∑ Z k - Thay vào phương trình vi phân chuyển động chất điểm ta được:   x = m ΣX k    y = ΣYk m    z = m ΣZ k  - Tích phân vế hệ phương trình vi phân cấp ta được:  x = x(t , C1 ; C ; C3 ; C ; C5 ; C6 )   y = y (t ; C1 ; C ; C3 ; C ; C5 ; C )  z = z (t , C ; C ; C ; C ; C ; C )  Trong : C1; C2; C3; C4; C5; C6 : Là số tích phân - Xác định số tích phân theo điều kiện biên ban đầu, nghĩa t=0 ta có x(0) = xo ; y(0) = yo ; z(0) = zo; • • • • • • x(0) = xo ; y (0) = yo ; z (0) = zo Thay vào để xác định xác quy luật chuyển động chất điểm Ví dụ: Một vật có trọng lượng P bắt đầu chuyển động từ trạng thái đứng yên mặt phẳng nhẵn, nằm ngang tác dụng lực F Lực F có giá trị tỷ lệ với thời gian theo quy luật F=kt Tìm quy luật chuyển động vật Giải: Chọn vị trí vật bắt đầu chuyển động làm gốc toạ độ, chiều dương trùng với chiều chuyển động vật - Điều kiện ban đầu: t =0 ⇒ x(0) =0 x ( ) = v = - Xét cân vật vị trí có toạ độ x Các lực tác dụng lên vật là: trọng lượng P , phản lực pháp tuyến N ; lực tác dụng F uur ur uu r ur Phương trình ĐLH : m W = P + N + F Chiếu PT (1) lên trục x: m Wx = F = kt (1) Thay Wx = x ⇒ m x = kt Mà x = dvx dv dv = ⇒ m = kt ⇒ mdv = ktdt dt dt dt ⇒ ∫ mdv = ∫ ktdt ⇒ mv = k Thay v = t2 + c1 (2) dx dx t2 t2 ⇒m = (k + C1 ) ⇒ mdx = (k + C1 )dt dt dt 2 ⇒ ∫ mdx = ∫ ( kt kt + C1 )dt ⇒ m.x = + C1t + C2 Theo điều kiện biên ban đầu: t=0, v=0 Thay vào (2) ⇒ C1 = t=0, x=0 Thay vào (3) ⇒ C2 = Vậy quy luật chuyển động vật x = kt 6m (3)